PEA
NE ROZWI
ZANIA ZADAC
Z KSI
ŻKI
K. Chyla
"Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół
średnich"
Autor: Michał Peller
Rzeszów
2006
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
1
1.1. Ruch jednostajny prostoliniowy
c
Zad 1.
km 1000m m
v1+v2
v = 180 = 108 Å" = 30
l2
l2
h 3600s s
l1
s = v Å" t
s
t =
l1+l2
v
120
t = = 4s
s = l1 + l2
30
vwzgl = v2 - v1
Zad 2.
s = v Å" t
l1 + l2 = (v2 - v1)Å" t
s = 60 Å" 3 = 180km
l1 + l2
s
t =
vsr =
v2 - v1
t
Zad 5.
180 180 km
vsr = = = 75
vwzgl = v1 + v2
24
24 h
2 +
s 300
60
t = = = 2h
Zad 3.
vwzgl 150
km m
s1 = v1 Å" t = 100 Å" 2 = 200km
vwzgl = vs + vp 36 = 10
h s
s2 = v2 Å" t = 50 Å" 2 = 100km
s 200
t = = = 20s
Zad 6.
v 10
s = v1 Å" t1 = v2 Å" t2
s = vs Å" t = 20 Å" 20 = 400s
v1 Å" t1
Zad 4.
t2 =
v2
a)
v2
2s
l2
l2
vsr =
t1 + t2
l1
v1
2s 2v1v2t1 2v1v2
vsr = = =
s v1 Å" t1 v2t1 + v1t1 v2 + v1
t1 +
v2
c
Zad 7.
"s 5 m
v1+v2
a) v = = = 0,25
l2
l2
"t 20 s
l1
"s 30 m
b) v = = = 6
"t 5 s
l1+l2
Punkt P to miejsce spotkania się ciał w odległości 15
s = l1 + l2
cm od obserwatora po czasie 2,5 s
Zad 8.
s = vwzgl Å" t
a)
r r r
s = (v1 + v2 )Å" t
s = s1 + s2
l1 + l2 = (v2 + v1)Å" t
r
s1 = 2 Å" 20 = 40m
l1 + l2
r
t =
s2 = 1Å" 20 = -20m
v2 + v1
r
s = 20m
b)
b)
s = s1 + s2 + s3
v2
l2
l2
s1 = 20 Å" 2 = 40m
l1
v1
s2 = 0m
s3 = 10 Å" 2 = 20m
s
s = 60m
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
2
Zad 9. Przyjmujemy pojazd drugi jako punkt odniesienia,
a) zatem pierwszy porusza się względem jego z
prędkością v1 na północ i v2 na wschód.
"s - 30 m
v1 = = = -3
"t 10 s
v1
"s 30 m
v2 = = = 3
vw
"t 10 s
v(m/s)
v2
3
2 2
vw = v1 + v2
m
t(s)
10 20
vw 9 +16 = 5
s
Zad 12.
-3
b)
"s 30 m
vm
vmy
v1 = = = 7,5
"t 4 s
Ä…
m
v2 = 0
vmx vr
s
"s - 30 m
vm = vmx + vmy
v3 = = = -15
"t 2 s
vmx = -vr
v(m/s)
vmx 1
cosÄ… = = Ò! Ä… H" 70,5°
vm 3
7,5
m m
2 2
vmy = vm - vx = 8 = 2 2
s s
6 8 t(s)
4
d 100
t = = = 35,36s
v
2 2
-15
Zad 13.
s m
Zad 10. v1 = = 9,8
t1 s
vm + vr = 6
Å„Å‚
òÅ‚v - vr = 4
s - "s 96m m
v2 = = = 9,41
ół m
t1 10,2s s
2 Å" vm = 10
Å„Å‚
m
òÅ‚v - vr = 4
"v = 0,39
ół m
s
vm = 5 Zad 14.
Å„Å‚
òÅ‚v = vm - 4
m m m
ół r
vwzgl1 = v1 + v2 = 10 + 20 = 30
s s s
vm = 5
Å„Å‚
s 5000
òÅ‚v = 1
t1 = = = 166,67s
ół r
vwzgl1 30
Zad 11.
m m m
vwzgl 2 = v2 - v1 = 20 -10 = 10
v1
s s s
s 5000
t2 = = = 500s
vwzgl 2 10
tc = t1 + t2 = 666,67s
v2
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
3
1.2. Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny a(m/s2)
Zad 1.
1
10
s = v0 Å" "t + "v Å" "t
2
1
s = 0 + Å" 20 Å" 5 = 50m
t(s)
5
3
2
Zad 2.
= -
-15
s s s
W 3 3 2
sW 3 = s3 - s2
B
2 2
at3 at2
a)
sW 3 = -
r r r
2 2 s = s1 + s2
a Å" 32 a Å" 22 18 8 10
r 1 1
sW 3 = - = - = = 5m
s1 = v0 Å" "t + Å" "v Å" "t = 20 - Å" 20 Å" 2 = 0m
2 2 2 2 2
2 2
Zad 3.
r 1 1
s2 = v0 Å" "t + Å" "v Å" "t = -30 + Å" 30 Å" 3 = 15m
zakładamy v0 = 0
2 2
1
b)
s = Å" v Å" t
2
1 1 1 1
sreal = Å"10 Å"1+ Å"10 Å"1+ Å"10 Å"1+ Å" 20 Å" 2 = 35m
2s m
2 2 2 2
v = = 20
t s
łączna droga obejmująca także cofanie
Zad 4.
sreal 35 m
vśr = = = 7
"v 4 m
"t 5 s
a = =
2
"t 3
c)
s
a(m/s2)
2 2
a Å" tc a Å" tk a
s = - = Å"(36 -16) =
10
2 2 2
4
= Å" 20 = 13,33m
6
Zad 5. t(s)
5
2
"v 15 - 5
t = = = 5s
a 2
-10
1 1
2
s = v0"t + Å" a Å" "t = 25 + * 2 * 25 = 50m
2 2
Zad7.
Zad 6.
A.
A
m
vx = 6 Å"1+ 8 Å" 4 = 38
a)
s
r r r
s = s1 + s2
B.
r 1
m
s1 = Å" "v Å" "t = 45m
vy = 6 Å" 20 - 8 Å"10 = 40
2
s
Zad 8.
r 1 1
s2 = v0 Å" "t + Å" "v Å" "t = Å" 30 Å" 2 = 30m
s
2 2
vsr =
r
t
s = 75m
b) s = vsr Å" t = 100m
s m
1
2
vsr = = 15
s = Å" a Å" t
"t s
2
2 Å" s 200 m
a = = = 2
2
t 100 s2
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
4
Zad 9. 1
h = Å" v Å" t
1
2
s = Å" v Å" t
2
v
t =
2s
a
t =
v
1 v2
h = Å" = 5,1m
v v2 m
2 a
a = = = 1
t 2 Å" s s2 II sposób
Zad 10.
mv2
= m Å" g Å" h
1
2
s = Å" v Å" t
2
v2
h = = 5,1m
v
2 Å" g
t =
a
Zad 14.
1 v2
1
s = Å"
s2 = Å" v2 Å" t2
2 a
2
v2 = 2 Å" s Å" a 2 Å" s2 40 m
v2 = = = 20
t2 2 s
v = 2 Å" s Å" a
Zad 11.
1
s5 = Å" v5 Å" t5
I sposób
2
v 20
2 Å" s5 m
t = = = 2,04s
v5 = = 50
a 9,9
t5 s
1
2
1
s = Å" a Å" t = 20,4m 2
s = Å" a Å" t
2
2
II sposób
2 Å" s 250 m
Z zasady zachowania energii
a = = = 10
2
t 25 s2
m Å" v2
= m Å" g Å" h
1.3. Ruch prostoliniowy niejednostajnie zmienny.
2
Zad 1.
v2
W przedziałach czasu, gdzie przyśpieszenie jest
h = = 20,4m
zwiększane liczymy jej jego średnią wartość
2 Å" g
a)
Zad 12.
v = a1sr Å" "t1 + a2 Å" "t2 + a3sr Å" "t3
I sposób
1
m
h = Å" v Å" t
v = 2 Å" 2 + 4 Å" 2 + 2 Å" 6 = 24
2
s
v
vmax t = 10s
t =
g
ponieważ w każdym momencie przyśpieszenie jest
nie ujemne
1 v2
h = Å"
b)
2 g
v = a1sr Å" "t1 + a2sr Å" "t2
v2 = 2 Å" h Å" g
m
v = 3Å" 2 + 3Å" 3 = 15
m
s
v = 2 Å" h Å" g = 19,8
s
vmax t = 5s
II sposób
(uwzględniając j. w.)
mv2
= m Å" g Å" h
Zad 2.
2
szybkość maksymalna była w t3 ponieważ do tego
v2 = 2 Å" g Å" h
momentu przyśpieszenie jest dodatnie, a potem ciało
m
porusza się ruchem opóz
nionym, zatem prędkość
v = 2 Å" g Å" h = 19,8
spada.
s
Zad 13.
I sposób
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
5
1.4. Ruch krzywoliniowy vD = 0
Zad 1.
m
vB = v0 + vobr = 2v0 = 8
2 Å"Ä„ Å" r
s
v = = 2 Å"Ä„ Å" r Å" f =
T
m
vA = vC = 2 Å" v0 = 4 2
1 m
s
= 2 Å"Ä„ Å" 0,15 Å"100 = 14,25
s s
Zad 7.
Zad 2.
rozważam tylko składową pionową
3,5 Å" 2 Å"Ä„ Å" r1 = n Å" 2 Å"Ä„ Å" r2 bo s1 = s2
1
2
h = Å" g Å" t
3,5 Å" r1
2
n = = 14
r2
2 Å" h
t = = 2,02s
Zad 3.
g
o 1 o
ruch poziomy
Éh = 30 =
h 120 s
s = v Å"t = 10 Å" 2,02 = 20,2m
o 1 o
Zad 8.
Ér = 360 =
h 10 s v = a Å" "t
1 1 11 o
m
Éw = - =
v = 9,8 Å" 4 = 39,2
10 120 120 s
s
11
m
2 2
360 = Å" t
vw = v0 + vk = 49,36
120
s
t = 3927,3s = 1h15min 27,3s
Zad 9.
m
Zad 4.
vr = g Å" "t = 9,8
vsamolotu = vZiemi
s
2
2Ä„ Å" vZiemii
3vh = vh + 9,82
v =
T
2 2
9vh = vh + 9,82
T = 86400s (1 doba)
2
8vh = 9,82
m km
v = 463,2 = 1667,7
s h
9,82 m
vh = = 3,46
Zad 5.
8 s
v = 2Ä„rf
Zad 10.
v 20
t = = = 10,6Hz
2Ä„r 2Ä„ Å" 0,3
m
vx
1
s
t = = = Hz
60°
m s
Zad 6.
vy
vk
v0
B
vobr
vx 1
= cos 60o =
vobr vk 2
vA
1
v0
vx = vk
C
A
2
v0
m
vB
vk = 20
s
vobr
D
vy = sin 60o Å" vk
vy
vobr
v0
t =
a
vobr = v0
vy 2 sin2 60ovk 2
1
h = at2 = = = 15,3m
2 2a 2Å"9,8
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
6
Zad 11. B.
Fw = F1 - F2 = 5N
v0 F 5 m
vy
a = = = 0,5
m 10 s2
m
Ä…
v = a Å" t = 0,5 Å" 2 = 1
s
vx
Zad 4.
F
a =
1 m
vx = cosÄ… Å" v0 = v0 = 10
M + m
2 s
F = Qn = mg
3 m
vy = sinÄ… Å" v0 = v0 = 17,32 mg 3Å" 9,8 m
a = = = 3,68
2 s
M + m 8 s2
m
Zad 5.
vy1 = vy - g Å" "t = 17,32 - 9,8 = 7,52
s
A.
vy1
F
tg² = = 0,752
a =
vx
4m
F = Qn = mg
² = 36,94o = 36o56'
mg g m
Zad 12.
a = = = 2,45
1
4m 4 s2
4 Å" Å" vy Å" "t = vx Å" 2 Å" "t
2 1
2
s = a Å" t = 4,9m
vy = vx ; tgÄ… = 1
2
B.
Ä… = 45o
F
2.1. Zasady dynamiki Newtona (część I)
a =
4m
Zad 1.
F = Q2n - Qn = 2mg - mg = mg
"v
a =
"t
mg 9 m
a = = = 2,45
F
4m 4 s2
a =
m
1
2
s = a Å" t = 4,9m
F F Å" "t 30 Å" 5
2
m = = = = 10kg
Zad 6.
a "v 15
F
a =
Zad 2.
m1 + m2
1
2
s = Å" a Å" t F = m2 g Å" sinÄ…
2
m2 g Å" sinÄ… 1Å" 9,8 Å" 0,5 m
2s
a = = = 1,63
a =
m1 + m2 3 s2
2
t
Zad 7.
2 Å" s Å" m 2 Å"100 Å" 2
F = m Å" a = = = 4N
A.
2
t 102
m1g Å" sinÄ… = m2 g
m1 Å" sinÄ… = m2
Zad 3.
A. B.
m1g Å" sinÄ… = m2 g Å" sin ²
Fw = F12 + F22 = 125 = 5 5N
m1 Å" sinÄ… = m2 Å" sin ²
F 5 5 1 m
a = = = 5
Zad 8.
m 10 2 s2
F
a =
1 m m
v = m Å" t = 5 Å" 2 = 5 H" 2,24 m
2 s s
F = mg Å"sinÄ…
mg Å" sinÄ… m
a = = g Å" sinÄ… = 9,8 Å" 0,5 = 4,9
m s2
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
7
I sposób
v2 v2m
2s = =
h 2
a F
s = = = 4m
sinÄ… 0,5
v2m 100 Å" 2
s = = = 25m
1
2
2F 8
s = a Å" t
2 Zad 11.
v E
Å„Å‚ - N = 15kg Å" a
t =
òÅ‚N = 5kg Å" a
a
ół
v2
10 = 20a
2s =
a
m
a = 0,5
h
s2
v = 2 Å" s Å" a = 2 Å" Å" a =
sinÄ…
N = 5kg Å" 0,5 = 2,5N
h m Zad 12.
= 2 Å" Å" g Å" sinÄ… = 2hg = 6,26
Fw = F1 - F2
sinÄ… s
II sposób  z zasady zachowania energii Fw F1 - F2 - 4 m
10
a = = = = 1
mv2
m1 + m2 m1 + m2 2 + 4 s2
= mgh
2
Zad 13.
"v 5 m
v2 = 2gh
a = = = 0,5
"t 10 s2
m
v = 2gh = 6,26
F = m Å" a = 0,5 Å" 2 = 1N
s
2.2. Pęd, zasada zachowania pędu
Zad 9.
Zad 1.
1
p = m Å" v
s = v0 Å" "t - Å" "v Å" "t
2
v = a Å" t
"v = v0
F
1 a =
s = v0 Å" "t
m
2
F m
a)
p = m Å" Å" t = F Å" t = 20kg
m s
1
2
s = at
Zad 2.
2
F = m Å" a
v0
2
t =
v
a =
a
t
v0 2
v
2s =
F = m Å" = 200N
a
t
v0 2
Zad 3.
a =
v = gt
2s
kg Å" m
m Å" v0 2 0,01Å" 3002
p = mv = pgt = 78,4
F = am = = = 9000N
s
2s 0,1
Zad 4.
b)
p = mv = m Å" a Å" t
2s
"t = = 3,3Å"10-4 s
F = am
v0
p
Zad 10.
am =
t
F
a =
p 2
m
F = = = 0,5N
t 4
1
s = at2
(lub inne wartości odczytane z wykresu)
2
v
t =
a
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
8
Zad 5.
mv2
mgh =
p = mv = mat = FÅ›r Å" t
2
20
v = 2gh
Fśr = = 10N
2
2m
F = Å" 2gh
kg Å" m
p = 10 Å" 5 = 50 t
s
b) analogicznie
Zad 6.
v
F = m Å"
v
F = ma = m Å" = 1500N t
t
m
Zad 7. F = Å" 2gh
t
p1 = p2
2.3. Tarcie
m1v1 = m2v0
Zad 1.
m2v0 m Fw = F - T
v1 = = 0,4995
m2 + m1 s
T = mgf
Zad 8.
Fw - mgf F m
F
a = = = - gf = 8
m1v1 = (m1 + m2 )v2
m m m s2
m1v1 m
Zad 2.
v2 = = 3,3
m1 + m2 s
Zad 9.
Fy
Fw
p1 = p2
Fx
m1v1 = m2v2
m
T
m1v1 m
v2 = = 1,2
m2 s
FX = F Å" cosÄ…
Zad 10.
FY = F Å" sinÄ…
m1v1 = m2vo
Fx -(mg - Fy )Å" f
Fw Fx - T
a = = = =
m2vo m
m m m
v1 = = 2,8
m1 s
F Å" cosÄ… - (mg - F Å" sinÄ…)Å" f m
= = 0,391
Zad 11.
m s2
m1v1 > m2v2
Zad3.
m1v1 - m2vw = v2(m1 + m2 )
1
s = v Å"t
m2vw = m1v1 - m1v2 - m2v2
2
T mgf
m1(v1 - v2 ) m
a = = = gf
vw = - v2 = 2,5
m m
m2 s
V
Zad 12.
t =
a
"p = m1v0
1 v 1 v2 v2
p2 = m2v0 + m1v0
s = v Å" = Å" = = 102m
2 a 2 gf 2gf
m2vk = m2v0 + m1v0
Zad 4.
v0(m2 + m1) m
1
vk = = 6
s = v1t + Å" "v Å" t "v < 0
m2 s
2
Zad 13.
T mgf
a = = = gf
a)
m m
v
F = m Å"
- "V - "v
1
f = =
t
a gf
2
2
z zasady zachowania energii (v2 - v1)v1 (v2 - v1)
s = +
gf 2gf
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
9
2
2vy
RK g v2
sZ = vx Å" t = vx Å" =
g 6RK 2
2vy 2vy
gRK
v2 =
sK = vx Å" = 6 Å" vx Å" = 6 Å" sZ = 48m
g 3
g
6
gRK m
v = = 2384
b) skok ten możemy potraktować jako rzut pionowy
3 s
korzystajÄ…c z zasady zachowania energii
mv2
mghmax =
2
m m
v = Å" m =
v2
s2 s
hmax Z =
2g
Zad 23.
Równik:
v2 v2
hmax K = = 6 Å" = 6 Å" hmax Z = 13,8m
Fg > Fod
2g
2g
6
mv2
Fod =
c)
RZ
1
2
s = at 2Ä„RZ
v =
2
T
2s
2
2 2 2
t =
m Å" 4Ä„ RZ m Å" 4Ä„ RZ
a
Fod = =
2 2
RZ Å"T T
2s
2
t =
M m m Å" 4Ä„ RZ
Z
a
Fw = Fg - Fod = G - =
2 2
RZ T
2s
tZ =
2
ëÅ‚ öÅ‚
M 4Ä„ RZ ÷Å‚
g Z
ìÅ‚
= mìÅ‚G -
2 2
÷Å‚
RZ T
íÅ‚ Å‚Å‚
2s 2s
tK = = 6 Å" = 6tZ
Biegun: (siła odśrodkowa jest równa 0)
g
g
mM
Z
6
Fw = G
2
RZ
Zad 22.
Kierunek i zwrot obu tych sił jest do środka Ziemi.
Druga prędkość kosmiczna pozwala całkowicie
Zad 24.
opuścić pole grawitacyjne danego ciał, zatem energia
kinetyczna musi być równa pracy przeniesienia ciała
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚
W = GM mìÅ‚ - ÷Å‚
Z
na nieskończenie dużą odległość od Księżyca:
RZ 2RZ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚
W = GM mìÅ‚ - ÷Å‚
mM
K Z
÷Å‚
G = mg
Rk r
íÅ‚ Å‚Å‚ 2
RZ
r "
2
GM = gRZ
Z
1
0
1 gRZ m
2
r W = gRZ m = = 3,12 Å"107 J
2RZ 2
ëÅ‚ öÅ‚
1 mM
K
ìÅ‚ ÷Å‚
W = GM mìÅ‚ - 0÷Å‚ = G
m
K
Rk RK W = Å" m Å" kg = N Å" m = J
íÅ‚ Å‚Å‚
s2
mM mv2
3.1. Moment siły i moment bezwładności
K
G =
RK 2
Zad 1.
M v2
K
G =
a)
RK 2
M = Fr Å" sinÄ… = 7,07Nm
mM 1
K b)
G = mgK = mg
2
RK 6
2
RK g
GM =
K
6
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
20
r1 = 2 Å" r2
F2
M2
2 2
Ä…2 2
I1 = Å"8 Å" ÁV2 Å"(2r2 ) = Å" 32 Å" ÁV2 Å" r22
Ä…1 5 5
r
F1
2
M1
I2 = Å" ÁV2 Å" r22
5
r r r
M = M1 + M
w 2 2
I1 5 Å" 32 Å" ÁV2 Å" r22
M = M1 - M
w 2
= = 32
I2 2 Å" ÁV2 Å" r22
M = F1r sinÄ…1 - F2r sinÄ…2 = r(F1 sinÄ…1 - F2 sinÄ…2 )
w
5
M = 0Nm
w
Zad 5.
W zad 5.  7. skorzystać należy z twierdzenia Steinera:
Zad 2.
2
2
I = I + md
a)
2
gdzie I to moment bezwładności względem przesu-
ëÅ‚ öÅ‚
2 2
ìÅ‚ niÄ™tej osi obrotu; I to moment bezwÅ‚adnoÅ›ci, gdy oÅ›
I I = 2 Å" m Å" a÷Å‚ = 2m Å" a2 = ma2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4
obrotu przechodzi przez środek (ciężkości) ciała;
íÅ‚ Å‚Å‚
m to masa, d to odległość między osiami.
II I = 2 Å" ma2
2
1
ëÅ‚
2 2 2 2
2
III I = 4 Å" m Å" aöÅ‚ = ma2 I = I + md = mr + mr = 2mr
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
b)
Zad 6.
2
2
1 1
1 1 1 1
öÅ‚
2 2 2 2
I I = 2 Å" m Å"ëÅ‚ aöÅ‚ = ma2
ìÅ‚ ÷Å‚
2
I = I + md = ml + mëÅ‚ l = ml + ml =
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
12 2 12 4
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚ 1
3 3 2
ìÅ‚ = ml
II I = m Å" a÷Å‚ = ma2
ìÅ‚ ÷Å‚
3
2 4
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
3 3 3
Zad 7.
ìÅ‚
III I = 2 Å" m Å" a÷Å‚ = 2 Å" ma2 = ma2
ìÅ‚ ÷Å‚
2
2 4 2 öÅ‚
2
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
I = 2(I + md )= 2ëÅ‚ mr + m(3r) =
ìÅ‚ ÷Å‚
5
íÅ‚ Å‚Å‚
Zad 3.
1
2 94
öÅ‚
2 2 2
I1 = m1r12
= 2ëÅ‚ mr + 9mr = mr
ìÅ‚ ÷Å‚
2
5 5
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 2
3.2. I i II zasada dynamiki dla bryły sztywnej
I2 = m2r22 = m2(2r1 ) = 2m2r12
Zad 1.
2 2
M
m1 = Ä„ Å" r12 Å" h Å" Á
µ =
I
2
m2 = Ä„ Å" r22 Å" h Å" Á = Ä„ Å"(2r1 ) Å" h Å" Á = 4 Å"Ä„ Å" r12 Å" h Å" Á
M = F Å" R Å" sin 90° = F Å" R
m2 = 4m1
1
I = mR2
I2 = 2m2r12 = 2 Å" 4 Å" m1r12 = 8m1r12
2
F Å" R 2F 1
I2 8m1r12
µ = = = 4
= = 16
1
I1 1 m1r12
mR2 mR s2
2
2
m
Zad 4.
kg Å"
N
m1 = Á Å"V1 = 8Å" Á Å"V2
s2 = 1
µ = =
kg Å" m kg Å" m s2
m2 = Á Å"V2
2F m
4
a = µ Å" R = = 1
Vk = Ä„ Å" r3
m s2
3
V1 = 8Å"V2
4 4
Ä„ Å" r13 = 8Å" Ä„ Å" r23
3 3
r13 = 8Å" r23
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
21
Zad 2.
mg sinÄ… mg sinÄ… mg sinÄ… 2
a = = = = g sinÄ… =
a)
I 1 3
3
2
m + mr m
Q - N = m2a 2
r 2 2
m +
2
N = m2 g - m2a
r
N
m
M NR a
= 3,27
µ = = =
s2
I I R
Zad 4.
NR2 NR2 2N
N
2
a = = =
"v M F Å" r
1
I
a = = µ Å" r = Å" r =
m1R2 m1
m2
t I I
2
"v Å" I
2 Å"(m2 g - m2a)
Q
F =
a = 2
t Å" r
m1
"v = 2Ä„rf
am1 = 2m2 g - 2m2a
1
2
a(m1 + 2m2 ) = 2m2 g
2Ä„rf Å" mr
2Ä„rf Å" I mÄ„rf
2
F = = = = 2,5N
2m2 g m
2 2
a = = 2,8 t Å" r t Å" r t
m1 + 2m2 s2
1
kg Å" m Å"
b)
m
s
F = = kg Å" = N
2m2 g
s s2
N = m2 g - m2a = m2 g - m2 =
m1 + 2m2
Zad 5.
a)
ëÅ‚ 2m2 g öÅ‚ ëÅ‚ m1g + 2m2 g 2m2 g öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= m2 ìÅ‚ g - = m2 - =
"É - 6 1 1
m1 + 2m2 ÷Å‚ ìÅ‚ m1 + 2m2 m1 + 2m2 ÷Å‚
0-3: µ = = = -2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
"t 3 s2 s2
m1g
"É 3 1 1
= m2 Å" = 7N
3-6: µ = = = 1
m1 + 2m2
"t 3 s2 s2
c)
b)
a 2m2 g 1
M
µ = = = 5,6
µ =
R (m1 + 2m2 )R s2
I
Zad 3.
M = µ Å" I
Fz - Tt = m Å" a
1 m
M = Å" kg Å" m2 = kg Å" Å" m = Nm
Tt  tarcie toczne (siła konieczna do wprawienia walca
s2 s2
w obrót)
0-3: M = -2 Å" 5 = -10Nm
M Fr
3-6: M = 1Å" 5 = 5Nm
µ = =
I I
Zad 6.
a Aby ciało się nie przesuwało tarcie musi być większe
µ =
lub równe F
r
T e" F
Fr a
=
mgf e" F
I r
aby przewrócić klocek siÅ‚a F musi go obrócić (o 45°),
aI
F =
zatem moment siły F musi być większy od momentu
2
r
siły ciężkości, łatwo zauważyć, że osią obrotu jest
Fz = mg sinÄ…
dolny prawy róg. Ramię siły F to wysokość (h) klocka,
aI
zaÅ› ramiÄ™ siÅ‚y ciężkoÅ›ci to poÅ‚owa podstawy (0,5·d)
mg sinÄ… - = ma
2
klocka, zatem
r
mgd
1
2
Fh >
I = mr
2
2
mgd
aI
F >
mg sinÄ… - = ma
2h
r2
T e" F
aI I
öÅ‚
mg sinÄ… = ma + = aëÅ‚m +
ìÅ‚ ÷Å‚
mgd
r2 íÅ‚ r2 Å‚Å‚
mgf >
2h
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
22
d
mv2 Iv2
f > = 0,125
E = +
2
2h
2 2 Å" r
Zad 7.
a)
Moment pędu oznaczać można trzema symbolami:
1
2
Iwalca = mr
K, J, L, w rozwiązywanych zadaniach posługiwać
2
będziemy się symbolem L (,który jest najczęstszym
1
2
oznaczeniem momentu pędu)
mv2 2 mr v2 mv2 mv2 3
L = I Å"É = const
E = + = + = mv2 = 75J
2
2 2 Å" r 2 4 4
2
2
2ml Å"É1 = 2m Å"(2l) Å"É2
b)
É1 = 4 Å"É2
2
2
Ikuli = mr
1 5
É2 = Å"É1
2
4
2
Zad 8. mv2 5 mr v2 mv2 2mv2 7
E = + = + = mv2 = 70J
2
L = I Å"É = const
2 2 Å" r 2 10 10
c)
I1 Å"É1 = I1 Å"É2 + I2 Å"É2 = É2 Å"(I1 + I2 )
2
Iobrębrę = mr
1 1 1
ëÅ‚
m1r12 Å"É1 = m1r12 + m2r22 öÅ‚ Å"É2
ìÅ‚ ÷Å‚
2
2 2 2 mv2 mr v2 mv2 mv2
íÅ‚ Å‚Å‚
E = + = + = mv2 = 100J
2
1 2 2 Å" r 2 2
m1r12 Å"É1
Zad 4.
m1r12 Å"É1 rad
2
É2 = = = 16Ä„
Pierwsze osiągnie podstawę równi ciało o większym
1 1
s
m1r12 + m2r22 m1r12 + m2r22
przyspieszeniu, dla prostopadłościanu:
2 2
F mg sinÄ…
3.3. Energia bryły sztywnej
ap = = = g sinÄ…
m m
Zad 1.
2
dla walca:
IÉ
E =
siła zsuwająca jest pomniejszona o tzw. tarcie toczne,
2
czyli siłę konieczną do wprawienia walca w ruch
L = I Å"É
obrotowy
L
Fw = Fz - Tt
É =
I
M aw
µ = =
2
I L L2
ëÅ‚ öÅ‚ I r
E = Å" =
ìÅ‚ ÷Å‚
2 I 2I M Å" r Tt Å" r Å" r
íÅ‚ Å‚Å‚
aw = =
I I
Zad 2.
awI
Tt =
L = I Å"É
2
r
2
IÉ
1
2
E =
Iwalca = mr
2
2
2E
1
2
2
É =
aw Å" mr
1
I
2
Tt = = maw
2
r 2
2E 1
É = Fw = mg sinÄ… - maw
I 2
1
2E
mg sinÄ… - maw
L = I Å" = 2EI
F 1
2
I
aw = = = g sinÄ… - aw
m m 2
Zad 3.
3
mv2 IÉ2
aw = g sinÄ…
E = +
2
2 2
2
v
aw = g sinÄ…
É =
3
r
ap > aw
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
23
Podstawę równi pierwszy osiągnie prostopadłościan
2
2
mkv2 5 mk rk2 ëÅ‚ öÅ‚
v 7
Zad 5.
ìÅ‚ ÷Å‚
mk ghk = + Å" = mkv2
ìÅ‚
2 2 rk ÷Å‚ 10
KorzystajÄ…c z zasady zachowania energii
íÅ‚ Å‚Å‚
2
mv2 IÉ
7 mkv2 7 v2 28 v2
mgh = +
hk = = =
2 2
10 mk g 10 g 40 g
2
2
hw > hk
Ikuli = mr
5
Wyżej wytoczy się walec.
v
Zad 7.
É =
2
r
mv2 IÉ
Ek = +
2
2
2 2
2
mv2 5 mr v 7
ëÅ‚ öÅ‚
1
mgh = + Å" = mv2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
I = mr
2 2 r 10
íÅ‚ Å‚Å‚
2
h
v
sinÄ… =
É =
s
r
h = s Å" sinÄ…
1
2
2
7 mv2 2 mr v mv2 mv2 3
ëÅ‚ öÅ‚
mg Å" s Å" sinÄ… = mv2 Ek = + Å" = + = mv2
ìÅ‚ ÷Å‚
10 2 2 r 2 4 4
íÅ‚ Å‚Å‚
Energia kinetyczna walca nie zależy od jego
7 mv2 7 v2
s = = = 14,2m
promienia, zatem energie kinetyczne obu tych walców
10 mg Å" sinÄ… 10 g Å" sinÄ…
są równe
m2
Zad 8.
s2 A i A są środkami ciężkości pręta w
O
s = = m
m
kolejnych położeniach
Ä… 1
h
s2
AO = A'O = l
A
Zad 6.
2
KorzystajÄ…c z zasady zachowania energii
dla obliczenia zmiany energii
A
walec:
potencjalnej potraktować można pręt
2
jako masÄ™ zawieszonÄ… na nitce o
mwv2 IwÉw
mwghw = +
dÅ‚ugoÅ›ci 0,5·l
2 2
h
1
cosÄ… =
2
Iwalca = mwrw
1
2 l
2
v
Éw =
1
rw
h = l Å" cosÄ…
2
1
2
2
1 1 1
mwv2 2 mwrw ëÅ‚ öÅ‚
v 3
"h = l - l Å" cosÄ… = l Å"(1- cosÄ…)
ìÅ‚ ÷Å‚
mw ghw = + Å" = mwv2
2 2 2
ìÅ‚
2 2 rw ÷Å‚ 4
íÅ‚ Å‚Å‚
1
"Ep = mg"h = mg Å" l Å"(1- cosÄ…)
3 mwv2 3 v2 30 v2
2
hw = = =
4 mw g 4 g 40 g
Korzystamy z twierdzenia Koeniga:
Energia kinetyczna bryły sztywnej jest równa sumie
energii kinetycznej ruchu postępowego tej bryły z
kula:
2
prędkością jej środka masy i energii kinetycznej ruchu
mkv2 IkÉk
mk ghk = +
obrotowego bryły wokół środka masy.
2 2
2
W czasie rozpatrywanego przez nas ruch ciało
Ikuli = mkrk2
obróciło się o ą .
5
mv2 I 'É2
v
Ek = + = "Ep
Ék =
2 2
rk
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
24
v l + 2l 3
É = S'= = l
1
2 2
l
2 3
0 + l
3
1
2
S = = l
v = É Å" l
2 4
2
2
Zad 4.
2 2
mv2 I 'É m 1 É 1
ëÅ‚ öÅ‚
2
Ek = + = É Å" l + Å" ml Liczymy współrzÄ™dne Å›rodków ciężkoÅ›ci dwóch
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2 2 12
íÅ‚ Å‚Å‚
fragmentów pręta:
1 1
2 2 2 2 (0,1a)+ (0,0) 1
ëÅ‚0,
Ek = mÉ Å" l + mÉ Å" l
pionowy: = aöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
8 24
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1
2 2 2 2
(1a,0)+ (0,0) 1
ëÅ‚
mg Å" l Å"(1- cosÄ…) = mÉ Å" l + mÉ Å" l
poziomy: = a,0öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 8 6
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1
2 2 2
1 1
ëÅ‚0, aöÅ‚ + ëÅ‚
g Å"(1- cosÄ…) = É Å" l + É Å" l = É Å" l
a,0öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
4 12 3
2 2 1 1
ëÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
caÅ‚kowity: S = = a, aöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3g Å"(1- cosÄ…)
2
É = 2 4 4
íÅ‚ Å‚Å‚
l
Zad 5.
v = É Å" l
Środek masy układu, jest środkiem ciężkości układu,
3g Å"(1- cosÄ…)Å" l znajduje siÄ™ on w odlegÅ‚oÅ›ci S!l liczÄ…c od 2m
2
v2 =
l
T!l S!l
Q
v = 3g Å"(1- cosÄ…)Å" l
3.4. Równowaga bryły sztywnej 2Q
Zad 1.
1
2 1
S1 = l
Q Å" l = 2Q Å" l
2
3 3
1 1 1 3 3
ëÅ‚l öÅ‚
Q = mg
S2 = - l = Å" l = l
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4 2 4 8
íÅ‚ Å‚Å‚ 2 2
1 2 2 4 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2 2 2
I = 2m Å" l + m Å" l = ml + ml = ml
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1 3 4 3 1
"S = l - l = l - l = l = 0,125m 3 3 9 9 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 8 8 8 8
Zad 6.
Zad 2.
Siła powodująca ruch postępowy jest równa
1
Fp
S1 = l
= cosÄ…
2
F
wyznaczamy środki ciężkości dwóch fragmentów
Fp = F Å" cosÄ…
pierwszego 0,5l i drugiego (zagięty) 0,25l, ich
odległości podajemy od lewej strony siła powodująca ruch obrotowy:
1 l l Fo = m Å" a
S2-1 = Å" =
2 2 4
M a
µ = =
1 1 l 5
I R
S2-2 = l + Å" = l
2 2 4 8
M Å" R
a =
wyznaczamy środek ciężkości całego, zagiętego pręta:
I
1 l 5l 1 7l 7
ëÅ‚ öÅ‚
szpulkę traktujemy jako obręcz
S2 = + = Å" = l
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4 8 2 8 16
íÅ‚ Å‚Å‚ Iobreczy = mR2
1 7 1
M Å" R M
"S = l - l = l = 0,0625m
a = =
2 16 16
mR2 mR
Zad 3.
M M F Å" r
Fo = m Å" = =
Liczymy środek ciężkości dwóch kulek po prawej
mR R R
stronie, równoważne będzie umieszczenie zamiast
nich kulki o masie 2m w wyznaczonym środku
ciężkości.
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
25
Fo = Fp Q = F1
F Å" r
F1 = - F1
= F Å" cosÄ…
R
- F1 = mg = 29,4N
r
cosÄ… =
R
Zad 9.
Zad 7.
a)
r
M1 = M
r
2
r
F
F2
F1
r P Å" r1 = F Å" r2
r
x
r
- FÄ… x
- F2
P Å" r1 r1
- F1
a b
F = = mg = 392N
Ä…
r2 r2
b)
dla wartości momentu siły ważny jest kąt między
- F = F1 + F2
ramieniem siły, a siłą, który w tym wypadku wynosi
Wektory F1, F2 oraz odcinki a, b tworzÄ… romb, zatem
90°, zatem sin 90° = 1.
1
M1 = M
F
2
2
= sinÄ…
P Å" r1 = F Å" r2
F1
P Å" r1 r1
"h
F = = mg = 78,4N
sinÄ… =
r2 r2
x
Zad 10.
2
1
ëÅ‚ öÅ‚
Punkty podparcia traktujemy jako osie obrotu pręta,
x = "h2 + l
ìÅ‚ ÷Å‚
ramieniem siły jest odległość osi obrotu od środka
2
íÅ‚ Å‚Å‚
ciężkości, moment siły pochodzący od lewego punktu
1
F podparcia jest równy
"h
2
= 1
2
M = l Å" mg
F1
L
1
ëÅ‚ öÅ‚
6
"h2 + l
ìÅ‚ ÷Å‚
2 moment siły pochodzący od lewego punktu podparcia
íÅ‚ Å‚Å‚
jest równy
2
1
ëÅ‚ öÅ‚
1
F Å" "h2 + l
ìÅ‚ ÷Å‚
M = l Å" mg
P
2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
F1 = H" 1275N
2"h
M
P
= 3
Zad 8.
M
L
- F2
co oznacza, że na lewy punkt podparcia działa trzy
- Q - F1 razy większa siła niż na prawy
Ä…
FL = 3FP
F2
F1
3
FL = mg = 735N
4
1
FP = mg = 235N
4
4.1. Siły sprężyste
Zad 1.
Q
Korzystam z prawa Hooke a
"l
P = E
- Q = F1 + F2
l
Ä… = 60°
P N
E = = 6,67 Å"108
1
"l
Q m2
1
2
= cos60° =
l
F1 2
Zad 2.
Q
F = k Å" "x
=1
F1
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
26
F N
1 1
k = = 666,67
W = kx1"x + k Å" "x2 = k"xëÅ‚ x1 + "xöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x m
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Energia potencjalna sprężyny jest równa pracy jaką
Zad 5.
trzeba wykonać rozciągając sprężynę od stanu
1
Ep = k"x2
podstawowego (nie naciągniętego) do stanu
2
końcowego i jest równa iloczynowi siły i wektora
wykresem będzie parabola, przechodząca przez
przesunięcia, w przypadku sprężyny siła nie jest stała,
początek układu współrzędnych:
lecz zmienia siÄ™ jednostajnie, zatem do wzoru na
pracę musimy podstawić siłę średnią, która jest równa Ep
Ep = W0
F0 + Fk 0 + Fk Fk 1
FÅ›r = = = = k Å" "x
2 2 2 2
1 1
W0 = FÅ›r Å" "x = k Å" "x Å" "x = k Å" "x2
2 2
"x
a)
Zad 6.
1
2
W = "E = k Å" x4 = 0,533J
"l
2
P = E
l
b)
F
1 1 1
2 2 2 2
W = "E = k Å" x6 - k Å" x2 = k Å"(x6 - x2 )= P =
S
2 2 2
= 1,067J F "l
= E
Zad 3.
S l
Ep = Ekin
"l
F = S Å" E
l
1
2
Ep = k Å" x2
F = mg
2
F = k Å" x1
"l
mg = S Å" E
l
F
k =
SE"l
x1
m =
gl
1 F
2
Ep = Å" Å" x2
2
S = Ä„r
2 x1
2
Ä„r E"l
mv2
m = = 44,86kg
Ekin =
gl
2
1 F mv2
N m
2
2
Å" Å" x2 =
m2 Å" Å" m kg Å" Å" s
2
2
2 x1 2
m2 = N Å" m = N Å" s = s
m = = kg
2
m
m2 m m
F Å" x2
Å" m
v2 = 2
2
s
s
x1 Å" m
Zad 7.
2
F Å" x2 m
W zadaniu tym należy skorzystać z zasady
v = = 8,94
x1 Å" m s zachowania pÄ™du, aby obliczyć prÄ™dkość ciaÅ‚a po
zderzeniu, a następnie z zasady zachowania energii:
m
m2v0 = (m1 + m2 )v
N Å" m2 kg Å" s2 Å" m2 m2 m
v = = = =
m2v0
m Å" kg m Å" kg s2 s
v =
m1 + m2
Zad 4.
Ekin = Ep
W = "E
1 1
2 (m1 + m2 )Å" v2 1
2
W = k(x1 + "x) - k Å" x1
= k Å" "x2
2 2
2 2
1 1 1
2 2
W = k Å" x1 + kx1"x + k Å" "x2 - k Å" x1
2 2 2
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
27
2
mg = V1Áw g = S Å" h1 Å" Áw g
ëÅ‚ m2v0 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
(m1 + m2 )Å"
ìÅ‚
mg = S Å" h2 Å" Áalk g
m1 + m2 ÷Å‚ 1
íÅ‚ Å‚Å‚
= k Å" "x2
S Å" h1 Å" Áw g = S Å" h2 Å" Áalk g
2 2
2
h1 Å" Áw = h2 Å" Áalk
(m2v0 )
= k Å" "x2
h1 Å" Áw
m1 + m2
h2 = = 0,19m
2
Áalk
(m2v0 )
"x2 =
Zad 6.
k(m1 + m2 )
mg = gÁwVz
2
(m2v0 ) m2v0
ÁcVc g = gÁwVz
"x = =
k(m1 + m2 )
k(m1 + m2 )
ÁcVc = ÁwVz
4.2 Hydrostatyka i hydrodynamika
ÁcVc
Vz =
Zad 1.
Áw
2
Q - Fw = Q
Vc Áw - ÁcVc Vc(Áw - Ác )
3
Vn = Vc -Vz = =
Áw Áw
2
mg - mw g = mg
Vn Áw - Ác
3
%niezanuzony = =
1
Vc Áw
mg = VÁw g
3 a) 10%
b) 12,5%
1
VÁc g = VÁw g
Zad 7.
3
F = Fw - Fc = gV(Áw - Ác )
1
Ác = Áw
F gV(Áw - Ác ) g(Áw - Ác ) m
3
a = = = = 2,45
m VÁc Ác s2
kg
Ác = 3Áw = 3000
Zad 8.
m3
Q = k Å" "x
Å„Å‚
Zad 2.
òÅ‚mg -VÁwg = k Å"(1- p)"x
mg = gÁwVz
ół
ÁcVc g = gÁwVz
VÁc g = k Å" "x
Å„Å‚
òÅ‚Vg - Áw = k Å"(1- p)"x
ÁcVc = ÁwVz
(Ác )
ół
ÁcVc
dzielimy obustronnie układ równań
Vz =
Áw Vg(Ác - Áw ) k Å"(1- p)"x
=
VÁc g k Å" "x
Vc Áw - ÁcVc Vc(Áw - Ác )
Vn = Vc -Vz = =
Áw Áw Ác - Áw
= 1- p
Ác
Vz ÁcVc Áw Ác 7
n = = Å" = =
Vn Áw Vc(Áw - Ác ) Áw - Ác 3 Áw
1- = 1- p
Zad 3.
Ác
Q = Fw
Áw kg
Ác = = 2600
VÁr g = VÁw g
p m3
Ár = Áw
gęstość ta odpowiada gęstości aluminium
Zad 9.
Zad 4.
sposób I
Nie można, ponieważ działanie areometru polega na
Cząsteczki wody możemy traktować jako wahadła, na
porównywaniu ciężaru właściwego cieczy z wzorcem,
które zamiast siły naciągu nitki działa siła
jeżeli siła ciężkości = 0 to areometr będzie wskazywał
sprężystości
zawsze tą samą wartość
F = mg = VÁg
g = 0
F = 0
Zad 5.
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
28
pa = hmax Áwg
pa
hmax = = 10,3m
Fs
Áwg
Fp
Gdy studnia jest głębsza należy zastosować układ
kilku pomp oraz zbiorniki pośrednie
Ä… Q
Ä…
Fr ma a
tgÄ… = = = = 0,204
Q mg g
2
Ä… = 11°32
sposób II
załóżmy, że wózek poruszający się z przyspieszeniem
a podjeżdża pod równię nachyloną pod kątem ą takim,
że przyspieszenie wózka jest równe 0, wówczas siła
związana z ruchem wzdłuż równi jest równa sile
zsuwającej, a kąt nachylenia równi jest równy kątowi Zad 12.
wychylenia od poziomu cieczy (ciecz ustawi siÄ™ 1
pk = gÁwh = 1633,3Pa
poziomo, ponieważ działające na nią siły równoważą
6
siÄ™:
Zad 13.
a)
Ä…
ma VÁwa hSÁwa
Fr
P = hÁw g + = hÁw g + = hÁw g + =
S S S
F Ä…
Fz
hSÁwa 4
öÅ‚
= hÁw g + = hÁw g + hÁwa = hÁw ëÅ‚ g
ìÅ‚ ÷Å‚
S 3
íÅ‚ Å‚Å‚
P = 13066Pa
b)
Ä…
ma VÁwa hSÁwa
P = hÁw g - = hÁw g - = hÁw g - =
F = ma
S S S
Fz = Fr hSÁwa 1
öÅ‚
= hÁw g - = hÁw g - hÁwa = hÁw ëÅ‚ g
ìÅ‚ ÷Å‚
S 3
Fr
íÅ‚ Å‚Å‚
= cosÄ…
F P = 3266Pa
c)
Fr = F Å" cosÄ… = ma Å" cosÄ…
P = hÁw g = 9799Pa
Fz = mg sinÄ…
Zad 14.
ma Å" cosÄ… = mg sinÄ…
"V
= const
a sinÄ…
S2
= = tgÄ… = 0,204
h2 "t
g cosÄ…
V = S Å" h
a = 11°32'
S2h2 S1h1
Zad 10.
=
"t "t
p1 = gh1Áw = 14715Pa h1
"h
p2 = gh2ÁHg = 13341,6Pa v =
S1
"t
p1 > p2
S2v2 = S1v1
Większe ciśnienie wywiera słup wody.
S2v2 m
Zad 11. v1 = = 4
S1 s
Aby działała pompa ssąco-tłocząca ciśnienie słupa
Zad 15.
wody musi być mniejsze od ciśnienia
możemy założyć, że przez otwór wypływa ciecz
atmosferycznego
znajdująca się dokładnie nad nim, zatem energia
potencjalna tego walca zamienia siÄ™ w jego energiÄ™
kinetycznÄ…
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
29
Na każdy stopień swobody cząsteczki przypada taka
mv2
mg(h - "h) =
sama ilość energii kinetycznej równa:
2
ikT
zakładamy, że mierzymy tylko prędkość na początku
wk =
2
eksperymentu, zatem "h jest znikomo małe
i  liczba stopni swobody (liczba niezależnych
mv2
mgh =
kierunków i rodzajów ruchu), pojedynczy atom ma 3
2
st. swobody (I  ruch wzdłuż osi X, II  ruch wzdłuż
v2 = 2gh
osi Y, III  ruch wzdłuż osi Z), cząsteczka
dwuatomowa oprócz tych 3 st. swobody posiada
v = 2gh
jeszcze 2 (ruch obrotowy wokół 2 osi prostopadłych
5.1. Teoria kinetyczno-molekularna gazu
do osi Å‚Ä…czÄ…cej atomy)
doskonałego
II
Zad 1.
I
"m
n = Å" N = 1,88 Å"1017 atomów
A
µ
III
NA  to liczba Avogadra równa ilości atomów
(czÄ…stek) w jednym molu pierwiastka (zwiÄ…zku)
obrót wokół osi III nie zmienia położenia cząsteczki
Zad 2.
zatem nie wnosi żadnego nakładu energii
Do obliczeń wartość RZ należy wyrazić w cm
k  stała Boltzmana
Skuli = 4Ä„RZ 2
dla gazów stała Boltzmana pomnożona przez ilość
1Å" N at.
A
cząsteczek przybiera wartość uniwersalnej stałej
x = = 118000
cm2
4Ä„RZ 2
gazowej R = 8,31 J/(mol·K),
zatem dla jednego mola gazu energia wewnętrzna jest
Zad 3.
równa energii kinetycznej wszystkich rodzajów ruchu:
µ
m = = 1,06 Å"10-22 g
iRT
N
A U = wk Å" N =
A
2
Zad 4.
wzór na średnią szybkość atomów lub cząsteczek w
m m
Á = =
stanie gazowym:
3
V d
iRT
Ekin = U =
µ
m = 2
N
A
mv2 iRT
=
µ
2 2
Á =
3
d Å" N
A
m = µ
µ
3
µ Å" v2 iRT
d =
=
Á Å" N
A
2 2
iRT
µ
v2 =
d = 3
µ
Á Å" N
A
m  masa jednego atomu
iRT
v =
a) d = 2,3 · 10-8 cm
µ
b) d = 3,1 · 10-8 cm
Zad 6.
µ g
atomy helu występują w postaci pojedynczej zatem
c) Áw = = 8,04 Å"10-4
V0 cm3
ich liczba stopni swobody jest równa 3. Do obliczeń
następnie podstawiamy do wzoru masę molową należy wyrazić w kg/mol:
d = 3,3Å"10-7 cm
3RT m
v = =1367
Zad 5.
µ s
1
n = 0,2095 Å" Å" N = 5,36 Å"1018 czÄ…steczek
V0 A
V0 wyrażamy w cm3
Zasada ekwipartycji energii (Zad 6-11):
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
30
J m v2 Å" µHe
Å" K kg Å" Å" m
J N Å" m 1
mol Å" K s2 = THe = 3R
v = = = = =
kg
kg kg kg TNe v2 Å" 5µHe 5
mol
3R
Zad 11.
m2 m
= =
atomy helu występują w postaci pojedynczej zatem
s2 s
ich liczba stopni swobody jest równa 3.
Zad 7.
3RT
W powietrzu azot i tlen występują w cząsteczkach U = = 4986J
2
dwuatomowych (pozostałe gazy możemy zaniedbać),
5.2. Bilans cieplny
zatem liczba stopni swobody powietrza jest równa 5:
Będziemy korzystać z zasady, że "E = 0, zatem
5RT m
Epobrana = Eoddana
v = = 647,9
µ s
Zad 1.
Zad 8. m1 Å" cw Å"(t - t1) = m2 Å" cw Å"(t2 - t)
atomy helu majÄ… 3 st. swobody, zaÅ› czÄ…steczki
m1 Å" cw Å" t - m1 Å" cw Å" t1 = m2 Å" cw Å" t2 - m2 Å" cw Å" t
wodoru 5.
m1 Å" t + m2 Å" cw = m2 Å" t2 + m1 Å" t1
5
EH = RT
2 (m1 + m2 )Å" t = m1 Å" t1 + m2 Å" t2
2
m1 Å" t1 + m2 Å" t2
3
t = = 46,7°C
EHe = RT
m1 + m2
2
3
Zad 2.
EHe 2 RT 3
m1 Å" cw Å"(t1 - t3) = m2 Å" cw Å"(t3 - t2 )
= =
EH 5 RT 5
m1(t1 - t3) = m2(t3 - t2 )
2
2
m1 t3 - t2 1
= =
Zad 9.
m2 t1 - t3 1
iRT
Zad 3.
v1 =
µ
m1 Å" c1 Å"(t - t1)+ m0 Å" c0 Å"(t - t1) = m2 Å" c1 Å"(t2 - t)
iR Å" 2T
m1 Å" c1 Å" t - m1 Å" c1 Å" t1 + m0 Å" c0 Å" t - m0 Å" c0 Å" t1 =
v2 =
µ
= m2 Å" c1 Å" t2 - m2 Å" c1 Å" t
m1 Å" c1 Å" t + m2 Å" c1 Å" t + m0 Å" c0 Å" t =
iR Å" 2T
iR Å" 2T
v2 µ
µ = m2 Å" c1 Å" t2 + m1 Å" c1 Å" t1 + m0 Å" c0 Å" t1
= = = 2
iRT
v1
iRT m2 Å" c1 Å" t2 + m1 Å" c1 Å" t1 + m0 Å" c0 Å" t1 =
µ
µ
= t[(m1 + m2 )Å" c1 + m0 Å" c0]
Zad 10.
m1 Å" c1 Å" t1 + m0 Å" c0 Å" t1 + m2 Å" c1 Å" t2
t = = 45,5°C
3RT
(m1 + m2 )Å" c1 + m0 Å" c0
v =
µ
Zad 4.
m1 Å" c1 Å"(t3 - t1) = m2 Å" cZn Å"(t2 - t3)
3RT
v2 =
µ m1 Å" c1 Å" t3 - m1 Å" c1 Å" t1 = m2 Å" cZn Å" t2 - m2 Å" cZn Å" t3
cZn Å" m2(t2 - t3) = m1 Å" c1(t3 - t1)
v2 Å" µ
T =
3R m1 Å" c1(t3 - t1) J
cZn = = 400
v2 Å" µHe
m2(t2 - t3) kg Å" K
THe =
3R
Zad 5.
m1 Å" c1 Å"(t - t1) = m2 Å" c2 Å"(t2 - t)
v2 Å" µNe
TNe =
3R m1 Å" c1 Å" t - m1 Å" c1 Å" t1 = m2 Å" c2 Å" t2 - m2 Å" c2 Å" t
µNe = 5Å" µHe
t(m1 Å" c1 + m2 Å" c2 ) = m1 Å" c1 Å" t1 + m2 Å" c2 Å" t2
v2 Å"5µHe
m1 Å" c1 Å" t1 + m2 Å" c2 Å" t2
TNe =
t = = 12,07°C
3R
m1 Å" c1 + m2 Å" c2
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
31
Zad 6. m1cw"t = m2cp + m2cw(t2 - (t1 + "t))
m1cw(t1 - t3) = m2ct + m2cw(t3 - t2 )
m1cw"t = m2cp + m2cw(t2 - t1 - "t)
t3 - t2 = t3
m1cw"t = m2cp + m2cwt2 - m2cwt1 - m2cw"t
m1cwt1 - m1cwt3 = m2ct + m2cwt3
m1cw"t + m2cw"t = m2cp - m2cwt1 + m2cwt2
m1cwt1 - m2ct = m1cwt3 + m2cwt3
m2(cp + cw(t2 - t1))
m2ct = m1cwt1 - m1cwt3 - m2cwt3
"t = = 12,14°C
cw(m1 + m2 )
m1cwt1 - m1cwt3 ëÅ‚ m1 öÅ‚
Zad 11.
ìÅ‚ ÷Å‚
ct = - cwt3 = cw ìÅ‚ (t1 - t3)- t3 ÷Å‚ =
m2 m2
íÅ‚ Å‚Å‚ Energia pary wykorzystana do stopienia lodu to
energii skroplenia oraz energia wody o temp. 100°C:
J
= 3,35 Å"105
ml Å" ct = mp Å" cp + mp Å" cw Å" t
p
kg
mp(cp + cw Å" t )
Zad 7.
p
ml = = 7,99kg
p mv2
ct
= mc(t - t0 )+ mct
100% 2
Zad 12.
Jeżeli poparzymy się wrzątkiem wymieniona zostanie
pv2
= c Å" t + ct
energia pochodzÄ…ca z wysokiej temperatury wody.
200%
Jeżeli, zaś poparzymy się parą wodną oprócz energii
200%(c Å" t + ct )
v2 = pochodzÄ…cej z wysokiej temperatury wody
p
wymieniona zostanie energia skroplenia pary wodnej.
5.3. Przemiany gazu doskonałego
200%(c Å" t + ct ) m
v = = 425,3
Zad 1.
p s
iRT
Ekin1 =
m
2
kg Å" Å" m
J N Å" m
s2 = pV = nRT
v = Å"(t + 273,15)K = =
kg Å" K kg kg
pV
T1 =
m
nR
kg Å" Å" m
s2 = m2 = m
2 Å" pV
T2 = = 2 Å"T1
kg s2 s
nR
Zad 8.
iR Å" 2T
Ekin2 = = 2 Å" Ekin1
mw Å" cw Å"t1 = ml Å" ct
2
mw ct Zad 2.
= H" 4
pV = nRT
ml cw Å"t1
nRT RT K N
Zad 9.
p = = = 5 Å"104 Å" R = 4,15 Å"105
m1cw(t3 - t1) = m2cp + m2cw(t2 - t3) V V m3 m2
Zad 3.
m1cwt3 - m1cwt1 = m2cp + m2cwt2 - m2cwt3
Korzystając z równania Clapeyrona należy pamiętać,
m2cp = m1cwt3 + m2cwt3 - m2cwt2 - m1cwt1
aby temperaturÄ™ w °C zamienić na temperaturÄ™ w
skali Kelvina w poniższych równaniach T rozumiemy
m1 J
cp = cw(t3 - t1)+ cw(t3 - t2 ) = 2,26 Å"106
jako t + 273,15K
m2 kg
pV = nRT
nRT1
Zad 10.
V1 =
p
nRT2 nRT1 T2 T2
V2 = = Å" = V1 Å"
p p T1 T1
T2 ëÅ‚ öÅ‚
T2
ìÅ‚
"V = V1 -V1 Å" = V1ìÅ‚1- ÷Å‚
= 0,21dm3
T1 íÅ‚ T1 ÷Å‚
Å‚Å‚
Zad 4.
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
32
pV = nRT pV = nRT
pV nRT0
n = V1 =
RT p
pV
nRT1
x = n Å" NA = Å" NA =1,92Å"1022 czÄ…steczek
V2 = 2V1 =
RT
p
Zad 5.
nRT0 nRT1
pV = nRT
2Å" =
p p
nRT
p =
T1 = 2 Å"T0 = 600K
V
t1 = T1 - 273,15 H" 327°C
m
n =
Zad 9.
µ
pV = nRT
m
nHe =
nRT
µ1 V =
p
µ2 = 10Å" µ1
m
n =
m m 1
nAr = = = nHe
µ
µ2 10Å" µ1 10
mRT
V = = 4,155 Å"10-2 m3
nHeRT
pHe =
µ Å" p
V
Zad 10.
nHeRT
nRT
pAr =
V =
10 Å"V
p
nHeRT
n i R są stałe zatem szukamy punktu dla którego
pHe V
iloraz T/p będzie największy tzn. największa
= = 10
pAr nHeRT
temperatura przy najmniejszym ciśnieniu. Punkt A
10 Å"V możemy od razu odrzucić, w dość nieznacznym
Zad 6. przybliżeniu możemy przyjąć, że pC = 2·pD , pB = 3·pD,
pV = nRT
zatem aby ilorazy T/p dla C lub B były większe od
ilorazu T/p dla D temperatura TC musi być większa od
nRT
V1 =
2TD lub TB musi być większa 3TD, co jak widzimy nie
p
zachodzi, zatem największy iloraz T/p jest w punkcie
nR Å" 2T 2
D, co oznacza, że punktowi D odpowiada największa
V2 = = V1
5 p 5 objętość gazu.
Zad 11.
Zad 7.
nRT
pV = nRT
V =
p
nRT0
V1 =
n i R są stałe
p
T1
nRT1 T1
V2 = = V1
V1 p1 ctg30°
p T0
= = = 3
V2 T2 ctg60°
x
V1 + V1 = V2
p2
100%
Zad 12.
x
V1 = V2 -V1 a)
100%
pV = nRT
100% Å"(V2 -V1) ëÅ‚ öÅ‚
V2
m
ìÅ‚ ÷Å‚
x = = 100%ìÅ‚ -1÷Å‚ =
n =
V1 V1
íÅ‚ Å‚Å‚
µ
T1
ëÅ‚ öÅ‚
m
V1
ìÅ‚ ÷Å‚
pV = RT
T0 ëÅ‚ öÅ‚
T1
µ
ìÅ‚ ÷Å‚
= 100%ìÅ‚ -1÷Å‚ = 100%ìÅ‚ -1÷Å‚ = 11,3%
ìÅ‚
V1 ÷Å‚ T0 V i R sÄ… staÅ‚e
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
m RT
íÅ‚ Å‚Å‚
p =
µ V
Zad 8.
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
33
wykresem będzie prosta, gdzie współczynnikiem , a  b = 0,
kierunkowym jest zwiększenie masy spowoduje zwiększenie wartości
m R współczynnika kierunkowego
Å" > 0
µ V
V
, a  b = 0, II
zwiększenie masy spowoduje zwiększenie wartości
I
współczynnika kierunkowego
p
T
II
Zad 13.
I
pV = nRT
201
p Å" V = nR(T + "T )
T
200
b)
201 V
T + "T = p Å" Å"
pV = nRT
200 nR
m
201 pV
n =
T = Å" - "T
µ
200 nR
m
pV
pV = RT
= T
µ
nR
T i R są stałe
201
T = Å"T - "T
m RT
200
p =
µ V
1
T = "T
wykresem będzie hiperbola (postać hiperboli:
200
a
T = 200 Å" "T = 400K
y = + b
x
Zad 14.
, gdzie współczynnikiem  a jest
m
pV = nRT = RT
m
µ
RT > 0
µ
m RT
p =
, a  b = 0,
µ V
zwiększenie masy spowoduje zmniejszenie
wykresem jest hiperbola, gdzie współczynnikiem  a
 wklęsłości hiperboli
jest
m
V
RT > 0
µ
, a  b = 0,
II
im większa masa molowa tym większa wklęsłość
I
hiperboli (współczynnik  a jest mniejszy), zatem gaz
p pierwszy ma większą masę molową.
c) Zad 15.
pV = nRT pV = nRT
m nRT 2RT
n = p = = = 2,44 Å"106 Pa
µ V V
Zad 16.
m
pV = RT
pV = nRT
µ
RT
p i R są stałe
V = = 0,0224m3
p
m RT
V =
Zad 17.
µ p
wykresem będzie prosta, gdzie współczynnikiem
kierunkowym jest
m R
Å" > 0
µ p
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
34
pV = nRT
p
2
pV
n =
RT
pV1 pV2
=
RT1 RT2
3
1
V1 V2
=
T
T1 (T1 + "T )
Zad 22.
V1T1 + V1"T = T1V2
pV = nRT
V1"T = T1V2 -V1T1
m
pV = RT
T1V2 ëÅ‚ öÅ‚
V2 µ
ìÅ‚ ÷Å‚
"T = - T1 = T1ìÅ‚ -1÷Å‚
V1 V1
mRT kg g
íÅ‚ Å‚Å‚
µ = = 0,040 = 40
Zad 18. pV mol mol
pV = nRT
ta masa molowa odpowiada masie molowej argonu.
nRT m RT Zad 23.
V = = Å" = 76dm3
pV = nRT
p µ p
m
masę molową należy wyrazić w kg/mol.
pV = RT
Zad 19.
µ
m m µ Å" p 1kg kg
pVµ
Á = = = = 13,16
m =
m RT
V RT 0,076m3 m3
RT
Å"
µ p
pVµ
Zad 20.
m pµ
RT
Á = = =
Korzystam z prawa Daltona:
V V RT
ciśnienie wywierane przez mieszaninę gazów
wykresem jest hiperbola, gdzie współczynnikiem  a
doskonałych jest sumą ciśnień, jakie wywierałby
jest
każdy z gazów z osobna, gdyby zajmował taką samą
pµ
objętość jaką zajmuje mieszanina. > 0
R
p = pH + pHe
2
, a  b = 0,
pV = nRT
nRT mRT
Á
p = =
V µV
ëÅ‚ öÅ‚
mH RT mH mHe ÷Å‚
mHeRT RT
2 2
ìÅ‚
p = + = + =
ìÅ‚
µH V µHeV V µH µHe ÷Å‚
2 íÅ‚ 2 Å‚Å‚
T
= 3,1Å"105 Pa
5.4. Zasady termodynamiki
Zad 21.
Zad 1.
pV = nRT W = F Å" "l
V F
T = p Å"
p =
nR
S
1-2 izoterma, zatem temperatura jest stała, lecz
F = pS
zwiększa się ciśnienie
Wz = pS Å" "l = p"V
2-3 spada ciśnienie, zatem korzystając z powyższego
pV = nRT
wzoru maleje także temperatura
3-1 ciśnienie się nie zmienia, lecz rośnie objętość,
nRT1
V1 =
zatem korzystając z powyższego wzoru wzasta
p
temperatura
nR(T1 + "T )
V2 =
p
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
35
c)
ëÅ‚ nR(T1 + "T) nRT1 öÅ‚
Wz = pìÅ‚ - ÷Å‚ = nR(T1 + "T - T1) =
nRT
ìÅ‚ ÷Å‚
p p
V1 =
íÅ‚ Å‚Å‚
p1
= nR"T
nRT
praca wykonana przez gaz jest równa co do wartości
V2 =
bezwzględnej pracy zewnętrznej lecz ma przeciwny p2
znak
im większe V tym mniejsze p (wykresem będzie
Wg = -Wz = -nR"T = -415,5J
hiperbola), T jest stałe
Zad 2.
p
T1 - T2 (t1 + 273)+ (t2 + 273)
µc = = = 0,25
A
T1 (t1 + 273)
Zad 3.
W
3
T1 - T2 T1 - 5 T1 2
V
µc = = = = 0,4
T1 T1 5
Punkt A ma na każdym wykresie te same współrzędne,
Zad 4.
zatem widzimy, że największa praca została
Praca gazu jest równa polu pod wykresem p(V).
wykonana podczas przemiany izobarycznej (mniejsza
Rozpatrywanie liczbowo wartości pracy wiązałoby się
podczas przemiany izotermicznej, a najmniejsza
z koniecznością wprowadzenia rachunku całkowego.
podczas przemiany adiabatycznej)
a)
Zad 5.
nRT1
pV = nRT
V1 =
p1
pV
T =
nRT2
nR
V2 =
p2 energia wewnętrzna gazu wzrasta głównie na skutek
dostarczania ciepła
im większe V tym mniejsze p (wykresem będzie
odcinek AB można potraktować jako przemianę
hiperbola), także T zmaleje (w przemianie
izobaryczną, zatem pracę potrzebną do zwiększenia
adiabatycznej nie następuje wymiana temp. z
objętości wykonało dostarczone ciepło, wraz ze
otoczeniem, a rozprężanie powoduje obniżenie
wzrostem temperatury wzrosła także energia
temperatury gazu)
wewnętrzna
p
odcinek BC można potraktować jako przemianę
A izochoryczną, spadek ciśnienia wiąże się z
odprowadzeniem ciepła, zatem energia wewnętrzna
gazu spadła
W
odcinek CD można potraktować jako przemianę
izobaryczną, zmniejszenie objętości wiąże się z
V
odprowadzeniem ciepła zatem energia wewnętrzna
gazu spadła
b)
odcinek AD można potraktować jako przemianę
nRT1
izochoryczną, zatem pracę potrzebną do zwiększenia
V1 =
ciśnienia wykonało dostarczone ciepło, wraz ze
p
wzrostem temperatury wzrosła także energia
nRT2
V2 =
wewnętrzna
p
a)
zwiększenie objętości wiąże się ze wzrostem
AB i DA
temperatury przy stałym ciśnieniu
b)
praca ta jest równa polu wewnątrz cyklu
p
W = "pDA Å" "VAB = 2 Å"104 J
A
Zad 6.
"m=0 "U=0 Q=0 W=0 "T=0 "p=0
W
pV
= const
X
T
p
V
= const
X X
T
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
36
V
Q = cwm"T
= const
X X
T
Q = Cn"T
pV = const
X X X
º
cwm"T = Cn"T
pV = const
X X
pierwszy z wierszy oznacza stałość ilości gazu zatem
cwm = Cn
wszystkie czynniki mogą się zmieniać; drugi wiersz
m
to przemiana izochoryczna, trzeci wiersz to przemiana cw Å" = C
n
izobaryczna, czwarty wiersz to przemiana
m
izotermiczna, a piÄ…ty wiersz to przemiana
= µ
adiabatyczna.
n
Zad 7.
C = cw Å" µ
"T=0 "V=0 Q=0 W<0 W>0 Q>0 Q<0
Zad 10.
a X X X
C = cw Å" µ
b X X
J
c X X X
CCu = 25,4
mol Å" K
d X X
a  gaz pobiera ciepło przy czym jest to proces J
CPb = 26,9
izotermiczny, pobrane ciepło zamieniane jest na pracę
mol Å" K
gazu (energia wewnętrzna gazu maleje)
J
CAl = 24,8
b  przemiana adiabatyczna, gaz rozpręża się
mol Å" K
wykonujÄ…c pracÄ™
6.1. Pole elektrostatyczne
odcinki c, d są odwrotnością odcinków a, b
Zad 1.
c - gaz oddaje ciepło przy czym jest to proces
Na kulki działa taka sama, co do wartości, siła
izotermiczny
odpychania elektrostatycznego, jeżeli odchyliły się o
d  przemiana adiabatyczna, gaz spręża się
różne kąty oznacza to, że mają różne masy
Zad 8.
Qp = "Ew
Ä… ²
N1
iRT
N2
Ew = n Å"
Fe
Fe
2
gazowy hel występuje w postaci pojedynczych
Q2 Fw2
atomów zatem i = 3
Fw1 Q1
n  liczba moli
iRT 3
Ä… < ²
Ew = n Å" = nRT
2 2
m1 > m2
pV = nRT
Zad 2.
pV
T1 =
nR
Ä… Ä…
N
2 pV
l
l h N
T2 =
Fe
Fe
nR
a
3 3
Ä…
Ä…
"Ew = nRT2 - nRT1
Fw Q
2 2
Q Fw
3 2 pV pV 3 pV 3
öÅ‚
"Ew = nRëÅ‚ - ÷Å‚
= nR Å" = pV =
ìÅ‚
2 nR nR 2 nR 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1
= 3000J a
Fe a
2
Zad 9. = tgÄ… = =
Q h 2h
ciepło właściwe jest równe ciepłu molowemu
2
podzielonemu przez masÄ™ molowÄ…
1
ëÅ‚
aöÅ‚ + h2 = l2
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
1
h2 = l2 - a2
4
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
37
2
1 1 1
1
2 2 2 ëÅ‚q + xöÅ‚
h = l - a2 = (4l - a2) = 4l - a2
ìÅ‚ ÷Å‚
1
4 4 2 q1(q1 + x)
2
íÅ‚ Å‚Å‚
k < k
2 2
q2 q2 r r
Fe = k =
2
a2 a2 Å" 4Ä„µ0
1
ëÅ‚q
q1(q1 + x) < + xöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1
Q = mg
2
íÅ‚ Å‚Å‚
q2 1
2 2
q1 + q1x < q1 + q1x + x2
4
a2 Å" 4Ä„µ0 a
=
1
1
mg
2
0 < x2
2 Å" 4l - a2
4
2
co jest prawdziwe, gdyż x `" 0, zatem po zetknięciu
q2 a
=
siła oddziaływania zwiększy się.
mg Å" a2 Å" 4Ä„µ0 4l 2 - a2
Zad 5.
4a3 Å" mg Å"Ä„µ0 x
l-x
q2 =
2
4l - a2
q2(+)
q1(+) E1= E2
4a3 Å" mg Å"Ä„µ0 a Å" mg Å"Ä„µ0
q = = 2a
2 2
4l - a2 4l - a2
l
Zad 3.
E1 = E2
q2
q1 q2
F = k
2
k = k
r
2
x2 - x)
(l
1
k =
q1 x2
4Ä„µ0
=
2
q2 - x)
(l
q2
F = = 8,99 Å"109 N
2
x q1
4Ä„µ0 Å" r
=
l - x q2
C2 C2 C2 C2 1 J
F = = = = = = = N
F C C
C2 m m
q1 q1
Å" m2 Å" m Å" m
Å" m
x = Å" l - Å" x
J
m V J
J
q2 q2
C
q1 q1
Zad 4.
x + Å" x = Å" l
q2 q2
załóżmy, że
q2 > q1
ëÅ‚
q1 öÅ‚ q1
÷Å‚
xìÅ‚1+ = Å" l
q2 = q1 + x
ìÅ‚
q2 ÷Å‚ q2
íÅ‚ Å‚Å‚
po zetknięciu oba ładunki będą równe:
q1
1 1 1
Å" l
q = q1 + x Å" l Å" l
q2
3 l
2 3 3
x = = = Å" = = 7,3cm
q1q2
q1 1 1 3 3 +1
F = k
1+ 1+ 1+
r2
q2 3 3
q1(q1 + x)
F1 = k
r2
Zad 6.
2
q
1
ëÅ‚q + xöÅ‚
E = k
ìÅ‚ ÷Å‚ 2
1
r
2
íÅ‚ Å‚Å‚
F2 = k
2 2
2
r = ("x) + ("y) = 16 + 9 = 25m
r2
załóżmy, że druga siła jest większa
N
E = 7,2 Å"103
C
Zad 7.
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
38
F
Ew = E1 + E2 + E3 + E4
E =
q
q q q
Ew = 2 Å" 2k = 2 Å" 2k = 2 Å" 4k =
2
m
1
a2
kg ëÅ‚ öÅ‚
2
a2
N ìÅ‚
a÷Å‚
s2 kg Å" m
2
E = = = ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
C A Å" s A Å" s3
Zad 8.
q 1 2q
= 2 Å" 4 Å" =
Ew = E1 + E2
a2 4Ä„µ0 a2 Å"Ä„µ0
E1 = E2
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
q q q 1 2q
q
Ew = 2 Å" k = 8k = 8 Å" =
ìÅ‚- q ÷Å‚
2 2 2 2
V = 2 Å" k + 2 Å" k = 0
l l 4Ä„µ0 l Ä„µ0
1
ëÅ‚ öÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
l
ìÅ‚ ÷Å‚
a a
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ 2 Å‚Å‚ 2
V = V1 + V2
c)
q
ëÅ‚- q
öÅ‚
V = k + k = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
q2(-)
q1(+)
l l
íÅ‚ Å‚Å‚
Zad 9.
a)
E3 E2
q2(+)
q1(+)
E4 (+)
E1
E3
E4 q4(-)
q3(+)
E2 E1
(+)
Ew = E1 + E2 + E3 + E4 = 0
ëÅ‚ öÅ‚
q4(+)
ìÅ‚ ÷Å‚
q3(+)
q
ìÅ‚- q ÷Å‚
V = 2 Å" k + 2 Å" k = 0
Ew = E1 + E2 + E3 + E4 = 0 ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
a a
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ 2 Å‚Å‚ 2
q 2q 2q 1
V = 4Å" k = 4k = 4 Å" =
Zad 10.
a a 4Ä„µ
2
0
a
2
E1
Ew
2q
= Ä… Ä…
P(+) Ä…
a Å"Ä„µ
0
Ä…
E2
b)
a a
Ä…
Ä…
q(+) a q(-)
Ew q2(-)
q1(-)
Ä… = 60°
E1
q q
Ew = E1 = E2 = k =
E3 E2
a2 a2 Å" 4Ä„µ0
E4
Zad 11.
(+)
F q2 q2
Ep = = k =
r r r Å" 4Ä„µ0
q3(+)
q4(+)
q2
r = = 9mm
Ep Å" 4Ä„µ0
2 2 2
C C Å" m C Å" m J
r = = = Å" = m
F C
J Å" C C
J Å" J Å"
m V
Zad 12.
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
39
Q rQ r
ëÅ‚ öÅ‚
q Å" Q q Å" Q Q Q
C = = =
ìÅ‚ ÷Å‚
W = k - k = qìÅ‚k - k = q(V2 -V1) =
kQ
kQ k
r2 r1 íÅ‚ r2 r1 ÷Å‚
Å‚Å‚
r
= q"V
Zad 2.
W
s
"V = U = = 6000V
C = µ0
q
d
J
s = (l - b)a
U = = V
C
(l - b)a
C = µ0 = 1,77 Å"10-16 F
d
Zad 13.
Zad 3.
Masa ciała wzrośnie o masę przyjętych elektronów.
s
Jednak masa elektronu (= 1/1840 masy protonu) jest
C0 = µ0
d
tak mała, że możemy ją całkowicie zaniedbać (nawet
s
w przypadku jonów)
C = µ0µ
r
Zad 14.
d
q
s
n = = 6,2 Å"109
µ0µ
r
e C
d
= = µ
Zad 15.
C0 µ0 s r
q
d
V1 = k
r1
C = µrC0
64q
Zad 4.
V2 = k
s
r2
C0 = µ
0
d
4
V(objetosc) = Ä„r3
kuli
2s
3
C1 = µ
0
d
3 V
3
r =
C1
4 Ä„
= 2
C0
V(objetosc) = 64V(objetosc)
2 1
Zad 5.
3
r2 = 64r1 = 4r1
s
C0 = µ
0
64q q
d
V2 = k = 16 Å" k = 16V1
4r1 r1
2s
µ µ
0 r
Zad 16.
d
C1 = µ
q
1+ µ
r
V1 = k
r1
C1 2µ
r
=
3 V C0 1+ µ
r
3
r1 =
Zad 6.
4 Ä„
s
3 1 V 1
C0 = µ
3 3 0
r2 = Å" = Å" r1
d
4 10 Ä„ 10
s s
q q V1 V1
C1 = µ + µ µ
3
0 0 r
V2 = k = k = = = V1 Å" 10
d 2d
3
r2 3
1 1 1
Å" r1 3 3
C1 1+ µ
r
=
10 10
10
C0 2
6.2. Pojemność. Kondensator
Zad 7.
Zad 1.
a)
Q
C =
C1 = C + C = 2C
V
1 1 1 1 2 1 2 5
kQ
= + + = + + = C
V =
C0 C C1 C 2C 2C 2C 2
r
2
C0 = C
5
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
40
b)
C1
C1 = 3C
1 1 1 1 3 4
= + = + = C
C2 Q2
C2 3C C 3C 3C 3
3
U - const
C2 = C
4
C1 > C2
3 7
Q1 > Q2
C0 = C + C = C
4 4
Zad 9.
c)
Mamy 7 możliwości ustawień w ich wyniku
1 1 1 1 3
uzyskujemy pojemności:
= + + =
C1 C C C C
3 2 1 1
3µF,2µF, µF,1µF, µF, µF, µF .
C
C1 = 2 3 2 3
3
Zad 10.
1 1 1 2
= + =
C2 C C C
C1 C2
C
C2 =
2
UC2
U1 = = 80V
C C C 2C 3C 6C
C1 + C2
C0 = C1 + C2 + C = + + = + + =
3 2 1 6 6 6
UC1
U2 = = 20V
11
= C C1 + C2
6
Zad 11.
d)
1 1 1 1 3
= + + =
C1 C C C C
a)
C 4 1 1 1 2 5 7
C2 = + C = C = + = + =
3 3 C 5µF 2µF 10µF 10µF 10µF
4 C 5
10
C = C + = C
C = µF = 1,43µF
3 3 3
7
e)
b)
C1 = 2C
Q
C =
1 1 2 3
U
= + = C
C2 2C 2C 2 Q
U =
C
1 1 1 1 3
= + + =
10-3
C3 C C C C
U = = 700V
1,43Å"10-6
2C C 6
C0 = C + + = C = 2C
c)
3 3 3
Q 10-3
Zad 8.
U1 = = = 5 Å"102 = 500V
1)
C1 2 Å"10-6
C1 C2
Q 10-3
U = = = 2 Å"102 = 200V
2
C2 5 Å"10-6
U1 U2
Zad 12.
a)
Q
C1 =
C0 < C1
U
C1 = C0µr
Q - const
U = const
C1 > C2
U1 < U2
2)
Q1
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
41
Q Q0 e U Ue m
= Å"µ a = Å" = = 8,79 Å"1014
r
U U me d med s2
Q = Q0µ
r J m
Å"C kg Å" Å" m
Q  rośnie
V Å"C
C s2 = m
a = = =
QU
m Å" kg m Å" kg m Å" kg s2
E =
2
Zad 2.
E = E0µ
We = Ekin
r
E  rośnie
mpv2
b) Uqp =
2
Q - const
qp = e
Q Q
= Å"µ
2Ue
U U0 r
v2 =
mp
U0
U =
2Ue
µ
r
v =
U  maleje mp
QU
E =
2Ue m
2 p = mp Å" v = mp Å" = 2Uemp = 2,32 Å"10-22 kg
mp s
E0
E =
µ J
r
p = V Å" C Å" kg = Å" C Å" kg = N Å" m Å" kg =
E  maleje
C
Zad 13.
2
m kg m2 kg Å" m
a)
= kg Å" m Å" kg = =
s2 s2 s
Q = CU = (0,67 Å"10-6)Å"10 = 6,7 Å"10-6 =
Zad 3.
= 6,67µF
We = Ekin
b)
mev2
Q = CU = (1,87 Å"10-6)Å"10 = 18,7 Å"10-6 =
Ue =
2
= 18,7µF
mev2
c)
U = = 0,256V
2e
Q = CU = (1,33Å"10-6)Å"100 = 133,3Å"10-6 =
m2
= 133,3µF
kg Å"
s2 = J = V
Zad 14. U =
C C
Q C1U1 20 Å"10-6 Å"100
U = = = = 40V Zad 4.
Cc C1 + C2 20 Å"10-6 Å" 30 Å"10-6
W = E
e kin
Zad 15.
2
m v
2
e
CU (10 Å"10-6)Å"1202
Ue =
E = = = 0,072J
2
2 2
2
m v
6.3. Ruch Å‚adunku w polu elektrycznym
e - 2
U = = 2 ,84 Å" 10 V
Zad 1.
2 e
Fe = mea
U
E =
e = qe
d
Fe eE U = Ed
a = =
2
me me
m v
e
Ed =
U
2 e
E =
2
d
m v
V
E = = 5,68
2 e Å" d m
Zad 5.
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
42
mg = qE
mpv2
Ekin = = 8,36 Å"10-14 J
4
2
m = V Å" Á = Ä„r3 Å" Á
3
mpv2
Ue =
U
2
E =
d
mpv2
4 qU
U = = 5,2 Å"105V
Ä„r3 Å" Á Å" g =
2e
3 d
Zad 6.
4 Å"Ä„r3 Å" Á Å" g Å" d
q = = 4,8 Å"10-19 C
3Å"U
v0
v0
q 4,8 Å"10-19 C
n = = = 3
vy
e 1,6 Å"10-19 C
2
Zad 9.
m v
p 0
E =
l
1
2
2
2
mv
mv
y vx
0
E = +
2
2 2
v0
vy
2
mv
Ä…
y
" E =
kin
vx
2
vx = v0 Å" cosÄ…
vy = a Å" t
vy = v0 Å" sinÄ…
l
t =
Skorzystamy z zasady zachowania energii:
v0
Ekin1 = Ekin2 + We
F eE e U
a = = =
2
2 2
mvx mvy mvx
mp mp mp d
+ = + Uq
2 2 2
eU l
vy = Å" 2
mvy
mpd v0
= Uq
2 2
2 2
ëÅ‚
mp eU l öÅ‚
e2 Å"U Å" l
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ mv0 sin Ä…
"Ekin = Å" Å" = =
2 2
ìÅ‚ = Uq
2 mpd v0 ÷Å‚ 2 Å" mp Å" d Å" v0
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2Uq
= 1,105 Å"10-11 J
2
v0 =
2
msin2 Ä…
J
2
C
2 2 2
2
C V m2 J 2Uq 1 2Uq
C
Ekin = = = = J v0 = =
m2 N Å" m J msin2 Ä… sinÄ… m
kg Å" m2 Å"
1
s2
d = vyt
Zad 7.
2
Minimalną odległość uzyska proton, jeśli całą swoją
l
t =
energiÄ™ kinetycznÄ… zamieni na potencjalnÄ…
vx
Ep = Ekin
1 l 1 l l
d = vy = v0 Å" sinÄ… Å" = tgÄ…
qp 2qp
1
2 vx 2 v0 Å" cosÄ… 2
mpv2 = k
2 r
7.1. Prawo Ohma
qp = e
Zad 1.
1 2e2
q = I Å" t
mpv2 = k
2 r
q = 6 Å"10-3 Å" 40 = 0,24C
4e2 1 4e2 e2
Zad 2.
r = k = Å" = =
mpv2 4Ä„µ0 mpv2 Ä„µ0mpv2 Å‚adunek jest równy iloczynowi Å›redniego napiÄ™cia i
czasu, czyli polem pod wykresem I(t)
Zad 8.
a)
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
43
1 VI = VII
q = Å" 50 Å" 0,4 = 10C
2
2
VI = Ä„r Å" l1
b)
1
2
2
VII = Ä„r Å" l2
q = 3Å" Å"1 = 2C
4
3
1
2 2
Zad 3.
Ä„r Å" l1 = Ä„r Å" l2
4
U 15 Å"103
R = = = 5 Å"103 &!
l2 = 4l1
I 3
długość drutu wzrosła 4 razy, obliczamy opór:
(można podstawić również inne wartości odczytane z
l1
wykresu)
R1 = Á
Zad 4. SI
l
l2 4l1 l1
R = Á
R2 = Á = Á = 16Á = 16R1
S
SII 1 SI SI
l1
c
4
Á
2
R1 S1 Á a Å" b c b Å" c c
ëÅ‚ öÅ‚
R2
= = = Å" =
ìÅ‚ ÷Å‚
= 16
R2 Á l2 Á a a Å" b a a
íÅ‚ Å‚Å‚
R1
S2 b Å" c
opór zmaleje 16 razy.
Zad 5.
Zad 7.
P = UI
l l
R = Á = Á = 1,1&!
2
U S
1
ëÅ‚ öÅ‚
I =
Ä„ d
ìÅ‚ ÷Å‚
R
2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
U
Zad 8.
P =
jak wiemy każdy kondensator ma nieskończenie duży
R
opór (nie płynie przez niego prąd), zatem prąd
l l
R = Á = Á
płynący od B do A ominie bocznikiem kondensator
2
S Ä„r
C2 przez co na kondensatorze C2 nie będzie różnicy
2 2 2
U U Ä„r
potencjałów (woltomierz V2 wskaże 0V), zaś na
P = =
l
Ál
kondensatorze C1 różnica potencjałów będzie równa
Á
2
napięciu (układ zawiera właściwie tylko ten
Ä„r
2 2
kondensator) czyli V1 wskaże 30V.
U Ä„r
l = = 38,8m
Zad 9.
ÁP
U
2 2
Rc =
V m2 V m V Å" m Å" A Å" s V
I
l = = = = Å" C Å" m =
V J
&! Å" m Å"W J J
U
Å"
I =
A s
Rc
1
= Å" C Å" m = m Rc = Rw + R
C
U
Zad 6.
I = = 0,91A
Rw + R
zmniejszając średnicę 2 razy, promień zmniejszy się
wówczas także 2 razy, a pole
Zad 10.
2
jest to połączenie szeregowe zatem w każdym z
SI = Ä„r
fragmentów ustali siÄ™ takie samo napiÄ™cie (równe µ)
2
1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
2
U = µ = 6V
SII = Ä„ r = Ä„r = SI
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4 4
íÅ‚ Å‚Å‚
Q
C =
zmaleje 4 razy, jeżeli masa jest niezmieniona to
U
wówczas objętość jest także stała
Q = C Å"U = 6 Å"10-6 C
Zad 11.
przez środkowy przewód nie płynie prąd (gdyż
kondensator ma nieskończenie duży opór) zatem
przewody woltomierza możemy przesunąć do węzłów
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
44
i wynika z tego, że mierzone napięcie jest
U = µ - IRw = 0
2
równoważne z napięciem na oporniku R2
µ = IRw
Rc = Rw + R2
µ
I =
µ µ
I = = Rw
Rc Rw + R2
U
µ µR2
U = I Å" R2 = Å" R2 =
Rc Rw + R2
µ
Zad 12.
a)
Rc = Rw + Rz
µ µ
µ/Rw
I = = I
Rc Rw + Rz
Zad 13.
µ µRz
Rc1 = Rw + R1
U = I Å" Rz = Å" Rz =
Rc Rw + Rz
µ µ
I1 = =
wykresem jest hiperbola
Rc1 Rw + R1
µR1
U
U1 = I1R1 =
Rw + R1
Rc2 = Rw + R2
µ µ
I2 = =
Rc2 Rw + R2
µR2
U = I2R2 =
2
Rw
Rw + R2
b)
µR2 µR1
Rc = Rw + Rz "U = U -U1 = - =
2
Rw + R2 Rw + R1
µ µ
I = =
µR2(Rw + R1)- µR1(Rw + R2 )
Rc Rw + Rz = =
(Rw + R2 )(Rw + R1)
µ µRz
U = I Å" Rz = Å" Rz =
µR2Rw + µR2R1 - µR1Rw - µR1R2
Rc Rw + Rz = =
(Rw + R2 )(Rw + R1)
widzimy, że wraz ze wzrostem Rz, Rz /(Rz+Rw)1,
µR2Rw - µR1Rw µRw(R2 - R1)
zatem wykres bÄ™dzie zbliżaÅ‚ siÄ™ do granicy µ
= = =
(Rw + R2 )(Rw + R1) (Rw + R2 )(Rw + R1)
U
= 0.97A
µ
Zad 14.
skoro różnica potencjałów jest równa 0 oznacza to, że:
UR1 = UC1
Å„Å‚
òÅ‚
= UC
ółUR2 2
Rz
Q
Å„Å‚I Å" R1 =
ôÅ‚
C1
ôÅ‚
c)
òÅ‚
zgodnie z II prawem Kirchhoffa:
ôÅ‚I Å" R2 = Q
spadek napięcia na oporze wewnętrznym:
ôÅ‚
Cx
ół
U1 = IRw
Q
U = µ -U1 = µ - IRw
2
R1 C1 Cx
= =
miejsce zerowe
R2 Q C1
Cx
R1
Cx = C1 = 0,4µF
R2
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
45
7.2. Prawa Kirchhoffa ten układ jest równoznaczny z połączeniem
Zad 1. równoległym (prąd przepływa przez jeden opornik,
a) przy czym może to zrobić na trzy sposoby) zatem
1 1 1 1 1 1 1
= + = 2 Å" = = 3Å"
Rz R + R R + R 2R R Rc R
Rz = R R
Rc = = 1&!
3
Rc = Rz + R = 2R = 2&!
Zad 2.
b)
Rc = Rw + R
1 1 3
= 3Å" =
µ µ
Rz1 R R
I = = = 0,43A
Rc Rw + R
R
Rz1 =
µR
3
U = I Å" R = = 4,3V
Rw + R
1 1 2
= 2 Å" =
Zad 3.
Rz 2 R R
a)
R
Rz2 = 1 1 1 R2 + R1
= + =
2
Rz R1 R2 R1R2
R R 2R + 3R + 6R
Rc = Rz1 + Rz 2 + R = + + R = =
R1R2
3 2 6
Rz =
R2 + R1
11 11 2
= R = &! = 3 &!
R1R2 R1R2 + Rw(R2 + R1)
6 3 3
Rc = Rz + Rw = + Rw =
c) R2 + R1 R2 + R1
Rz1 = 3R
µ µ(R2 + R1)
I = =
Rz2 = 2R
Rc R1R2 + Rw(R2 + R1)
1 1 1 2
U1 = U2
= + =
Rz3,1 R R R
R1I1 = R2I2
Å„Å‚
òÅ‚
R
+ I2 = I
ółI1
Rz3,1 =
2
R1I1 = (I - I1)R2
R 3R
Rz3 = Rz3,1 + R = + R =
R1I1 = IR2 - I1R2
2 2
R1I1 + I1R2 = IR2
1 1 1 1 1 1 2
= + + = + + =
IR2 µ(R2 + R1) R2
Rc Rz1 Rz2 Rz3 3R 2R 3R
I1 = = =
(R1 + R2) R1R2 + Rw(R2 + R1) (R1 + R2)
2 + 3 + 4 9 3
= = =
µR2
6R 6R 2R
= = 1,6A
R1R2 + Rw(R2 + R1)
2 2
Rc = R = &!
b)
3 3
1 1 1 R2 + R1
d)
= + =
łatwo zauważyć, że w miejscu przyłączenia opornika
Rz R1 R2 R1R2
poprzecznego, na obu węzłach jest takie samo
R1R2
napięcie (równe napięcie w połączeniu równoległym Rz =
R2 + R1
spada o taką samą wartość na pierwszych opornikach,
które są jednakowe) zatem przez poprzeczny opornik R1R2 R1R2 + Rw(R2 + R1)
Rc = Rz + Rw = + Rw =
nie płynie prąd
R2 + R1 R2 + R1
Rz1 = 2R
µ µ(R2 + R1)
I = = = 0,64A
Rz 2 = 2R
Rc R1R2 + Rw(R2 + R1)
1 1 1 1 1 2 1
c)
= + = + = =
Rc Rz1 Rz2 2R 2R 2R R
Rc = R = 2&!
e)
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
46
1 3 U µR1 -U1µR2 = U2U1R1 -U1U R2
2 2
=
Rz R
µ(U2R1 -U1R2 ) = U2U1(R1 - R2 )
R
U U1(R1 - R2 )
2
Rz =
µ = = 12V
3
U R1 -U1R2
2
R
Zad 5.
Rc = Rz + Rw = + Rw
3 AD:
ten układ jest równoważny z:
1
I = Ic
3
µ µ 3µ
Ic = = =
Rc R + Rw R + 3Rw
Rz1 = 2R
3
1 3µ µ 1 1 1 3
I = Å" = = 0,44A = + =
3 R + 3Rw R + 3Rw Rz2 R 2R 2R
Zad 4.
2
Rz 2 = R
Rc1 = R1 + Rw
3
µ µ
5
I1 = =
Rc = Rz2 + R = R
Rc1 R1 + Rw
3
U 3U
µ
I = = = 0,6A
U1 = R1
Rc 5R
R1 + Rw
BC:
U1(R1 + Rw )
µ =
ten układ jest równoważny z:
R1
µR1 = U1R1 + U1Rw
µR1 -U1R1
Rw =
U1
Rz1 = 2R
Rc2 = R2 + Rw
1 1 1 3
= + =
µ µ
Rc R 2R 2R
I2 = =
Rc2 R2 + Rw
2
Rc = R
µ
3
U = R2
2
R2 + Rw U 3U
I = = = 1,5A
Rc 2R
U (R2 + Rw )
2
µ =
Zad 6.
R2
Obliczenia znacznie ułatwia podstawienie na
µR2 = U R2 + U Rw
2 2
początku wartości liczbowych, wzory są
µR2 -U R2
wyprowadzane dla dowolnych wartości
2
Rw =
a)
U
2
Rz1 = R1 + R2 + R3
U1(R1 + Rw ) U (R2 + Rw )
2
=
1 1 1 R1 + R2 + R3 + R4
R1 R2
= + =
Rc R4 R1 + R2 + R3 R4R1 + R4R2 + R4R3
U1R2R1 + U1R2Rw = U R1R2 + U2R1Rw
2
R4R1 + R4R2 + R4R3
U1R2Rw -U R1Rw = U R1R2 -U1R2R1
2 2 Rc =
R1 + R2 + R3 + R4
U R1R2 -U1R2R1 R1R2(U2 -U1)
2
Rw = = = 1&!
U U(R1 + R2 + R3 + R4)
U1R2 -U R1 U1R2 -U R1
I = =
2 2
Rc R4R1 + R4R2 + R4R3
µR1 -U1R1 µR2 -U R2
2
=
I1 Å" R4 = I2 Å"(R1 + R2 + R3)
Å„Å‚
U1 U
2
òÅ‚
+ I2 = I
ółI1
U µR1 -U U1R1 = U1µR2 -U1U R2
2 2 2
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
47
IR4 - I2R4 = I2R1 + I2R2 + I2R3 Rw Å" I1max = R2(I - I1max )
zak
IR4 = I2R1 + I2R2 + I2R3 + I2R4 Rw Å" I1max
R2 = = 0,5&!
I - I1max
U(R1 + R2 + R3 + R4 )R4
zak
I2 =
I1max  maksymalny zakres amperomierza
(R4R1 + R4R2 + R4R3)(R1 + R2 + R3 + R4 )
Izak  porzÄ…dany zakres pomiaru
UR4
I2 = = 5
Zad 9.
R4R1 + R4R2 + R4R3
a)
U3 = R3I2 = 50V
µ 6 Å"10-3V V
Ä… = = = 7,5 Å"10-4
b)
"t 8K K
1 1 1 R2 + R1
b)
= + =
Rz1 R1 R2 R1R2
µ = Ä…"t = 7,5 Å"10-4 Å" "t = 8,25 Å"10-3
R1R2
8,25 Å"10-3
Rz1 =
"t = = 11K
R2 + R1
7,5 Å"10-4
R1R2 R1R2 + R2R3 + R3R1 t = "t = 11°C
Rc = Rz1 + R3 = + R3 =
Zad 10.
R2 + R1 R2 + R1
a)
U U(R2 + R1)
I = =
µ = I(Rwc + Rz )
Rc R1R2 + R2R3 + R3R1
1 1 1 2
= + =
I1 Å" R1 = I2 Å" R2
Å„Å‚
Rwc Rw Rw Rw
òÅ‚I + I2 = I
ół 1
Rw
Rwc =
I1 Å" R1 = I Å" R2 - I1 Å" R2
2
I1(R1 + R2 ) = I Å" R2
Rw
ëÅ‚ öÅ‚
µ = I + Rz
ìÅ‚ ÷Å‚
I Å" R2 U(R2 + R1) R2
2
íÅ‚ Å‚Å‚
I1 = = Å" =
R1 + R2 R1R2 + R2R3 + R3R1 R1 + R2
µ 2µ
I = = = 0,67A
UR2
Rw
= = 5
+ Rz Rw + 2Rz
R1R2 + R2R3 + R3R1
2
b)
U1 = I1 Å" R1 = 25V
2µ = I(2Rw + Rz )
Zad 7.
2µ
przez kondensator nie płynie prąd zatem woltomierz
I = = 1A
wskaże napięcie na oporniku R2 (do obliczeń
2Rw + Rz
pomijamy cały fragment z kondensatorem, gdyż nie
Zad 11.
płynie tamtędy prąd)
w obliczeniach rozpatrzymy fragment drutu o
Rc = R2 + R3
długości x
jego masa:
µ µ
I = =
2
m = Vł = Ąr xł
Rc R2 + R3
przyjmujemy, że jednemu atomowi miedzi przypada
µR2
U = I Å" R2 = = 5,56V
jeden elektron, liczba elektronów
R2 + R3
2
m Ąr xł
Zad 8.
n = N = N
A
stosujemy tzw. układ bocznikowy:
µ µCu A
Cu
R
Å‚adunek:
2
Ąr xł
q = ne = N Å" e
A
µCu A
Rw Å" I1 = R2 Å" I2
wyliczamy natężenie prądu
2
I1 + I2 = I
q Ąr xł
I = = N Å" e
A
Rw Å" I1max = R2 Å" I2
t µCu Å" t
I1max + I2 = Izak = 0,5A
łatwo zauważyć, że x/t = v, zatem
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
48
2
"T = 100°C -12°C = 88°C = 88K
Ä„r Å‚
I = N Å" e Å" v
W1· = W2
µCu A
opór drutu P Å"Ä Å"· = mc"T
U U Å" µCu
mc"T
R = =
· = = 0,82
2
I Ä„r Å‚N Å" e Å" v
A P Å"Ä
Zad 4.
l l
R = Á = Á
2
W = 3600s Å"1000W = 3,6 Å"106 J
S Ä„r
Zad 5.
U Å" µCu l
= Á
W = P Å" t
2 2
Ä„r Å‚N Å" e Å" v Ä„r
A
W = mgh
U Å" µCu m
v = = 4,28 Å"10-2
P Å" t = mgh
Å‚N Å" e Å" Á Å" l s
A
P Å" t
V Å" kg V Å" m AÅ" &! Å" m A Å" m m h = H" 367m
v = = = = =
mg
kg
C Å" &! C Å" &! A Å" s s
Å" C Å" &! Å" m Å" m
Zad 6.
m3
aby to rozstrzygnąć porównamy moce obu układów
7.3. Praca i moc prÄ…du
oczywiście im większa moc tym grzałki szybciej
Zad 1.
zagrzejÄ… wodÄ™
Rc = R1 + R2 + Rw
a) szeregowo
µ µ
Rc = 2R
I = =
Rc R1 + R2 + Rw
P = UI
P = UI
U
I =
U = R Å" I
R
2
2
U U
P = R Å" I
Ps = U =
2
Rc 2R
R1µ
2
P1 = R1 Å" I = = 0,843W
2
b) równolegle
(R1 + R2 + Rw )
1 2
Zad 2. =
Rc R
P = UI
R
P1
Rc =
I = = 0,454A
2
U1
P = UI
a)
U
P = UI
I =
R
U
R =
2 2
U U 2U
I
Pr = U = =
U Rc R R
I =
2
R
Pr > Ps
U12
P1 =
jak widzimy lepiej połączyć grzałki równolegle
R
Zad 7.
U12
praca potrzebna do zagrzania wody jedną grzałką:
R = = 484&!
P1
2
U
W = Å"t0
b)
R
2
1
ëÅ‚ öÅ‚
korzystajÄ…c z zadania nr 6:
U1 1 U12
ìÅ‚ ÷Å‚
2
a) szeregowo
U 1
2
íÅ‚ Å‚Å‚
2 4
P2 = = = = P1
R R R 4
Zad 3.
W1 = P Å"Ä
W2 = mc"T
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
49
2
msoli
U
n = H" 0,589mola
Ps =
µsoli
2R
2 2
U U q = n Å" F = 0,589 Å" 96500C H" 56756C
Å" ts = Å"t0
2R R
q
I = = 3,94A
ts
t[s]
= t0
2
Zad 2.
ts = 2t0 = 600s
q = 2F = 2 Å" N Å" e = 193000C
A
b) równolegle Zad 3.
2
mAg = V Å" Á = S Å" d Å" Á
2U
Pr =
R
mAg
q = Å" F Å" w
2 2
2U U
µ
Ag
Å" tr = Å" t0
R R
q
I =
2 Å" tr = t0
t
t0
mAg Å" F Å" w
S Å" d Å" Á Å" F Å" w
tr = = 150s
t = = = 4695s
2
µAg Å" I µ Å" I
Ag
Zad 8.
w  wartościowość (dla srebra w = 1)
Rc = R1 + R2 + R3
Zad 4.
U U
obliczam średnie natężenie prądu
I = =
Rc R1 + R2 + R3
I - I I
p p p
Iśr = =
2
U R1
2 2
2
P = I R1 = = 40W
2
q = IÅ›r Å" t
(R1 + R2 + R3)
mCu
Zad 9.
q = Å" F Å" w
2
U
µCu
mct = t
R w  wartościowość (dla miedzi w = 2)
mCu
R Å" mct
IÅ›r Å" t = Å" F Å" w
t = = 1384,2s
2
µCu
U
Zad 10.
I Å" t Å" µCu
p
mCu = = 0,494g
liczymy opór przewodnika
2 Å" F Å" w
l l
R = Á = Á Zad 5.
2
S Ä„r
mCu
q = Å" F Å" wCu
W = UI Å" t
µCu
t = 1s
mAg
U = IR
q = Å" F Å" wAg
µ
Ag
l
2 2
W = I R = I Á = 701J
2
mAg
mCu
Ä„r
Å" F Å" wCu = Å" F Å" wAg
7.4. Elektrochemia
µCu µ
Ag
Zad 1.
mCu Å" µ Å" wCu
Ag
(treść zadania powinna brzmieć: Oblicz, jaka masa
mAg = = 33,95g
µCu Å" wAg
srebra wydzieli siÄ™ podczas elektrolizy wodnego
roztworu zawierajÄ…cego 100g azotanu srebra)
Zad 6.
msoli
q = I Å" t
mAg = Å" µAg
µsoli
mCu
q = Å" F Å" w
g
µCu
µsoli = µAg + µN + 3µO =169,87
mol
mCu
I Å" t = Å" F Å" w
msoli
µCu
mAg = Å" µAg = 63,5g
µAg + µN + 3µO
mCu Å" F Å" w
t = = 12062s
µCu Å" I
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
50
Zad 7. W czasie rozładowywania akumulatora przebiega
równoważnik elektrochemiczny jest równy masie reakcja:
2- +
substancji, jaka wydziela siÄ™ na elektrodzie na skutek
PbO2 + SO4 + 4H + 2e- PbSO4 + 2H O
2
przepływu przez elektrolit jednostkowego ładunku
mPbO
2
elektrycznego q = Å" w Å" F
µPbO
k Å" w 2
F =
q = Q Å" 3600s
µCu
w = 2
µCu g
k = = 3,3Å"10-4
mPbO
wCu Å" F C
2
q = Å" 2 Å" F
Zad 8.
µPbO
2
mPbSO
4
q Å" µPbO
q = Å" w Å" F
2
mPbO =
µPbSO
2
4
2 Å" F
q = (60 - 30)Å"1A Å" 3600s = 108000C
q = 60 Å"1A Å" 3600s = 216000C
µPbSO = µPb + µS + 4 Å" µO
µPbO = µPb + 2µO
4
2
q Å" µPbSO
mPbO = 267,7g
4
2
mPb = = 169,78g
w Å" F
8.1. Pole magnetyczne
Zad 9. W zadaniach 1-3 korzystamy z reguły lewej dłoni (lub
F = N Å" e reguÅ‚y trzech palców)
A
Zad 1.
Zad 10.
a) w lewo
q = nH Å" F Å" w
2
b) w dół
q = I Å" t
c) w górę
I Å" t = nH Å" F Å" w d)w prawo
2
Zad 2.
I Å" t
nH =
2
"
proton
F Å" w
w tym przypadku w = 2, ponieważ wodór występuje
elektron
w postaci dwuatomowych czÄ…steczek, zachodzi
Zad 3.
reakcja
Zatacza koła w górę (w obu przypadkach)
+
2H + 2e- H
2
Zad 4.
pV = nRT
mv2
= Bqv
nRT0 It RT0
r
V = = Å" = 0,418dm3
p0 2F p0
mv = Bqr
Zad 11.
Bqr
v =
mH O
2
m
I Å" t = Å" F Å" w
2 2
µH O
2 mv2 m B2q2r B2q2r
Ek = = Å" =
2 Å" mH O Å" F
2 2 m2 2m
2
t = = 21444s
µH O Å" I Ek = 3Å"10-17 J = 190eV
2
Zad 5.
w tym przypadku w = 2, ponieważ, zakładając,
występowanie wody w formie jonowej należy dwóm mv2
= Bqv
jonom H+ dostarczyć 2 e-, a od tlenu odebrać 2 e-.
r
Zad 12.
v = 2Ä„rf
W roztworze tym nastÄ…pi elektroliza wody
m2Ä„rf = Bqr
"mH O
2
I Å" t = Å" F Å" w
Bq
µH O
f =
2
2Ä„m
I Å" t Å" µH O
Zad 6.
2
"mH O = = 3,35g
2
2F
mv2
= Bqv
Zad 13.
r
mv = Bqr
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
51
mv
2
r =
vx = sin 45o Å" v = v
Bq
2
mv2
2
E =
m Å" v
2
2
r = = 1,84 Å"10-3 m
2E Bq
V =
m
d = 2Ä„r Å" ctgÄ… = 11,6 Å"10-3 m
2E Zad 11.
m
Fe = Fm
2E Å" m
m
r = = = 9,13Å"10-2
Bq Bq qE = Bqv
Zad 7.
E m
v = = 500
patrz zadanie 6
B s
2E Å" m
Zad 12.
r =
a)
Bq
Bw = 0
2E Å" mp
rp = b)
Bqp
µ0l 2µ0l
Bw = 2 Å" = = 8 Å"10-6T
a
2e Å" 4mp Ä„ Å" a
2Ä„ Å"
rÄ… = = rp
2
B Å" 2qp
c)
Zad 8.
Bw = 0
E = qU
Zad 13.
patrz zadanie 7
Fr
2qUm
r =
Ä…
Bq
Fem Fz
2qUm
B =
qr
Ä…
2qUmp 2Ump
Fr
Bp = =
cosÄ… =
2 2
q2r qr
Fem
Fr = Fem Å" cosÄ…
2U * 2mp
Bd = = 2Bp
2
Fr = Fz
qr
BI Å" l Å" cosÄ… = mg Å" sin Ä…
Zad 9.
patrz zadanie 8.
BI Å" l Å" cosÄ… = Ä„r2lÁg Å" sin Ä…
2Um
Ä„r2Ág
B = = 1,615 Å"10-2T
2
I = tgÄ… Å"
qr
B
Zad 10.
Prąd płynie do nas
I = 0,63A
mvx 2
Bqvx =
Zad 14.
r
mvx
r =
F
Bq
B
I
Q
Ä…
B
BIl = mg = Ä„r2 lg Á
v
Ä„r2gÁ
I = = 1,32A
Ä…
B
Ä…
vx
Ä… = 45o
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
52
Zad15. praca jest mnożona przez 2 ponieważ w polu
magnetycznym znajdujÄ… siÄ™ dwa fragmenty ramki
równoległe do linii pola (każdy o długości a)
Ä…(B × v)
F1
Ä… = É Å" t
F = 2Bqv
2Bqv Å" a Å" sin(É Å" t)
F2
E = = 2Bva Å" sin(É Å" t)
q
B
1
v = É Å" a
2
F1 = F2 = BIa 2Ä„
É =
T
a
M1 = M2 = F1
1
2
E = 2B Å" aëÅ‚É Å" aöÅ‚ Å" sin(É Å" t) =
ìÅ‚ ÷Å‚
2
M = 2M1 = BIa2 íÅ‚ Å‚Å‚
w
Zad 16. 2Ä„ 1
= 2B Å" aëÅ‚ Å" aöÅ‚ Å" sin(É Å" t) =
ìÅ‚ ÷Å‚
Cu jest katodą, gdyż zachodzi redukcja:
T 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2+
Cu + 2e- Cu0
Ä„
= 2B Å" a2 Å" Å" sin(É Å" t)
Zn jest anodą, gdyż zachodzi utlenianie:
T
Zn Zn2+ + 2e- ,
Zad 3.
czyli elektrony płyną od cynku do miedzi, zatem
na elektrony w ramce działają następujące siły
kierunek prÄ…du: od miedzi do cynku
B
N
F
S
v
F
F
Cu(+) Zn(-)
F
(określanie biegunów w zwojnicy: patrząc na
siły F działające na elektrony w danych bokach ramki,
zwojnicę tak, aby kierunek prądu zgodny był z
jak widzimy ich układ nie powoduje przepływu
ruchem wskazówek zegara biegun północny znajduje
(obiegu) elektronów, a zatem nie wytworzył się prąd
się na dalszym końcu zwojnicy)
E = 0
S jest przed płaszczyzną pętli, a N za płaszczyzną,
Zad 4.
bieguny przeciwne się przyciągają więc układ będzie
SEM powstanie, jeżeli siły zaznaczone na rysunku w
się przyciągał
poprzednim zadaniu będą powodować obieg
8.2. Indukcja elektromagnetyczna
elektronów sytuacja taka będzie tylko wtedy, jeżeli w
Zad 1.
polu magnetycznym znajdzie siÄ™ tylko lewy lub tylko
W
prawy bok ramki (nie będzie wtedy siły na drugim
E =
q pionowym boku ramki hamującej obieg elektronów) ,
wówczas
W = F Å" l
E = Bva
F = Bqv
ponieważ siły pochodzące od poziomych fragmentów
Bqv Å" l
ramki będą się równoważyć.
E = = Bvl = 40V
q "Åš(B), gdzie "Åš(B) to zmiana strumienia
( E = -
2
"t
m N Å" s m N Å" m J
E = T m = Å" = = = V
indukcji magnetycznej)
s C Å" m s C C
wchodząc w pole magnetycznej SEM będzie ujemny
Zad 2.
ponieważ - "B jest mniejsza od 0, zaś wychodząc z
W
pola magnetycznego SEM będzie dodatni ponieważ
E =
q
- "B jest większa od 0
W = 2 Å" F Å" a Å" sinÄ…
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
53
ustawiony prostopadle do linii pole majÄ…c na uwadze
E
powyższe zastrzeżenia, zmieniając pole magnetyczne
Bva
t1 otaczajÄ…ce przewodnik (II prawo Maxwella)
Zad 7.
od strony pierścienia na końcu zwojnicy znajduje się
t
t2
biegun N (określanie biegunów w zwojnicy: patrząc
-Bva
t1
na zwojnicę tak, aby kierunek prądu zgodny był z
ruchem wskazówek zegara biegun północny znajduje
a
t1 =
się na dalszym końcu zwojnicy)
v
a) przesuwajÄ…c suwak w prawo zmniejszamy pole
d
magnetyczne indukowane przez zwojnnicÄ™, co jest
t2 =
v
równoznaczne z odsuwaniem magnesu sztabkowego,
Zad 5.
do pierścienia, zgodnie z regułą Lenza w pierścieniu
a)
od strony zwojnicy powstanie biegun N, zatem
pierścień odchyli się w prawo (bieguny jednoimienne
odpychajÄ… siÄ™)
b) przesuwając suwak w lewo zwiększamy pole
F1 l F2
magnetyczne indukowane przez zwojnnicÄ™, co jest
l v
równoznaczne z przysuwaniem magnesu sztabkowego,
B
do pierścienia, zgodnie z regułą Lenza w pierścieniu
siła F2 nie wpływa na ruch elektronów, zatem na ruch
od strony zwojnicy powstanie biegun S, zatem
elektronów wpływa tylko F1 więc
pierścień odchyli się w lewo (bieguny różnoimienne
Ea = Bvl
przyciÄ…gajÄ… siÄ™)
b)
Zad 8.
Korzystamy z reguły Lenza: prądy indukcyjne
v
 starają się przeciwstawić zmianom strumienia pola
F1 l
objętego przez przewód. W naszym przypadku
B
powstaje pole magnetyczne od przewodnika w taki
Eb = Bvl
sposób, aby  utrudnić ruch magnesu, zatem
c) a) na górze zwojnicy powstanie biegun północny
(określanie biegunów w zwojnicy: patrząc na
l F2
zwojnicę tak, aby kierunek prądu zgodny był z
ruchem wskazówek zegara biegun północny znajduje
v
się na dalszym końcu zwojnicy),
l
zatem w górnym przewodzie prąd popłynie w lewo
F1 B
b) na górze zwojnicy powstanie biegun północny,
siła powodująca ruch elektronów jest równa
zatem w górnym przewodzie prąd popłynie w lewo
F = cos45° Å" F1 = cos45° Å" F2
Zad 9.
ponieważ w polu umieszczone są dwa przewodniki
Zwojnica B ma po lewej stronie biegun S, w zwojnicy
A chcemy uzyskać po prawej stronie biegun S, należy
2
Fw = 2 Å" F1 Å" cos45° = 2 Å" F1 Å" = 2 Å" F1
zatem zwiększać natężenie prądu (co będzie
2
analogiczne do przysuwania magnesu sztabkowego)
Fw Å" l 2 Å" Bqv Å" l
, zatem suwak należy przesunąć w lewą stronę
Ec = = = 2Bvl
q q
Zad 10.
Magnes zbliżając się do zwojnicy i oddalając się od
Ea 1
=
indukuje prąd, prąd nie płynie jeśli magnes znajduje
Eb 1
siÄ™ wewnÄ…trz zwojnicy.
Ea 1
=
I
Ec
2
Zad 6.
SEM indukcji powstaje wówczas, jeżeli ładunek
t
poruszając się wykonuje pracę. Siła konieczna do
t1
wykonania tej pracy to siła Lorenza. Działające siły
muszą umożliwić obieg elektronów w obwodzie.
SEM indukcji powstaje np.: poruszając przewodnik t1  jest czasem przejścia przez zwojnicę
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
54
Zad 11. Zad 4.
F = BId liczymy średnie napięcie
2 Å"10-6
W = F Å" "l
IÅ›r = = 1µA
2
W = BId Å" "l = 2J
q = I Å" t = 1Å"10-12 C
N Å" s N Å" s Å" A Å" m
W = T Å" A Å" m2 = Å" AÅ" m2 = =
q
C Å" m A Å" s
n = = 6,25Å"106 elektronów
e
= N Å" m = J
Zad 5.
Zad 12.
U0
"I
= U
E = L sk
2
"t
"t Å" E
U0 = 2 Å"U = 311V
sk
L = = 0,5
"I
Zad 6.
na początku policzymy opór występujący w zakładzie
s Å"V
L = = H
przemysłowym
A
2
U
H  henr jednostka współczynnika indukcyjności oraz
P0 =
współczynnika indukcji wzajemnej
Rp
Zad 13.
2
U
"I
Rp =
E = L
P0
"t
teraz policzmy moc jaka jest w układzie zakład plus
"I = 4A
linia przesyłowa
"t = 8 Å"10-2
2 2 2
U U U Å" P0
P = = = H" 98039W
E = 500V
2 2
R + Rp U R Å" P0 + U
8.3. PrÄ…d przemienny R +
P0
Zad 1.
Wartością skuteczną zmieniającego się okresowo "P = P0 - P H" 2kW
natężenia prądu, SEM, napięcia nazywamy wartość
Zad 7.
średnią kwadratową natężenia prądu, SEM, napięcia
U = nU1 = 120V
w
w czasie równym jednemu okresowi jego zmian
P = U1I1
2 2
Å„Å‚
U12 U U
2 n
P
U = + + ...
ôÅ‚
sk
I1 = = 0,5A
t1 t2 tn
òÅ‚
U1
ôÅ‚T = t1 + t2 + ... + tn
ół
P
Iw = = 0,05A
, gdzie U1, U2,& , Un to część napięcia maksymalnego
n Å"U1
w okresie
Zad 8.
2 2
2 2 W przypadku obwodu z szeregowo podłączonymi:
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
U0 U0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
opornikiem, kondensatorem i cewkÄ… zawada ma
3 02 íÅ‚ Å‚Å‚ 2
3
íÅ‚ Å‚Å‚
Usk = + = = U0
postać:
2 1 2
3
2
1
ëÅ‚ÉL öÅ‚
3 3 3
Z = R2 + - ÷Å‚
ìÅ‚
Zad 2. ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
w przypadku braku któregoś z elementów pomijamy
1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
I0 I0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
odpowiedni fragment powyższego równania
2 4 1 1 5
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ 2 2
Isk = + = I0 + I0 = I0
1 1
2 8 8
2 2
Zad 3.
czas 10-3 s obejmuje 1,5 okresu
t 2
T = = t
1,5 3
1 3
f = = = 1500Hz
T 2 Å" t
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
55
1 U0
Zc =
R =
ÉC
I
É = 2Ä„f
U U
sk sk
Isk = = = 0,93A
2 2
1
R2 + (LÉ)
U0
ëÅ‚ öÅ‚
2
Zc =
+ (2Ä„fL)
ìÅ‚ ÷Å‚
2Ä„f Å" C
I
íÅ‚ Å‚Å‚
Zc1 = 3185&!
Zad 13.
Zc2 = 159,2&!
Rc = R1 + R2
1 1 V Å" s V Å" s V
U U
s s
Zc = = = = = = &!
I = = =
sk
1 C
Hz Å" F C A Å" s A
ZRLC 2 ëÅ‚ÉL 1 öÅ‚2
Å"
Rc + - ÷Å‚
ìÅ‚
s V
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
Zad 9.
U
w przypadku tego obwodu zawada ma następującą
s
= = 1,72A
2
postać
ëÅ‚ 1 öÅ‚
2
2
(R1 + R2 ) + ìÅ‚2Ä„fL - ÷Å‚
1 ìÅ‚ ÷Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
2Ä„fC
Z = R2 + íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
RC
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
fazÄ™ poczÄ…tkowÄ… obliczamy, ze wzoru
2
1
1
ëÅ‚ öÅ‚ 1
2
2Ä„fL -
Z = R2 +
ìÅ‚ ÷Å‚ ÉL -
RC
2Ä„fC
ÉC
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
tgĆ = = = 12,78
R R1 + R2
więc opór pojemnościowy kondensatora jest równy
1 1
2
Ć H" 85°32
Zc = =
ÉC 2Ä„fC
Moc czynną obwodu wyrażamy wzorem
2 P = Isk Å"U Å" cosĆ
s
1
ëÅ‚ öÅ‚
2
Zc = R2 +
ìÅ‚ ÷Å‚ - R2 = ZRC - R2
U
s
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
I =
sk
ZRLC
1
2
ZRC - R2 = 2 2
U U Å" cosĆ
s s
2Ä„fC
P = Å" cosĆ =
2
ZRLC
1
ëÅ‚ 1 öÅ‚
2
f = = 9193,7
(R1 + R2 ) + ìÅ‚2Ä„fL - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
2Ä„fC
2Ä„C ZRC - R2
íÅ‚ Å‚Å‚
w warunkach rezonansu
Zad 10.
w przypadku tego obwodu zawada ma następującą 1
É =
postać
LC
2
zatem
Z = R2 + (LÉ)
RL
U U
s s
Z = 6280&!
RL1 I = = =
sk
2
ZRLC
ëÅ‚ öÅ‚
Z = 31,4&!
RL2
ìÅ‚ ÷Å‚
1 1
Zad 11. 2
ìÅ‚ ÷Å‚
Rc + L -
ìÅ‚ ÷Å‚
U U 1
LC
I = = C
ìÅ‚ ÷Å‚
2
ZRC
LC
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1
R2 + ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
U U
2Ä„fC s s
íÅ‚ Å‚Å‚
= = =
2 2
U ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
L LC L L
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
Rc + - Rc + -
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
C
C C C
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1 íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
R2 + R2 +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2Ä„f1C 2Ä„f2C U U U
I1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ s s s
= = = = 20A
= = = 0,533
2
2
U
I2
Rc Rc R1 + R2
ëÅ‚ öÅ‚
1
2 ìÅ‚ ÷Å‚
R2 +
ìÅ‚ ÷Å‚ Zad 14.
ëÅ‚ öÅ‚
1
2Ä„f1C
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
R2 +
w warunkach rezonansu
ìÅ‚ ÷Å‚
2Ä„f2C
íÅ‚ Å‚Å‚
Zad 12.
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
56
1 T = 2s
É =
LC vmax = ÉA
1
2Ä„
2Ä„f =
É =
LC T
2Ä„ Å" A m
1
2 2
vmax = = 0,04Ä„
4Ä„ f =
T s
LC
2
1
2Ä„ m
ëÅ‚ öÅ‚
2 2
C = = 2,5 Å"10-9 F
amax = É A = Å" A = 0,04Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
4Ä„ f L
T s2
íÅ‚ Å‚Å‚
b)
1 s2 s Å" A C
C = = = = = F
2Ä„
öÅ‚
1 V Å" s
V V
x = AsinëÅ‚ t
ìÅ‚ ÷Å‚
Å" H
T
s2 A íÅ‚ Å‚Å‚
9.1. Ruch harmoniczny
2Ä„
öÅ‚
2a sin 3Ä„t = AsinëÅ‚ t
ìÅ‚ ÷Å‚
Zad 1.
T
íÅ‚ Å‚Å‚
1 2Ä„
öÅ‚
A = AsinëÅ‚ Å"t A = 2a
ìÅ‚ ÷Å‚
2 T
íÅ‚ Å‚Å‚
2Ä„
3Ä„t = t
T
1 2Ä„
öÅ‚
= sinëÅ‚ Å" t
ìÅ‚ ÷Å‚
2
2 T
íÅ‚ Å‚Å‚ T = s
3
sin Ä… jest równy 0,5 dla Ä… = 30°, czyli Ä„/6 radiana
vmax = ÉA
2Ä„ Ä„
Å" t =
2Ä„
T 6
É =
T
12t = T
2Ä„ Å" A 2Ä„ Å" 2a m
T
vmax = = = 6Ä„a
t = = 0,5s
2
T s
12
3
Zad 2.
2
2 2Ä„
öÅ‚ 2Ä„ m
ëÅ‚ öÅ‚
2 2
A = AsinëÅ‚ t
ìÅ‚ ÷Å‚ amax = É A = Å" A = 18aÄ„
ìÅ‚ ÷Å‚
2 T
T s2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Zad 5.
2 2Ä„
öÅ‚
= sinëÅ‚ t
ìÅ‚ ÷Å‚
podczas jednego okresu ciało przebywa drogę równą
2 T
íÅ‚ Å‚Å‚
czterem amplitudÄ…:
sin Ä… jest równy 2 / 2 dla Ä… = 45°, czyli Ä„/4 radiana
s 4A m
vśr = = = 0,08
2Ä„ Ä„
t T s
t =
T 4
Zad 6.
T = 8t
2Ä„
öÅ‚
x = AsinëÅ‚ t + Õ
ìÅ‚ ÷Å‚
T = 8s T
íÅ‚ Å‚Å‚
Zad 3.
A = AsinÕ
2Ä„
öÅ‚
sinÕ = 1
x = AsinëÅ‚ t = AÅ" sin(2Ä„ft) = 0,02 Å" sin(4 ft)
ìÅ‚ ÷Å‚
T
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„
Õ = 90° = rad
Zad 4.
2
a)
Zad 7.
2Ä„
öÅ‚
x = AsinëÅ‚ t
ìÅ‚ ÷Å‚ Ä„
öÅ‚
x = 0,2sinëÅ‚Ä„t - ÷Å‚
T ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
2Ä„
öÅ‚
wychylenie będzie maksymalne jeżeli:
0,04sinÄ„t = AsinëÅ‚ t
ìÅ‚ ÷Å‚
T
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„
öÅ‚
sinëÅ‚Ä„t - ÷Å‚
= 1
ìÅ‚
A = 0,04m
3
íÅ‚ Å‚Å‚
2Ä„
zatem
Ä„t = t
T
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
57
Ä„ Ä„
Ä„t - =
3 2
a
6Ä„t - 2Ä„ = 3Ä„
6Ä„t = 5Ä„
aw
g
5
t = s
6
Zad 8.
2 2
aw = a2 + g
1
T = = 0,004s
2
aw = a2 + g
f
2
3
l l l
tAB = T = 0,003s
4
T = 2Ä„ = 2Ä„ = 2Ä„
2
4
2
aw a2 + g
a2 + g
3
tAC = T = 0,006s
Zad 12.
2
sinÄ… = 0,125
Zad 9.
dla Ä… = 5° sin Ä… = 0,0875
Ä… 0 1° 2° 3° 4° 5°
0,125 > 0,0875
Ä… 0 0,0175 0,0349 0,0524 0,0698 0,0873
zatem kąt wychylenia tego wahadła jest zbyt duży,
sin Ä… 0 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872
tan ą 0 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 aby przyjąć, że drgania tego wahadła są drganiami
harmonicznymi
dla  kątów małych wartości: sin ą i tg ą są bardzo
Zad 13.
zbliżone do siebie i jednocześnie zbliżone do miary
kąta wyrażonej w radianach.
4 l l
Å" 2Ä„ = 2Ä„
Zad 10.
3 g g - a
l
TZ = 2Ä„
4 l l
g
=
3 g g - a
l 6l
TK = 2Ä„ = 2Ä„ = 6 Å"TZ H" 4,9s 16 l l
=
g
g
9 g g - a
6
16g -16a = 9g
Zad 11.
16a = 7g
ogólny wzór na okres drgań ma postać:
l 7
T = 2Ä„ a = g
g 16
Zad 14.
gdzie l  to długość wahadła, a g  przyspieszenie
w windzie spadajÄ…cej swobodnie panuje stan
pochodzące od sił działających na ciało w stanie
nieważkości, czyli a = g,zatem nie jest możliwy ruch
równowagi
harmoniczny, nie możemy więc mówić okresie drgań,
a)
gdyż we wzorze
a = 0
l
l
T = 2Ä„
T = 2Ä„
g - a
g
zakładamy, że a `" g
b)
Zad 15.
przyspieszenie ziemskie jest pomniejszone o
linię pionu obie kulki osiągną równocześnie, gdyż
przyspieszenie windy
okres nie jest zależny od wychylenia początkowego
l
T = 2Ą (dla  kątów małych )
g - a
1 1
T1 = T2
c)
4 4
przyspieszenie ziemskie jest powiększone o
Zad 16.
przyspieszenie windy
1
t1 = T = 0,5s
l
4
T = 2Ä„
g + a
1
t2 = T = 1s
d)
2
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
58
Zad 17. Zad 22.
2
obręcz zawieszoną na gwoz
dziu możemy potraktować
mÉ2 A 1 mÉ2
ëÅ‚ öÅ‚
Ep = = A2
ìÅ‚ ÷Å‚
jako wahadło fizyczne, okres drgania wahadła
2 3 9 2
íÅ‚ Å‚Å‚
fizycznego wyraża się wzorem
w przypadku wychylenia równego amplitudzie
I
energia całkowita wahadła jest równa energii
T = 2Ä„
mgd
potencjalnej (v = 0, więc Ek = 0), jak widzimy
, gdzie d jest odległością między przesuniętą osią podczas wychylenia x = A/3 energia potencjalna jest
obrotu i osią obrotu przechodzącą przez środek równa 1/9 energii całkowitej, zatem energia
ciężkości. kinetyczna: Ek = 8/9 energii całkowitej
1
Iobreczy = mR2
Ep 9 Ec 1
= =
mR2 2R
Ek 8 Ec 8
T = 2Ä„ = 2Ä„
1
g
9
mg Å" R
2
Zad 23.
Zad 18.
3
E
Itarczy = mR2
4
3
mR2
3R
4
T = 2Ä„ = 2Ä„
1
2g
mg Å" R
2
Zad 19.
Ręczny zegarek mechaniczny to zazwyczaj zegarek
balansowy, wykorzystuje on izochroniczne drgania
balansu; balans ma formę pierścienia, mogącego
obracać się dookoła osi wykonując ruch drgający pod
działaniem przymocowanej do osi sprężyny. Jego
działanie nie zależy od siły ciężkości, ani jej kierunku
t
(działa na przykład leżąc  do góry nogami , w
przeciwieństwie do np. mechanicznych zegarów
- Energia potencjalna
ściennych), zatem może on działać w stanie
- Energia kinetyczna
nieważkości.
Zad 20.
Zad 24.
2
mÉ
2
Ec = Ep + Ekin
Ep = A2 sin (Ét + Õ) =
2
mÉ2
2
Ec = A2
m(2Ä„f ) 2Ä„
öÅ‚
2
= A2 sin2 ëÅ‚ t = 3,94J
ìÅ‚ ÷Å‚
2 T
íÅ‚ Å‚Å‚
mÉ2
Ep = A2 sin2(Ét +Õ)
kg
2
Ep = Å" m2 = N Å" m = J
s2
x = Asin(Ét +Õ)
Zad 21.
x
mÉ2 sin(Ét +Õ)=
E1 = A2 sin2(Ét +Õ)
A
2
2
mÉ2 x
2
Ep = A2 Å"ëÅ‚ öÅ‚
mÉ2 A ìÅ‚ ÷Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
E2 = sin2(Ét +Õ)= 2 A
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ekin = Ec - Ep
mÉ2 A2
2
2 2
= sin2(Ét +Õ)
mÉ mÉ x
ëÅ‚ öÅ‚
2 4
Ekin = A2 - A2 Å" =
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 A
2
íÅ‚ Å‚Å‚
mÉ A
2
(Ét
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
E2 2 4 sin + Õ) 1
mÉ x
= =
= A2 ìÅ‚1- ëÅ‚ öÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
E1 mÉ 4
2 A
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
A2 sin (Ét + Õ)
2
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
59
9.2. Ruch falowy po przebyciu 7,5m w punkcie P wychylenie fali A jest
Zad 1. także równe 0 (pełna liczba okresów + połowa
długością fali nazywamy drogę jaką przebędzie fala w okresu), po przebyciu dodatkowego 1/4 metra będzie
czasie jednego okresu, odległości tej odpowiadają tam grzbiet fali (zgodnie ze wzorem n + 3/4 metrów,
pary punktów: w tym wypadku 7,75m) zatem fale te będą się
AE, CG, BF, DH wzmacniać
Zad 2. Zad 5.
l = v Å"T odlegÅ‚ość 5 cm odpowiada ź dÅ‚ugoÅ›ci caÅ‚ej fali, skoro
oba z
ródła drgają w zgodnych fazach różnica faz
l m
v = = 2
będzie równa ź długości fali (ogólnie równej 2Ą)
T s
"x 1 Ä„
Zad 3.
"Åš = 2Ä„ Å" = 2Ä„ Å" =
l 4 2
f = const
Zad 6.
v
podczas jednego obrotu wibrujÄ…ca tarcza powoduje
 = v Å"T =
f
powstanie fali o długości 2l
v 2l
f = v =
 T
v1 v2 1
T =
=
f
1 2
m
2 v2
v = 2lf = 4
= = 4,39
s
1 v1
Zad 7.
Zad 4.
największa prędkość będą miały cząsteczki wody przy
a)
bardzo małym wychyleniu od stanu równowagi
załóżmy, że wychylenie początkowe równa się 0 , a
"x0, kiedy cała energia fali skupia się w postaci
grzbiet fali znajdować się będzie w odległości n + 1/4
energii kinetycznej, dla fali sinusoidalnej (np.
metrów (n  ilość pełnych metrów) od punktu
dz
więkowej) przy "x0 możemy przyjąć, że ten
początkowego, zaś dolina fali znajdować się będzie w
fragment fali jest wycinkiem okręgu, zatem
odległości n + 3/4 metrów od punktu początkowego,
v = Ér
skoro długość fal jest równa 1m, zatem po przebyciu
2Ä„A
5m w punkcie P wychylenie fali B jest równe 0 (pełna
vcz = ÉA =
liczba okresów), a po przebyciu dodatkowego 1/4 T
metra będzie tam grzbiet fali (zgodnie ze wzorem n +

T =
1/4 metrów, w tym wypadku 5,25m),
v
f
po przebyciu 7,5m w punkcie P wychylenie fali A jest
2Ä„A Å" v
m
także równe 0 (pełna liczba okresów + połowa f
vcz = = 0,182
okresu), jednak po przebyciu dodatkowego 1/4 metra
 s
będzie tam dolina fali (zgodnie ze wzorem n + 3/4
9.3. Akustyka
metrów, w tym wypadku 7,75m), zatem fale te będą
Zad 1.
się wygaszać.
v
 = v Å"T =
b)
f
załóżmy, że wychylenie początkowe fali równa się 0,
v
a grzbiet fali znajdować się będzie w odległości n +
1 = = 16,5, m
f1
1/4 metrów (n  ilość pełnych metrów) od punktu
początkowego dla fali A i w odległości n + 3/4
v
2 = = 0,0165m
metrów (n  ilość pełnych metrów) od punktu
f2
początkowego dla fali B, gdyż fazy są przeciwne , zaś
Zad 2.
dolina fali A znajdować się będzie w odległości n +
czas potrzebny fali na dotarcie do przeszkody to t/2 (t
3/4 metrów od punktu początkowego, a fali B w
jest czasem drogi w dwie strony)
odległości n + 1/4 metrów od punktu początkowego,
1
skoro długość fal jest równa 1m, zatem po przebyciu
s = v Å" t = 2682m
2
5m w punkcie P wychylenie fali B jest równe 0 (pełna
Zad 3.
liczba okresów), a po przebyciu dodatkowego 1/4
metra będzie tam grzbiet fali (zgodnie ze wzorem n +
1/4 metrów, w tym wypadku 5,25m),
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
60
l = vt , gdzie n = 1,3,5,& ,2m+1 dla gazów w rurach
zamkniętych z jednej strony
l
t =
W naszym przypadku długość tego ośrodka wynosi
v
L = 2h (dwie długości rury, ze względu na zamknięty
l(vs - vp )
l l
jeden koniec)
"t = t - ts = - =
p
vp vs vs Å" vp zatem maksymalna dÅ‚ugość fali otrzymujemy dla
n = 1:
"t Å" vs Å" vp
s = 2L
l = = 176m
vs - vp
v v
f = = = 165Hz
Zad 4.
s 4h
v
 = v Å"T =
Zad 10.
f
dla fali akustycznej rozchodzącej się kuliście mamy
m
zależność
v = 330
2
s I Å" 4Ä„r = const
zatem
 = 6,6 Å"10-5 m
1
Zad 5.
I ~
r2
P
I0 =
1
S
I1 r12 r22
P = I0 Å" S
= = =16
I2 1 r12
należy pamiętać, aby zamienić cm2 na m2
r22
P = 10-12 Å" 5 Å"10-4 = 5 Å"10-16W
Zad 6.
Zad 11.
Jeżeli natężenie wzrasta o 1 rząd (10 razy) to wzrasta
2L
s =
o 1 bel (,czyli 10dB)
n
"I = log n = log1000 = 3B = 30dB
v
s =
I1 = I0 + "I = 70dB
f
Zad 7.
2L v
"I = 50dB = 5B
=
n f
I2
= 105
vn
I1
L =
2 f
Zad 8.
v  to prędkość fali dz
więkowej w powietrzu 330 m/s
f = const
v
v
L1 = = 0,25m
 = v Å"T =
2 f
f
2v v
v
L2 = = = 0,5m
f =
2 f f

3v
v1 v2
L3 = = 0,75m
=
2 f
p 2
itd.
v2 Å" p
Zad 12.
2 = = 4,69m
v1
2L
s = = 2L
Zad 9.
n
w rurze powstanie dz
więk na skutek powstania fali
v
s =
stojącej; fala taka musi mieć węzły co najmniej na
f
początku i końcu ośrodka sprężystego, zatem długość
v
fali:
= 2L
f
2L
s =
m
n
v = 2 fL = 3000
, gdzie n = 1,2,3,& dla strun, prętów oraz gazów w
s
rurach otwartych z obu stron
(jest to prędkość rozchodzenia w strunie i nie można
jej mylić z prędkością rozchodzenia w powietrzu)
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
61
Zad 13. v 4 v 4
f2 = = Å" = f1
2L
3
3 2L 3
s = = 2L
2 Å" L
n
4
Zad 17.
L = 2h
korzystamy z równania opisującego zjawisko
v
s =
Dopplera (zbliżając się do z
ródła słyszymy
f
częstotliwość fal wyższą od częstotliwości
v
wytwarzajÄ…cego je z
ródła)
= 4h
1
f
f1 = f0
v0
v
1-
h = = 0,0275m
v
4 f
vf  prędkość rozchodzenia się fali
v  to prędkość fali dz
więkowej w powietrzu 330 m/s
v  prędkość zbliżania się do z
ródła
Zad 14.
(jeżeli oddalamy się od z
ródła znak minus
s max = 2Lmax
zastępujemy plusem i wówczas oczywiście v staje się
Lmax = 2hmax
prędkością oddalania się od z
ródła)
v f1 = 1031,25Hz
s max =
(podana w odpowiedziach odpowiedz
jest
fmin
przybliżeniem, korzystającym z faktu, że (v0/v)2 jest
v
= 4hmax praktycznie równe 0, takiego przybliżenia nie można
fmin
dokonać dla dużych v0)
v Zad 18.
hmax = = 4,15m
określając częstotliwość korzystamy z równania
4 Å" fmin
opisującego zjawisko Dopplera, słysząc zbliżający się
s min = 2hmin
pociąg do naszych ust dociera częstotliwość wyższa
v
od f0, kiedy pociąg się oddala jest ona niższa, podczas
s min =
przejazdu obok nas częstotliwość słyszana jest równa
fmax
f0
v
= 2hmin
f
fmax
v
f0
hmin = = 0,00825m
2 Å" fmax
Zad 15.
rurę z wodą traktujemy jako rurę zamkniętą z jednej
strony
t
2L 4h
natężenie dz
więku jest odwrotnie proporcjonalne do
s = =
n n kwadratu odległości:
1
v
I ~
= 4h
r2
f
v
I
f = = 412,5Hz
4h
w rurach zamkniętych z jednej strony drugi rezonans
następuje dla n = 3 (następne dla n = 5, 7, 9, itd.)
4h2
4h1 =
3
t
h2 = 3h1 = 60m
Zad 16.
9.4. Fale elektromagnetyczne
s = 2L
Zad 1.
v
Układ LC rejestruje fale, które odpowiadają jego
s =
f
okresowi w którym powstaje rezonans,czyli:
v
f1 =
2L
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
62
1
s 1,5 Å"1011
É =
t = = = 500s = 8min 20s
LC
c 3Å"108
Zad 9.
c
 =
rok świetlny to odległość jaką przebędzie światło w
f
ciÄ…gu 1 roku
2Ä„
s = c Å" t = 3Å"105 Å" 3600 Å" 24 Å" 365 H" 9,46 Å"1012 km
É = = 2Ä„f
T
10.1. Optyka fizyczna
É 1
Zad 1.
f = =
2Ä„
2Ą LC aby obserwować interferencję fal promieniowanie w
każdej wiązce musi pochodzić od tych samych
c
 = = c Å" 2Ä„ LC = 1191,5m
atomów, gdyż tylko wtedy długości fal będą
1
identyczne, czego nie da się uzyskać mając dwa różne
2Ä„ LC
z
ródła
Zad 2.
Zad 2.
wypeÅ‚niajÄ…c kondensator dielektrykiem µr = 5
rozciągłe z
ródło światła wysyła fale świetlne dla
zwiększymy jego pojemność 5 razy, gdyż
których różnica faz drgań jest przypadkową funkcją
Sµ0µ
r
czasu, niespójność tych fal powoduje losowe padanie
C =
d na szczeliny, przez co zamazują się prążki (w
1 szczeliny wchodzą fale z przesuniętymi fazami)
f0 =
Zad 3.
2Ä„ LC
stałą (okresem) siatki dyfrakcyjnej nazywamy
1 f0
wielkość d = a + b, gdzie  a jest szerokością
f1 = = = 0,894Hz
2Ä„ L Å" 5 Å" C 5
nieprzezroczystego paska przesłony, a  b
Zad 3.
szerokością szczeliny
c c
w naszym wypadku na 1 milimetr przypada 100 rys, a
 = = = c Å" 2Ä„ LC
więc także 100 miejsc nieprzezroczystych
1
f
(a + b)Å"100 = 106 nm
2Ä„ LC
a + b = 104 nm
2
= LC
2
4Ä„ c2
d = 104 nm
Zad 4.
2
L = = 0,56µH
2 d sinÈ = n
4Ä„ c2 Å" C
gdzie n jest rzędem maksimum głównego, z
m2 s2 s2 V Å" s2 V Å" s2 V Å" s
L = = = = = = = H warunków zadania n = 1.
C
m2 F C A Å" s A
d sinÈ = 
Å" F
V
s2

d = = 2000nm
Zad 4.
sinÈ
c
 = c Å"T = = 4,29m
Zad 5.
f
(konsekwentnie z poprzednimi zadaniami oznaczmy
Zad 5.
stałą siatki przez d)
0,1Å"10-3 10-4 1
d sinÈ = n
n = = = Å"103 = 0,25 Å"103 = 250
400 Å"10-9 4 Å"10-7 4
n = 2
Zad 6.
d sinÈ = 2
c
d sinÈ
 =
 = = 587nm
f
2
c Zad 6.
f = = 4,29 Å"1014 Hz
kÄ…t È musi być mniejszy 90°, zatem sin È d" 1

d sinÈ = n
Zad 7.
np.
n
sinÈ =
fale długie, radiofonia, UKF i telewizja, mikrofale,
d
podczerwień, światło widzialne, nadfiolet, promienie
X miękkie, promienie X twarde, promienie gamma
Zad 8.
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
63
n sinÄ… sinÄ…
B B
d" 1 tgÄ… = = = n = 1,4
B
d cosÄ… sin ²B
B
d
Ä… = 54°28'
B
n d"

sinÄ…
B
n =
n d" 4,6
sin ²B
n " N
sinÄ…
B
sin ²B = = 0,581
n d" 4
n
maksymalny rzÄ…d widma wynosi 4.
2
²B = 35°30
Zad 7.
Jeżeli na siatkę dyfrakcyjną światło pada ukośnie to
10.2. Odbicie i załamanie światła
warunek dla maksimów głównych przybiera postać
d(sinÈ + sini) = n,
Zad 1.
gdzie i jest kątem padania światła na powierzchnię
siatki
500(a + b) = 106 nm
a + b = d
Ä… Ä…
106 nm
d = = 2000
500
d(sinÈ + sin i) = n
n
sinÈ + sin i =
d
n "Ä…
Ä…
sinÈ = - sin i = 0,176
"Ä…
d Ä…+ "Ä…
2
È = 10°06
Zad 8.
kąt pod jakim musi badać światło niespolaryzowane,
aby światło odbite było spolaryzowane nosi nazwę
promień zmieni kierunek o kąt równy 2"ą.
kÄ…ta Brewstera:
Zad 2.
sinÄ…B
korzystamy z równania soczewki (prawidłowego
tgÄ… = = n = 1,51
B
także dla zwierciadła kulistego)
cosÄ…
B
1 1 1
Ä… = 56°30'
= +
B
f x y
Zad 9.
f  ogniskowa
sinÄ…
B
n =
x  odległość przedmiotu od zwierciadła
sin ²B
y  odległość obrazu od zwierciadła
Ä„
1
²B = - Ä…
f = r
B
2
2
Ä„
öÅ‚ 1 1 1
sin ²B = sinëÅ‚ - Ä… ÷Å‚ = +
= cosÄ…
ìÅ‚
B B
1
2
íÅ‚ Å‚Å‚ x l
r
2
sinÄ…
B
n =
2 l + x
cosÄ…
B
=
r xl
sinÄ…
B
tgÄ… = = n = 1,33
2xl = rl + rx
B
cosÄ…
B
x(2l - r) = rl
Ä… = 53°06'
B
rl
jest to kąt pomiędzy promieniem słonecznym, a x = = 26,7
2l - r
normalnÄ…, zatem kÄ…t nad jakim znajduje siÄ™ nad
Zad 3.
horyzontem słońce jest równy
obraz n razy większy znajduje się w odległości n razy
Ä… = 90° - 53°06'= 36°54'
większej niż przedmiot od zwierciadła, zatem
Zad 10.
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
64
1 1 1 c
= + n =
f l nl v
c
1
v =
f = R
n
2
c m
2 n +1
vw = = 2,26 Å"108
=
n s
R nl
c m
2nl
vd = = 1,25 Å"108
R = = 0,2m
n s
n +1
Zad 8.
Zad 4.
v z indeksem to prędkość światła w odpowiednim
przejście promienia przez F powodu je powstanie
ośrodku.
wiązki równoległej do OF, zaś przejście promienia
vp
przez O powoduje ,że wiązka odbita pokrywa się z
ns =
wiÄ…zkÄ… padajÄ…cÄ… (Ä… = 0), zatem w naszym wypadku
vs
wiązka odbije się pod kątem pośrednim
vp
nw =
vw
F
vw
nsw =
O
vs
vp
vw =
Zad 5. nw
1 1 1
vp
= +
vs =
f x 2R
ns
1
vp
f = R
2
nw ns
2 2R + x
nsw = = = 1,13
=
vp nw
R 2xR
ns
4xR
= 2R + x
Zad 9.
R
c
4x = 2R + x
n =
vw
2
x = R
h = c Å"t
3
c h
obraz n razy większy znajduje się w odległości n razy
h2 = vw Å" t = Å" t = = 2,26
większej niż przedmiot od zwierciadła, zatem
n n
2R = nx
Zad 10., Zad 11.
korzystamy z wzoru Snelliusa:
2
2R = n R
sinÄ…
3
= n
sin ²
n = 3
Zad 6. , gdzie Ä… jest kÄ…tem padania, a ² kÄ…tem zaÅ‚amania,
załamanie światła przez gazy zmienia się wraz z (ponieważ promień przechodzi z powietrza do wody)
temperaturÄ…, gorÄ…cy mur podgrzewa otaczajÄ…ce go sinÄ… sin 60°
sin ² = = = 0,651
powietrze przez co obserwujemy różnice załamania
n n
światła przez powietrze w zależności od odległości od
² = 40°38'
muru, powoduje to, że widzimy obraz jakby falował.
Zad 7.
z definicji: współczynnik załamania światła to
wielkość n równa stosunkowi prędkości c fal
²
elektromagnetycznych w próżni do ich prędkości
Ä…
fazowej v w ośrodku
Zad 12.
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
65
sinÄ…
n =
sin ²
Ä…
Ä… = 90° - Õ
sinÄ… = sin(90° - Õ) = cosÕ
²
cosÕ
n =
sin ²
cosÕ
sinÄ…
sin ² =
n =
n
sin ²
x
(90° - Ä…)+ (90° - ² ) = 90°
sin ² =
y
Ä… + ² = 90°
2
y = d + x2
² = 90° - Ä…
cosÕ x
sin ² = sin(90° - Ä…) = cosÄ…
=
2
n
d + x2
sinÄ…
n = = tgÄ… = 1,54
cos2 Õ x2
cosÄ…
=
2
Ä… = 57°
n2 d + x2
2
Zad 13.
d cos2 Õ + x2 cos2 Õ = x2n2
2
x2n2 - x2 cos2 Õ = d cos2 Õ
² 2
Å‚
d cos2 Õ
x2 =
n2 - cos2 Õ
Ä…
2
d cos2 Õ d cosÕ
x = = = 0,811m
n2 - cos2 Õ
n2 - cos2 Õ
Zad 15.
sin ²
n = najmniej załamuje się światło czerwone, najbardziej
sinÄ…
światło fioletowe (przy pierwszym załamaniu kąt
sinÄ… = 30°
załamania jest większy od kąta padania, ponieważ
światło przechodzi z ośrodka, w którym prędkość
sin ² = nsinÄ… = 0,665
światła jest mniejsza do ośrodka gdzie ta prędkość jest
² = 41°41'
większa)
Å‚ = 90° - ² = 48°19'
Zad 14.
fioletowe żółte
Ä…
czerwone
Ć
światło
białe
²
y
d
x
Zad 16.
pryzmat ten jest trójkątem równobocznym
60°
´
Ä…
Å‚
²
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
66
sinÄ…
n = Ć
sin ²
sinÄ…
sin ² = = 0,541
Ä…
n ²
² = 32°46'
90° - ² + 90° - Å‚ + 60° = 180°
² + Å‚ = 60°
90° -Ä… = 180° - 90° -Õ
Å‚ = 27°24
Ä… = Õ
sin´
sin ²
n =
n =
sin Å‚
sinÄ…
sin´ = nsin Å‚ = 0,736 n Å" sinÄ… = sin ²
´ = 47°25' ² < 90°
normalna boku na którym następuje drugie załamanie
sin ² < 1
światła jest równoległa do pierwotnego promienia (są
n Å" sinÄ… < 1
one nachylone od podstawy o ten sam kÄ…t = 30°),
1
zatem promień ten odchyli się o:
sinÄ… <
´ = 47°25'
n
Zad 17.
1
sinÕ <
kÄ…t graniczny ² speÅ‚nia równość
n
sinÄ…
n = sinÕ < 0,667
sin ²
Õ < 41°48'
Ä… = 90°
Zad 20.
sinÄ… = 1
aby wykreślić drogę promienia słonecznego należy
podzielić atmosferę na jak najwięcej warstw dla
1
sin ² =
których przyjmujemy uśrednione współczynniki
n
załamania, pamiętając, że współczynniki załamania
²w = 48°45'
rosną wraz ze zbliżaniem się do powierzchni
²s = 41°30'
(ponieważ wzrasta gęstość)
w pewnym przybliżeniu promień ten ma kształt
²d = 24°24'
Zad 18.
mamy to do czynienia z odbiciem wewnętrznym, kąt
padania promieni tworzy z normalnÄ… kÄ…t 45°, zatem
sinÄ…
n =
sin ²
sinÄ… = nsin ²
sinÄ… > 1
nsin ² >1
10.3. Soczewki
1
n >
sin ²
Zad 1.
² = 45°
korzystam z wzoru soczewkowego
1 1 1
1 2
= +
n > =
f x y
2 2
f  ogniskowa soczewki
2
x  odległość od przedmiotu
n > 2 H" 1,41
y  odległość od obrazu
Zad 19.
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
67
1 1 1
sinÄ… Ä…
= +
n = H"
f x l
sin ² ²
1 l + x Ä… H" n²
=
f xl d
sin ² H" ² =
fl + fx = xl r
d
x(l - f ) = fl
tgÕ H" Õ =
f
fl
x = = 0,105m
Õ = Ä… - ²
l - f
d
Zad 2.
H" Õ = Ä… - ² = n² - ² = (n -1)² H" (n -1)d
dla obrazu pozornego wzór soczewkowy przyjmuje
f r
postać
d
H" (n -1)d
1 1 1
= -
f r
f x y
1
= (n -1)1
1 1 1
= -
f r
f x d
korzystając z wcześniej obliczonego ilorazu 1/f mamy:
1 d - x
1+ k
=
(n -1)1 =
f xd
r kd
xd = fd - fx
1 1+ k
=
x(d + f ) = fd
r kd(n -1)
fd
kd(n -1)
x = = 0,042m
r = = 0,033m
d + f
1+ k
Zad 4.
obraz p razy większy znajduje się w odległości p razy
1
większej niż przedmiot od zwierciadła, zatem
= (n -1)1
d
f r
p = = 5,96
x
r
f1 =
Zad 3.
n1 -1
obraz k razy większy znajduje się w odległości k razy
r
większej niż przedmiot od zwierciadła, zatem
f2 =
obliczamy ogniskowÄ…: n2 -1
1 1 1
r
= +
f d kd
f1 n1 -1 n2 -1
= = = 1,2
1 1+ k
f2 r n1 -1
=
f kd
n2 -1
wyprowadz
my wzór na promień krzywizny
Zad 5.
współczynnik załamania światła to wielkość n równa
stosunkowi prędkości c fal elektromagnetycznych w
Ä…
²
próżni (w treści zadania podane są współczynniki
Ć
²
względem powietrza) do ich prędkości fazowej v w
d
²
ośrodku;
O F
v z indeksem to prędkość światła w odpowiednim
r
ośrodku.
f
oczywiście jest to schemat bardzo  skoncentrowany
w rzeczywistości odległości r i f są znacznie większe
dlatego kÄ…ty Ä… i ² sÄ… niewielkie, zatem prawo
Snelliusa przyjmie postać (oczywiście kąty wyrażamy
w radianach)
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
68
vp
n1 =
vs
vp
n2 =
F
F
vw
vw
n =
vs
Zad 9.
vp
vw =
n2
vp
F
vs = F
n1
vp
Zad 10.
n2 n1
Zakładamy, że F jest ogniskiem soczewki wobec
n = =
vp n2
powietrza
n1
powietrze
zatem wzór przyjmie postać
öÅ‚
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
= (n -1)ëÅ‚ 1 +
ìÅ‚ ÷Å‚
F
F
f r1 r2
íÅ‚ Å‚Å‚
woda
Zad 6.
rozpraszającą ponieważ współczynnik załamania
Zad 11.
światła przechodzącego z wody do powietrza jest
Ä…
mniejszy od 1, zatem korzystajÄ…c z prawa Snelliusa
²
kąt załamania musi być większy od kąta padania
Ä…
²
Zad 7.
O
ns
nsw =
nw
z prawa Snelliusa
korzystamy ze wzoru na ogniskowÄ…
sinÄ…
n =
1
= (n -1)1 sin ²
f r
dla małych kątów wyrażenie to przyjmuje postać
r
Ä…
f =
n H"
n -1
²
r
kÄ…t Ä… jest 2 razy wiÄ™kszy od kÄ…ta ² sÄ… to kÄ…ty oparte na
f1 =
ns -1 tym samym Å‚uku, Ä… jest kÄ…tem Å›rodkowym, a ² kÄ…tem
wpisanym, zatem
r r
f2 = =
2²
ns
nsw -1
n H" = 2
-1
²
nw
Zad 12.
r ns
jest możliwe, jednak otrzymany obraz, będzie
-1
f1 ns -1 nw
obrazem przedmiotu znajdujÄ…cego siÄ™ przed nie
= = = 0,256
zasłoniętą częścią soczewki
f2 r ns -1
ns
-1
nw
Zad 8.
F
F
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
69
10.4. PrzyrzÄ…dy optyczne 1 1 1
= +
f l a
Zad 1.
l ", 1/l 0, zatem
1
1 1
z =
=
f
f a
1
1 1 1 1
f = = 0,4m
+ = +
z
f fokularow d a
jest to soczewka skupiająca (ponieważ zdolność
1 1 1 1
skupiająca jest dodatnia), zatem wyrównuje wadę
+ = +
a fokularow d a
dalekowzroczności
1 1
= = z = 4D
fokularow d
Zad 6.
w mikroskopie nie można rozróżniać kształtów
przedmiotów, których rozmiar jest mniejszy od
Zad 2.
długości fali, ponieważ fala świetlna (powstała w
1 1 1
+ =
skutek dyfrakcji) docierająca od dwóch punktów
a l f
leżących w odległości mniejszej niż długość fali
a  odległość od soczewki oka do siatkówki
interferuje w ten sposób iż tworzy się fala
f  ogniskowa soczewki w oku
odpowiadająca fali wysyłanej przez jeden punkt,
1 1 1 1
znajdujący się pomiędzy tymi dwoma
+ = +
a d f fokularow
Zad 7.
układ soczewek znajdujący się w mikroskopie działa
1 1 1 1 1
+ = + +
następująco: pierwsza soczewka wytwarza obraz
a d a l fokularow
rzeczywisty, powiększony i odwrócony przedmiotu,
1 1 1
druga  obraz pozorny nieodwrócony i powiększony
= - = zokularow = 2D
fokularow d l tego pierwszego, najlepiej zatem umieścić skalę w
miejscu powstania obrazu rzeczywistego przedmiotu,
Zad 3.
gdyż obraz pozorny, który będziemy obserwować
możemy np. zogniskować promienie słoneczne (które
będzie już zawierał tę skalę (przez co zniekształcenia
traktujemy jako wiązki równoległe) i wyznaczyć
powstałe na drugiej soczewce nie spowodują błędu w
odległość od podłoża do soczewki, która będzie
pomiarze), także nie zmieni się skala pomiaru po
ogniskowÄ…
zmianie wielkości powiększenia okularu.
f
przedmiot
Obraz
rzeczywisty
Zad 4.
Obraz
1 1 1
= +
pozorny
f l a
Zad 8.
1 1 1 1
kąt pomiędzy tymi kropkami musi być większy od 1
+ = +
f fokularow x a schematycznie:
1 1 1 1 1 l
+ = + + h
Ä…
x a a l fokularow
l
1 1 1
sinÄ… = tgÄ…
= -
fokularow x l
ponieważ kąt ą jest bardzo mały
ponieważ x ", 1/x 0, zatem
h
sinÄ… =
1 1
l
= - = z = -1D
fokularow l
h
l = = 3,44m
Zad 5.
sinÄ…
Zad 9.
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
70
zmniejsza się kąt załamania światła na oku ludzkim
dl + f2l - f2d
d
gdyż współczynnik załamania woda-oko jest mniejszy
f2 + d
p = =
od współczynnika załamania powietrze-oko, na
f1(dl + f2l - f2d) ëÅ‚ dl + f2l - f2d öÅ‚
siatkówce powstaje obraz taki jak u osób z
ìÅ‚ -
÷Å‚
l
÷Å‚
dalekowzrocznoÅ›ciÄ… dl + f2l - f2d - f1( f2 + d)ìÅ‚ f2 + d
íÅ‚ Å‚Å‚
d
f2 + d
f1 f2l + dl - dl - f2l + f2d
Å"
dl + f2l - f2d - f1( f2 + d) f2 + d
Zad 10.
d
= =
f1 f2d
d
b
dl + f2l - f2d - f1( f2 + d)
dl + f2l - f2d - f1( f2 + d)
l
a
= = 341,5
f1 f2
(w odpowiedziach w zbiorze przyjęto dość daleko
b d bd
idÄ…ce uproszczenia mianowicie: p = bd/f1f2 co jest
m = , n = , p = n Å" m =
a l - b al - ab
uproszczeniem wyrażenia p = (b/f1-1)*(d/f2+1) oraz b
1 1 1
Å„Å‚ = l - f2, zamiast b = (dl+f2l-f2d)/(f2 + d)
= +
ôÅ‚
Zad 11.
f1 a b
ôÅ‚
1 n 1
ôÅ‚ 1 1 1
= -
= -
òÅ‚
f d d
f2 l - b d
ôÅ‚
d
ôÅ‚
bd
= n -1
p =
ôÅ‚
f
al - ab
ół
d
1 1 1
n = +1 = 6
= +
f
f1 a b
Zad 12.
1 a + b
stała siatki jest to suma jednostkowej szerokości
=
f1 ab
części nieprzepuszczalnej i przepuszczalnej, dla
naszego kartonu
ab
a + b =
2
a = d + d = 2d = 2mm
f1
2
a 2d
af1 + bf1 = ab
a = =
n n
bf1
a =
2d
n =
b - f1
a
1 1 1
1 1 n 1 2d a + 2d
= -
= + = + =
f2 l - b d
f x x x ax ax
1 d - l + b
ax = f (a + 2d)
=
f2 d(l - b)
f (a + 2d)
x =
dl - db = f2d - f2l + f2b
a
f2b + db = dl + f2l - f2d
10.5. Fotometria
Zad 1.
dl + f2l - f2d
b =
1
f2 + d
E = cosÄ…
r2
dl + f2l - f2d
f1 1 1
E1 = cosÄ… =
f2 + d f1(dl + f2l - f2d)
a = = a2 a2
dl + f2l - f2d
- f1 dl + f2l - f2d - f1( f2 + d)
1 1
E2 = cosÄ… = cosÄ…
f2 + d
c2 a2 + b2
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
71
a boku równym promieniowi tej kuli (analogicznie jek
cosÄ… = sin(90 - Ä…) =
radian lecz w dwóch wymiarach); kąt bryłowy pełny
a2 + b2
to 4Ä„ sr (.
1 a a
Åš
E2 = =
· =
a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 3
( )
P
Åš = ·P
1
3
E1 ( )
a2 = a2 + b2 = 4,62 ·P
=
I = = 159,2cd
a
E2 a3
4Ä„
3
Zad 6.
( a2 + b2)
Åš = IÉ
Zad 2.
"S
1 1
É =
E = cos(90 - Õ) = sinÕ
2
2 2
r
r r
"S
1
Åš = I = 1,2 Å"10-4 lm
2
E1 r 2 sinÕ1 sinÕ1 r
= = = 4,25
"S
E2 1 sinÕ2 sinÕ2
I
2 2
Åš I
r r
E = = = = 0,3lx
2
Zad 3. "S "S r
1 1 11.1. Dualizm korpuskularno-falowy
t ~ =
Zad 1.
1
E
cosÄ…
2 zgodnie z prawem przesunięć Wiena:
d
C
1
 =
T
1
cosÄ…
2
C
2
ëÅ‚ öÅ‚
t1 d12 d2 d2
T = = 5216K
ìÅ‚ ÷Å‚
= = = = 16

t2 1 d12 ìÅ‚ d1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Zad 2.
1
cosą na naszą opaleniznę wpływ ma promieniowanie UV,
2
d2
jak wiemy atmosfera absorbuje je; w górach warstwa
Zad 4.
atmosfery jest mniejsza przez co dociera więcej
I promieni UV
I Zad 3.
n
=
2
C
x2
(d - x)
m1 =
T0
1 1
=
2
C
x2
(d - x) n
m2 =
T0 + "T
(d - x) n = x
C C CT0 + C"T - CT0
"m = - = =
d n - x n = x
T0 T0 + "T T02 + "T Å"T0
d n = x(1+ n)
C"T
= = 2,6310-7 m
d n
T02 + "T Å"T0
x = = 3
1+ n energia emitowana jest proporcjonalna do natężenia
promieniowania
x  jest odległością od mocniejszego z
ródła światła
E ~ I
4
Zad 5.
I = ÃT
światłość to stosunek strumienia świetlnego
à stała Stefana-Boltzmanna
wysyłanego przez z
ródło punktowe w nieskończenie 4
ëÅ‚
E2 ÃT24 ìÅ‚ T0 + "T öÅ‚
małym stożku do kąta bryłowego tego stożka
÷Å‚
= = = 1,464
E1 ÃT04 ìÅ‚ T0 ÷Å‚
Åš
íÅ‚ Å‚Å‚
I =
Zad 4.
É
W strefie podbiegunowej do powierzchni Ziemi
jednostkÄ… jest kandela (W/sr wat na steradian)
dociera szczególnie dużo promieniowania świetlnego
steradian to jednostka kąta bryłowego, jest to kąt o
(w tym także groz
nego dla człowieka promieniowania
wierzchołku w środku kuli, wycinający z jej
powierzchni część równą powierzchni kwadratu o
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
72
UV); należy, zatem ubierać się na jasno, aby odbić jak
c
E = h
najwięcej tego promieniowania.

Zad 5.
c
korzystamy z prawa przesunięć Wiena oraz z prawa  = h
E
Stefana-Boltzmanna
E = mc2
C
 =
h
T
 = = 2,42 Å"10-12 m
C mc
T =
Zad 9.

E = h½
4
E ~ ÃT
c
4
 =
C
ëÅ‚ öÅ‚
½
ìÅ‚ ÷Å‚ 4
ëÅ‚ öÅ‚
E2 ÃT24 ìÅ‚ 2 ÷Å‚ 1
c
ìÅ‚ ÷Å‚
= = = = 9,38
½ =
E1 ÃT14 ìÅ‚ C ÷Å‚ ìÅ‚ 2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚

ìÅ‚ ÷Å‚
1
íÅ‚ Å‚Å‚ a)
E = h½
Zad 6.
w fizyce kwantowej czÄ™stotliwość oznaczamy literÄ… Å
E
(ni)
E = h½
c
 =
½
c
½ =
Å

b)
c
h
E = h½
E2 2 1
= = = 4,7
c
E1 h c 2
 =
½
1
c
Zad 7.
½ =

E = h½
c
c
E = h
 =

½
wykresem będzie hiperbola
c
½ =
E

c
E = h = 4,87 Å"10-19 J = 3eV

E[J] E[J]
eV = =
e 1,6 Å"10-19
Zad 8.

energię całkowitą będącej w stanie spoczynku cząstki
Zad 10.
lub układu cząstek (np. jądra atomowego, atomu,
E = h½
cząsteczki) równą W = mc2 nazywamy energią
c
spoczynkowÄ…
 =
½
E = h½
c
c
½ =
 =

½
c
c
E = h
½ =


Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
73
Ekin = E -W = h½ - h½1 = h(½ -½1)
Ea = 2,83Å"10-19 J
2 2
Ekin 6eV
Eb = 3,54 Å"10-19 J
h = = =
½ -½1 2,5 Å"1015 -1Å"1015 Hz
2
Ec = 4,96 Å"10-19 J
6 Å"1,6 Å"10-19 J Å" s
Zad 11.
= = 6,4 Å"10-34 Js
długość fal światła widzialnego to: 400-700 nm
1,5 Å"1015
c
c)
E = h
 c
W = h½1 = h
c

 = h = 283,9 Å"10-9 m = 283,9nm
E c
 = = 3Å"10-7 m = 300nm
promieniowanie to nie należy do obszaru światła
½1
widzialnego
Zad 15.
Zad 12.
W = E
E = W + E
kin
E = h½
hc
c
E =
½ =


hc
c
E = E - W = - W
kin
E = h = W


2
m v
W1 = 1,88eV
e
E =
kin
2
W2 = 2,79eV
hc W3 = 6,53eV
öÅ‚
2ëÅ‚ - W
ìÅ‚ ÷Å‚
Zad 16.
2 E m

íÅ‚ Å‚Å‚
kin 5
v = = = 3,83 Å"10
iRT
m m s
e e Ekin = U =
2
Zad 13.
i  liczba stopni swobody (dla gazów
E1 = W
jednoatomowych i = 3)
hc
Ekin jest to energia kinetyczna jednego mola gazu,
W = = 3,68 Å"10-19 J
1
zatem energia jednego atomu gazu będzie równa
iRT
E = W + Ekin
Ekin =
2 Å" N
A
hc
E =
R J
2
= k = 1,38 Å"10-23
N K
A
hc hc
Ekin = E -W = -
k  stała Boltzmana
2 1
3kT
Ekin =
mev2
Ekin = 2
2
hc
E =
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
hc hc 1 1

ìÅ‚
2ìÅ‚ - ÷Å‚ ìÅ‚
2hcìÅ‚ - ÷Å‚
2 1 ÷Å‚ 2 1 ÷Å‚
2Ekin íÅ‚ hc 3kT
Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
v = = = = =
me me me  2
2 hc
m
T = = 960K
= 5,31Å"105
3 k
s
m
Zad 14.
J Å" s Å"
J
a)
s
T = = = K
W = h½1 J J
m Å"
K K
½1 = 1015 Hz
Zad 17.
W = 6,61Å"10-19 J = 4,13eV
energia jednego kwanta światła jest równa
b)
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
74
F = "p
hc
E =
 F 2nh
pcisnienie = = = 5,3Å"10-6 Pa
P P Å"  1
S S
n = = = 5
Zad 22.
E hc s
hc
Zad 18.
E = = 1,99 Å"10-15 J
hc

E =

Es = mec2
P P Å"  1
hc
n = = = 2,82 Å"1016
E hc s
E h

= = = 2,4 Å"10-2
Zad 19.
Es mec2 mec
wzór de Broglie a określa zależność długości fali,
Zad 23.
zwiÄ…zanej z poruszajÄ…cÄ… siÄ™ czÄ…stkÄ… materialnÄ…, od jej
w mikroskopie nie można rozróżniać kształtów
pędu
przedmiotów, których rozmiar jest mniejszy od
hv
długości fali, ponieważ fala (powstała w skutek
Ekin  h
dyfrakcji) docierająca od dwóch punktów leżących w
p = = =
v v 
odległości mniejszej niż długość fali interferuje w ten
h h
sposób iż tworzy się fala odpowiadająca fali
 = =
wysyłanej przez jeden punkt, znajdujący się pomiędzy
p mv
tymi dwoma, w mikroskopie optycznym od
z zasady zachowania energii obliczmy prędkość
przedmiotu oglądanego odbijają się fale światła
mv2
E = eU =
widzialnego (400-700nm), zaÅ› w mikroskopie
2
elektronowym fala ma długość średnio 0,002nm, co
2eU
pozwala uzyskać znacznie lepsze powiększenie przez
v2 =
m
mikroskop elektronowy
11.2. Widmo atomu. Atom Bohra
2eU
v =
Zad 1.
m
dla jonów wodoropodobnych wzór Balmera-Rydberga
h h
przybiera postać
 = = = 1,43Å"10-13 m
2eU 2eUm
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
2
m
ìÅ‚
½ = Z RcìÅ‚ - ÷Å‚
2
m
n2 n1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Zad 20.
Z  liczba porzÄ…dkowa
h h
R  stała Rydberga
 = = = 36,36nm
p mev
n  główna liczba kwantowa w widmie wodoru mamy
Zad 21.
następujące serie linii, dla:
fotony odbijając się sprężyści zmieniają swój zwrot
n = 1  seria Lymana
wektora prędkości (przy niezmienionym kierunku),
n = 2  s. Balmera
zatem "v = 2v, więc zmiana pędu jest równa:
n = 3  s. Paschena
"p = 2 p0 n = 4  s. Bracketta
n = 5  s. Pfunda
korzystajÄ…c z wzoru de Broglie a
n = 6  s. Humphreysa
h
 =
n1 = n + 1, n + 2,& (jeżeli n jest stałe mówimy
p
f
wówczas o serii widmowej)
h
dla częstotliwości granicznej n1 " dlatego dla
p =
f
wodoru (Z = 1) wzór przyjmuje postać

1
h
½ = Rc
"p = 2
f
n2

c
h
½ =
"p = 2n


c 1
v m "p "p
= Rc
F = ma = m = Å" =
 n2
t t m t
ponieważ t = 1s
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
75
1 R
4 - E1
=
v =
 n2
3 me
n2 22
b)
 = = = 364nm
R R
hc hc 1
 = = =
jest to zakres UV (ultrafiolet)
5
E 1 1
öÅ‚
R
hRcëÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚
Zad 2.
22 32 36
íÅ‚ Å‚Å‚
E = h½
- E1
R =
1 1
öÅ‚
½ = RcëÅ‚ - ÷Å‚ hc
ìÅ‚
12 32
íÅ‚ Å‚Å‚
1 36 hc
 = = -
1 1
öÅ‚
- E1 5
5 E1
E = hRcëÅ‚ - ÷Å‚
= 1,939 Å"10-18 J
ìÅ‚
32
íÅ‚1 Å‚Å‚
hc 36
hc hc 1 c)
 = = =
1 1
E 1 1 1 1 öÅ‚
öÅ‚
hRcëÅ‚ - ÷Å‚
= Ue
hRcëÅ‚ - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
RëÅ‚ öÅ‚ ìÅ‚
ìÅ‚
32
n2 n2 íÅ‚1 Å‚Å‚
íÅ‚1 Å‚Å‚ íÅ‚1 Å‚Å‚
8
1
- E1 = Ue
1 = = 102,5nm
1 1 9
öÅ‚
RëÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚
8 E1
32
íÅ‚1 Å‚Å‚
U = -
przy przejściu do stanu podstawowego zmieniać się 9 e
będzie liczba kwantowa dla pierwszej liczby Zad 4.
kwantowe = 1: n = 2, n = 1, dla drugiej liczby hc hc 1
 = = =
kwantowe = 2: n = 3, zatem
E 1 1 1 1
öÅ‚
hRcëÅ‚ - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
RëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚
1
22 n2 Å‚Å‚ íÅ‚ 4 n2 Å‚Å‚
íÅ‚
2 = = 121nm
1 1
öÅ‚
1 1
RëÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚
R - R = 1
22
íÅ‚1 Å‚Å‚
4 n2
1
n2R
3 = = 656nm
- R = n2
1 1
öÅ‚
4
RëÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚
22 32
íÅ‚ Å‚Å‚
R
n2 ëÅ‚ -1öÅ‚ = R
ìÅ‚ ÷Å‚
Zad 3.
4
íÅ‚ Å‚Å‚
najmniej energetycznÄ… liniÄ… w zakresie widzialnym
R
jest powstała w wyniku przejścia z n = 3 na n = 2
n = = 5
(pierwsza linia serii Balmera) zatem energiÄ… R
-1
minimalną jaką trzeba dostarczyć elektronowi atomu
4
wodoru jest energia konieczna do przejścia ze stanu
jest to linia odpowiadająca przejściu elektronu z
podstawowego na n = 3
poziomu 5 na 2
rozwiązując równanie SchrQ
dingera otrzymujemy
Zad 5.
Rhc
energia jonizacji jest to energia jaką trzeba dostarczyć
E1 = -
n
aby wybić elektron z pola jądra atomowego, czyli
ponieważ w stanie podstawowym n = 1
spowodować przejście ze stanu podstawowego (n=1)
E1 = -Rhc na nieskończenie duże n (n", 1/n0)
z zasady zachowania energii
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
ìÅ‚
E = hRcìÅ‚ - ÷Å‚
= hRc = hRc = 2,19 Å"10-18 J =
a) 2
n2 n1 ÷Å‚ 1
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 mev2
öÅ‚
hRcëÅ‚ - ÷Å‚ = 13,6eV
=
ìÅ‚
2
íÅ‚1 32 Å‚Å‚
Zad 6.
8 mev2
pierwszÄ… liniÄ… jest n1 = n + 1
- E1 Å" =
9 2 1 1 5
öÅ‚
E = hRcëÅ‚ - ÷Å‚
= hRc
ìÅ‚
16 - E1
22 32 Å‚Å‚ 36
íÅ‚
v2 =
9 me
hc
E =

Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
76
n = 1
5 hc
hRc =
36 
e2 m
v = = 2,19Å"106
36
2µ h s
0
R = = 1,097 Å"107
5
jest to wartość ponad 100 razy mniejsza od prędkości
Zad 7.
światła zatem nie ma konieczności stosowania
dla częstotliwości granicznej mamy wzór:
poprawki relatywistycznej
1
Zad 11.
½ = Rc
1 1
n2 öÅ‚
E = RchëÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚
c
22 32
íÅ‚ Å‚Å‚
½ =

me4
Rc =
c 1 2
8µ h3
= Rc 0
 n2
me4 5 5 me4
1 R E = h = = 3.03Å"10-19 J
2 2
=
8µ h3 36 36 8µ0 h2
0
 n2
hc
n2
 = = 656nm
 =
E
R
Zad 12.
2
n1
1 1
öÅ‚
E = RhcëÅ‚ - ÷Å‚
1 R 32 9 ìÅ‚
= = =
22 42
íÅ‚ Å‚Å‚
2
1 n2 22 4
hc hc 1 16
 = = = = = 486nm
R
3
E 1 1 3Å" R
öÅ‚
Zad 8.
R
RchëÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚
16
22 42 Å‚Å‚
íÅ‚
4Ä„µ0h2
r =
jest to zakres światła widzialnego (400nm-700nm)
me2
Zad 13.
h
korzystamy z warunku Braggów
h =
2Ä„
n = 2d cos ²
2
h gdzie ² to kÄ…t jaki tworzy promieÅ„ z normalnÄ…
4Ä„µ0 ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
² = 90° - Ä…
µ h2
2Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
0
r = = = 5,29 Å"10-11m
cos ² = cos(90° - Ä…) = sinÄ…
me2 Ä„me2
Zad 9.
n = 2d sinÄ…
4Ä„µ0h2
n
r = Å" n2
d =
me2
2sinÄ…
4Ä„µ0h2 2
n = 1
2
r2 me2 Å" n2 n2

= = = 9
2 d = = 2,8 Å"10-10 m
r1 4Ä„µ0h2 2 n1
2sinÄ…
Å" n1
me2 Zad 14.
Zad 10. korzystamy z zasady zachowania energii
v = n Ue = hv
h c
 =  =
p v
c
p = 2Ä„rme
v =

µ0h2n2
r =
c
Ä„mee2
Ue = h

h nhĄmee2 e2
hc
v = n = =
 =
µ0h2n2 2Ä„µ0h2n2me 2µ0hn
Ue
2Ä„ me
Ä„mee2
ëÅ‚ öÅ‚
hc 1 1
ìÅ‚ - ÷Å‚
" = 1 - 2 = = 1,03Å"10-10 m
ìÅ‚U U2 ÷Å‚
e
íÅ‚ 1 Å‚Å‚
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
77
Zad 15.
p1 Å" µ1 + p2 Å" µ2 + ...
A =
Ue = hv
100
c
75,53Å" 34,97 + 24,47 Å" 36,97 g
 =
ACl = = 35,45
v
100 mol
c Zad 5.
v =
czÄ…steczki Ä… sÄ… dwudodatnie podobnie jak jÄ…dra

atomowe; natężenie pola elektrostatycznego wzrasta
c
Ue = h
wraz ze wzrostem liczby atomowej; dla jąder ciężkich

wartość ta jest zbyt duża, aby ją pokonała cząstka ą
hc
(lub ma następnie zbyt małą energię, aby
 = = 6,2 Å"10-11m
Ue
zapoczątkować reakcję), zamiast zderzenia następuje
Zad 16.
odbicie
n = 2d cos ²
Zad 6.
² = 90° - Ä…
mpv2
E =
cos ² = cos(90° - Ä…) = sinÄ…
2
n = 2d sinÄ…
2E m
v = = 1,385 Å"107
n mp s
sinÄ… =
2d
(1eV = 1,602·10-19J)
n = 2
Zad 7.
jeżeli jest to odbicie sprężyste oznacza to, że po
2 
sinÄ… = = = 0,2541
zderzeniu energia neutronu jest równa 0, zatem
2d d
przekazał on całą energię atomowi wodoru
Ä… = 14°43'
Zad 8.
Zad 17.
promieniowanie ² jest szkodliwe, gdyż w kontakcie z
KÄ…, K², KÅ‚ uszeregowane sÄ… wraz ze wzrostem
atomami pierwiastków ciężkich powoduje
długości fal promieniowania (,czyli wraz ze spadkiem
wytworzenie promieniowania rentgenowskiego, w
energii), długości fal jest odwrotnie proporcjonalna do
jądrach atomów lekkich takie zjawisko nie zachodzi,
częstotliwości, zatem po prawej stronie znajduje się
zatem to właśnie z takich atomów należy budować
KÄ…, a po lewej K².
osłony (szkło składa się głównie z krzemu, zaś pleksja
12. Fizyka jÄ…drowa
będąc polimerem głównie z węgla)
Zad 1.
Zad 9.
re
7 1 4
Li+1p 22 Ä…
x =
3
r
E = "mc2 = (m1 + m3 - 2m2 )c2 = 2,703Å"10-12 J =
re
Re = xR = R = 40,69m
= 16,9MeV
r
Zad 10.
Zad 2.
tworzenie jednego atomu powoduje wyzwolenie
m Amn
Á = =
energii równej:
V V
E = "mc2 = (2mp + 2mp - mHe)c2 =
3
4 4
3
V = Ä„r3 = Ä„( Ar0)
= 4,4 Å"10-29 kg Å" c2 = 3,96 Å"10-12 J
3 3
1 g helu to n atomów:
3Amn 3Amn 3mn kg
Á = = = = 1,82 Å"1017
3 1
3
4Ä„Ar03 4Ä„r03 m3
n = Å" N = 1,504 Å"1023
4Ä„( Ar0)
A
4,0026
Zad 3.
1
p = Z
Ec = E Å" n = (2mp + 2mp - mHe)c2 Å" Å" N =
A
4,0026
n = A - Z
= 6 Å"1011 J
Z  liczba atomowa
(różnice w wynikach zależą od wartości tablicowych,
A  liczba masowa
które nie są jednolite)
p = const = 6
Zad 11.
Z = 6,7,8,9
200MeV = 2 Å"108 Å"1,6 Å"10-19 J = 3,204 Å"10-11 J
Zad 4.
w ciągu doby zużywa się:
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
78
Zad 17.
E = 3600 Å" 24 Å" 28,5 Å"106 J = 2,4624 Å"1012 J
roślinę należy podlać wodą zawierającą
ilość cząsteczek uranu zużywana w ciągu doby
promieniotwórczy fosfor, a następnie badając
2,4624 Å"1012
n = = 7,685 Å"1022 czÄ…steczek promieniowanie, sprawdzić przyswajalność wody.
3,204 Å"10-11
Roślinę podlewaną jakiś czas wodą zawierającą 32P
n
ścinamy, spalamy, a następnie na podstawie
m = Å" µU = 30g
intensywności promieniowania popiołu ilościowo
N
A
mierzymy 32P.
Zad 12.
Zad 18.
14 4 1
N +2Ä…1p + x
7
Neutrony w zderzeniach z czÄ…steczkami wody tracÄ…
uzgadniamy teraz liczbÄ™ masowÄ… i atomowÄ…  x
swojÄ… energiÄ™.
A = 14 + 4 -1 = 17
Zad 19.
Z = 7 + 2 -1 = 8 Rad należy do tej samej grupy (II) co wapń, ma zatem
 x to atom tlenu, równanie, więc ma postać podobne właściwości, dzięki czemu wbudowuje się
14 4 1
do tkanek w miejsce wapnia (szczególnie do kości),
N +2Ä…17O+1p
7 8
gdzie ulega przemianom promieniotwórczym
Zad 13.
Zad 20.
jedynie podczas przemian Ä… zachodzi zmiana masy
24 1 24
Mg+0n11Na + x
zatem liczba przemian ą jest równa 12
"A 32 "A = 24 +1- 24 = 1
nÄ… = = = 8
4 4
"Z = 12 -11 = 1
podczas 8 przemian ą liczba atomowa zmalała o 16,
wypromieniowanÄ… czÄ…stkÄ… jest proton.
czyli wynosi 76, aby była ona równa 82 musi nastąpić
Zad 21.
82-76 = 6 rozpadów ²-
szybkość rozpadu promieniotwórczego określamy
Liczba przemian Ä… = 8, a rozpadów ²- = 6
wzorem:
Zad 14.
N = N0 Å" e-t
m2
p
N  liczba cząstek, która pozostała
Fg = G
2
N0  poczÄ…tkowa liczba czÄ…stek
r
N
e2
= e-t
Fe = k
2 N0
r
N
e2
ln = -t
N0
Fe k r 2 ke2
= = = 1,24 Å"1036
N0
Fg m2 Gm2
p p
ln = t
G
2
N
r
dla okresu półtrwania N = ½ N0
Zad 15.
N0
E = "mc2 = 2mec2 = 1,64 Å"10-13 J = 1,02MeV
ln = T1/ 2
1
Zad 16.
N0
2
rozpatrzmy reakcjÄ™ na poziomie atomowym dla
ln 2 = T1/ 2
dwóch atomów deuteru:
E = "mc2 = (2mD - mHe )c2 = 3,728Å"10-12 J
ln 2
T1/ 2 =
w jednym kilogramie znajduje siÄ™ n jÄ…der deuteru

m Å" 0,00015
Zad 22.
n = 2 Å" Å" N = 5,02 Å"1021
korzystam z wzoru
2 Å" µH 0 A
2
n
1
powyższe wyrażenie mnożymy przez 2 ponieważ
N = N0 ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
liczba wodorów w cząsteczce tlenu jest równa 2,
2
íÅ‚ Å‚Å‚
powyższe wyrażenie dzielimy przez 2 ponieważ masa
n  ilość czasów połowicznego rozpadu
deuteru jest 2 razy większa od masy wodoru
t
n =
(zawartość procentowa odnosi się do masy nie do
T1/ 2
ilości)
energia właściwa (do wyliczonej jednostkowej reakcji
zużywa się 2 at. deuteru) jest równa
n
Ec = E Å" = 9,35Å"109 J
2
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
79
3
Zad 2.
1 1
N = N0 ëÅ‚ öÅ‚ = N0
ìÅ‚ ÷Å‚
Korzystam z transformacji Lorenza
2 8
íÅ‚ Å‚Å‚
vx '+u
vx =
1 7
vx '
"N = N0 - N0 = N0
1+ u
8 8
c2
7
vx  szukana prędkość zbliżania się dwóch elektronów
N0
8
u  szybkość elektronu względem spoczywającego
p = Å"100% = 87,5%
N0
układu odniesienia (u = 0,5c)
vx  szybkość poruszającego się układu odniesienia
Zad 23.
(vx = 0,5c)
obliczam stałą rozpadu
0,5c + 0,5c c 4
N0
vx = = = c
ln = t
0,5c
1+ 0,25 5
N
1+ 0,5c
c2
N0 1 1
 = ln = 0,0000385
Zad 3.
N t s
1
ln 2
pn = mv = mc
T1/ 2 = = 18000s = 5h
2

1 1 1
13. Elementy fizyki relatywistycznej
mc mc mc
mv
2 2 2
Zad 1.
pr = = == = =
2
1 3
v2
1
ëÅ‚
1-
1-
cöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
E0 = mec2
4 2
c2
2
íÅ‚ Å‚Å‚
1-
2
c2
E = p2c2 + me c4
3 Å" mc
mev
=
p =
3
v2
1-
1 1
c2
pr 2 mc 2 3
2
= = =
p2c2 + me c4 = 2mec2
1
pn 2
3 Å" mc
2
3
me v2 3
2
c2 + me c4 = 2mec2
Zad 4.
v2
1-
energia spoczynkowa elektronu jest równa:
c2
E0 = mec2 = 8,188 Å"1014 J = 0,511MeV
2
me v2
2 2
c2 + me c4 = 4me c4
Zad 5.
v2
zmiana energii elektronu jest równa różnicy między
1-
c2
energiÄ… poruszajÄ…cego siÄ™ elektronu, a energiÄ…
2
spoczynkowÄ… elektronu:
me v2
2
c2 = 3me c4
E0 = mec2
v2
1-
energią poruszającego się elektronu jest równa
c2
2
mec2
me v2 2
E =
= 3me c2
v2
v2
1-
1-
c2
c2
"E = Ue
v2
2 2 2
me v2 = 3me c2 - 3me c2
c2 ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
me v2 = 3me c2 - 3me v2
mec2 1
"E = - mec2 = mec2ìÅ‚ -1÷Å‚
ìÅ‚
2 2
4me v2 = 3me c2 v2 v2 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1- 1-
ìÅ‚
c2 c2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
4v2 = 3c2
3
v2 = c2
4
3
v = c
2
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
80
wzór de Broglie a określa zależność długości fali,
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
zwiÄ…zanej z poruszajÄ…cÄ… siÄ™ czÄ…stkÄ… materialnÄ…, od jej
1
pędu
mec2 ìÅ‚ -1÷Å‚ = Ue
ìÅ‚ ÷Å‚
v2 ÷Å‚
h
ìÅ‚
1-
p =
ìÅ‚
c2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ 
h
ëÅ‚ öÅ‚
 =
ìÅ‚ ÷Å‚
p
mec2 1
ìÅ‚
U = -1÷Å‚ = 2577V
ìÅ‚ ÷Å‚
mev me Å" 0,8c
e
v2 ÷Å‚
p = =
ìÅ‚
1-
2
ìÅ‚
v2
(0,8c)
c2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1-
1-
c2
c2
nierelatywistycznie:
2
mv2
h h (0,8c)
= Ue
 = = 1- =
2
me Å" 0,8c
me Å" 0,8c c2
mv2
2
U = = 2562V (0,8c)
1-
2e
c2
Zad 6.
h h
a)
= 1- 0,64 = 0,6 Å" = 1,82 Å"10-12 m
me Å" 0,8c me Å" 0,8c
E0 = mec2
E E
n = = = 3,907
E0 mec2
b)
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1
Ekin = mec2ìÅ‚ -1÷Å‚
ìÅ‚
v2 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1-
ìÅ‚
c2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
mec2
Ekin = - mec2
v2
1-
c2
v2 v2
1- Ekin = mec2 - 1- mec2
c2 c2
v2 v2
1- Ekin + 1- mec2 = mec2
c2 c2
v2
1- (Ekin + mec2)= mec2
c2
v2 mec2
1- =
c2 Ekin + mec2
2
ëÅ‚ öÅ‚
v2 ìÅ‚ mec2 ÷Å‚
1- =
c2 ìÅ‚ Ekin + mec2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
v2 ìÅ‚ mec2 ÷Å‚
= 1-
c2 ìÅ‚ Ekin + mec2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
v mec2 ÷Å‚
= 1- ìÅ‚
ìÅ‚
c Ekin + mec2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Zad 7.
Kopiowanie i rozpowszechnianie bez zgody autora zabronione
81