ÿþw i c z e n i a z m a t e m a t y k i
J a n u s z G ó r c z y Ds k i , A n d r z e j Z i e l i Ds k i
Z e s z y t 7
R o z w i z y w a n i e z a d a D e l e m e n t a r n y c h
2
Z e s z y t t e n j e s t s z ó s t p o z y c j w s e r i i m a t e r i a Bó w d y d a k t y c z n y c h
w i c z e n i a z m a t e m a t y k i .
D o t y c h c z a s u k a z a By s i p o z y c j e :
Z e s z y t 1 . F u n k c j e i c i g i l i c z b o w e
Z e s z y t 2 . G r a n i c e c i g ó w i f u n k c j i . P o c h o d n a i j e j z a s t o s o w a n i a
Z e s z y t 3 . C a Bk i i i c h z a s t o s o w a n i a
Z e s z y t 4 . M a c i e r z e i r o z w i z y w a n i e u k Ba d ó w r ó w n a D l i n i o w y c h
Z e s z y t 6 . Z a d a n i a p o w t ó r z e n i o w e z m a t e m a t y k i w r a z z r o z w i z a n i a m i d l a k a n d y d a t ó w
n a s t u d i a e k o n o m i c z n e
W y d a n i e I
M a t e r i a By d o d r u k u z o s t a By w c a Bo [c i p r z y g o t o w a n e p r z e z A u t o r ó w
I S B N 8 3 - 8 8 7 8 1 - 1 8 - 9
W y d a w c a : W y |s z a S z k o Ba Z a r z d z a n i a i M a r k e t i n g u w S o c h a c z e w i e
D r u k : P o l i g r a p h i c a , 9 1 - 2 3 1 Aó d z, u l . R a t a j s k a 1 . h t t p : / / w w w . C e n t r u m P o l i g r a f i i . p l
A r k u s z y w y d a w n i c z y c h 3 , 5 0
A r k u s z y d r u k a r s k i c h 3 , 5 0
3
O D A U T O R Ó W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 . L I C Z B Y R Z E C Z Y W I S T E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 . 1 . D Z I A AA N I A A R Y T M E T Y C Z N E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 . 2 . K O L E J N O Z D Z I A AA C M A T E M A T Y C Z N Y C H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 . 3 . L I C Z B Y N A T U R A L N E , C A AK O W I T E , W Y M I E R N E I N I E W Y M I E R N E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 . 4 . D Z I A AA N I A N A U AA M K A C H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 . 5 . U AA M K I D Z I E S I T N E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
1 . 6 . P R O C E N T Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
1 . 7 . P O T G O W A N I E I D Z I A AA N I A N A P O T G A C H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
1 . 8 . W Z O R Y S K R Ó C O N E G O M N O {E N I A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
1 . 9 . P I E R W I A S T K O W A N I E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
1 . 1 0 . W A R T O Z B E Z W Z G L D N A ( M O D U A) L I C Z B Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
1 . 1 1 . P I E R W I A S T E K N I E P A R Z Y S T E G O S T O P N I A Z L I C Z B Y U J E M N E J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
1 . 1 2 . P O T G A O W Y K AA D N I K U R Z E C Z Y W I S T Y M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
1 . 1 3 . D Z I A AA N I A N A W Y R A {E N I A C H N I E W Y M I E R N Y C H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0
1 . 1 4 . R E L A C J E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
1 . 1 5 . R Ó W N A N I A I N I E R Ó W N O ZC I . P R Z E D Z I A AY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
2 . Z A D A N I A R Ó {N E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
2 . 1 . P R Z E K S Z T A AC A N I E W Y R A {E C W Y M I E R N Y C H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
2 . 2 . P R Z E K S Z T A AC A N I E W Y R A {E C N I E W Y M I E R N Y C H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7
2 . 3 . R O Z W I Z Y W A N I E R Ó W N A C I N I E R Ó W N O ZC I L I N I O W Y C H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
2 . 4 . R O Z W I Z Y W A N I E R Ó W N A C I N I E R Ó W N O ZC I K W A D R A T O W Y C H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9
3 . R O Z W I Z A N I A Z A D A C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9
4 . L I T E R A T U R A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2
4
O d A u t o r ó w
U p o d s t a w d e c y z j i o w y d a n i u s e r i i z e s z y t ó w p o d w s p ó l n y m t y t u Be m w i c z e n i a z m a -
t e m a t y k i s n a s z e w i e l o l e t n i e d o [w i a d c z e n i a n a u c z y c i e l i a k a d e m i c k i c h w z a k r e s i e n a u c z a -
n i a p r z e d m i o t ó w i l o [c i o w y c h ( m a t e m a t y k a , s t a t y s t y k a m a t e m a t y c z n a , d o [w i a d c z a l n i c t w o ,
e k o n o m e t r i a ) j a k i i n f o r m a t y c z n y c h ( a r k u s z e k a l k u l a c y j n e , r e l a c y j n e b a z y d a n y c h ) .
O d s z e r e g u l a t o b s e r w u j e m y n a r a s t a j c e p r o b l e m y z n a c z n e j g r u p y s t u d i u j c y c h z e
z r o z u m i e n i e m t y c h p r z e d m i o t ó w , p r z y c z y m j e s t t o s z c z e g ó l n i e g r o zn e w p r z y p a d k u o s ó b
s t u d i u j c y c h w t r y b i e z a o c z n y m .
S e r i a w i c z e n i a z m a t e m a t y k i z o s t a Ba p o m y [l a n a z j e d n e j s t r o n y j a k o m a t e r i a B
u Ba t w i a j c y p r z y p o m n i e n i e p r o g r a m u m a t e m a t y k i z z a k r e s u s z k o By [r e d n i e j . Z d r u g i e j
s t r o n y m a t e r i a B z a w a r t y w t e j s e r i i j e s t j u | p e w n y m p r z y g o t o w a n i e m p o d n a u c z a n i e t a k i c h
p r z e d m i o t ó w j a k w Ba [n i e s t a t y s t y k a , e k o n o m e t r i a , a r k u s z e k a l k u l a c y j n e , b a z y d a n y c h c z y
b a d a n i a o p e r a c y j n e .
S e r i a w i c z e n i a z m a t e m a t y k i p o w i n n a b y t r a k t o w a n a r a c z e j j a k o l i t e r a t u r a u z u p e B-
n i a j c a k l a s y c z n l i t e r a t u r p r z e d m i o t u ( p o d a w a n p r z e z p r o w a d z c y c h p o s z c z e g ó l n e
p r z e d m i o t y ) n i | j a k o j e d y n y i w y s t a r c z a j c y d o z r o z u m i e n i a m a t e m a t y k i s k r y p t . M a m y
j e d n a k n a d z i e j , |e p r z e d s t a w i o n y m a t e r i a B z s z e r e g i e m s z c z e g ó Bo w y c h p r z y k Ba d ó w u Ba t w i
z r o z u m i e n i e t y c h w y b r a n y c h d z i a Bó w m a t e m a t y k i .
W s e r i i w i c z e n i a z m a t e m a t y k i w s t p n i e z a p l a n o w a n o u k a z a n i e s i n a s t p u j c y c h
p o z y c j i :
" Z e s z y t 1 . F u n k c j e i c i g i l i c z b o w e
" Z e s z y t 2 . G r a n i c e c i g ó w i f u n k c j i . P o c h o d n a i j e j z a s t o s o w a n i e
" Z e s z y t 3 . C a Bk i i i c h z a s t o s o w a n i a
" Z e s z y t 4 . M a c i e r z e i r o z w i z y w a n i e u k Ba d ó w r ó w n a D l i n i o w y c h
" Z e s z y t 5 . R ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e i i c h z a s t o s o w a n i a .
P r a k t y k a t r o c h z m o d y f i k o w a Ba t e w s t p n e p l a n y , z e s z y t y 1 - 4 , k t ó r y c h a u t o r e m j e s t d r
J a n u s z G ó r c z y Ds k i , u k a z a By s i w l a t a c h 2 0 0 0 - 2 0 0 1 , w r o k u 2 0 0 2 p o j a w i B s i n o w y
Z e s z y t 6 n a p i s a n y p r z e z d r A n d r z e j a Z i e l i Ds k i e g o z z a m y s Be m , a b y u m o |l i w i s t u d e n t o m
s a m o o c e n p o s i a d a n e j w i e d z y m a t e m a t y c z n e j . W y d a n i e Z e s z y t u 5 o d s u w a s i n a t r o c h
d a l s z y p l a n , a l e n i e r e z y g n u j e m y z j e g o w y d a n i a .
T e n z e s z y t p o j a w i B s i z p o t r z e b y c h w i l i i j a k o p e w n e u z u p e Bn i e n i e w c z e [n i e j s z y c h
z e s z y t ó w . P o p r o s t u j e s t b a r d z o d u |a g r u p a k a n d y d a t ó w i s t u d e n t ó w , k t ó r z y m u s z p r z y p o -
m n i e s o b i e r z e c z y e l e m e n t a r n e .
5
P o d p o j c i e m z b i ó r l i c z b r z e c z y w i s t y c h r o z u m i e m y w s z y s t k i e m o |l i w e l i c z b y , z b i ó r
t e n b d z i e m y o z n a c z a l i t e r , a j e g o e l e m e n t y m a By m i l i t e r a m i a l f a b e t u . F a k t , |e j a k a [
l i c z b a , p o w i e d z m y , n a l e |y d o z b i o r u l i c z b r z e c z y w i s t y c h z a p i s z e m y n a s t p u j c o :
" .
Z b i ó r j e s t z b i o r e m n i e s k o Dc z o n y m , c o o z n a c z a , |e z a w i e r a n i e s k o Dc z e n i e w i e l e
e l e m e n t ó w . I n a c z e j m ó w i c z b i ó r n i e z a w i e r a a n i e l e m e n t u n a j m n i e j s z e g o , a n i e l e m e n t u
n a j w i k s z e g o . U m o w n i e m ó w i m y , |e z b i ó r r o z c i g a s i o d m i n u s d o p l u s
n i e s k o Dc z o n o [c i . T e d w a u m o w n e k r a Dc e b d z i e m y o z n a c z a o d p o w i e d n i o j a k o - "
o r a z + " .
G r a f i c z n i e z b i ó r l i c z b r z e c z y w i s t y c h m o |n a p r z e d s t a w i n a o s i l i c z b o w e j , n a k t ó r e j
z a z n a c z a m y k i e r u n e k z w i k s z a n i a s i l i c z b o r a z j e d e n l u b w i c e j p u n k t ó w c h a r a -
k t e r y s t y c z n y c h . N a p o k a z a n e j n i |e j o s i l i c z b o w e j z a z n a c z o n e z o s t a Bo z e r o j a k o p u n k t
c h a r a k t e r y s t y c z n y ( p u n k t o d n i e s i e n i a ) ; l i c z b a z e r o d z i e l i z b i ó r l i c z b r z e c z y w i s t y c h n a t r z y
- +
p o d z b i o r y : z b i ó r l i c z b u j e m n y c h ( ) , l i c z b z e r o o r a z z b i ó r l i c z b d o d a t n i c h ( ) .
1
0
W z b i o r z e z d e f i n i o w a n e s c z t e r y d z i a Ba n i a :
d o d a w a n i e =
1 2 4 {
4 + 3
o d e j m o w a n i e - =
{ { {
m n o |e n i e Å" =
1 2 3 {
d z i e l e n i e : = g d z i e `" 0 .
{ { {
J e |e l i n i e p r o w a d z i t o d o n i e p o r o z u m i e D, m o |e m y w z a p i s i e m n o |e n i a o p u [c i z n a k
m n o |e n i a ( s y m b o l k r o p k i ) , n p . m o |e m y n a p i s a 2 z a m i a s t 2 Å" , c z y z a m i a s t Å" .
A l e z a p i s 2 n i e m u s i o z n a c z a m n o |e n i a , l e p i e j w i c p i s a Å" 2 , a j u | n a p e w n o 2 3 n i e
o z n a c z a 2 Å" 3 !
6
O d e j m o w a n i e j e s t d z i a Ba n i e m o d w r o t n y m d o d o d a w a n i a :
- = Ô! + = ,
g d z i e s y m b o l Ô! o z n a c z a : w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y . . . . I n a c z e j m ó w i c z w a r u n k u
- = w y n i k a w a r u n e k + = i o d w r o t n i e .
L i c z b a z e r o j e s t w y n i k i e m o d e j m o w a n i a w s y t u a c j i , g d y o d j e m n a i o d j e m n i k s s o b i e
r ó w n e : - .
D l a k a |d e g o " z a c h o d z i :
Å"0 = 0 Å" = 0 .
D l a , " z a c h o d z n a s t p u j c e r ó w n o w a |n o [c i :
= Ô! - = 0
< Ô! - < 0
> Ô! - > 0
L i c z b < 0 n a z y w a m y l i c z b u j e m n , a > 0 l i c z b d o d a t n i . R ó |n i c 0 -
o z n a c z a m y s y m b o l e m - i n a z y w a m y l i c z b p r z e c i w n d o . S u m a l i c z b y i l i c z b y
p r z e c i w n e j d o n i e j , c z y l i - , j e s t r ó w n a z e r o :
+ ( - ) = - = 0 .
P r z y o z n a c z a n i u l i c z b y d o d a t n i e j m o |n a u |y z a r ó w n o s y m b o l u j a k i +
( p o p r z e d z i j s y m b o l e m p l u s , n p . m o |n a p i s a z a r ó w n o 5 j a k i + 5 ) . L i c z b a u j e m n a m u s i
b y p o p r z e d z o n a s y m b o l e m m i n u s .
O b o w i z u j n a s t p u j c e p r a w a ( t z w . p r a w a z n a k ó w ) :
+ ( + ) = + - ( + ) = - + ( - ) = - - ( - ) = + .
D z i e l e n i e j e s t d z i a Ba n i e m o d w r o t n y m d o m n o |e n i a :
: = Ô! Å" = d l a `" 0
D z i e l e n i e m o |e b y z a p i s a n e j a k o : l u b . W y r a |e n i e n a z y w a m y u Ba m k i e m .
D z i e l n n a z y w a m y w t e d y l i c z n i k i e m , a d z i e l n i k m i a n o w n i k i e m .
1
L i c z b ( `" 0 ) n a z y w a m y l i c z b o d w r o t n d o l i c z b y . I l o c z y n l i c z b y p r z e z j e j
o d w r o t n o [ j e s t r ó w n y j e d e n :
1
Å" = 1 .
7
W y k o r z y s t u j c p o j c i e l i c z b y o d w r o t n e j d o d a n e j l i c z b y m o |n a p r z e d s t a w i d z i e l e n i e
j a k o m n o |e n i e p r z e z l i c z b o d w r o t n . P r z y k Ba d o w o :
6 1
6 : 2 = = 6 Å" .
2 2
W y n i k k a |d e g o d z i a Ba n i a a r y t m e t y c z n e g o m u s i b y o k r e [l o n y i t o j e d n o z n a c z n i e ,
d l a t e g o t e | d z i e l e n i e p r z e z z e r o n i e j e s t m o |l i w e ! R o z p a t r z m y p r z y k Ba d o w e s y t u a c j e :
0
a ) 0 : 5 = = 0 , p o n i e w a | 5 Å" 0 = 0 ,
5
5 5
b ) 5 : 0 = n i e i s t n i e j e , b o g d y b y = , t o m u s i a Ba b y z a c h o d z i r ó w n o [ Å" 0 = 5 ,
0 0
0
c ) 0 : 0 = n i e i s t n i e j e , p o n i e w a | w y n i k n i e j e s t o k r e [l o n y j e d n o z n a c z n i e , t z n . k a |d a
0
0
l i c z b a r z e c z y w i s t a m o |e b y w y n i k i e m : = Ô! Å" 0 = 0 .
0
L i c z b z e r o n a z y w a m y e l e m e n t e m o b o j t n y m ( t z w . m o d u Be m ) d l a d o d a w a n i a ,
p o n i e w a |:
+ 0 = 0 + = .
L i c z b j e d e n n a z y w a m y e l e m e n t e m o b o j t n y m ( t z w . m o d u Be m ) d l a m n o |e n i a ,
p o n i e w a |:
Å"1 = 1 Å" = .
D z i a Ba n i a a r y t m e t y c z n e p o d l e g a j n a s t p u j c y m p r a w o m :
P r a w o Bc z n o [c i d o d a w a n i a
( + ) + = + ( + )
P r a w o p r z e m i e n n o [c i d o d a w a n i a
+ = +
P r a w o Bc z n o [c i m n o |e n i a
( Å" ) Å" = Å"( Å" )
P r a w o p r z e m i e n n o [c i m n o |e n i a
Å" = Å"
P r a w o r o z d z i e l n o [c i m n o |e n i a w z g l d e m d o d a w a n i a
( + ) Å" = Å" + Å"
8
P r a w d z i w e s n a s t p u j c e w z o r y o k r e [l a j c e z n a k m n o |e n i a ( t a k |e d z i e l e n i a ) :
( + ) Å"( + ) = + Å" ( + ) Å"( - ) = - Å"
.
( - ) Å"( + ) = - Å" ( - ) Å"( - ) = + Å"
K o l e j n o [ d z i a Ba D m a t e m a t y c z n y c h o k r e [l o n a j e s t n a s t p u j c y m i d w o m a r e g u Ba m i :
" J e |e l i w w y r a |e n i u w y s t p u j n a w i a s y , t o n a j p i e r w w y k o n y w a n e s d z i a Ba n i a
w e w n t r z n a w i a s ó w ,
" J e |e l i n i e m a n a w i a s ó w , t o n a j p i e r w w y k o n u j e m y m n o |e n i a i d z i e l e n i a , a n a -
s t p n i e d o d a w a n i a i o d e j m o w a n i a , p r z y c z y m d z i a Ba n i a w y k o n y w a n e s
w k o l e j n o [c i i c h w y k o n y w a n i a o d l e w e j d o p r a w e j s t r o n y w y r a |e n i a .
. M a m y o b l i c z y w a r t o [ w y r a |e n i a ( k o m e n t a r z ) :
4 - 6 : 3 - 2 + 2 0 : 5 Å" 2 =
= 4 - 2 - 2 + 4 Å"2 =
= 4 - 2 - 2 + 8 =
= 2 - 2 + 8 =
= 0 + 8 = 8
. O b l i c z m y w a r t o [ w y r a |e n i a ( k o m e n t a r z ) :
{ 4 Å"7 - [ ( 4 Å"3 + 8 : 4 ) - ( 2 Å"6 - 1 0 ) ] Å"5 } + 3 Å"( 4 Å"7 - 2 6 ) =
{ 4 Å"7 - [ ( 1 2 + 2 ) - ( 1 2 - 1 0 ) ] Å"5 } + 3 Å"( 2 8 - 2 6 ) = { 4 Å"7 - [ 1 4 - 2 ] Å"5 } + 3 Å"( 2 ) =
= { 2 8 - 1 2 Å"5 } + 6 = { 2 8 - 6 0 } + 6 = - 3 2 + 6 = - 2 6
Z b i ó r l i c z b n a t u r a l n y c h t w o r z l i c z b y { 1 , 2 , 3 , . . . . } . Z b i ó r l i c z b n a t u r a l n y c h j e s t
o g r a n i c z o n y z d o Bu p r z e z l i c z b 1 , i n a c z e j m ó w i c w z b i o r z e t y m i s t n i e j e e l e m e n t
n a j m n i e j s z y . Z b i ó r j e s t n i e o g r a n i c z o n y o d g ó r y , c z y l i n i e i s t n i e j e e l e m e n t n a j w i k s z y .
W y n i k d o d a w a n i a c z y m n o |e n i a d w ó c h l i c z b n a t u r a l n y c h j e s t z a w s z e l i c z b n a t u r a l n .
O d e j m o w a n i e d w ó c h l i c z b n a t u r a l n y c h n i e z a w s z e d a j e w w y n i k u l i c z b n a t u r a l n ( n p .
2 - 5 ) , n a t o m i a s t j e s t o n o w y k o n a l n e w z b i o r z e l i c z b c a Bk o w i t y c h .
9
Z b i ó r l i c z b c a Bk o w i t y c h t w o r z l i c z b y { . . . - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . . } . Z b i ó r l i c z b
c a Bk o w i t y c h j e s t n i e o g r a n i c z o n y z a r ó w n o z d o Bu ( n i e i s t n i e j e e l e m e n t n a j m n i e j s z y ) , j a k i o d
g ó r y ( n i e i s t n i e j e e l e m e n t n a j w i k s z y ) .
D z i e l e n i e d w ó c h l i c z b c a Bk o w i t y c h n i e z a w s z e d a j e w w y n i k u l i c z b c a Bk o w i t . N i e c h
, " o r a z `" 0 . L i c z b a j e s t p o d z i e l n a p r z e z w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y i l o r a z
: j e s t l i c z b c a Bk o w i t . L i c z b n a z y w a m y w t e d y p o d z i e l n i k i e m .
L i c z b y n a t u r a l n e p o d z i e l n e p r z e z d w a n a z y w a m y l i c z b a m i p a r z y s t y m i , a n i e p o d z i e l n e
p r z e z d w a l i c z b a m i n i e p a r z y s t y m i .
T a k l i c z b n a t u r a l n r ó |n o d j e d e n , k t ó r e j p o d z i e l n i k i e m j e s t j e d e n i o n a s a m a
n a z y w a m y l i c z b p i e r w s z . P r z y k Ba d e m l i c z b p i e r w s z y c h s :
2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 , 2 3 , . . . .
L i c z b y p i e r w s z e z n a j d u j b a r d z o w a |n e z a s t o s o w a n i e w n o w o c z e s n y c h t e c h n o l o g i a c h
s z y f r o w a n i a , a b e z n i c h t r u d n o b y Bo b y m ó w i o n p . k o m e r c y j n y m w y k o r z y s t y w a n i u
I n t e r n e t u .
N i e c h , " o r a z `" 0 . L i c z b p o s t a c i
n a z y w a m y l i c z b w y m i e r n . P r z y k Ba d o w e l i c z b y w y m i e r n e :
1 3 9 - 4 8
, , , , = 8 .
2 2 4 7 1
D l a , " o r a z `" 0 i l o r a z n a z y w a m y u Ba m k i e m z w y k By m . D l a < j e s t t o
u Ba m e k w Ba [c i w y , a d l a > u Ba m e k n i e w Ba [c i w y .
P o z o s t a Be l i c z b y r z e c z y w i s t e n a z y w a m y l i c z b a m i n i e w y m i e r n y m i . T a k i m i l i c z b a m i s
n p . 2 ( d Bu g o [ p r z e k t n e j k w a d r a t u o b o k u 1 ) , À ( s t o s u n e k d Bu g o [c i o k r g u d o j e g o
p r o m i e n i a ) c z y ( p o d s t a w a l o g a r y t m u n a t u r a l n e g o ) .
W a r t o [ u Ba m k a n i e z m i e n i s w o j e j w a r t o [c i , j e |e l i j e g o l i c z n i k i m i a n o w n i k p o m n o -
|y m y l u b p o d z i e l i m y p r z e z t s a m l i c z b r ó |n o d z e r a . W p r z y p a d k u m n o |e n i a m ó w i m y
o r o z s z e r z a n i u u Ba m k a , a p r z y d z i e l e n i u o s k r a c a n i u .
Å"
= r o z s z e r z a n i e , `" 0 ,
Å"
1 0
Å"
= s k r a c a n i e , `" 0 .
Å"
P r z y d o d a w a n i u l u b o d e j m o w a n i u u Ba m k ó w m u s i m y s p r o w a d z i j e d o w s p ó l n e g o
m i a n o w n i k a :
Å" ± Å"
± = .
Å"
W s p ó l n y m i a n o w n i k m u s i b y t a k d o b r a n y , b y p o s z c z e g ó l n e m i a n o w n i k i b y By j e g o
c z y n n i k a m i . N i e o z n a c z a t o , |e z a w s z e t r z e b a w z i j a k o w s p ó l n y m i a n o w n i k i l o c z y n
w s z y s t k i c h m i a n o w n i k ó w .
5 3 1 3
O b l i c z m y w a r t o [ w y r a |e n i a + - .
1 2 2 0 2 4
B i e r z e m y n a j p i e r w i l o c z y n = 3 Å" 4 = 1 2 . W i l o c z y n i e 4 Å" 5 = 2 0 p o w t a r z a s i c z y n n i k
1
4 , n a t o m i a s t n o w y m c z y n n i k i e m w s t o s u n k u d o i l o c z y n u j e s t 5 . B i e r z e m y w i c
1
i l o c z y n = 3 Å" 4 Å" 5 . W i l o c z y n i e 2 Å"3 Å" 4 = 2 4 p o w t a r z a s i i l o c z y n 3 Å" 4 , a n o w y m
2
c z y n n i k i e m w s t o s u n k u d o j e s t 2 . B i e r z e m y w i c j a k o w s p ó l n y m i a n o w n i k i l o c z y n
2
= 2 Å"3 Å" 4 Å" 5 = 1 2 0 .
3
5 3 1 3 5 Å"1 0 3 Å" 6 1 3 Å" 5 5 0 + 1 8 - 6 5 3 1
+ - = + - = = = .
1 2 2 0 2 4 1 2 Å"1 0 2 0 Å" 6 2 4 Å"5 1 2 0 1 2 0 4 0
O c z y w i [c i e n i e b y Bo b y b Bd e m w z i c i e j a k o w s p ó l n y m i a n o w n i k i l o c z y n u l i c z b
w y s t p u j c y c h w m i a n o w n i k a c h p o s z c z e g ó l n y c h u Ba m k ó w , c z y l i 1 2 Å" 2 0 Å" 2 4 = 5 7 6 0 , t y l k o
r a c h u n k i b y By b y b a r d z i e j s k o m p l i k o w a n e .
. O b l i c z m y w a r t o [ w y r a |e D:
5 7 1 5 5 Å"4 7 Å"3 1 Å"2 5 2 0 + 2 1 + 2 + 5 4 8
a ) + + + = + + + = = = 2
6 8 1 2 2 4 6 Å" 4 8 Å"3 1 2 Å"2 2 4 2 4 2 4
1 2 3 9 1 4 6 9 5 6 1 - 4 6 + 9 + 5 6 2 0
b ) - + + 1 4 = - + + = = = 5
4 2 4 4 4 4 4 4 4
1 2 2 2 5 2 1 1 2 + 5 2 2 + 2 1
c ) 2 1 + + + + 3 + = 2 4 + + = 2 4 + 1 + 1 = 2 6 .
1 7 4 3 1 7 4 3 1 7 4 3
P r z y m n o |e n i u u Ba m k ó w m n o |y m y l i c z n i k i i m i a n o w n i k i :
Å"
Å" = .
Å"
1 1
P r z y d z i e l e n i u u Ba m k ó w p i e r w s z y z n i c h m n o |y m y p r z e z o d w r o t n o [ d r u g i e g o :
Å"
: = = Å" = .
Å"
Å" Å" Å"
Z p o w y |s z y c h w z o r ó w w y n i k a , |e Å" = , b o Å" = Å" = = .
1 Å"1
P r z y p o m n i j m y t a k |e , |e k a |d a r ó w n o [ m o |e b y c z y t a n a r ó w n i e | o d s t r o n y p r a w e j d o
Å"
l e w e j , c z y l i n p . o d p o s t a c i m o |n a p r z e j [ d o p o s t a c i Å" j a k i d o p o s t a c i Å" :
Å"
= Å" = Å" .
±
Z p r a w a r o z d z i e l n o [c i m n o |e n i a w z g l d e m d o d a w a n i a w y n i k a w z ó r = ± .
1 2 1 2
N i e j e s t n a t o m i a s t p r a w d , |e = ± . W y s t a r c z y p o r ó w n a n p . = = 2
± 2 + 4 6
1 2 1 2
z + = 6 + 3 = 9 .
2 4
D l a u Ba m k ó w p r a w d z i w e s n a s t p u j c e w z o r y :
- + -
= -
= , = = .
- + -
1 2
K a |d l i c z b r z e c z y w i s t m o |n a z a p i s a w p o s t a c i d z i e s i t n e j . Z a p i s d z i e s i t n y s k Ba d a
s i z c z [c i c a Bk o w i t e j i c z [c i u Ba m k o w e j r o z d z i e l o n y c h p r z e c i n k i e m , n p .
4 1 4 2 1 4 1 4 2
1 , 4 1 4 2 = 1 + + + + = .
1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
J e [l i m i a n o w n i k u Ba m k a z w y k Be g o j e s t p o d z i e l n i k i e m 1 0 , 1 0 0 , 1 0 0 0 i t d . , t o t a k i u Ba m e k
m o |n a z a m i e n i n a u Ba m e k d z i e s i t n y m n o |c j e g o l i c z n i k i m i a n o w n i k p r z e z o d p o w i e d n i
l i c z b , n p . :
6 6 Å" 4 2 4
= = = 0 , 2 4 ,
2 5 2 5 Å" 4 1 0 0
1 1 Å"8 8
= = = 0 , 0 0 8 ,
1 2 5 1 2 5 Å"8 1 0 0 0
7 8 7 8 Å" 2 1 5 6
= = = 1 5 , 6 .
5 5 Å" 2 1 0
W t y c h p r z y p a d k a c h m ó w i m y , |e d a n a l i c z b a m a r o z w i n i c i e d z i e s i t n e s k o Dc z o n e , t z n .
6
p o p r z e c i n k u w y s t p u j e s k o Dc z o n a l i c z b a c y f r r ó |n y c h o d z e r a , n p . = 0 , 2 4 = 0 , 2 4 0 i t d .
2 5
W p o z o s t a By c h p r z y p a d k a c h ( a l e r ó w n i e | w w y |e j o p i s a n y c h ) z a m i a n u Ba m k a z w y k Be g o
n a d z i e s i t n y m o |n a w y k o n a s t o s u j c a l g o r y t m d z i e l e n i a p o d k r e s k , k t ó r y w n i e c o
z m o d y f i k o w a n e j p o s t a c i p r z e d s t a w i a p r z y k Ba d 5 .
7
. M a m y p o d a z a p i s d z i e s i t n y u Ba m k a :
3 3
Å"
Å"
7 : 3 3 0 7 7 0 0
7 0 : 3 3 2 4 4 0 0 , 2
4 0 : 3 3 1 7 7 0 0 , 2 1
7 0 : 3 3 2 4 4 0 0 , 2 1 2
4 0 : 3 3 1 7 7 0 0 , 2 1 2 1
7
W o b e c t e g o H" 0 , 2 1 2 1 . R ó w n o [ j e s t p r z y b l i |o n a , p o n i e w a | w n i e s k o Dc z o n o [
3 3
b d z i e s i p o p r z e c i n k u p o j a w i a B o k r e s ( 2 1 ) . U |y w a j c d o k Ba d n e j r ó w n o [c i n a p i s a l i b y [m y
7
= 0 , ( 2 1 ) .
3 3
1 3
7
M ó w i m y , |e u Ba m e k m a r o z w i n i c i e d z i e s i t n e n i e s k o Dc z o n e o k r e s o w e . K a |d a
3 3
l i c z b a w y m i e r n a m a r o z w i n i c i e d z i e s i t n e s k o Dc z o n e a l b o o k r e s o w e n i e s k o Dc z o n e .
N a t o m i a s t r o z w i n i c i e d z i e s i t n e l i c z b y n i e w y m i e r n e j j e s t z a w s z e n i e s k o Dc z o n e , p r z y
c z y m n i e m o |n a w s k a z a c i g u c y f r ( o k r e s u ) , k t ó r y b y p o w t a r z a B s i w n i e s k o Dc z o n o [.
M n o |e n i e ( d z i e l e n i e ) u Ba m k a d z i e s i t n e g o p r z e z 1 0 , 1 0 0 , 1 0 0 0 i t d . p o l e g a n a
p r z e s u n i c i u p r z e c i n k a o 1 , 2 , 3 , i t d . m i e j s c a w p r a w o ( l e w o ) .
. M a m y o b l i c z y = 4 Å" 0 , 1 2 5 .
O b l i c z a m y n a j p i e r w = 1 0 0 0 Å" = 4 Å" 0 , 1 2 5 Å"1 0 0 0 = 4 Å"1 2 5 = 5 0 0 . {e b y o b l i c z y ,
t r z e b a t e r a z p o d z i e l i p r z e z 1 0 0 0 , t a k w i c = 5 0 0 : 1 0 0 0 = 0 , 5 , c z y l i 4 Å" 0 , 1 2 5 = 0 , 5 .
. O b l i c z m y w a r t o [ w y r a |e n i a 0 , 1 5 : 0 , 3 .
0 , 1 5 0 , 1 5 Å"1 0 0 1 5
M a m y = = = 0 , 5 .
0 , 3 0 , 3 Å"1 0 0 3 0
( 0 , 3 - 0 , 1 5 ) : 0 , 3
. O b l i c z m y w a r t o [ w y r a |e n i a .
( 1 , 8 8 + 2 , 1 2 ) Å" 0 , 1 2 5
( 0 , 3 - 0 , 1 5 ) : 0 , 3 0 , 1 5 : 0 , 3 0 , 5
= = = 1 .
( 1 , 8 8 + 2 , 1 2 ) Å" 0 , 1 2 5 4 Å" 0 , 1 2 5 0 , 5
1
J e d e n p r o c e n t p e w n e j l i c z b y t o c z [ t e j l i c z b y . P r z y k Ba d o w o :
1 0 0
1 % l i c z b y 2 5 t o 0 , 2 5
1 % l i c z b y 1 2 , 3 4 t o 0 , 1 2 3 4
1 % l i c z b y 1 3 4 5 , 5 t o 1 3 , 4 5 5 .
Z o k r e [l e n i a p r o c e n t u w y n i k a j n a s t p u j c e z w i z k i :
Å"
% l i c z b y j e s t r ó w n e ,
1 0 0
Å"1 0 0
l i c z b a , k t ó r e j % w y n o s i , j e s t r ó w n a .
1 4
. O b l i c z m y :
4 Å"6 2
a ) 4 % l i c z b y 6 2 . R o z w i z a n i e : = 2 , 4 8
1 0 0
3 6 Å"1 3 0
b ) 3 6 % l i c z b y 1 3 0 . R o z w i z a n i e : = 0 , 3 6 Å"1 3 0 = 2 6 , 8
1 0 0
8 Å"1 0 0 8 Å"2 0
c ) l i c z b , k t ó r e j 1 5 % w y n o s i 8 . R o z w i z a n i e : = = 5 3 , ( 3 )
1 5 3
4 5 Å"1 0 0 4 5 0
d ) l i c z b , k t ó r e j 7 0 % w y n o s i 4 5 . R o z w i z a n i e : = = 6 4 , ( 2 8 5 7 1 4 )
7 0 7
. J e d e n b o k p r o s t o k t a s k r ó c o n o o 5 0 % , a d r u g i w y d Bu |o n o o 5 0 % . J a k
z m i e n i s i p o l e p r o s t o k t a ?
P o c z t k o w e b o k i p r o s t o k t a t o i , a j e g o p o l e = Å" . P i e r w s z y b o k s k r ó c o n o
o 5 0 % , c z y l i j e g o d Bu g o [ j e s t r ó w n a 5 0 % Å" = 0 , 5 Å" , a d r u g i p o w i k s z o n o o 5 0 % , s t d
j e g o d Bu g o [ j e s t r ó w n a + 5 0 % = 1 , 5 . T y m s a m y m p o l e t a k z m i e n i o n e g o p r o s t o k t a
j e s t r ó w n e ' = ( 0 , 5 ) Å" ( 1 , 5 ) = 0 , 7 5 . J a k w i d z i m y , p o l e p r o s t o k t a z m n i e j s z y Bo s i
o 2 5 % .
P o t g o p o d s t a w i e i w y k Ba d n i k u n a t u r a l n y m o z n a c z a m y s y m b o l e m i d e f i n i u -
j e m y n a s t p u j c o :
= 1
ñø
ôø
=
òø1
Å" Å"Å"3 > 1 .
Å"
4 2 4
ôø
óø
. O b l i c z m y w a r t o [ p o t g :
3 4 = 3 Å" 3 Å"3 Å"3 = 9 Å"9 = 8 1 , 5 1 = 5 , ( - 2 ) 2 = ( - 2 ) Å" ( - 2 ) = 4 .
J e |e l i n i e m a n a w i a s ó w , t o p o t g o w a n i e j a k o m n o |e n i e w y k o n u j e s i p r z e d
o d e j m o w a n i e m , t a k w i c n p . - 2 2 = - 4 .
N i e c h i o z n a c z a j l i c z b y n a t u r a l n e ( , " ) . Z d e f i n i c j i p o t g i w y n i k a j
n a s t p u j c e w z o r y :
+
Å" =
1 5
-
: = = d l a `" 0 i >
( Å" ) = Å"
ëø öø
( : ) = = : = d l a `" 0
ìø ÷ø
íø øø
Å"
( ) = .
. O b l i c z m y w a r t o [c i w y r a |e D:
2 3 Å" 2 2 = 2 3 + 2 = 2 5 = 3 2
2 5 : 2 3 = 2 5 - 3 = 2 2 = 4
( 2 Å"3 ) 4 = 2 4 Å"3 4 = 1 6 Å"8 1 = 1 2 9 6
( 2 2 ) 3 = 2 2 Å"3 = 2 6 = 6 4
2
2 6 = 2 3 Å"2 = ( 2 3 ) = 8 2 = 6 4
2 2
( 2 ) 2 = 2 2 Å" = 4
3 3
8 = 2 3 Å" = ( 2 ) 3 .
2 2
K w a d r a t s u m y : ( + ) 2 = + 2 +
2 2
K w a d r a t r ó |n i c y : ( - ) 2 = - 2 +
3 2 3
S z e [c i a n s u m y : ( + ) 3 = + 3 2 + 3 +
3 2 3
S z e [c i a n r ó |n i c y : ( - ) 3 = - 3 2 + 3 -
2 2
R ó |n i c a k w a d r a t ó w : - = ( - ) ( + )
3 3 2
R ó |n i c a s z e [c i a n ó w : - = ( - ) ( 2 + + )
3 3 2
S u m a s z e [c i a n ó w : + = ( + ) ( 2 - + )
P o w y |s z e w z o r y ( c z t e r y p i e r w s z e c z y t a n e o d p r a w e j d o l e w e j ) d a j m o |l i w o [ p r z e j [c i a
o d s u m y d o i l o c z y n u , i n a c z e j m ó w i c u m o |l i w i a j r o z k Ba d s u m y n a c z y n n i k i , c o m o |e b y
1 6
s z c z e g ó l n i e p r z y d a t n e w t e d y , g d y m i a n o w n i k i u Ba m k ó w c h c e m y r o z Bo |y n a c z y n n i k i ,
p o s z u k u j c w s p ó l n e g o m i a n o w n i k a .
2 2
W o b e c p o w y |s z y c h w z o r ó w n i e p r a w d z i w a j e s t n p . r ó w n o [ ( ± ) 2 = ± .
W y s t a r c z y p o r ó w n a ( 2 + 3 ) 2 = 5 2 = 2 5 z 2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 1 3 . I n a c z e j m ó w i c k w a d r a t
s u m y ( r ó |n i c y ) n i e j e s t t y m s a m y m c o s u m a ( r ó |n i c a ) k w a d r a t ó w .
. O b l i c z m y w a r t o [c i w y r a |e D ( k o m e n t a r z ) :
2
( 2 + 3 ) 2 = ( 2 ) 2 + 2 Å" ( 2 ) Å" 3 + 3 2 = 4 + 1 2 + 9 (
2 Å" ( 2 ) Å"3 = 3 Å" 2 Å" ( 2 ) = 6 Å" ( 2 ) = 6 Å" 2 Å" = 1 2 )
2
( 0 , 5 - 2 ) 2 = ( 0 , 5 ) 2 - 2 Å" ( 0 , 5 ) Å" 2 + 2 2 = 0 , 2 5 - 2 + 4
3 2
( 2 + 3 ) 3 = ( 2 ) 3 + 3 Å" ( 2 ) 2 Å" 3 + 3 Å" ( 2 ) Å" 3 2 + 3 3 = 8 + 3 6 + 5 4 + 2 7
3 2
( 3 - 2 ) 3 = ( 3 ) 3 - 3 Å" ( 3 ) 2 Å" 2 + 3 Å" ( 3 ) Å" 2 2 - 2 3 = 2 7 - 5 4 + 3 6 - 8
2 2
2
2 - 9 = ( 2 ) - 3 2 = ( 2 - 3 ) ( 2 + 3 ) ( 2 = ( 2 ) ,
2 2
2 2 2
2 = Å" 2 = Å"( 2 ) = ( 2 ) )
3 2
8 - 1 = ( 2 ) 3 - 1 3 = ( 2 - 1 ) ( 4 + 2 + 1 )
3 2
8 + 1 = ( 2 ) 3 + 1 3 = ( 2 + 1 ) ( 4 - 2 + 1 ) .
N i e c h " o r a z e" 0 . P i e r w i a s t e k s t o p n i a z l i c z b y o k r e [l a m y n a s t p u j c o :
= Ô! = i e" 0 .
P i e r w i a s t e k s t o p n i a d r u g i e g o n a z y w a m y k w a d r a t o w y m , s t o p n i a t r z e c i e g o
s z e [c i e n n y m .
. O b l i c z m y w a r t o [c i p i e r w i a s t k ó w :
2
4 = 4 = 2 , p o n i e w a | 2 2 = 4 ( w p r z y p a d k u p i e r w i a s t k a k w a d r a t o w e g o m o |e m y n i e
p i s a s t o p n i a p i e r w i a s t k a ) ;
3
8 = 2 , p o n i e w a | 2 3 = 8 .
2 3 6
3 6
Z d e f i n i c j i p i e r w i a s t k a w y n i k a , |e n p . ( 7 ) = 7 , ( 9 ) = 9 , ( 2 ) = 2 .
1 7
W a r u n e k e" 0 w o k r e [l e n i u p i e r w i a s t k a z o s t a B w p r o w a d z o n y p o t o , a b y p i e r w i a s t k o -
w a n i e b y Bo d z i a Ba n i e m j e d n o z n a c z n y m . P r z y k Ba d o w o , d z i k i t e m u w a r u n k o w i 4 = 2 ,
2
a n i e 4 = ± 2 ( c h o c i a | ( - 2 ) = 4 ) .
D z i a Ba n i a n a p i e r w i a s t k a c h
Z o k r e [l e n i a p i e r w i a s t k a w y n i k a j n a s t p u j c e w z o r y :
Å" = Å" d l a e" 0 i e" 0
= d l a e" 0 i > 0
Å"
= d l a e" 0
= ( ) d l a e" 0 .
Z o s t a t n i e g o w z o r u i d e f i n i c j i p i e r w i a s t k a w y n i k a , |e = ( ) = . N i e j e s t n a t o -
m i a s t p r a w d z i w a r ó w n o [ ± = ± . W y s t a r c z y p o r ó w n a n p . 2 5 - 1 6 = 9 = 3
z 2 5 - 1 6 = 5 - 4 = 1 .
. O b l i c z m y w a r t o [c i w y r a |e D:
1 6 Å" 2 5 Å"8 1 = 1 6 Å" 2 5 Å" 8 1 = 4 Å" 5 Å"9 = 2 0 Å" 9 = 1 8 0
1 2 1 1 2 1 1 1
= =
1 6 9 1 3
1 6 9
6
3 3 Å"2
6 4 = 6 4 = 2 6 = 2
2
3 3
3 ëø
6 4 = 8 2 = 2 3 öø = 2 2 = 4
ìø ÷ø
íø øø
2 4 2
8 1 2 4 2 8 1 Å" Å" Å" 9 2 3 2
= = =
3 6 6 2
3 6
4 2 2
2 Å"3 3 Å" 4 = 2 Å"3 3 Å" 4 = 2 Å"3 3 Å" 2 = 2 Å"3 3 .
1 8
W a r t o [ b e z w z g l d n l i c z b y o z n a c z a m y s y m b o l e m i o k r e [l a m y n a s t p u j c o :
ñø d l a e" 0
= .
òø
óø- d l a < 0
O b l i c z m y w a r t o [c i b e z w z g l d n e l i c z b :
7 7 = 7 7 , - 8 = 8 , 0 = 0 .
N i e z a l e |n i e o d t e g o , c z y l i c z b a j e s t d o d a t n i a c z y u j e m n a , m o d u B t e j l i c z b y j e s t z a w s z e
d o d a t n i .
Z d e f i n i c j i w a r t o [c i b e z w z g l d n e j o r a z p i e r w i a s t k a s t o p n i a w y n i k a , |e w z ó r :
2
=
j e s t p r a w d z i w y d l a k a |d e g o " . P r z y k Ba d o w o 7 2 = 7 = 7 , ( - 7 ) 2 = - 7 = 7 .
N i e c h b d z i e n i e p a r z y s t l i c z b n a t u r a l n , z a [ l i c z b u j e m n . P r z y j m u j e s i , |e :
= - .
O b l i c z m y w a r t o [c i p i e r w i a s t k ó w :
3
3 3
3
- 8 = - - 8 = - 8 = - 2 3 = - 2 ,
5
5
5
- 3 2 = - - 3 2 = - 2 5 = - 2 .
U w a g a : p i e r w i a s t e k s t o p n i a p a r z y s t e g o z l i c z b y u j e m n e j n i e j e s t o k r e [l o n y w z b i o r z e
l i c z b r z e c z y w i s t y c h , t z n . n i e i s t n i e j e n p . - 4 . G d y b y p r z y j , |e - 4 = , t o z g o d n i e
2
z d e f i n i c j p i e r w i a s t k a m u s i a Ba b y z a c h o d z i r ó w n o [ = - 4 , a t o j e s t n i e m o |l i w e .
N i e z a l e |n i e o d t e g o , c z y j e s t l i c z b d o d a t n i , z e r e m c z y l i c z b u j e m n , t o j e j k w a d r a t
n i e m o |e b y l i c z b u j e m n .
1 9
W r o z d z i a l e 1 . 7 m ó w i l i [m y o p o t d z e n a t u r a l n e j , t e r a z r o z s z e r z y m y p o t g o w a n i e n a
i n n e w y k Ba d n i k i .
P o t g a o w y k Ba d n i k u c a Bk o w i t y m u j e m n y m
1
-
=
P o t g a o w y k Ba d n i k u b d c y m o d w r o t n o [c i l i c z b y n a t u r a l n e j n
1
=
P o t g a o w y k Ba d n i k u w y m i e r n y m
1
= ëø öø = ( ) = d l a e" 0 , , "
ìø ÷ø
íø øø
-
1 1
- 1
= ëø öø = = d l a > 0 , , "
ìø ÷ø
1
íø øø
ëø öø
ìø ÷ø
íø øø
P o n i e w a | k a |d l i c z b n i e w y m i e r n m o |n a p r z y b l i |y z d o w o l n d o k Ba d n o [c i l i c z b
w y m i e r n ( n p . 2 H" 1 , 4 1 4 2 z d o k Ba d n o [c i d o c z t e r e c h c y f r p o p r z e c i n k u ) , r ó w n i e | p o t g a
o d o w o l n y m w y k Ba d n i k u r z e c z y w i s t y m m o |e b y p r z y b l i |o n a p o t g o w y k Ba d n i k u
w y m i e r n y m :
2 1 , 4 1 4 2
H" .
1
+ -
W z o r y z p a r a g r a f u 1 . 7 ( Å" = i t d . ) o r a z w z ó r = p o z o s t a n p r a w -
d z i w e , j e [l i j a k o w y k Ba d n i k i i b d z i e m y b r a d o w o l n e l i c z b y r z e c z y w i s t e , a n i e t y l k o
l i c z b y n a t u r a l n e .
O b l i c z m y w a r t o [c i w y r a |e D:
1 1
a ) 3 - 2 = =
9
3 2
- 3 1 1
1 8
b ) ( ) = = = 1 Å" = 8
2 3 1 1
1
( )
8
2
1
3
3
3
c ) 8 = 8 = 2 3 = 2
2 0
3
4
4
4
d ) 2 = 2 3 = 8
3
1 1
4
e ) 2 - = = .
3
4
4
8
2
. O b l i c z m y w a r t o [ w y r a |e n i a :
3
0 , 7 5 0 , 7 5
4 4
4
6 Å"( ) Å" 2 - 0 , 7 5 ( 2 Å"3 ) 0 , 7 5 Å"( ) Å" 2 - 0 , 7 5 2 0 , 7 5 Å" 2 - 0 , 7 5 Å"3 0 , 7 5 Å"3 - 0 , 7 5 Å" 4 0 , 7 5
3 3
= = =
3 2 3 2 3 2
3 3 3 3 1 3 1
-
4 4 2 2 2 2 2
2 0 Å"3 0 Å" 4 0 , 7 5 4 ( 2 2 ) 2 2 Å" 2 - 2 2 1 2
= = = = = = = =
1 1 1
2 2 2 3 3 3 3
3 2
3 Å" 2 3 Å" 2 3 Å" 2
. O b l i c z m y w a r t o [ w y r a |e n i a :
3
1 1 1 1
ëø2 + 4 öø öø
3 3 3 3
ìø ÷ø - 6 ëø1 + 2 + 4 =
ìø ÷ø
íø øø íø øø
3 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1 2
ëø2 öø öø ëø öø öøëø4 öø ëø öø
3 3 3 3 3 3 3 3
= + 3 ëø 2 4 + 3 ëø 2 + 4 - 6 - 6 Å" 2 - 6 Å" 2 =
ìø ÷ø ìø ÷ø ìø ÷ø ìø ÷øìø ÷ø ìø ÷ø
íø øø íø øø íø øø íø øøíø øø íø øø
2 2 1 4 1 2
3 3 3 3 3 3
= 2 + 3 Å" 2 Å" 2 + 3 Å" 2 Å" 2 + 4 - 6 - 3 Å" 2 Å" 2 - 3 Å" 2 Å" 2 =
4 5 4 2 5 2 5 5
3 3 3 3 3 3 3 3
= 3 Å" 2 + 3 Å" 2 - 3 Å" 2 - 3 Å" 2 Å" 2 = 3 Å" 2 - 3 Å" 2 1 Å" 2 = 3 Å" 2 - 3 Å" 2 = 0
D z i e l e n i e p r z e z l i c z b n i e w y m i e r n j e s t d z i a Ba n i e m s k o m p l i k o w a n y m r a c h u n k o w o .
C z a s a m i m o |n a p r z e k s z t a Bc i w y r a |e n i e z l i c z b n i e w y m i e r n w m i a n o w n i k u w w y r a |e n i e
o t e j s a m e j w a r t o [c i z l i c z b w y m i e r n w m i a n o w n i k u . N a z y w a s i t o u s u w a n i e m
n i e w y m i e r n o [c i z m i a n o w n i k a ( w l i c z n i k u m o |e p o z o s t a w y r a |e n i e n i e w y m i e r n e ) .
. U s u n n i e w y m i e r n o [ z m i a n o w n i k a :
1 2 2
a ) = =
2
2 2 Å" 2
3 3 3 3 3
1 4 4 4 4 4
b ) = = = = =
3 3 3 3
3
2 2 Å"3 4 2 Å" 4 8
2 3 2
1 - - -
c ) = .
2 2
+ ( + ) ( - ) = ( ) - ( ) = -
2 1
W z b i o r z e l i c z b r z e c z y w i s t y c h o k r e [l o n e s d w i e r e l a c j e :
" r e l a c j a r ó w n o [c i o z n a c z a n a s y m b o l e m =
" r e l a c j a m n i e j s z o [c i o z n a c z a n a s y m b o l e m <
D l a k a |d y c h d w ó c h l i c z b r z e c z y w i s t y c h , " z a c h o d z i d o k Ba d n i e j e d n a z t r z e c h
m o |l i w y c h s y t u a c j i :
= ( c z y t a m y : j e s t r ó w n e )
a l b o < ( c z y t a m y : j e s t m n i e j s z e o d )
a l b o < ( c z y t a m y : j e s t m n i e j s z e o d ) .
O s t a t n i a r e l a c j a m n i e j s z o [c i m o |e b y t a k |e z a p i s a n a j a k o > ( c z y t a m y : j e s t
w i k s z e o d ) .
Z a p i s > 0 ( < 0 ) c z y t a m y : j e s t l i c z b d o d a t n i ( u j e m n ) .
W y c h o d z c o d o m ó w i o n y c h r e l a c j i m o |n a o k r e [l i d o d a t k o w e r e l a c j e w z b i o r z e l i c z b
r z e c z y w i s t y c h :
`" j e s t r ó |n e o d
d" j e s t m n i e j s z e o d l u b r ó w n e ( j e s t n i e w i k s z e o d , j e s t c o
n a j w y |e j r ó w n e )
e" j e s t w i k s z e o d l u b r ó w n e ( j e s t n i e m n i e j s z e o d , j e s t c o
n a j m n i e j r ó w n e ) .
N i e r ó w n o [c i t y p u < l u b > n a z y w a m y n i e r ó w n o [c i a m i o s t r y m i , n a t o m i a s t
n i e r ó w n o [c i t y p u d" l u b e" n a z y w a m y n i e r ó w n o [c i a m i n i e o s t r y m i .
Z a p i s e" 0 ( d" 0 ) c z y t a m y : j e s t l i c z b n i e u j e m n ( n i e d o d a t n i ) .
K i l k a p r z y k Ba d ó w r e l a c j i :
1
s i n 3 0 0 > c o s 9 0 0 ( b o s i n 3 0 0 = , a c o s 9 0 0 = 0 ) ,
2
l o g 2 1 < s i n 9 0 0 ( b o l o g 2 1 = 0 , a s i n 9 0 0 = 1 ) ,
l o g 1 0 = 2 0 ( b o l o g 1 0 = l o g 1 0 1 0 = 1 i 2 0 = 1 ) .
J e [l i c h c e m y p o r ó w n a d w a u Ba m k i , m u s i m y s p r o w a d z i j e d o w s p ó l n e g o m i a n o w n i k a ,
a n a s t p n i e p o r ó w n a i c h l i c z n i k i .
2 2
2 3
. K t ó r a z l i c z b i j e s t w i k s z a ?
3 5
2 1 0 3 9 2 3
W s p ó l n y m i a n o w n i k : 3 Å"5 = 1 5 . P o n i e w a | = , a = , w i c > .
3 1 5 5 1 5 3 5
R e l a c j e m o |n a m n o |y s t r o n a m i p r z e z t s a m w i e l k o [. J e [l i j e s t t o w i e l k o [ d o d a t n i a ,
r e l a c j a n i e u l e g n i e z m i a n i e , n a t o m i a s t w w y n i k u p o m n o |e n i a s t r o n a m i p r z e z w i e l k o [
u j e m n r e l a c j e < , d" z m i e n i s i o d p o w i e d n i o n a > , e" , n p . d" Ô! 5 d" 5 ,
> Ô! - 3 < - 3 .
C z s t o m n o |e n i e s t r o n a m i m a n a c e l u p o z b y c i e s i m i a n o w n i k a u Ba m k a . J e d n a k
z g o d n i e z t y m , c o z o s t a Bo p o w i e d z i a n e w y |e j , m o |n a p o m n o |y s t r o n a m i r ó w n o [
6
= 3 p r z e z - 2 , o t r z y m u j c r ó w n o [ 6 = 3 ( - 2 ) , n a t o m i a s t n i e m o |n a t e g o s a m e g o
- 2
6
z r o b i w p r z y p a d k u n i e r ó w n o [c i < 3 , p o n i e w a | w i e l k o [ - 2 n i e m a u s t a l o n e g o
- 2
z n a k u : m o |e b y d o d a t n i a ( n p . d l a = 7 ) l u b u j e m n a ( n p . d l a = 1 ) . M o |n a n a t o m i a s t
6
2
p o m n o |y s t r o n a m i n i e r ó w n o [ < 3 p r z e z + 2 , o t r z y m u j c n i e r ó w n o [
2
+ 2
6 < 3 ( 2 + 2 ) , p o n i e w a | n i e z a l e |n i e o d ( d o d a t n i e g o , u j e m n e g o c z y r ó w n e g o z e r u )
2
w i e l k o [ + 2 j e s t d o d a t n i a ( k w a d r a t d o w o l n e j l i c z b y j e s t l i c z b n i e u j e m n , a t a
p o w i k s z o n a o 2 s t a j e s i l i c z b d o d a t n i ) .
U w a g a . M o |n a m n o |y s t r o n a m i r e l a c j e , n i e m o |n a n a t o m i a s t m n o |y d a n e g o
w y r a |e n i a t y l k o d l a t e g o , |e j e s t o n o u Ba m k i e m , |e b y p o z b y s i m i a n o w n i k a t e g o u Ba m k a ,
p o n i e w a | z m i e n i a m y w t e d y w a r t o [ t e g o w y r a |e n i a . C h y b a |e j e s t t o m n o |e n i e p r z e z 1 ,
1
g d y l i c z n i k i m i a n o w n i k m n o |y m y p r z e z t s a m l i c z b . I t a k m n o |c l i c z b p r z e z
2
1
2 o t r z y m u j e m y 1 , a l e n i e p r a w d j e s t , |e = 1 . P r a w d z i w e s n a t o m i a s t r ó w n o [c i
2
1 1 Å" 2 2
= = .
2
2 2 Å" 2
J e [l i p r z y n a j m n i e j p o j e d n e j s t r o n i e r e l a c j i r ó w n o [c i c z y n i e r ó w n o [c i w y s t p u j e
n i e w i a d o m a ( n a j c z [c i e j o z n a c z a n a p r z e z ) , t o m o |n a p o s t a w i p y t a n i e , d l a j a k i e j
( j a k i c h ) w a r t o [c i n i e w i a d o m e j t a r e l a c j a j e s t p r a w d z i w a . P o s z u k i w a n i e o d p o w i e d z i n a t o
2 3
p y t a n i e n a z y w a s i r o z w i z y w a n i e m r ó w n a n i a b d z n i e r ó w n o [c i . W s z y s t k i e w a r t o [c i
n i e w i a d o m e j , d l a k t ó r y c h r e l a c j a j e s t p r a w d z i w a , t w o r z z b i ó r r o z w i z a D. R o z w i z a n i a
r ó w n a n i a n a z y w a m y t e | p i e r w i a s t k a m i r ó w n a n i a .
2
Z b i ó r r o z w i z a D m o |e b y p u s t y , n p . r ó w n a n i e + 2 = 0 n i e m a p i e r w i a s t k ó w ,
p o n i e w a | d l a k a |d e j w a r t o [c i l e w a s t r o n a j e s t l i c z b d o d a t n i , n i g d y w i c n i e b d z i e
r ó w n a p r a w e j s t r o n i e , k t ó r a j e s t z e r e m . T a k i e r ó w n a n i e n a z y w a m y s p r z e c z n y m .
R ó w n a n i e m o |e m i e d o k Ba d n i e j e d n o r o z w i z a n i e , n p . r ó w n a n i e l i n i o w e , c z y l i
r ó w n a n i e p o s t a c i + = 0 , m a t y l k o j e d e n p i e r w i a s t e k = - , j e [l i p a r a m e t r w y -
s t p u j c y w t y m r ó w n a n i u ( t z w . w s p ó Bc z y n n i k k i e r u n k o w y ) j e s t r ó |n y o d z e r a .
2
R ó w n a n i e k w a d r a t o w e - 7 + 1 0 = 0 j e s t s p e Bn i o n e t y l k o w t e d y , g d y w e zm i e m y
= 2 l u b = 5 , m a w i c d w a p i e r w i a s t k i ( o r ó w n a n i a c h k w a d r a t o w y c h w i c e j n a s t r . 3 9 ) .
N i e r ó w n o [c i m a j n a o g ó B n i e s k o Dc z e n i e w i e l e r o z w i z a D, n p . n i e r ó w n o [ > 4 j e s t
s p e Bn i o n a p r z y k Ba d o w o p r z e z 5 , 8 , 1 7 , 3 , 1 0 0 2 i p r z e z k a |d i n n l i c z b , k t ó r a j e s t
w i k s z a o d 4 . Z b i ó r r o z w i z a D t e j n i e r ó w n o [c i t w o r z y t z w . p r z e d z i a B ( 4 ; ") .
O g ó l n i e :
p r z e d z i a Be m ( ; ") n a z y w a m y z b i ó r r o z w i z a D n i e r ó w n o [c i > ,
p r z e d z i a Be m [ ; ") n a z y w a m y z b i ó r r o z w i z a D n i e r ó w n o [c i e" ,
p r z e d z i a Be m ( - "; ) n a z y w a m y z b i ó r r o z w i z a D n i e r ó w n o [c i < ,
p r z e d z i a Be m ( - "; ] n a z y w a m y z b i ó r r o z w i z a D n i e r ó w n o [c i d" .
J e [l i < , t o p r z e d z i a Be m ( ; ) n a z y w a m y z b i ó r t y c h , k t ó r e s p e Bn i a j j e d n o c z e [n i e
d w i e n i e r ó w n o [c i : > i < , c z y l i z b i ó r z n a j d u j c y c h s i p o m i d z y l i c z b a m i
i . Z a m i a s t p i s a > i ( j e d n o c z e [n i e ) < p i s z e s i z a z w y c z a j < < .
P o d o b n i e z a p i s < d" o z n a c z a , |e > i ( j e d n o c z e [n i e ) d" i t p .
J e [l i > i ( j e d n o c z e [n i e ) < , t o m a m y d o c z y n i e n i a z u k Ba d e m n i e r ó w n o [c i , c o
>
ñø
c z s t o z a p i s u j e m y w p o s t a c i . J e [l i z b i o r e m r o z w i z a D k a |d e j n i e r ó w n o [c i z o s o b n a
òø <
óø
j e s t p r z e d z i a B, t o r o z w i z a n i e m u k Ba d u n i e r ó w n o [c i j e s t c z [ w s p ó l n a p r z e d z i a Bó w , c z y l i
r ó w n i e | p r z e d z i a B a l b o j e d n a l i c z b a a l b o z b i ó r p u s t y .
.
ñø > 0 , 9
Z b i o r e m r o z w i z a D u k Ba d u j e s t p r z e d z i a B ( 3 ; ") .
òø
> 3
óø
2 4
ñø d"1 , 5
Z b i o r e m r o z w i z a D u k Ba d u j e s t = 1 , 5 .
òø e"1 , 5
óø
ñø < 2
Z b i ó r r o z w i z a D u k Ba d u j e s t p u s t y .
òø > 3
óø
N a l e |y w t y m m i e j s c u z w r ó c i u w a g n a r ó |n i c p o m i d z y z d a n i e m < 2 i ( j e d n o -
c z e [n i e ) > 3 , k t ó r e n i e j e s t p r a w d z i w e d l a |a d n e g o , a z d a n i e m < 2 l u b > 3 ,
k t ó r e j e s t p r a w d z i w e d l a d o w o l n e g o m n i e j s z e g o o d 2 l u b w i k s z e g o o d 3 .
R o z w i z a n i e r ó w n a n i a c z y n i e r ó w n o [c i p o l e g a n a w y k o n a n i u o p e r a c j i , k t ó r e
z m i e n i a j c p o s t a r ó w n a n i a b d z n i e r ó w n o [c i n i e z m i e n i a j z b i o r u r o z w i z a D. M ó w i m y
w t e d y , |e p r z e c h o d z i m y d o p o s t a c i r ó w n o w a |n e j d a n e g o r ó w n a n i a l u b n i e r ó w n o [c i .
D o d a n i e d o o b u s t r o n c z y o d j c i e o d o b u s t r o n t e j s a m e j w i e l k o [c i , p o m n o |e n i e c z y
p o d z i e l e n i e o b u s t r o n p r z e z t e s a m w i e l k o [ r ó |n o d z e r a s o p e r a c j a m i p r o w a d z c y m i
d o p o s t a c i r ó w n o w a |n e j .
. R o z w i z a n i e r ó w n o [ 6 - 2 > 0 .
D o d a j e m y - 6 d o o b u s t r o n ( i n a c z e j m ó w i c p r z e n o s i m y 6 n a p r a w s t r o n z p r z e -
c i w n y m z n a k i e m ) i o t r z y m u j e m y - 2 > - 6 . N a s t p n i e d z i e l i m y o b i e s t r o n y p r z e z - 2 i
z m i e n i a j c z n a k n i e r ó w n o [c i - o t r z y m u j e m y < 3 . N i e r ó w n o [ < 3 j e s t r ó w n o w a |n a
n i e r ó w n o [c i 6 - 2 > 0 , t z n . o b i e n i e r ó w n o [c i m a j t e n s a m z b i ó r r o z w i z a D. W t a k i m
r a z i e z b i o r e m r o z w i z a D n i e r ó w n o [c i 6 - 2 > 0 j e s t p r z e d z i a B ( - "; 3 ) . P o w y |s z e r o z u m o -
w a n i e m o |n a k r ó t k o z a p i s a w n a s t p u j c y s p o s ó b :
6 - 2 > 0 Ô! - 2 > - 6 Ô! < 3 .
J e [l i p o j e d n e j s t r o n i e n i e r ó w n o [c i o s t r e j j e s t i l o r a z d w ó c h w i e l k o [c i , a p o d r u g i e j
s t r o n i e z e r o , t o b i o r c i l o c z y n t y c h w i e l k o [c i z a m i a s t i c h i l o r a z u o t r z y m u j e m y n i e r ó w n o [
r ó w n o w a |n , n p . n i e r ó w n o [ < 0 m a t e n s a m z b i ó r r o z w i z a D c o n i e r ó w n o [
+ 3
( + 3 ) < 0 .
P o d n i e s i e n i e o b u s t r o n d o k w a d r a t u m o |e z w i k s z y z b i ó r r o z w i z a D, n p . r ó w n a n i e
2
= 1 m a o c z y w i [c i e t y l k o j e d e n p i e r w i a s t e k , n a t o m i a s t w r ó w n a n i u = 1 d o c h o d z i
2 2
j e s z c z e p i e r w i a s t e k : - 1 . P i s z e m y : = 1 Ò! = 1 ( a l e n i e : = 1 Ô! = 1 ) . M i m o t o
m o |n a s t o s o w a t e n s p o s ó b n p . d o r o z w i z y w a n i a r ó w n a D, w k t ó r y c h n i e w i a d o m a
w y s t p u j e p o d z n a k i e m p i e r w i a s t k a k w a d r a t o w e g o , b y l e b y s p r a w d z i , k t ó r e z o t r z y m a n y c h
r o z w i z a D s p i e r w i a s t k a m i r ó w n a n i a w y j [c i o w e g o .
2 5
. R o z Bo |y n a c z y n n i k i w y r a |e n i a :
a ) + + +
R o z w i z a n i e p o w i n n o z m i e r z a d o t a k i e g o p r z e k s z t a Bc e n i a t e g o w y r a |e n i a , a b y b y Bo
m o |l i w e w y Bc z e n i e p r z e d n a w i a s p e w n y c h w s p ó l n y c h c z y n n i k ó w . D o [ w y r a zn i e w i d a ,
|e z p i e r w s z y c h d w ó c h s k Ba d n i k ó w m o |n a w y Bc z y , c o z k o l e i p o z w o l i n a w y Bc z e n i e
:
+ + + = + + ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + ) ( + 1 ) .
2 2
b ) - + - + -
R o z w i z a n i e p o w i n n o p r z e b i e g a w k i e r u n k u t a k i e g o p r z e k s z t a Bc e n i a t e g o w y r a |e n i a ,
a b y b y Bo m o |l i w e w y Bc z e n i e w s p ó l n e g o c z y n n i k a p r z e d n a w i a s .
2 2 2
- + - + - = ( - ) + ( - ) + ( - ) =
2 2
= ( - ) + ( - 1 ) ( - + ) + ( - ) = ( - ) - ( - ) + ( - ) =
= ( - ) ( 2 - + 1 )
. U p r o [c i w y r a |e n i e :
3 3
- - ëø öø
1 + ( 1 + ) -
Å" ìø -
1 + ÷ø : .
2 2 2 2
-
+ + - íø øø
T e n p r z y k Ba d j e s t t r o c h b a r d z i e j s k o m p l i k o w a n y n i | p o p r z e d n i e . W j e d n y m z l i c z n i -
k ó w m a m y r ó |n i c s z e [c i a n ó w , a w m i a n o w n i k u ( i n n e g o u Ba m k a ) n i e p e Bn y k w a d r a t s u m y :
2 2 2 2
+ + ( p e Bn y k w a d r a t s u m y t o + 2 + ) . P o d o b n i e l i c z n i k p i e r w s z e g o u Ba m k a
z a w i e r a r ó |n i c - , a m i a n o w n i k d r u g i e g o z u Ba m k ó w m o |e m y t a k p r z e k s z t a Bc i , a b y
t a k a r ó |n i c a t a m s i p o j a w i Ba , c o p o z w o l i n a s k r ó c e n i e u Ba m k a . Z k o l e i w y r a |e n i e
w n a w i a s i e m u s i m y d o p r o w a d z i d o w s p ó l n e g o m i a n o w n i k a . K o l e j n o o t r z y m u j e m y :
3 3
- - ëø öø
1 + ( 1 + ) -
Å" ìø -
1 + ÷ø : =
2 2 2 2
-
+ + - íø øø
2 2
ëø öø
- ( - ) ( 2 + + ) ( - ) + - ( - ) ( 1 + ) ( 1 + ) -
ìø ÷ø
= Å" : =
2 2
ìø ÷ø
( - ) ( + ) ( - )
+ +
íø øø
2 6
öø
- ëø - ) + ) - ( - ) ( 1 + ) ( 1 + ) -
( (
= ìø ÷ø : =
ìø ÷ø
( + ) ( - )
íø øø
2
1 ( - + ) - ( + - - ) ( 1 + ) -
= Å" : =
( + )
2
1 - - + + ( 1 + ) -
= Å" : =
( + )
1 ( 1 + ) - 1
= Å" Å" =
( + ) ( 1 + ) - +
Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a
5 3 2
1 . R o z Bo |y n a c z y n n i k i w y r a |e n i e - + - 1 . O d p . ( - 1 ) ( + 1 ) 2 ( 2 - + 1 ) .
2 . R o z Bo |y n a c z y n n i k i w y r a |e n i e ( + ) + ( - ) - ( + ) .
O d p . ( + ) ( + ) ( - ) .
2
1
+
3 . U p r o [c i w y r a |e n i e d l a `" 0 . O d p . + 1 .
1
+ - 1
+ +
ëø -
öøëø 2 2 öø
4 . U p r o [c i w y r a |e n i e + ÷øìø + 1 ÷ø d l a , `" 0 , `" .
ìø
+ -
+
íø øøìø 2 ÷ø 2 2
íø øø
+
O d p . .
-
ëø öø
ëø öø
1 1 1 2 1 1
ìø ÷ø
5 . U p r o [c i w y r a |e n i e + + ìø ÷ø
+ d l a , `" 0 , `" - .
÷ø
( + ) 2 ìø 2 2 ÷ø ( + ) 3 ìø
íø øø
íø øø
1
O d p . .
2 2
2 7
. U p r o [c i w y r a |e n i e
- 1 - 1
1 1 1 1
îø( + ) - 2 2 2 2
îø(
+ ( - ) - ùø + + ) - - ( - ) - ùø
ïø úø ïø úø
ðø ûø ðø ûø
- 1 - 1
1 1 1 1
îø( + ) - 2 2 2 2
îø(
+ ( - ) - ùø - + ) - - ( - ) - ùø
ïø úø ïø úø
ðø ûø ðø ûø
P r z e k s z t a Bc a n i e t e g o w y r a |e n i a m u s i m y r o z p o c z o d w y k o r z y s t a n i a w z o r ó w n a p o t g
o w y k Ba d n i k u r z e c z y w i s t y m .
- 1 - 1
1 1 1 1
îø( + ) - 2 2 2 2
îø(
+ ( - ) - ùø + + ) - - ( - ) - ùø
ïø úø ïø úø
ðø ûø ðø ûø
=
- 1 - 1
1 1 1 1
îø( + ) - 2 2 2 2
îø(
+ ( - ) - ùø - + ) - - ( - ) - ùø
ïø úø ïø úø
ðø ûø ðø ûø
- 1 - 1
îø ùø îø ùø
1 1 1 1
+ + -
ïø úø ïø úø
+ - + -
ðø ûø ðø ûø
= =
- 1 - 1
îø ùø îø ùø
1 1 1 1
+ - -
ïø úø ïø úø
+ - + -
ðø ûø ðø ûø
- 1 - 1
îø ùø îø ùø
- + + - - +
+
ïø úø ïø úø
2 2 2 2
ïø - úø ïø - úø
ðø ûø ðø ûø
= =
- 1 - 1
îø ùø îø ùø
- + + - - +
ïø úø - ïø úø
2 2 2 2
ïø - úø ïø - úø
ðø ûø ðø ûø
2 2 2 2
- -
+
- + + - - +
= =
2 2 2 2
- -
-
- + + - - +
îø 1 1 ùø
2 2
- +
ïø úø
- + + - - +
ðø ûø
= =
îø ùø
1 1
2 2
- -
ïø úø
- + + - - +
ðø ûø
2 8
- - + + - + + 2 - -
= = = -
.
+
- - + - - - + - 2 +
. U p r o [c i w y r a |e n i e :
2
1 -
Å" ( 1 - ) 2 d l a d" 1
ëø1 - öøëø1 + öø
ìø ÷øìø ÷ø
+ -
ìø ÷øìø ÷ø
1 - 1 +
íø øøíø øø
Z a c z n i e m y o d p r z e k s z t a Bc e n i a m i a n o w n i k a u Ba m k a p i t r o w e g o p o p r z e z s p r o w a d z e n i e
d o w s p ó l n e g o m i a n o w n i k a , a n a s t p n i e w y k o r z y s t a n i e w z o r u n a r ó |n i c k w a d r a t ó w .
2
1 -
Å" ( 1 - ) 2 =
ëø1 - öøëø1 + öø
ìø ÷øìø ÷ø
+ -
ìø ÷øìø ÷ø
1 - 1 +
íø øøíø øø
2
1 -
=
ëø1 - + öøëø öø
( 1 - ) ÷øìø1 + - ( 1 + ) ÷ø Å" ( 1 - ) =
ìø
ìø ÷øìø ÷ø
1 - 1 +
íø øøíø øø
2
( 1 - ) ( 1 - )
= Å" ( 1 - ) =
( 1 - ( - 1 ) - ) ( 1 + ( - 1 ) - )
2 2
( 1 - ) ( 1 - ) 2 ( 1 - ) ( 1 - ) 2
= = =
2
( 1 - - ( - 1 ) ) ( 1 - + ( - 1 ) ) ( 1 - ) 2 - ( ( - 1 ) )
2 2 2
( 1 - ) ( 1 - ) 2 ( 1 - ) ( 1 - ) 2 ( 1 - ) ( 1 - ) 2
= = = =
( 1 - ) 2 - ( - 1 ) 2 ( 1 - ) 2 - ( 1 - ) 2 ( 1 - ) 2 ( 1 - )
( ( 1 - ) 2 = ( - 1 ) 2 )
2
1 - ( 1 - ) ( 1 + )
= = = 1 + .
1 - 1 -
2 9
. U s u n n i e w y m i e r n o [ z m i a n o w n i k a w w y r a |e n i u :
1
.
1 + 2 + 3
Z a d a n i e n a s z e p o l e g a n a t a k i m r o z s z e r z e n i u t e g o u Ba m k a , a b y m o |n a b y Bo z l i k w i d o w a
p i e r w i a s t k i w m i a n o w n i k u . T e c h n i c z n i e m u s i m y m n o |y l i c z n i k i m i a n o w n i k p r z e z t a k i e
w y r a |e n i e , a b y m o |n a b y Bo s k o r z y s t a z e w z o r ó w n a r ó |n i c k w a d r a t ó w .
W n a s z y m p r z y k Ba d z i e m a m y :
1 1 ( 1 + 2 ) - 3
= = =
1 + 2 + 3
( 1 + 2 ) + 3 ( ( 1 + 2 ) + 3 ) ( ( 1 + 2 ) - 3 )
1 + 2 - 3 1 + 2 - 3 1 + 2 - 3
= = = =
2 2
1 + 2 2 + 2 - 3 2 2
( 1 + 2 ) - ( 3 )
2 ( 1 + 2 - 3 ) = 2 + 2 - 2 3 2 + 2 ( 1 - 3 ) = 2 + 2 - 6
= =
4 4 4
2 2 2
. U s u n n i e w y m i e r n o [ z m i a n o w n i k a w w y r a |e n i u :
1
.
2 + 5 + 2 2 + 1 0
Z a c z n i e m y o d o d p o w i e d n i e g o p o g r u p o w a n i a e l e m e n t ó w m i a n o w n i k a w c e l u d o p r o -
w a d z e n i a d o t a k i e j s y t u a c j i , a b y b y Bo m o |l i w e r o z s z e r z e n i e u Ba m k a l i k w i d u j c e
n i e w y m i e r n o [ w m i a n o w n i k u . K o l e j n o m a m y :
1 1 1
= = =
2 + 5 + 2 2 + 1 0 2 + 5 + 2 2 + 2 Å" 5 2 + 5 + 2 2 + 2 5
1 1 1
= = = =
2 + 2 2 + 5 + 2 5
2 ( 1 + 2 ) + 5 ( 1 + 2 ) ( 1 + 2 ) ( 2 + 5 )
( 1 - 2 ) ( 2 - 5 ) ( 1 - 2 ) ( 2 - 5 ) = ( 1 - 2 ) ( 2 - 5 )
= = =
( 1 - 2 ) ( 4 - 5 ) 1
( 1 + 2 ) ( 2 + 5 ) ( 1 - 2 ) ( 2 - 5 )
= ( 1 - 2 ) ( 2 - 5 ) .
3 0
Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a
6 . U p r o [c i w y r a |e n i e :
ëø öøëø 1 1 öø
1 + 1 -
ìø ÷øìø - 1 - ÷ø
+ d l a 0 < < 1 .
ìø 2 ÷øìø 2 ÷ø
1 + - 1 -
1 - - 1 + øø
íø øøíø
O d p . - 1 .
7 . U p r o [c i w y r a |e n i e :
4 3 4 3
ëø öø
ëø öø
-
ìø 4 4 ÷ø
ìø 4
- -
+ 1 ÷ø d l a > 0 , > 0 , `" .
ìø ÷ø ìø ÷ø
-
íø øø
íø øø
4
O d p . - .
8 . U p r o [c i w y r a |e n i e :
4
- 2 + 1 + 1
: + 1 . O d p . 0 d l a 0 < < 1 , 2 d l a > 1 .
4
- 2 4 + 1 - 1
9 . U s u n n i e w y m i e r n o [ z m i a n o w n i k a :
1
3
1
. O d p . 1 - 4 .
3 3 2
2 + 2 + 4
1 0 . U s u n n i e w y m i e r n o [ z m i a n o w n i k a :
2 2
1 - -
e" > 0 . O d p . .
2 2
+ -
1 1 . U s u n n i e w y m i e r n o [ z m i a n o w n i k a :
1 ( 3 + 2 ) ( 5 - 7 ) .
. O d p .
2
1 0 - 1 5 + 1 4 - 2 1
3 1
. R o z w i z a r ó w n a n i e :
2 0 - ( 1 0 - 3 ) 2 6 - 5 1 2 ( 1 - 3 )
- = - .
1 5 6 5 2 1 3
P r z y r o z w i z y w a n i u r ó w n a D l i n i o w y c h ( c z y l i t a k i c h , w k t ó r y c h n i e w i a d o m a w y s t p u j e
w p i e r w s z e j p o t d z e ) t a k p r z e k s z t a Bc a m y w y r a |e n i e , a b y p o l e w e j s t r o n i e z n a k u r ó w n a n i a
o t r z y m a n i e w i a d o m , a p o p r a w e j o d p o w i a d a j c j e j l i c z b . W n a s z y m p r z y k Ba d z i e
z a c z n i e m y o d z l i k w i d o w a n i a u Ba m k ó w m n o |c o b i e s t r o n y r ó w n a n i a p r z e z w s p ó l n y
m i a n o w n i k ( t u 1 5 6 ) , a n a s t p n i e u p o r z d k u j e m y w y r a |e n i e . K o l e j n o o t r z y m u j e m y :
2 0 - ( 1 0 - 3 ) 2 6 - 5 1 2 ( 1 - 3 )
- = - Å"1 5 6
1 5 6 5 2 1 3
1 5 6 - ( 2 0 - ( 1 0 - 3 ) ) = 3 ( 2 6 - 5 1 ) - 1 2 Å" 2 ( 1 - 3 )
1 5 6 - ( 2 0 - 1 0 + 3 ) = 7 8 - 1 5 3 - 2 4 ( 1 - 3 )
1 5 6 - 2 3 + 1 0 = 7 8 - 1 5 3 - 2 4 + 7 2
1 3 3 - 7 8 - 7 2 = - 1 0 - 1 5 3 - 2 4
- 1 7 = - 1 8 7 Å"( - 1 7 )
= 1 1
S p r a w d z e n i e r o z w i z a n i a :
2 0 Å"1 1 - ( 1 0 - 3 Å"1 1 ) 2 2 0 - ( 1 0 - 3 3 ) 2 2 0 + 2 3 2 4 3
= 1 1 - = 1 1 - = 1 1 - = 1 1 - =
1 5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6
1 1 Å"1 5 6 - 2 4 3 1 7 1 6 - 2 4 3 1 4 7 3
= = =
1 5 6 1 5 6 1 5 6
2 6 Å"1 1 - 5 1 2 ( 1 - 3 Å"1 1 ) 2 8 6 - 5 1 2 ( 1 - 3 3 ) 2 3 5 - 6 4 2 3 5 Å" 3 + 6 4 Å"1 2
= - = - = - = =
5 2 1 3 5 2 1 3 5 2 1 3 1 5 6
7 0 5 + 7 6 8 1 4 7 3
= =
1 5 6 1 5 6
= .
3 2
. R o z w i z a r ó w n a n i e :
1 4 5
+ = .
2
+ 2 + 1 + 2 2 + 3 2 + 2 2
D z i a Ba n i a , k t ó r e p o w i n n i [m y p o d j r o z w i z u j c t o r ó w n a n i e , p o w i n n y z m i e r z a d o
z l i k w i d o w a n i a u Ba m k ó w . M o |n a t o z r e a l i z o w a m n o |c o b u s t r o n n i e t o r ó w n a n i e p r z e z
w s p ó l n y m i a n o w n i k . P r z e d j e g o w y z n a c z e n i e m w a r t o z a u w a |y , |e z m i a n o w n i k a
d r u g i e g o z u Ba m k ó w m o |e m y w y c i g n p r z e d n a w i a s , a z m i a n o w n i k a t r z e c i e g o u Ba m k a
2
w y r a |e n i e 2 . D o d a t k o w o z a u w a |m y , |e + 2 + 1 j e s t r ó w n e ( + 1 ) 2 , c o z n a k o m i c i e
u Ba t w i a u s t a l e n i e w s p ó l n e g o m i a n o w n i k a d l a w s z y s t k i c h t r z e c h u Ba m k ó w . K o l e j n o m a m y :
1 4 5
+ =
2 3
+ 2 + 1 + 2 2 + 2 + 2 2
1 4 5
+ = Å" 2 ( + 1 ) 2
( + 1 ) 2 ( + 1 ) 2 2 ( 1 + )
2 + 4 Å" 2 = 5 ( + 1 )
2 + 8 = 5 + 5
2 - 5 = 5 - 8
- 3 = - 3 : ( - 3 )
R o z w i z a n i e : = 1 .
S p r a w d z e n i e r o z w i z a n i a :
1 4 1 1 4 1 + 4 5
= + = + 1 = + = =
1 + 2 + 1 1 + 2 + 1 4 4 4 4 4
5 5
= =
2 + 2 4
= .
D l a j a k i c h w a r t o [c i p r a w d z i w a j e s t n i e r ó w n o [:
2
6 ( + + 1 ) > ( + 1 ) 3 - ( - 1 ) 3 .
Z a c z n i e m y r o z w i z y w a n i e t e j n i e r ó w n o [c i o d p o d n i e s i e n i a d o t r z e c i e j p o t g i w y r a |e D
p o p r a w e j s t r o n i e z n a k u w i k s z o [c i , z l i k w i d o w a n i a n a w i a s u p o s t r o n i e l e w e j o r a z u p o -
r z d k o w a n i a n i e r ó w n o [c i .
3 3
K o l e j n o m a m y :
6 ( 2 + + 1 ) > ( + 1 ) 3 - ( - 1 ) 3
3
6 2 + 6 + 6 > + 3 2 + 3 + 1 - ( 3 - 3 2 + 3 - 1 )
3 3
6 2 + 6 + 6 > + 3 2 + 3 + 1 - + 3 2 - 3 + 1
6 2 + 6 + 6 > 6 2 + 2
6 > 2 - 6
6 > - 4 : 6
4
> -
6
2
R o z w i z a n i e : > - .
3
D l a j a k i c h w a r t o [c i p r a w d z i w a j e s t n i e r ó w n o [:
1 4 - 8
2 + > .
- 3 - 3
P r z y r o z w i z y w a n i u t e j n i e r ó w n o [c i n i e w o l n o n a m p o m n o |y j e j o b u s t r o n p r z e z
w y r a |e n i e - 3 ( w c e l u z l i k w i d o w a n i a u Ba m k a ) , p o n i e w a | n i e j e s t u s t a l o n y z n a k t e g o
w y r a |e n i a . Z a c z n i e m y o d p r z e n i e s i e n i a n i e w i a d o m y c h n a l e w s t r o n z n a k u n i e r ó w n o [c i
t a k , a b y p o p r a w e j s t r o n i e p o z o s t a Bo z e r o . K o l e j n o m a m y :
1 4 - 8 2 ( - 3 ) + 1 4 - 8
2 + > Ô! - > 0 Ô!
- 3 - 3 - 3 - 3
2 - 6 + 1 - 4 + 8 1 0 - 9
Ô! > 0 Ô! > 0
- 3 - 3
1 0 - 9
U Ba m e k > 0 w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y j e g o l i c z n i k i m i a n o w n i k s t y c h s a m y c h
- 3
z n a k ó w . O t r z y m u j e m y s t d d w a u k Ba d y d w ó c h n i e r ó w n o [c i l i n i o w y c h :
1 0 ñø
ñø - 9 > 0 1 0 - 9 < 0
l u b .
òø òø
- 3 > 0 - 3 < 0
óø óø
R o z w i z u j c k o l e j n o o b a u k Ba d y o t r z y m u j e m y :
ñø1 0 - 9 > 0 Ô! 1 0 - 9 > 0 '" - 3 > 0 Ô! > 0 , 9 '" > 3 Ô! > 3
òø
- 3 > 0
óø
ñø1 0 - 9 < 0 Ô! 1 0 - 9 < 0 '" - 3 < 0 Ô! < 0 , 9 '" < 3 Ô! < 0 , 9 .
òø
- 3 < 0
óø
3 4
O s t a t e c z n i e r o z w i z a n i e m n a s z e j n i e r ó w n o [c i s < 0 , 9 l u b > 3 .
U |y t y w p o w y |s z y m r o z w i z a n i u s y m b o l '" j e s t t y m s a m y m c o s p ó j n i k i .
P o d o b n i e s y m b o l (" j e s t t y m s a m y m c o s p ó j n i k l u b . O s t a t e c z n e r o z w i z a n i e t e j
n i e r ó w n o [c i m o |n a w i c z a p i s a t a k |e w p o s t a c i : < 0 , 9 (" > 3 .
D l a j a k i c h w a r t o [c i p r a w d z i w a j e s t n i e r ó w n o [:
- 3 > 7 .
K o r z y s t a j c z e w z o r ó w d o t y c z c y c h n i e r ó w n o [c i z m o d u Be m
< Ô! - < <
> Ô! < - (" >
m a m y :
- 3 > 7 Ô! - 3 < - 7 (" - 3 > 7 Ô! < - 4 (" > 1 0 .
O d p . N i e r ó w n o [ - 3 > 7 j e s t p r a w d z i w a d l a < - 4 (" > 1 0 .
D l a j a k i c h w a r t o [c i p r a w d z i w a j e s t n i e r ó w n o [:
+ 1 - > 0 .
W y r a |e n i a w m o d u Ba c h z m i e n i a j z n a k w o t o c z e n i u p u n k t ó w 1 i 0 , s t d m u s i m y
r o z p a t r y w a t n i e r ó w n o [ d l a - ó w z t r z e c h p r z e d z i a Bó w : < - 1 , - 1 d" < 0 , e" 0 .
D l a < - 1 j e s t + 1 < 0 i < 0 . M a m y w t e d y :
- ( + 1 ) - ( - ) > 0 Ô! - - 1 + > 0 Ô! - 1 > 0 n i e r ó w n o [ s p r z e c z n .
D l a - 1 d" < 0 m a m y + 1 e" 0 o r a z < 0 , s t d :
( + 1 ) - ( - ) > 0 Ô! 2 > - 1 Ô! > - 0 , 5 .
D l a e" 0 m a m y :
( + 1 ) - > 0 Ô! + 1 - > 0 Ô! 1 > 0 n i e r ó w n o [ p r a w d z i w a .
{a d n e z p r z e d z i a Bu ( - ", - 1 ) n i e s p e Bn i a n i e r ó w n o [c i + 1 - > 0 , w p r z e d z i a l e
[ - 1 , 0 ) n i e r ó w n o [ t a s p e Bn i o n a j e s t d l a > - 0 , 5 , a z p r z e d z i a Bu [ 0 , + ") n i e r ó w n o [
s p e Bn i a j w s z y s t k i e .
O s t a t e c z n i e r o z w i z a n i e m n a s z e j n i e r ó w n o [c i s w i c > - 0 , 5 .
3 5
I l e n a l e |y w z i k g s r e b r a p r ó b y 0 , 7 i i l e k g s r e b r a p r ó b y 0 , 9 , a b y o t r z y m a
4 k g s t o p u p r ó b y 0 , 8 5 ?
O z n a c z m y s y m b o l e m i l o [ s r e b r a p r ó b y 0 , 7 , a p r z e z 4 - i l o [ s r e b r a p r ó b y 0 , 9 .
W k i l o g r a m a c h s r e b r a p r ó b y 0 , 7 c z y s t e g o s r e b r a j e s t 0 , 7 . A n a l o g i c z n i e w 4 -
k i l o g r a m a c h s r e b r a p r ó b y 0 , 9 c z y s t e g o s r e b r a j e s t 0 , 9 ( 4 - ) . W 4 k g s t o p u p r ó b y 0 , 8 5
c z y s t e g o s r e b r a b d z i e 0 , 8 5 Å" 4 = 3 , 4 . O s t a t e c z n i e p o t r z e b n e i l o [c i o b u s t o p ó w s r e b r a
z n a j d z i e m y r o z w i z u j c n a s t p u j c e r ó w n a n i e :
0 , 7 + 0 , 9 ( 4 - )
= 0 , 8 5
4
0 , 7 + 0 , 9 ( 4 - ) = 4 Å" 0 , 8 5
0 , 7 + 3 , 6 - 0 , 9 = 3 , 4
- 0 , 2 = - 3 , 6 + 3 , 4
- 0 , 2 = - 0 , 2
= 1
O d p . M u s i m y w z i 1 k g s r e b r a p r ó b y 0 , 7 i 3 k g s r e b r a p r ó b y 0 , 9 w c e l u o t r z y m a n i a
4 k g s r e b r a p r ó b y 0 , 8 5 .
R o z w i |m y u k Ba d d w ó c h r ó w n a D l i n i o w y c h p o s t a c i :
6 + = 0
ñø
òø2 + 2 = 4 - -
óø
R o z w i z a n i e m u k Ba d u d w ó c h r ó w n a D l i n i o w y c h j e s t t a k a p a r a w a r t o [c i , k t ó r a
s p e Bn i a o b a r ó w n a n i a . U k Ba d d w ó c h r ó w n a D l i n i o w y c h m o |e m i e :
" j e d n o z n a c z n e r o z w i z a n i e ( j e d n a p a r a w a r t o [c i ) ,
" b r a k r o z w i z a D ( n i e i s t n i e j e t a k a p a r a , k t ó r a s p e Bn i a o b a r ó w n a n i a
j e d n o c z e [n i e c h o m o |e s p e Bn i a j e d n o z t y c h r ó w n a D) ,
" n i e s k o Dc z e n i e w i e l e r o z w i z a D ( n i e s k o Dc z e n i e w i e l e p a r s p e Bn i a j c y c h o b a
r ó w n a n i a ) .
I s t n i e j e k i l k a m e t o d r o z w i z y w a n i a u k Ba d ó w d w ó c h r ó w n a D l i n i o w y c h . D o n a j c z [c i e j
u |y w a n y c h m o |n a z a l i c z y m e t o d p o d s t a w i a n i a o r a z m e t o d p r z e c i w n y c h w s p ó Bc z y n -
n i k ó w . T o s t a t n i m e t o d w y k o r z y s t a m y d o r o z w i z a n i a n a s z e g o u k Ba d u r ó w n a D.
6 + = 0
ñø
òø2 + 2 = 4 - -
óø
ñø6 + = 0
òø3 + = 2 Å" ( - 1 )
óø
3 6
6 + = 0
ñø 2
òø- 3 - = - 2 Ò! 3 = - 2 Ò! = - .
3
óø
W y z n a c z o n w a r t o [ w s t a w i a m y d o j e d n e g o z r ó w n a D w c e l u o b l i c z e n i a w a r t o [c i
d r u g i e j n i e w i a d o m e j :
2
öø
6 Å"ëø- ÷ø + = 0 Ò! = 4 .
ìø
3
íø øø
2
O s t a t e c z n i e r o z w i z a n i e m u k Ba d u r ó w n a D j e s t = - , = 4 .
3
W p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h X 0 Y n a p Ba s z c z y zn i e z a z n a c z y
p u n k t y , k t ó r y c h w s p ó Br z d n e s p e Bn i a j u k Ba d n i e r ó w n o [c i :
2 +
ñø - 2 e" 0
òø - 2 + 2 d" 0
óø
R o z w i z a n i e t e g o t y p u z a d a D m o |n a z a c z o d p r z e k s z t a Bc e n i a k a |d e j n i e r ó w n o [c i d o
p o s t a c i e" + l u b d" + . P u n k t y p Ba s z c z y z n y , k t ó r y c h w s p ó Br z d n e ,
s p e Bn i a j n i e r ó w n o [ e" + , p o Bo |o n e s n a p r o s t e j o r ó w n a n i u = + i p o w y |e j
t e j p r o s t e j . P u n k t y p Ba s z c z y z n y , k t ó r y c h w s p ó Br z d n e , s p e Bn i a j n i e r ó w n o [
d" + , p o Bo |o n e s n a p r o s t e j o r ó w n a n i u = + i p o n i |e j t e j p r o s t e j .
W n a s z y m p r z y k Ba d z i e z a c z y n a m y o d p r z e k s z t a Bc e n i a o b u n i e r ó w n o [c i d o p o s t a c i
e" + o r a z d" + , c o p o z w o l i n a m n a n a s z k i c o w a n i e w y k r e s ó w o b u f u n k c j i
l i n i o w y c h i z a z n a c z e n i e p u n k t ó w o w s p ó Br z d n y c h s p e Bn i a j c y c h k a |d z n i e r ó w n o [c i .
e" - 2 + 2 e" - 2 + 2
ñø2 + - 2 e" 0 Ô! ñø ñø
òø - 2 + 2 d" 0 òø- 2 d" - - 2 : ( - 2 ) Ô! òø e" 0 , 5 + 1
óø óø óø
: = 0 , 5 + 1
2
: = - 2 + 2
1
3 7
Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o r o z w i z a n i a
1 3 4
1 2 . R o z w i z a r ó w n a n i e - = .
2 2 2
9
( 3 - 2 ) - 4 ( 3 + 2 )
O d p . = 0 , 9 .
1 3 . R o z w i z a r ó w n a n i e ( + 2 ) ( - 3 ) = ( - 5 ) ( - 6 ) .
O d p . = 3 , 6 .
3 - 1
1 4 . R o z w i z a r ó w n a n i e + = 2 . O d p . R ó w n a n i e s p r z e c z n e .
- 2 2 -
3 2 5 2
1 5 . R o z w i z a r ó w n a n i e - = - .
2 2
+ 1 - 1 - 1
- 1
O d p . = 3 .
1 6 . M a s a w o d o r u z a w a r t e g o w w o d z i e s t a n o w i 1 2 , 5 % m a s y z a w a r t e g o w n i e j t l e n u . I l e
k g w o d o r u i i l e k g t l e n u z n a j d u j e s i w 8 , 1 k g w o d y ?
O d p . 0 , 9 k g w o d o r u i 7 , 2 k g t l e n u .
1 7 . I l e g r a m ó w s t o p u 3 0 % i i l e g r a m ó w s t o p u 7 0 % n a l e |y z m i e s z a , a b y o t r z y m a 5 0 0
g r a m s t o p u 6 0 % ?
O d p . O d p o w i e d n i o 1 2 5 i 3 7 5 g r a m ó w o b u s t o p ó w .
1 8 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ 4 - 3 < + 6 . O d p . < 3 .
4 + 1 + 4 1
1 9 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ > . O d p . > .
2 5 6
2 0 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ ( + 5 ) ( 4 - ) > 0 .
O d p . - 5 < < 4 .
2 1 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ ( 3 - 1 ) 2 + ( 4 - 1 ) 2 < ( 5 - 1 ) 2 .
O d p . > 0 , 2 5 .
3 - 1 5
2 2 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ < 0 . O d p . 2 < < 5 .
- 2
2 + 1
2 3 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ > 1 . O d p . < - 2 l u b > 1 .
+ 2
3 8
ñø - 5 = 1
2 4 . R o z w i z a u k Ba d r ó w n a D
òø + 2 = 2 .
óø
1 2 1
O d p . = = .
7 7
2
ñø - = 3 +
2 5 . R o z w i z a u k Ba d r ó w n a D
òø - 0 , 5 = 3 + 0 , 5 .
óø
O d p . B r a k r o z w i z a D, u k Ba d s p r z e c z n y .
2 6 . P o z m i e s z a n i u d w ó c h r o z t w o r ó w k w a s u s o l n e g o 7 5 % i 5 4 % o t r z y m a n o 4 2 l i t r y
r o z t w o r u 6 6 % . J a k i e i l o [c i r o z t w o r ó w o s t |e n i u 7 5 % i 5 4 % z m i e s z a n o ?
O d p . O d p o w i e d n i o 2 4 i 1 8 k g k w a s u o b u s t |e D.
2 7 . W p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h X 0 Y n a p Ba s z c z y zn i e w y z n a c z y p u n k t y ,
k t ó r y c h w s p ó Br z d n e s p e Bn i a j u k Ba d n i e r ó w n o [c i :
ñø < 3
òø - 6 > - 2
óø
2 8 . W p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h X 0 Y n a p Ba s z c z y zn i e w y z n a c z y p u n k t y ,
k t ó r y c h w s p ó Br z d n e s p e Bn i a j u k Ba d n i e r ó w n o [c i :
< 3
ñø
ôø - 6 > - 2
òø
ôø
d" 5
óø
2 9 . W p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h X 0 Y n a p Ba s z c z y zn i e z a z n a c z y p u n k t y ,
k t ó r y c h w s p ó Br z d n e s p e Bn i a j u k Ba d n i e r ó w n o [c i :
2 +
ñø - 2 d" 0
òø4
+ 2 + 1 > 0
óø
3 0 . W p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h X 0 Y n a p Ba s z c z y zn i e z a z n a c z y p u n k t y ,
k t ó r y c h w s p ó Br z d n e s p e Bn i a j u k Ba d n i e r ó w n o [c i :
2 +
ñø - 2 > 0
òø4
+ 2 + 1 < 0
óø
3 1 W p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h X 0 Y n a p Ba s z c z y zn i e z a z n a c z y p u n k t y ,
k t ó r y c h w s p ó Br z d n e s p e Bn i a j u k Ba d n i e r ó w n o [c i :
2 +
ñø - 2 > 0
òø
> 3
óø
3 9
2 + 1 - 1 + 3 4 +
. R o z w i z a r ó w n a n i e - = - .
2
+ 3 - 9
3 - 3 +
Z a c z n i e m y o d p r z e k s z t a Bc e n i a t e g o r ó w n a n i a , t a k b y d o p r o w a d z i j e d o p r o s t s z e j , a l e
r ó w n o w a |n e j p o s t a c i :
2 + 1 - 1 + 3 4 +
- = -
2
+ 3 - 9 - 3 +
3
2 + 1 - 1 + 3 4 +
- = - - Å"( + 3 ) ( - 3 )
2
+ 3 - 9 - 3 3 +
( 2 + 1 ) ( - 3 ) - ( - 1 ) = - ( + 3 ) 2 - ( 4 + ) ( - 3 )
2 2 - 6 + - 3 - + 1 = - 2 - 6 - 9 - 4 + 1 2 - 2 + 3
4 2 + - 5 = 0
O t r z y m a l i [m y r ó w n a n i e k w a d r a t o w e , k t ó r e g o o g ó l n p o s t a m o |n a z a p i s a
n a s t p u j c o :
2
+ + = 0 , g d z i e `" 0 .
2
W y r a |e n i e + + n a z y w a m y t r ó j m i a n e m k w a d r a t o w y m .
2
W y r ó |n i k " = - 4 d e c y d u j e o l i c z b i e p i e r w i a s t k ó w ( c z y l i r o z w i z a D) r ó w n a n i a
k w a d r a t o w e g o :
- - " - + "
" > 0 : 2 p i e r w i a s t k i
= , =
1 2
2 2
-
" = 0 : 1 p i e r w i a s t e k p o d w ó j n y = =
1 2
2
" < 0 : b r a k p i e r w i a s t k ó w .
W p r z y p a d k u r ó w n a n i a 4 2 + - 5 = 0 m a m y :
" = 1 2 - 4 Å" 4 Å"( - 5 ) = 8 1 , " = 8 1 = 9 .
- 1 - 9 1 0 5 - 1 + 9 8
S t d 1 = = - = - , 2 = = = 1 .
2 Å" 4 8 4 2 Å" 4 8
5
T a k w i c r ó w n a n i e 4 2 + - 5 = 0 m a d w a p i e r w i a s t k i : = - , = 1 .
1 2
4
4 0
S p r a w d z e n i e :
2
5 5 5 2 5 5 2 0
D l a = = - m a m y = 4 Å"( - ) + ( - ) - 5 = - - 5 = - 5 = 5 - 5 = 0 = .
1
4 4 4 4 4 4
D l a = = 1 m a m y = 4 Å"1 2 + 1 - 5 = 4 + 1 - 5 = 5 - 5 = 0 = .
2
P o n i e w a | w y j [c i o w e r ó w n a n i e j e s t r ó w n o w a |n e r ó w n a n i u 4 2 + - 5 = 0 , w i c m a t e
s a m e p i e r w i a s t k i . S p r a w d z e n i e t e g o p o z o s t a w i a m y j a k o s a m o d z i e l n e w i c z e n i e .
. R o z w i z a r ó w n a n i e 1 2 2 + 7 = 0 .
W t y m p r z y k Ba d z i e m a m y t a k s y t u a c j ( w o d n i e s i e n i u d o p o s t a c i o g ó l n e j ) , |e
w s p ó Bc z y n n i k j e s t z e r o w y . J e s t t o j e d n a z t z w . p o s t a c i r ó w n a n i a k w a d r a t o w e g o
n i e z u p e Bn e g o . R o z w i |e m y t o r ó w n a n i e p o p r z e z w y c i g n i e c i e p r z e d n a w i a s w i e l k o [c i .
W p r z y k Ba d z i e m a m y k o l e j n o :
7 7
öø
1 2 2 + 7 = 0 Ô! 1 2 ëø + = 0 Ô! 1 2 = 0 (" + = 0 Ô!
ìø ÷ø
1 2 1 2
íø øø
7
= 0 (" = -
1 2
2
. R o z w i z a r ó w n a n i e - 4 9 = 0 .
2
J e s t t o k o l e j n a p o s t a r ó w n a n i a k w a d r a t o w e g o n i e z u p e Bn e g o , t y m r a z e m + = 0 .
R ó w n a n i e t o m a r o z w i z a n i a t y l k o w t e d y , g d y Å" d" 0 . K l a s y c z n a t e c h n i k a
r o z w i z y w a n i a p o l e g a n a w y k o r z y s t a n i u w z o r u n a r ó |n i c k w a d r a t ó w . W p r z y k Ba d z i e
m a m y :
2 2
- 4 9 = 0 Ô! - 7 2 = 0 Ô! ( + 7 ) ( - 7 ) = 0 Ô! = - 7 (" = 7 .
. R o z w i z a r ó w n a n i e 2 + 4 = 0 .
Z g o d n i e z u w a g s f o r m u Bo w a n w p r z y k Ba d z i e 4 2 r ó w n a n i e t o n i e m a p i e r w i a s t k ó w
( Å" = 1 Å" 4 = 4 > 0 ) . W y n i k a t o r ó w n i e | z t e g o , |e " = 0 2 - 4 Å"1 Å" 4 = - 1 6 < 0 .
. D l a j a k i c h s p e Bn i o n a j e s t n i e r ó w n o [ 5 2 - 7 + 2 > 0 .
R o z w i z a n i e n i e r ó w n o [c i 5 2 - 7 + 2 > 0 w y m a g a p r z e d s t a w i e n i a l e w e j s t r o n y j a k o
2
t z w . p o s t a c i i l o c z y n o w e j t r ó j m i a n u k w a d r a t o w e g o : + + = ( - 1 ) ( - ) .
2
M a m y " = ( - 7 ) 2 - 4 Å" 5 Å" 2 = 4 9 - 4 0 = 9 , " = 9 = 3 .
- ( - 7 ) - 3 4 - ( - 7 ) + 3 1 0
S t d 1 = = = 0 , 4 , = = = 1 .
2
2 Å"5 1 0 2 Å"5 1 0
4 1
M o |e m y j u | z a p i s a n a s z n i e r ó w n o [ w p o s t a c i :
5 2 - 7 + 2 > 0 Ô! 5 ( - 0 , 4 ) ( - 1 ) > 0 .
R o z w i z a n i e n i e r ó w n o [c i 5 ( - 0 , 4 ) ( - 1 ) > 0 n a j Ba t w i e j z n a l e z k o r z y s t a j c z w y k r e s u
f u n k c j i k w a d r a t o w e j . J a k w i a d o m o , w y k r e s e m t e j f u n k c j i j e s t p a r a b o l a o g a Bz i a c h s k i e r o -
w a n y c h d o g ó r y d l a > 0 l u b d o d o Bu d l a < 0 .
2
= 5 - 7 + 2
+
+
0 , 4 - 1 , 0
Z w y k r e s u w i d a , |e w a r t o [c i d o d a t n i e f u n k c j a = 5 2 - 7 + 2 p r z y j m u j e d l a < 0 , 4
l u b d l a > 1 .
O d p . N i e r ó w n o [ 5 2 - 7 + 2 > 0 s p e Bn i o n a j e s t d l a < 0 , 4 l u b d l a > 1 .
- 3
. D l a j a k i c h s p e Bn i o n a j e s t n i e r ó w n o [ < 0
+ 2
J e d n z Ba t w i e j s z y c h m e t o d r o z w i z y w a n i a n i e r ó w n o [c i t e g o t y p u j e s t w y k o r z y s t a n i e
f a k t u , |e z n a k i l o r a z u j e s t t a k i s a m j a k i l o c z y n u . M a m y w i c :
- 3
< 0 Ô! - 3 ( + 2 ) < 0 .
= - 3 ( + 2 )
+ 2
P o s p o r z d z e n i u s z k i c u w y k r e s u t r ó j m i a n u
k w a d r a t o w e g o = - 3 ( + 2 ) w i d z i m y , |e
+
w a r t o [c i u j e m n e f u n k c j a t a p r z y j m u j e d l a
< - 2 l u b > 0 .
- 2 0
- 3
-
-
O d p . N i e r ó w n o [ < 0 s p e Bn i o n a j e s t
+ 2
d l a < - 2 (" > 0 .
4 2
. D l a j a k i e j w a r t o [c i p a r a m e t r u r ó w n a n i e :
( + 2 ) 2 + 6 + 4 - 1 = 0
m a d w a r ó |n e p i e r w i a s t k i u j e m n e ?
2
N a t o , a b y r ó w n a n i e k w a d r a t o w e + + = 0 m i a Bo d w a r ó |n e p i e r w i a s t k i u j e m n e
m u s z b y s p e Bn i o n e j e d n o c z e [n i e t r z y w a r u n k i :
2
. " = - 4 > 0
- - " - + " -
. + = + = < 0
1 2
2 2
2 2 2
ëø öøëø öø
- - " - + " - " - + 4
ìø ÷øìø ÷ø
. 1 Å" 2 = = = = > 0 .
2 2
ìø ÷øìø ÷ø
2 2
4 4
íø øøíø øø
W n a s z y m p r z y k Ba d z i e m a m y = + 2 , = 6 i = 4 - 1 . R o z w i z u j e m y p i e r w s z y
w a r u n e k :
2
. " = 3 6 - 4 ( + 2 ) ( 4 - 1 ) > 0 . M a m y
2 2 2 2
3 6 - 4 ( 4 - + 8 - 2 ) > 0 Ò! 9 - 4 - 7 + 2 > 0 Ò!
2
Ò! 5 - 7 + 2 > 0
2
N i e r ó w n o [ 5 - 7 + 2 > 0 j e s t a n a l o g i c z n a d o n i e r ó w n o [c i z p r z y k Ba d u 4 2 ( z
z a m i a s t ) , m o |e m y w i c o d r a z u z a p i s a j e j r o z w i z a n i e :
2
5 - 7 + 2 > 0 Ô! < 0 , 4 (" > 1 .
T y m s a m y m d l a t a k i c h w a r t o [c i p a r a m e t r u i s t n i e j d w a r ó |n e p i e r w i a s t k i . D w a
d o d a t k o w e w a r u n k i s p o t o , a b y b y By t o p i e r w i a s t k i d o d a t n i e . K o l e j n o j e r o z w i |e m y , a n a
k o n i e c p o s z u k a m y w s p ó l n e g o r o z w i z a n i a d l a t y c h t r z e c h w a r u n k ó w .
- - 6
. 1 + = = < 0 Ò! - 6 ( + 2 ) < 0 Ò! ( + 2 ) > 0 .
2
( + 2 )
N i e r ó w n o [ ( + 2 ) > 0 j e s t r ó w n o w a |n a n i e r ó w n o [c i - 3 ( + 2 ) < 0 r o z p a t r y w a n e j
w p r z y k Ba d z i e 4 5 , a j e j r o z w i z a n i e m s w a r t o [c i < - 2 (" > 0 .
4 - 1
. 1 Å" 2 = = > 0 Ò! 4 ( - 0 , 2 5 ) ( + 2 ) > 0 .
+ 2
4 3
= 4 ( - 0 , 2 5 ) ( + 2 )
+
+
- 2 - 0 , 2 5
N i e r ó w n o [ 4 ( - 0 , 2 5 ) ( + 2 ) > 0 j e s t s p e Bn i o n a d l a < - 2 l u b > 0 , 2 5 .
Z e s t a w i a m y w s z y s t k i e t r z y r o z w i z a n i a n a w s p ó l n e j o s i l i c z b o w e j :
- 2 0 , 4 1
O s t a t e c z n i e r ó w n a n i e ( + 2 ) 2 + 6 + 4 - 1 = 0 b d z i e m i a Bo d w a r ó |n e p i e r w i a s t k i
u j e m n e d l a < - 2 l u b > 1 .
4
. R o z w i z a r ó w n a n i e - 5 2 + 4 = 0 .
J e s t t o p r z y k Ba d t z w . r ó w n a n i a d w u k w a d r a t o w e g o , k t ó r e r o z w i z u j e m y p o p r z e z
w p r o w a d z e n i e n o w e j z m i e n n e j w t a k i s p o s ó b , a b y s p r o w a d z i j e d o s t a n d a r d o w e g o
r ó w n a n i a k w a d r a t o w e g o . W n a s z y m p r z y k Ba d z i e p o d s t a w i a j c 2 = o t r z y m a m y :
2
- 5 + 4 = 0
" = ( - 5 ) 2 - 4 Å"1 Å"4 = 2 6 - 1 6 = 9 " = 9 = 3
- ( - 5 ) - 3 5 - 3 - ( - 5 ) + 3 5 + 3
= = = 1 = = = 5 .
1 2
2 Å"1 2 2 Å"1 2
W r a c a m y d o p o d s t a w i e n i a :
2 2
= = 1 Ô! - 1 = 0 Ô! ( + 1 ) ( - 1 ) = 0 Ô! = - 1 (" = 1 ,
1
2 2
= = 4 Ô! - 4 = 0 Ô! ( + 2 ) ( - 2 ) = 0 Ô! = - 2 (" = 2 .
2
O s t a t e c z n i e p i e r w i a s t k a m i r ó w n a n i a 4 - 5 2 + 4 = 0 s l i c z b y - 2 , - 1 , 1 , 2 .
4 4
. R o z w i z a r ó w n a n i e + 1 0 + 6 = 9 .
J e s t t o p r z y k Ba d r ó w n a n i a p i e r w i a s t k o w e g o ( n i e w i a d o m a w y s t p u j e p o d z n a k i e m
p i e r w i a s t k a ) . T e c h n i k a r o z w i z y w a n i a t e g o t y p u r ó w n a D p o l e g a n a t a k i m j e g o p r z e k s z t a B-
c e n i u , a b y z l i k w i d o w a p i e r w i a s t k i . Z w y k l e r o b i m y t o p o d n o s z c o b i e s t r o n y r ó w n a n i a d o
k w a d r a t u ( r a z l u b w i c e j r a z y ) . O p e r a c j a p o d n o s z e n i a d o k w a d r a t u m o |e s p o w o d o w a
w p r o w a d z e n i e o b c y c h p i e r w i a s t k ó w , s t d r o z w i z a n i a p o w i n n y b y s p r a w d z o n e . W p r z y -
k Ba d z i e m a m y :
2
+ 1 0 + 6 = 9 Ô! 1 0 + 6 = 9 - Ô! ( 1 0 + 6 ) = ( 9 - ) 2 Ô!
2 2
Ô! 1 0 + 6 = 8 1 - 1 8 + Ô! - 2 8 + 7 5 = 0
" = ( - 2 8 ) 2 - 4 Å"1 Å" 7 5 = 7 8 4 - 3 0 0 = 4 8 4 , " = 4 8 4 = 2 2 ,
- ( - 2 8 ) - 2 2 2 8 - 2 2 - ( - 2 8 ) + 2 2 2 8 + 2 2
= = = 3 , = = = 2 5 .
1 2
2 Å"1 2 2 Å"1 2
D l a 1 = 3 m a m y = 3 + 3 0 + 6 = 3 + 3 6 = 3 + 6 = 9 , = 9 , = .
D l a 2 = 2 5 m a m y = 2 5 + 2 5 0 + 6 = 2 5 + 2 5 6 = 2 5 + 1 6 = 4 1 , = 9 , `" .
O s t a t e c z n i e p i e r w i a s t k i e m r ó w n a n i a + 1 0 + 6 = 9 j e s t = 3 .
1
. R o z w i z a r ó w n a n i e 1 - - = .
3
P o d n o s i m y d w u k r o t n i e d o k w a d r a t u o b i e s t r o n y t e g o r ó w n a n i a o t r z y m u j c :
2
2 1 1
ëø öø
( 1 - - ) = Ô! 1 - - 2 1 - + = Ô!
ìø ÷ø
íø 3 øø 3
1 1
Ò! - 2 1 - = - 1 Ô! 1 - = Ô!
3 3
2
2 1 1
ëø öø
Ò! ( 1 - ) = Ô! ( 1 - ) = Å" 9 Ô! 9 - 9 2 - 1 = 0 Ô!
ìø ÷ø
3
íø øø 9
Ô! 9 2 - 9 + 1 = 0
" = ( - 9 ) 2 - 4 Å" 9 Å"1 = 8 1 - 3 6 = 4 5 , " = 4 5 = 3 5 ,
4 5
- ( - 9 ) - 3 5 9 - 3 5 1 5
= = = -
1
2 Å"9 1 8 2 6
- ( - 9 ) + 3 5 9 + 3 5 1 5
= = = +
2
2 Å"9 1 8 2 6
1 5
D l a 1 = - m a m y :
2 6
1 5 1 5 1 5 1 5 6 + 2 5 6 - 2 5
= 1 - + - - = + - - = - =
2 6 2 6 2 6 2 6 1 2 1 2
1 1 2 2
îø ùø
îø ùø
= 6 + 2 5 - 6 - 2 5 = ( 1 + 5 ) - ( 1 - 5 ) =
ïø úø
ïø úø
ðø ûø
1 2 4 Å" 3 ðø ûø
1 1
= [ ( 1 + 5 ) - 1 - 5 ] = [ ( 1 + 5 ) - ( 5 - 1 ) ] =
2 3 2 3
1 2 1
= [ 1 + 5 + 1 - 5 ] = = =
2 3 2 3 3
1 5
D l a 2 = + m a m y :
2 6
1 5 1 5 1 5 1 5
= 1 - - - + = - - + =
2 6 2 6 2 6 2 6
6 - 2 5 6 + 2 5 1
îø ùø
= - = 6 - 2 5 - 6 + 2 5 =
ïø úø
ðø ûø
1 2 1 2 2 3
1 2 2 1
îø ùø
= ( 1 - 5 ) - ( 1 + 5 ) = = [ 1 - 5 - 1 + 5 ] =
ïø úø
2 3 ðø ûø 2 3
1 1
= [ - ( 1 - 5 ) - ( 1 + 5 ) ] = = ( - 1 + 5 - 1 - 5 ) =
2 3 2 3
- 2 - 1 1
= = `" =
2 3 3 3
1 1 5
O s t a t e c z n i e p i e r w i a s t k i e m r ó w n a n i a 1 - - = j e s t = - .
2 6
3
4 6
1
. R o z w i z a n i e r ó w n o [ < 0 .
2
+ 5 + 4
P o w y |s z a n i e r ó w n o [ b d z i e s p e Bn i o n a w t e d y , g d y m i a n o w n i k b d z i e p r z y j m o w a B
w a r t o [c i u j e m n e :
1
2
< 0 Ô! + 5 + 4 < 0 .
2
+ 5 + 4
T o s t a t n i n i e r ó w n o [ r o z w i |e m y g r a f i c z n i e , a l e w c z e [n i e j m u s i m y z n a l e z m i e j s c a
z e r o w e t r ó j m i a n u :
2
= + 5 + 4
" = 5 2 - 4 Å"1 Å"4 = 2 5 - 1 6 = 9
" = 9 = 3
- 5 - 3
= = - 4 ,
1
2
+
+
- 5 + 3
= = - 1 .
2
2
- - 1
- 4
Z w y k r e s u o d c z y t u j e m y , |e r o z w i z a n i e m
2
n i e r ó w n o [c i + 5 + 4 < 0 s - 4 < < - 1 .
4 7
Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o r o z w i z a n i a
1 2
3 2 . R o z w i z a r ó w n a n i e + = 1 .
2 - 1 2 + 1
O d p . 1 = 0 , = 1 , 5 .
2
+ 8 2 4
3 3 . R o z w i z a r ó w n a n i e - 2 = .
- 8 - 4
O d p . 1 = - 8 , = 1 2 .
2
2
3 4 . Z n a l e z r ó w n a n i e k w a d r a t o w e + + = 0 , k t ó r e g o p i e r w i a s t k i s o d p o w i e d n i o
r ó w n e 9 i 8 .
O d p . 2 + - 7 2 = 0 .
3 5 . D l a j a k i e j w a r t o [c i p a r a m e t r u r ó w n a n i e ( + 2 ) 2 + 6 + 4 - 1 = 0
m a p i e r w i a s t e k p o d w ó j n y ?
O d p . D l a = 0 , 4 l u b = 1 .
4
3 6 . R o z w i z a r ó w n a n i e + 2 2 + 1 = 0 .
O d p . R ó w n a n i e s p r z e c z n e .
3 7 . R o z w i z a r ó w n a n i e 3 - - 1 = 3 - 2 .
O d p . = 2 .
2 - 1
3 8 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ e" 0 .
+ 3
1
O d p . < - 3 l u b e" .
2
2
+ 4
3 9 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ < 0 .
2
- - 6
O d p . - 2 < < 3 .
2
4 0 . D l a j a k i e j w a r t o [c i p a r a m e t r u n i e r ó w n o [ + + 5 - 2 > 0 j e s t s p e Bn i o n a
d l a w s z y s t k i c h " ?
O d p . > 0 , 5 .
4 8
2
4 1 . D l a j a k i e j w a r t o [c i p a r a m e t r u r ó w n a n i e + 3 - + 5 = 0 m a d w a r ó |n e
p i e r w i a s t k i ?
1 9
O d p . D l a < 0 l u b 0 < < l u b > .
2 2
2
4 2 . D l a j a k i e j w a r t o [c i p a r a m e t r u r ó w n a n i e + 3 - + 5 = 0 m a d w a r ó |n e
p i e r w i a s t k i d o d a t n i e ?
1 9
O d p . D l a 0 < < l u b < < 5 .
2 2
4 3 . D l a j a k i e j w a r t o [c i p a r a m e t r u p i e r w i a s t k i r ó w n a n i a
+ 1 1 1
+ = + 1 s p e Bn i a j n i e r ó w n o [ + < 2 + 1 .
- 1
1 2
O d p . D l a - 1 , 5 < < - 1 l u b 0 < < 1 .
4 9
5 3 2
Z a d a n i e 1 . R o z Bo |y n a c z y n n i k i w y r a |e n i e - + - 1 :
5 3 2 3 2 3 2 3 2 2
- + - 1 = - + - 1 = ( - 1 ) + ( - 1 ) =
2 3 2 2
= ( - 1 ) ( + 1 ) = ( - 1 ) ( + 1 ) ( + 1 ) ( - + 1 ) = ( - 1 ) ( + 1 ) 2 ( - + 1 )
Z a d a n i e 2 . R o z Bo |y n a c z y n n i k i w y r a |e n i e ( + ) + ( - ) - ( + ) :
2 2 2 2
( + ) + ( - ) - ( + ) = + + - - ( + ) =
2 2 2 2 2 2 2
= - + + - ( + ) = ( - ) + ( + ) - ( + ) =
2 2
= ( - ) ( + ) + ( + ) - ( + ) = ( + ) [ ( - ) + - ] =
2
= ( + ) ( - + - ) = ( + ) ( ( - ) + ( - ) ) =
= ( + ) ( - ) ( + )
2
1
+
Z a d a n i e 3 . U p r o [c i w y r a |e n i e :
1
+ - 1
3
+ 1
2
1
3 3
+
+ 1 + 1
= = Å" = =
1 2 2
+ - 1
+ 1 - 2 - + 1 - + 1
( + 1 ) ( 2 - + 1 )
= = + 1
2
- + 1
+ +
ëø -
öøëø 2 2 öø
Z a d a n i e 4 . U p r o [c i w y r a |e n i e + ÷øìø + 1 ÷ø :
ìø
+ -
+
íø øøìø 2 ÷ø 2 2
íø øø
ëø - + +
öøëø 2 2 öø
+ + 1 ÷ø =
ìø ÷øìø
+ - 2 ÷ø 2 2
+
íø øøìø
íø øø
2
( - ) 2 + ( + ) 2 2 + + 2
= Å" Å" =
2 2
2 2 2
- +
2 2 2 2
( 2 - 2 + + + 2 + ) ( + ) 2 2 ( 2 + ) ( + ) +
= = =
2 2 2
2 ( 2 + ) ( 2 - ) 2 ( 2 + ) ( - ) -
5 0
ëø öø
ëø öø
1 1 1 2 1 1
ìø ÷ø
Z a d a n i e 5 . U p r o [c i w y r a |e n i e + + ìø ÷ø :
+
÷ø
( + ) 2 ìø 2 2 ÷ø ( + ) 3 ìø
íø øø
íø øø
ëø öø
ëø öø
1 1 1 2 1 1
ìø ÷ø
+ + ìø ÷ø
+ =
( + ) 2 ìø 2 2 ÷ø ( + ) 3 ìø ÷ø
íø øø
íø øø
2 2
îø
ëø öø
ëø öøùø
1 + 2 +
= + ìø ÷ø =
ïøìø ÷ø
( + ) 2 ðøíø 2 2 ÷ø ìø ÷øúø
ïøìø øø + íø øøúø
ûø
2 2
îø 2 + 2 ùø ëø
1 1 + + 2 öø
ìø ÷ø
= + 2 úø = =
( + ) 2 ïø ûø ( + ) 2 ìø ÷ø
ïø úø
ðø íø øø
( + ) 2 1
= =
2 2
( + ) 2 2 2
Z a d a n i e 6 . U p r o [c i w y r a |e n i e
ëø öøëø 1 1 öø
1 + 1 -
ìø ÷øìø - ÷ø
:
+ d l a 0 < < 1
ìø 2 ÷øìø 2 - 1 ÷ø
1 + - 1 -
1 - - 1 + øø
íø øøíø
ëø öø
1 + 1 -
ìø ÷øëø 1 - 1 - 1 öø =
ìø ÷ø
+
ìø ÷ø
ìø 2 ÷øíø 2 øø
1 + - 1 -
1 - - 1 +
íø øø
ëø öøëø 1 - 2 1 öø
1 + 1 -
ìø ÷øìø - ÷ø =
= +
2
ìø
ìø ÷ø ÷ø
1 + - 1 - ( 1 - ) ( 1 + ) - ( 1 - )
íø øøíø
øø
ëø öø
1 + 1 - 1 - 1
ëø 2
ìø
= +
÷ø
ìø ÷ø
íø øø
1 + - 1 - 1 - ( 1 + - 1 - ) ÷ø Å" ìø 1 - - 1 öø =
íø øø
ëø öø
1 + 1 - 1
ëø 2
ìø ÷ø
= + 1 - ÷ø
ìø - 1 öø =
ìø ÷ø
1 + - 1 - 1 + - 1 - íø øø
íø øø
1 + + 1 - 1 1 + + 1 - 1 + - 1 - 1
ëø 2 ëø 2
= Å" 1 - - 1 öø = Å" Å" 1 - - 1 öø =
ìø ÷ø ìø ÷ø
1 + - 1 - íø øø - 1 - 1 + - 1 - íø øø
1 +
( 1 + ) - ( 1 - ) 1 2 1
ëø 2 ëø 2
= Å" 1 - - 1 öø = Å" 1 - - 1 öø =
ìø ÷ø ìø ÷ø
2
2
íø øø íø øø
( 1 + - 1 - ) 1 + - 2 1 - + 1 -
2
2 ëø 1 - - 1 öø
ìø ÷ø
2 1
ëø 2 íø øø
= Å" 1 - - 1 öø = = - 1
ìø ÷ø
2
íø øø 2
2 - 2 1 -
- 2 ëø 1 - - 1 öø
ìø ÷ø
íø øø
5 1
4 4
ëø 3 3 öøëø öø
-
ìø 4 4 ÷øìø4 + 1 ÷ø
Z a d a n i e 7 . U p r o [c i w y r a |e n i e :
- -
ìø ÷øìø ÷ø
-
íø øøíø øø
ëø 4 3 4 3 öø
öø
ëø
4
ëø 3 4 3 öøëø ìø ìø - ÷ø
4 4
öø
-
íø øø
ìø 4 4 ÷øìø 4 + 1 ÷ø = ìø 4 4
÷ø ìø ÷ø
- -
- ( + ) ÷ø ëø + öø =
ìø ÷øìø ÷ø ìø 4 ÷ø
ìø ÷ø
- -
íø øø
íø øøíø øø
ìø ÷ø
íø øø
ëø 4 4
ëø 3 3
öø 4 4
ìø ìø - ÷ø - ( + ) ( - ) öøëø + öø
÷ø
4 4
íø øø
ìø ÷øìø ÷ø
= =
ìø ÷øìø 4 ÷ø
-
ìø ÷øíø øø
íø øø
ëø 4 3 3 4 2 4 2 4 3 öø
öø
ëø öø ëø
ìø ìø4 3 - ÷ø - ìø4 - + - ÷ø ÷øëø + öø
4 4
íø øø íø øø
ìø ÷øìø ÷ø
= =
ìø ÷øìø 4 ÷ø
-
ìø ÷øíø øø
íø øø
4 ëø 4 4 2 öø
ìø - ÷ø
4 öø 4 4
ëø 2 4 2 4 4
ëø öø
- + +
íø øø
ìø ÷ø
ìø ÷ø
= = Å" =
ìø ÷ø ìø 4 ÷ø 4
- -
íø øø
íø øø
4 4 4 4 4 4 4
( - ) ( + ) = = ( - ) = - ( - ) = - 4
=
- - -
4
- 2 + 1 + 1
Z a d a n i e 8 . U p r o [c i w y r a |e n i e : + 1 :
4
- 2 4 + 1 - 1
2
4 4
( - 1 ) - 1
- 2 + 1 + 1
: + 1 = Å" + 1 =
4 2
4
4
- 2 4 + 1 - 1 + 1
( - 1 )
- 1 - 1 - 1
= + 1 = + 1 = + 1
2
4 4 4
- 1
( - 1 ) ( + 1 ) ( ) - 1 2
ñø
- 1 d l a > 1
W y r a |e n i e - 1 = , s t d
òø
óø- + 1 d l a 0 < < 1
ñø
- 1
+ 1 = 1 + 1 = 2 d l a > 1
ôø
- 1
ôø
- 1
+ 1 =
òø
(
- 1
ôø- - 1 ) + 1 = - 1 + 1 = 0 d l a 0 < < 1
ôø
- 1
óø
5 2
1
Z a d a n i e 9 . U s u n n i e w y m i e r n o [ z m i a n o w n i k a .
3 3
2 + 2 + 4
P r z y r o z w i z y w a n i u t e g o z a d a n i a b d z i e m y m u s i e l i s k o r z y s t a z n a s t p u j c y c h
z w i z k ó w :
3 3
-
3 3 2 2 2
- -
= ( ) ( 2 + + ) Ò! + + =
-
o r a z
3 3
+
3 3
+ = ( + ) ( 2 - 2 2 2
+ ) Ò! -
+ = ,
+
p r z y c z y m w y k o r z y s t a n i e t y c h w z o r ó w b d z i e p o p r z e d z o n e p e w n y m i p r z y g o t o w a n i a m i .
1 1
= =
2 2
3 3
3 3 3 3
2 + 2 + 4
( 2 ) + 2 Å" 2 + ( 2 ) - 2 Å" 2 + 2
1 1
= = =
3 3
3 3 3
3
2 2 - 2 + ( 2 - 2 Å" 2 ) ( 2 - 2 )
( 2 ) - ( 2 )
3 3
+ 2 - 2 Å" 2
3
3
2 - 2
2 - 2
3 3
2 - 2 2 - 2
= =
3 3 3 3
2 2 - 2 + 2 ( 1 - 2 ) ( 2 - 2 ) 2 ( 2 - 1 ) - 2 ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) =
3 3
2 - 2 2 - 2 2 + 1
= = Å" =
3 3 3 3
2 + 1
( 2 - 1 ) [ 2 - 2 ( 2 - 2 ) ] ( 2 - 1 ) [ 2 - 2 ( 2 - 2 ) ]
3 3 3
( 2 - 2 ) ( 2 + 1 ) ( 2 - 2 ) ( 2 + 1 ) ( 2 - 2 ) ( 2 + 1 )
= = = =
2 2
3
3 3 3
2 - 2 3 2 + 4
[ 2 - 2 ( 2 - 2 ) ] ( 2 ) - 2 3 2 + ( 2 )
3 3 3 3
( 2 - 2 ) ( 2 + 1 ) = ( 2 - 2 ) ( 2 + 1 ) ( 2 + 2 ) = ( 2 - 4 ) ( 2 + 1 )
= =
3 3
3
2 2 + 2 2 ( 2 + 1 )
( 2 ) + ( 2 )
3
2 + 2
3
2 - 4
3
1
= = 1 - 4 .
2
2
I n n e ( s z y b s z e ) r o z w i z a n i e t e g o s a m e g o z a d a n i a :
3 3 3
1 1 4 ( 2 - 1 ) 2 - 4
= = = =
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 + 4 + 2 2 ( 4 + 2 + 1 ) 2 3 4 ( 2 - 1 ) ( 4 + 2 + 1 ) 3
2 îø( 2 ) - 1 3 ùø
ïø úø
ðø ûø
3
2 - 4
3
1
= = 1 - 4 .
2
2 ( 2 - 1 )
5 3
Z a d a n i e 1 0 . U s u n n i e w y m i e r n o [ z m i a n o w n i k a
1
d l a e" > 0 :
2 2
+ -
2 2 2 2
1 + - + -
= = =
2
2 2 2 2 2 2
+ - + - Å" + - ëø 2 öø
ìø + 2 - ÷ø
íø øø
2 2 2 2 2 2
+ - + - - -
= = Å" =
2 2 2 2
ëø 2 öø
+ - - -
ìø + 2 - ÷ø
íø øø
2
ëø 2 2 öø ëø 2 öø
ëø 2 2 2 2
öø
+ - ìø - - ÷ø ìø + 2 - ÷ø
ìø - - ÷ø
íø øø íø øø
íø øø
= = =
2 2 2 2
- ( - )
ëø 2 2 öøëø 2 2 2 2 öø
öøëø
ìø - - ÷øìø + - ÷øìø - - ÷ø
íø øøíø øøíø øø
= =
2
2 2 2 2 2 2 2 öø
öø ëø
( - ( 2 - ) ) ëø - - ÷ø ìø - - ÷ø
ìø
íø øø íø øø
= = =
2 2
2 2 2 2
- - - -
= = .
2
I n n e ( s z y b s z e ) r o z w i z a n i e t e g o s a m e g o z a d a n i a :
2 2
1 - -
= =
2 2 2 2 2 2
+ - + - Å" - -
2 2
- -
= =
2 2 2 2
( + - ) ( - - )
2 2 2 2 2 2
- - - - - -
= = =
2 2 2 2
- ( - )
5 4
Z a d a n i e 1 1 . U s u n n i e w y m i e r n o [ z m i a n o w n i k a :
1 1
= =
1 0 - 1 5 + 1 4 - 2 1 2 Å" 5 - 3 Å" 5 + 2 Å" 7 - 3 Å" 7
1 1
= = =
5 ( 2 - 3 ) + 7 ( 2 - 3 ) ( 2 - 3 ) ( 5 + 7 )
( 2 + 3 ) ( 5 - 7 ) ( 2 + 3 ) ( 5 - 7 ) =
= =
( 2 - 3 ) ( 5 - 7 )
( 2 - 3 ) ( 5 + 7 ) ( 2 + 3 ) ( 5 - 7 )
( 2 + 3 ) ( 5 - 7 )
=
2
1 3 4
Z a d a n i e 1 2 . R o z w i z a r ó w n a n i e - = :
2 2
9
( 3 - 2 ) - 4 2 ( 3 + 2 )
1 3 4
- =
9
( 3 - 2 ) 2 - 4 2 ( 3 + 2 ) 2
1 3 4
- = Å"( 3 - 2 ) 2 ( 3 + 2 ) 2
( 3 - 2 ) 2 ( 3 - 2 ) ( 3 + 2 ) ( 3 + 2 ) 2
( 3 + 2 ) 2 - 3 ( 3 + 2 ) ( 3 - 2 ) = 4 ( 3 - 2 ) 2
9 + 1 2 + 4 2 - 3 ( 9 - 4 2 ) = 4 ( 9 - 1 2 + 4 2 )
9 + 1 2 + 4 2 - 2 7 + 1 2 2 = 3 6 - 4 8 + 1 6 2
1 2 + 1 6 2 + 4 8 - 1 6 2 = 3 6 - 9 + 2 7
6 0 = 5 4
9
= = 0 , 9 .
1 0
Z a d a n i e 1 3 . R o z w i z a r ó w n a n i e ( + 2 ) ( - 3 ) = ( - 5 ) ( - 6 ) :
( + 2 ) ( - 3 ) = ( - 5 ) ( - 6 )
2 2
- 3 + 2 - 6 = - 6 - 5 + 3 0
- + 1 1 = 3 0 + 6
1 0 = 3 6
= 3 , 6 .
5 5
3 - 1
Z a d a n i e 1 4 . R o z w i z a r ó w n a n i e + = 2 :
- 2 2 -
3 - 1
+ = 2
- 2 2 -
- 3 1
+ = 2 Å"( 2 - ) d l a `" 2
2 - 2 -
- 3 + 1 = 2 ( 2 - )
+ 2 = 4 + 2 Ô! 3 = 6 Ô! = 2 .
D l a = 2 j e d n a k w y r a |e n i e p o l e w e j s t r o n i e z n a k u r ó w n o [c i n i e m a s e n s u , p o n i e w a |
w y m a g a n i e w y k o n a l n e g o d z i a Ba n i a , j a k i m j e s t d z i e l e n i e p r z e z z e r o . W o b e c t e g o r ó w n a n i e
n i e m a |a d n y c h r o z w i z a D, c z y l i j e s t s p r z e c z n e .
3 2 5 2
Z a d a n i e 1 5 . R o z w i z a r ó w n a n i e - = - :
2 2
+ 1 - 1 - 1
- 1
3 2 5 2
- = - Å" ( - 1 ) ( + 1 )
2 2
+ 1 - 1 - 1
- 1
3 - 2 ( - 1 ) = 5 - 2 ( + 1 )
3 - 2 2 + 2 = 5 - 2 2 - 2
2 - 5 + 2 = - 3
- = - 3
= 3 .
Z a d a n i e 1 6 . M a s a w o d o r u z a w a r t e g o w w o d z i e s t a n o w i 1 2 , 5 % m a s y z a w a r t e g o w n i e j
t l e n u . I l e k g w o d o r u i i l e k g t l e n u z n a j d u j e s i w 8 , 1 k g w o d y ?
O z n a c z m y m a s t l e n u w w o d z i e s y m b o l e m . Z t r e [c i z a d a n i a w y n i k a , |e m a s a w o d o r u
w w o d z i e j e s t r ó w n a 1 2 , 5 % . T y m s a m y m Bc z n a m a s a t l e n u i w o d o r u w w o d z i e j e s t
r ó w n a + 0 , 1 2 5 = 1 , 1 2 5 . P o n i e w a | 1 , 1 2 5 = 8 , 1 , w i c
8 , 1 8 1 9 8 1 8 7 2
= = : = Å" = = 7 , 2 .
1 , 1 2 5 1 0 8 1 0 9 1 0
W 8 , 1 k g w o d y m a m y w i c 7 , 2 k g t l e n u i 0 , 9 k g w o d o r u .
5 6
Z a d a n i e 1 7 . I l e g r a m ó w s t o p u 3 0 % i i l e g r a m ó w s t o p u 7 0 % n a l e |y z m i e s z a , a b y o t r z y m a
5 0 0 g r a m ó w s t o p u 6 0 % ?
O z n a c z m y i l o [ s t o p u 3 0 % s y m b o l e m , t y m s a m y m m u s i m y w z i 5 0 0 - g r a m ó w
s t o p u 7 0 % . M o |n a j u | z a p i s a r ó w n a n i e o k r e [l a j c e s t o p 6 0 % :
Å" 3 0 % + ( 5 0 0 - ) Å" 7 0 % = 5 0 0 Å" 6 0 % .
R o z w i z a n i e t e g o r ó w n a n i a d a j e i l o [ g r a m ó w o b u s t o p ó w n i e z b d n d o o t r z y m a n i a
s t o p u 6 0 % :
0 , 3 + 0 , 7 ( 5 0 0 - ) = 0 , 6 Å" 5 0 0
0 , 3 + 0 , 7 ( 5 0 0 - ) = 3 0 0
0 , 3 + 3 5 0 - 0 , 7 = 3 0 0
- 0 , 4 = - 5 0
- 5 0
= = 1 2 5 .
- 0 , 4
A b y o t r z y m a 5 0 0 g r a m ó w 6 0 % s t o p u , t r z e b a z m i e s z a 1 2 5 g r a m ó w s t o p u 3 0 % i 3 7 5
g r a m ó w s t o p u 7 0 % .
Z a d a n i e 1 8 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ 4 - 3 < + 6 :
4 - 3 < + 6
4 - < 6 + 3
3 < 9 : 3
< 3 .
4 + 1 + 4
Z a d a n i e 1 9 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ > :
2 5
4 + 1 + 4
> Å"1 0
2 5
5 ( 4 + 1 ) > 2 ( + 4 )
2 0 + 5 > 2 + 8
1 8 > 3 : 1 8
1
> .
6
5 7
Z a d a n i e 2 0 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ ( + 5 ) ( 4 - ) > 0 .
I l o c z y n w y r a |e D ( + 5 ) ( 4 - ) j e s t w i k s z y o d 0 w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y o b a
w y r a |e n i a s t y c h s a m y c h z n a k ó w . O t r z y m u j e m y s t d d w a u k Ba d y n i e r ó w n o [c i :
ñø + 5 < 0 ñø + 5 > 0
l u b
òø òø
óø4 - < 0 óø4 - > 0
R o z w i z u j c t e u k Ba d y o t r z y m u j e m y :
<
+ 5 < 0 ñø - 5
<
ñø ñø - 5
Ò! Ò! - u k Ba d s p r z e c z n y ,
òø òø-
òø
> 4
óø4 - < 0 < - 4 Å"( - 1 ) óø
óø
>
+ 5 > 0 ñø - 5
>
ñø ñø - 5
Ò! Ò! , c z y l i - 5 < < 4 .
òø òø-
òø
< 4
óø4 - > 0 > - 4 Å"( - 1 ) óø
óø
O s t a t e c z n i e r o z w i z a n i e m n a s z e j n i e r ó w n o [c i s : - 5 < < 4 .
Z a d a n i e 2 1 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ ( 3 - 1 ) 2 + ( 4 - 1 ) 2 < ( 5 - 1 ) 2 :
( 3 - 1 ) 2 + ( 4 - 1 ) 2 < ( 5 - 1 ) 2
9 2 - 6 + 1 + 1 6 2 - 8 + 1 < 2 5 2 - 1 0 + 1
- 1 4 + 1 0 < 1 - 2
- 4 < - 1
> 0 , 2 5 .
3 - 1 5
Z a d a n i e 2 2 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ < 0 :
- 2
3 3
3 - 1 5 ñø - 1 5 < 0 ñø - 1 5 > 0
< 0 Ô! ("
òø òø
- 2 - 2 > 0 - 2 < 0
óø óø
3 ñø ñø
ñø - 1 5 < 0 - 5 < 0 < 5
Ò!
òø òø Ò! òø Ò! 2 < < 5
- 2 > 0 - 2 > 0 > 2
óø óø óø
3 ñø ñø
ñø - 1 5 > 0 - 5 > 0 > 5
Ò!
òø òø Ò! òø - u k Ba d s p r z e c z n y .
- 2 < 0 - 2 < 0 < 2
óø óø óø
3 - 1 5
O s t a t e c z n i e r o z w i z a n i e m n i e r ó w n o [c i < 0 s : 2 < < 5 .
- 2
5 8
2 + 1
Z a d a n i e 2 3 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ > 1 :
+ 2
2 + 1
> 1
+ 2
2 + 1
- 1 > 0
+ 2
2 + 1 - ( + 2 )
> 0
+ 2
2 + 1 - - 2
> 0
+ 2
- 1 ñø - 1 > 0 ñø - 1 < 0
> 0 Ô! ("
òø òø
+ 2 + 2 > 0 + 2 < 0
óø óø
- 1 > 0 > 1
ñø ñø
òø Ô! òø Ô! > 1
+ 2 > 0 > - 2
óø óø
- 1 < 0 < 1
ñø ñø
òø Ô! Ô! < - 2 .
òø
+ 2 < 0 < - 2
óø óø
O s t a t e c z n i e r o z w i z a n i e m u k Ba d u n i e r ó w n o [c i s < - 2 l u b > 1 .
ñø - 5 = 1
Z a d a n i e 2 4 . R o z w i z a u k Ba d r ó w n a D :
òø
+ 2 = 2
óø
ñø - 5 = 1 Å" ( - 1 ) + 5 = - 1 1
ñø-
Ô! 7 = 1 Ô! = .
òø òø
Ò!
+ 2 = 2
+ 2 = 2
7
óø
óø
N p . z d r u g i e g o r ó w n a n i a w y z n a c z a m y :
1 1 2
+ 2 Å" = 2 Ô! 7 + 2 = 1 4 Ô! 7 = 1 2 Ô! = .
7 7
1 2 1
O s t a t e c z n i e r o z w i z a n i e m t e g o u k Ba d u r ó w n a D j e s t = i = .
7 7
2
ñø - = 3 +
Z a d a n i e 2 5 . R o z w i z a u k Ba d r ó w n a D :
òø
- 0 , 5 = 3 + 0 , 5
óø
- = 3 - = 3
ñø2 - = 3 + ñø ñø
Ô! Ô!
òø òø òø
- 0 , 5 = 3 + 0 , 5 óø0 , 5 - 0 , 5 = 3 Å" 2 - = 6
óø óø
O t r z y m a n y u k Ba d r ó w n a D n i e p o s i a d a r o z w i z a D, j e s t s p r z e c z n y .
5 9
Z a d a n i e 2 6 . P o z m i e s z a n i u d w ó c h r o z t w o r ó w k w a s u s o l n e g o 7 5 % i 5 4 % o t r z y m a n o 4 2
l i t r y r o z t w o r u 6 6 % . J a k i e i l o [c i r o z t w o r ó w o s t |e n i u 7 5 % i 5 4 % z m i e s z a n o ?
O z n a c z a j c p r z e z i l o [ k w a s u 7 5 % , a p r z e z i l o [ k w a s u 5 4 % m o |e m y u t w o r z y
n a s t p u j c y u k Ba d r ó w n a D:
+ = 4 2
ñø
òø
óø0 , 7 5 + 0 , 5 4 = 0 , 6 6 Å" 4 2
+ = 4 2 + = 4 2
ñø ñø
òø0 , 7 5 + 0 , 5 4 = 0 , 6 6 Å" 4 2 Ô! òø0 , 7 5 + 0 , 5 4 = 2 7 , 7 2
óø óø
Z p i e r w s z e g o r ó w n a n i a m a m y = 4 2 - , a p o p o d s t a w i e n i u d o d r u g i e g o r ó w n a n i a
o t r z y m u j e m y :
0 , 7 5 ( 4 2 - ) + 0 , 5 4 = 2 7 , 7 2
3 1 , 5 - 0 , 7 5 + 0 , 5 4 = 2 7 , 7 2
- 0 , 2 1 = - 3 , 7 8
= 1 8 .
W t a k i m r a z i e = 4 2 - 1 8 = 2 4 . O s t a t e c z n i e t r z e b a w z i o d p o w i e d n i o 2 4 i 1 8 k g
k w a s u o s t |e n i u 7 5 % i 5 4 % w c e l u o t r z y m a n i a 4 2 l i t r ó w k w a s u o s t |e n i u 6 6 % .
Z a d a n i e 2 7 . W p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h X 0 Y n a p Ba s z c z y zn i e w y z n a c z y
p u n k t y , k t ó r y c h w s p ó Br z d n e s p e Bn i a j u k Ba d n i e r ó w n o [c i
< 3
ñø
, c z y l i p o p r z e k s z t a Bc e n i u
òø
- 6 > - 2
óø
< 3 < 3
ñø ñø
Ô!
òø òø
- 6 > - 2 óø > - 2 + 6
óø
P o w y k r e [l e n i u o b u p r o s t y c h z a z n a c z a m y p u n k t y o w s p ó Br z d n y c h s p e Bn i a j c y c h
o b i e n i e r ó w n o [c i ( o b s z a r z a k r e s k o w a n y , b e z p ó Bp r o s t y c h t w o r z c y c h b r z e g t e g o o b s z a r u ) .
: = 3
1
: = - 2 + 6
2
6 0
Z a d a n i e 2 8 . W p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h X 0 Y n a p Ba s z c z y zn i e w y z n a c z y
p u n k t y , k t ó r y c h w s p ó Br z d n e s p e Bn i a j u k Ba d n i e r ó w n o [c i :
< 3
ñø
ôø
- 6 > - 2
òø
ôø
d" 5
óø
Z a d a n i e t o r o z w i z u j e m y a n a l o g i c z n i e d o p o p r z e d n i e g o , j e d y n a r ó |n i c a w y n i k a z f a k t u ,
|e p o j a w i a s i j e s z c z e j e d n a p r o s t a .
: = 5
3
: = - 2 + 6
2
: = 3
1
W s p ó Br z d n e p u n k t ó w n a l e |c y c h d o p r o s t y c h n a r y s o w a n y c h l i n i p r z e r y w a n n i e
s p e Bn i a j p o d a n e g o u k Ba d u n i e r ó w n o [c i .
Z a d a n i e 2 9 . W p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h X 0 Y n a p Ba s z c z y zn i e z a z n a c z y
p u n k t y , k t ó r y c h w s p ó Br z d n e s p e Bn i a j u k Ba d n i e r ó w n o [c i :
2 +
ñø - 2 d" 0
òø4
+ 2 + 1 > 0
óø
P r z e k s z t a Bc a m y t e n u k Ba d n i e r ó w n o [c i w p o d o b n y s p o s ó b j a k u k Ba d z p o p r z e d n i e g o
p r z y k Ba d u :
d"
2 + d"
ñø - 2 d" 0 ñø - 2 + 2
ñø - 2 + 2
Ô!
òø4 òø2 > - 4 - 1 : 2 Ô! òø
+ 2 + 1 > 0 > - 2 - 0 , 5
óø óø
óø
6 1
: = - 2 - 0 , 5
2
: = - 2 + 2
1
Z w r ó m y u w a g , |e w o b u r ó w n a n i a c h p r o s t y c h : = - 2 + 2 i = - 2 - 0 , 5
w y s t p u j e t e n s a m w s p ó Bc z y n n i k p r z y , c z y l i w s p ó Bc z y n n i k k i e r u n k o w y , r ó w n y - 2 .
P r o s t e o t a k i m s a m y m w s p ó Bc z y n n i k u k i e r u n k o w y m s d o s i e b i e r ó w n o l e g Be ( g d y b y
j e s z c z e w y r a z y w o l n e b y By t a k i e s a m e , t o p r o s t e t e b y By b y s o b i e r ó w n e , c z y l i n a k Ba d a By b y
s i n a s i e b i e ) . W o b e c t e g o g r a f i c z n y m r o z w i z a n i e m n i e r ó w n o [c i j e s t z b i ó r w s z y s t k i c h
p u n k t ó w p Ba s z c z y z n y p o Bo |o n y c h w p a s i e n i e s k o Dc z o n y m o g r a n i c z o n y m d w i e m a p r o s t y m i
r ó w n o l e g By m i , p r z y c z y m p u n k t y p r o s t e j = - 2 + 2 n a l e | d o t e g o z b i o r u ( z e w z g l d u n a
n i e o s t r n i e r ó w n o [ d" - 2 + 2 ) , n a t o m i a s t p u n k t y p r o s t e j = - 2 - 0 , 5 n i e n a l e | d o
t e g o z b i o r u ( z e w z g l d u n a o s t r n i e r ó w n o [ > - 2 - 0 , 5 ) . Z t e g o p o w o d u n a r y s u n k u
p r o s t a = - 2 + 2 z a z n a c z o n a j e s t l i n i c i g B, a p r o s t a = - 2 - 0 , 5 - l i n i p r z e r y w a n .
U w a g a . G d y b y [m y z a m i a s t u k Ba d u n i e r ó w n o [c i
2 +
ñø - 2 d" 0
òø4
+ 2 + 1 > 0
óø
r o z w i z y w a l i u k Ba d r ó w n a D
2 +
ñø - 2 = 0
,
òø4
+ 2 + 1 = 0
óø
s t w i e r d z i l i b y [m y , |e u k Ba d j e s t s p r z e c z n y , c z y l i n i e m a r o z w i z a n i a . P o w y |s z e w y j a [n i e n i a
t Bu m a c z p r z y c z y n t a k i e g o s t a n u r z e c z y : d w i e p r o s t e r ó w n o l e g Be n i e m a j |a d n e g o p u n k t u
w s p ó l n e g o .
Z a d a n i e 3 0 . W p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h X 0 Y n a p Ba s z c z y zn i e z a z n a c z y
p u n k t y , k t ó r y c h w s p ó Br z d n e s p e Bn i a j u k Ba d n i e r ó w n o [c i :
2 +
ñø - 2 > 0
òø4
+ 2 + 1 < 0
óø
6 2
W y r a |e n i a w y s t p u j c e w n i e r ó w n o [c i a c h s t a k i e s a m e j a k w p o p r z e d n i m p r z y k Ba d z i e ,
i n n e s t e r a z j e d n a k z n a k i o b u n i e r ó w n o [c i . R o z w i z a n i e :
>
2 + >
ñø - 2 > 0 ñø - 2 + 2
ñø - 2 + 2
Ô!
òø4 òø2 < - 4 - 1 : 2 Ô! òø
+ 2 + 1 < 0 < - 2 - 0 , 5
óø óø
óø
: = - 2 - 0 , 5
2
: = - 2 + 2
1
G r a f i c z n y m r o z w i z a n i e m n i e r ó w n o [c i > - 2 + 2 j e s t z b i ó r w s z y s t k i c h p u n k t ó w
p Ba s z c z y z n y p o Bo |o n y c h n a d p r o s t = - 2 + 2 , a r o z w i z a n i e m n i e r ó w n o [c i
< - 2 - 0 , 5 j e s t z b i ó r p u n k t ó w p o Bo |o n y c h p o d p r o s t = - 2 - 0 , 5 . W i d a , |e o b a
z b i o r y n i e m a j |a d n e g o p u n k t u w s p ó l n e g o , c o o z n a c z a , |e u k Ba d n i e r ó w n o [c i n i e m a
r o z w i z a D ( j e s t s p r z e c z n y ) .
Z a d a n i e 3 1 W p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h X 0 Y n a p Ba s z c z y zn i e z a z n a c z y
p u n k t y , k t ó r y c h w s p ó Br z d n e s p e Bn i a j u k Ba d n i e r ó w n o [c i :
2 +
ñø - 2 > 0
òø
> 3
óø
R o z w i z a n i e :
2 +
ñø - 2 > 0 > - 2 + 2
ñø
Ô!
òø òø
> 3 > 3
óø óø
A b y n a r y s o w a z b i ó r r o z w i z a D n i e r ó w n o [c i > 3 , t r z e b a n a j p i e r w n a r y s o w a p r o s t
= 3 . R ó w n a n i e t e j p r o s t e j j e s t p o s t a c i = ( a n i e , j a k d o t y c h c z a s , = + ) . P r o s t a
p o s t a c i = j e s t p r o s t o p a d Ba d o o s i - ó w i p r z e c h o d z i p r z e z p u n k t n a t e j o s i . G r a f i c z n y m
r o z w i z a n i e m n i e r ó w n o [c i > ( < ) j e s t z b i ó r p u n k t ó w p Ba s z c z y z n y p o Bo |o n y c h n a
p r a w o ( n a l e w o ) o d p r o s t e j = .
6 3
: = 3
2
: = - 2 + 2
1
1 2
Z a d a n i e 3 2 . R o z w i z a r ó w n a n i e + = 1 :
2 - 1 2 + 1
1 2
+ = 1 Å" ( 2 - 1 ) ( 2 + 1 )
2 - 1 2 + 1
2 + 1 + 2 ( 2 - 1 ) = ( 2 - 1 ) ( 2 + 1 )
2 + 1 + 4 - 2 = 4 2 - 1
4 2 - 6 = 0 Ô! 4 ( - 1 , 5 ) = 0 Ô! = 0 (" = 1 , 5 .
+ 8 2 4
Z a d a n i e 3 3 . R o z w i z a r ó w n a n i e - 2 = :
- 8 - 4
+ 8 2 4
- 2 = Å" ( - 8 ) ( - 4 )
- 8 - 4
( + 8 ) ( - 4 ) - 2 ( - 8 ) ( - 4 ) = 2 4 ( - 8 )
2
- 4 + 8 - 3 2 - 2 2 + 2 4 - 6 4 = 2 4 - 1 9 2
2
- 4 - 9 6 = 0
" = ( - 4 ) 2 - 4 Å"1 Å" ( - 9 6 ) = 1 6 + 3 8 4 = 4 0 0 , " = 4 0 0 = 2 0 .
+ 8 2 4
O s t a t e c z n i e r o z w i z a n i a m i r ó w n a n i a - 2 = s p i e r w i a s t k i :
- 8 - 4
- ( - 4 ) - 2 0 - ( - 4 ) + 2 0
= = - 8 , = = 1 2 .
1 2
2 Å"1 2 Å"1
2
Z a d a n i e 3 4 . Z n a l e z r ó w n a n i e k w a d r a t o w e + + = 0 , k t ó r e g o p i e r w i a s t k i s
o d p o w i e d n i o r ó w n e 9 i 8 .
6 4
K o r z y s t a j c z e w z o r u n a p o s t a i l o c z y n o w m a m y :
2
+ + = 0 Ô! ( - ) ( - ) = 0 Ô! ( + 9 ) ( - 8 ) = 0 Ô!
1 2
2 2
Ô! - 8 + 9 - 7 2 = 0 Ô! + - 7 2 = 0 .
Z a d a n i e 3 5 . D l a j a k i e j w a r t o [c i p a r a m e t r u r ó w n a n i e ( + 2 ) 2 + 6 + 4 - 1 = 0
m a p i e r w i a s t e k p o d w ó j n y ?
2
W t e d y , g d y " = 0 , c z y l i 3 6 - 4 ( + 2 ) ( 4 - 1 ) = 0 . M a m y
2 2
3 6 - 4 ( + 2 ) ( 4 - 1 ) = 0 Ô! 9 - ( + 2 ) ( 4 - 1 ) = 0 Ô!
2 2 2
Ô! 9 - 4 + - 8 + 2 = 0 Ô! 5 - 7 + 2 = 0
" = ( - 7 ) 2 - 4 Å" 5 Å" 2 = 4 9 - 4 0 = 9 , " = 9 = 3
- ( - 7 ) - 3 - ( - 7 ) + 3
= = 0 , 4 , = = 1 .
1 2
2 Å" 5 2 Å" 5
O s t a t e c z n i e r ó w n a n i e ( + 2 ) 2 + 6 + 4 - 1 = 0 m a p i e r w i a s t e k p o d w ó j n y d l a = 0 , 4
l u b = 1 .
4
Z a d a n i e 3 6 . R o z w i z a r ó w n a n i e + 2 2 + 1 = 0 .
P o d s t a w i a j c 2 = s p r o w a d z a m y r ó w n a n i e d w u k w a d r a t o w e d o k w a d r a t o w e g o :
4 2 2
+ 2 + 1 = 0 Ò! + 2 + 1 = 0
- 2
" = 2 2 - 4 Å"1 Å"1 = 4 - 4 = 0 , " = 0 = 0 , = = = - 1 .
1 2
2
2
P o n i e w a | r ó w n a n i e = - 1 j e s t s p r z e c z n e ( n i e m a r o z w i z a n i a ) , w i c r ó w n i e |
4
r ó w n a n i e + 2 2 + 1 = 0 j e s t s p r z e c z n e .
Z a d a n i e 3 7 . R o z w i z a r ó w n a n i e 3 - - 1 = 3 - 2 :
2 2
3 - - 1 = 3 - 2 Ô! ( 3 - - 1 ) = ( 3 - 2 ) Ô!
Ô! 9 - 6 - 1 + - 1 = 3 - 2 Ô! 1 0 - 2 = 6 - 1 Ô! 5 - = 3 - 1 Ô!
2
2 2 2
Ô! ( 5 - ) = ( 3 - 1 ) Ô! 2 5 - 1 0 + = 9 - 9 Ô! - 1 9 + 3 4 = 0
6 5
" = ( - 1 9 ) 2 - 4 Å"1 Å" 3 4 = 3 6 1 - 1 3 6 = 2 2 5 , " = 2 2 5 = 1 5
- ( - 1 9 ) - 1 5 - ( - 1 9 ) + 1 5
= = 2 , = = 1 7 .
1 2
2 2
D l a = = 2 m a m y :
1
= 3 - 2 - 1 = 3 - 1 = 3 - 1 = 2
= 3 Å" 2 - 2 = 4 = 2
= .
D l a = = 1 7
2
= 3 - 1 7 - 1 = 3 - 1 6 = 3 - 4 = - 1
= 3 Å"1 7 - 2 = 5 1 - 2 = 4 9 = 7
`" .
O s t a t e c z n i e r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a p i e r w i a s t k o w e g o 3 - - 1 = 3 - 2 j e s t = 2 .
2 - 1
Z a d a n i e 3 8 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ e" 0 .
+ 3
Z u w a g i n a n i e r ó w n o [ s Ba b p o w y |s z a n i e r ó w n o [ n i e j e s t r ó w n o w a |n a n i e r ó w n o [c i
( 2 - 1 ) ( + 3 ) e" 0 . P o p r a w n e r o z w i z a n i e j e s t n a s t p u j c e :
2 - 1 2 1
îø - 1 2 - 1
ùø îø ùø
e" 0 Ô! = 0 (" > 0 úø Ô! = (" ( 2 - 1 ) ( + 3 ) > 0 úø Ô!
ïø ïø
+ 3 + 3 + 3 2
ðø ûø ðø ûø
1 1 1
îø ùø
Ô! = (" < - 3 (" > Ô! < - 3 (" e" .
ïø
2 2 úø 2
ðø ûø
2 - 1 1
O s t a t e c z n i e r o z w i z a n i e m n i e r ó w n o [c i e" 0 s < - 3 l u b e" .
+ 3 2
2
+ 4
Z a d a n i e 3 9 . R o z w i z a n i e r ó w n o [ < 0 .
2
- - 6
2
+ 4
W y r a |e n i e < 0 w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y t r ó j m i a n k w a d r a t o w y w m i a n o -
2
- - 6
w n i k u b d z i e m n i e j s z y o d z e r a . W y n i k a t o z f a k t u , |e t r ó j m i a n k w a d r a t o w y w l i c z n i k u j e s t
w i k s z y o d z e r a d l a d o w o l n y c h - ó w . S t d :
6 6
2
+ 4
2
< 0 Ô! - - 6 < 0
2
- - 6
" = ( - 1 ) 2 - 4 Å"1 Å" ( - 6 ) = 1 + 2 4 = 2 5 , " = 2 5 = 5
- ( - 1 ) - 5 1 - 5 - ( - 1 ) + 5 1 + 5
= = = - 2 , = = = 3
1 2
2 Å"1 2 2 Å"1 2
2
- - 6 < 0 Ô! ( + 2 ) ( - 3 ) < 0 .
D o r o z w i z a n i a t e j n i e r ó w n o [c i w y k o r z y s t a m y s z k i c w y k r e s u f u n k c j i
= ( + 2 ) ( - 3 ) .
= ( + 2 ) ( - 3 )
+
+
- 2 -
3
O s t a t e c z n i e r o z w i z a n i e m n i e r ó w n o [c i ( + 2 ) ( - 3 ) < 0 s : - 2 < < 3 .
2
Z a d a n i e 4 0 . D l a j a k i e j w a r t o [c i p a r a m e t r u n i e r ó w n o [ + + 5 - 2 > 0 j e s t
s p e Bn i o n a d l a w s z y s t k i c h " ?
N i e r ó w n o [ p o w y |s z a b d z i e s p e Bn i o n a d l a
2
w s z y s t k i c h z e z b i o r u l i c z b r z e c z y w i s t y c h w t e d y
= + + 5 - 2
i t y l k o w t e d y , g d y w y k r e s t r ó j m i a n u k w a d r a t o w e g o
> 0 " < 0
2
= + + 5 - 2 b d z i e p o Bo |o n y c a Bk o w i c i e
n a d o s i - ó w ( r y s u n e k o b o k ) . S t a n i e s i t a k w t e d y ,
g d y w s p ó Bc z y n n i k s t o j c y p r z y w d r u g i e j p o t d z e
+
b d z i e w i k s z y o d z e r a , a w y r ó |n i k t r ó j m i a n u b d z i e +
u j e m n y . W a r u n k i t e m o |n a z a p i s a w p o s t a c i u k Ba d u
n i e r ó w n o [c i :
+
ñø > 0
.
òø
óø" = 1 - 4 ( 5 - 2 ) < 0
6 7
R o z w i z u j c d r u g i z p o d a n y c h w a r u n k ó w m a m y k o l e j n o :
2 2
1 - 4 ( 5 - 2 ) < 0 Ô! 1 - 2 0 + 8 < 0 Ô! 2 0 - 8 - 1 > 0 .
T r ó j m i a n p o l e w e j s t r o n i e z n a k u n i e r ó w n o [c i s p r o w a d z a m y d o p o s t a c i i l o c z y n o w e j :
" = ( - 8 ) 2 - 4 Å" 2 0 Å" ( - 1 ) = 6 4 + 8 0 = 1 4 4 ,
- ( - 8 ) - 1 2 4 - ( - 8 ) + 1 2
" = 1 4 4 = 1 2 , s t d = = - = - 0 , 1 o r a z = = 0 , 5 .
1 2
2 Å" 2 0 4 0 4 0
2
O s t a t e c z n i e 2 0 - 8 - 1 > 0 Ô! 2 0 ( + 0 , 1 ) ( - 0 , 5 ) > 0 Ô! < - 0 , 1 (" > 0 , 5 .
2
Z p o w y |s z e g o w y n i k a , |e w y r ó |n i k t r ó j m i a n u = + + 5 - 2 j e s t u j e m n y d l a
< - 0 , 1 l u b > 0 , 5 . P o p o Bc z e n i u t e g o w a r u n k u z w y m o g i e m , a b y w y k r e s t r ó j m i a n u
p o Bo |o n y b y B n a d o s i - ó w , m a m y j a k o o s t a t e c z n e r o z w i z a n i e > 0 , 5 .
2
T y m s a m y m d l a > 0 , 5 n i e r ó w n o [ + + 5 - 2 > 0 j e s t s p e Bn i o n a d l a
w s z y s t k i c h " .
2
Z a d a n i e 4 1 . D l a j a k i e j w a r t o [c i p a r a m e t r u r ó w n a n i e + 3 - + 5 = 0 m a d w a
r ó |n e p i e r w i a s t k i ?
2
A b y r ó w n a n i e k w a d r a t o w e + + = 0 m i a Bo d w a r ó |n e p i e r w i a s t k i , m u s i b y
2
s p e Bn i o n y w a r u n e k , |e " = - 4 > 0 . W z a d a n i u m a m y : = , = 3 , = - + 5 .
W o b e c t e g o
2
" = 3 2 - 4 Å" Å" ( 5 - ) = 4 - 2 0 + 9 .
2
M u s i m y w i c r o z w i z a n i e r ó w n o [ k w a d r a t o w 4 - 2 0 + 9 > 0 . Z a c z y n a m y o d
2
w y z n a c z e n i a p i e r w i a s t k ó w r ó w n a n i a k w a d r a t o w e g o 4 - 2 0 + 9 = 0 , o t r z y m u j c
k o l e j n o :
" = ( - 2 0 ) 2 - 4 Å" 4 Å"9 = 4 0 0 - 1 4 4 = 2 5 6 , " = 2 5 6 = 1 6 ,
- ( - 2 0 ) - 1 6 4 1 - ( - 2 0 ) + 1 6 3 6 9
= = = , = = = .
1 2
2 Å" 4 8 2 2 Å" 4 8 2
P o s t p u j c p o d o b n i e j a k w p r z y k Ba d z i e 4 4 s t w i e r d z a m y , |e r o z w i z a n i a m i n i e r ó w n o [c i
2
1 9
4 - 2 0 + 9 > 0 s < l u b > .
2 2
N i e j e s t t o j e d n a k o s t a t e c z n a o d p o w i e d z, p o n i e w a | w a r u n e k " > 0 m a s e n s t y l k o
w p r z y p a d k u r ó w n a n i a k w a d r a t o w e g o , i n a c z e j m ó w i c p r z y j l i [m y m i l c z c o z a Bo |e n i e , |e
6 8
2
= `" 0 . J e |e l i = 0 , t o r ó w n a n i e + 3 - + 5 = 0 s t a j e s i r ó w n a n i e m l i n i o w y m
5
3 + 5 = 0 , k t ó r e m a t y l k o j e d e n p i e r w i a s t e k = - .
3
2
O s t a t e c z n i e w i c r ó w n a n i e + 3 - + 5 = 0 m a d w a r ó |n e p i e r w i a s t k i d l a < 0
1 9
l u b 0 < < l u b > .
2 2
2
Z a d a n i e 4 2 . D l a j a k i e j w a r t o [c i p a r a m e t r u r ó w n a n i e + 3 - + 5 = 0 m a d w a
r ó |n e p i e r w i a s t k i d o d a t n i e ?
Z a d a n i e t o j e s t p o d o b n e d o p o p r z e d n i e g o , z p o p r z e d n i e g o r o z w i z a n i a w y n i k a , |e d w a
2
r ó |n e p i e r w i a s t k i r ó w n a n i e + 3 - + 5 = 0 b d z i e m i a Bo w t e d y , g d y < 0 l u b
1 9
0 < < l u b > .
2 2
W a r u n e k p o w y |s z y m u s i b y j e d n a k u z u p e Bn i o n y o d o d a t k o w e w a r u n k i g w a r a n t u j c e ,
|e b d t o p i e r w i a s t k i d o d a t n i e . D o i c h s f o r m u Bo w a n i a w y k o r z y s t a m y w z o r y n a s u m
i i l o c z y n p i e r w i a s t k ó w t r ó j m i a n u k w a d r a t o w e g o ( w z o r y V i e t e a ) :
+ = - , Å" 2 = .
1 2 1
K o n i e c z n e s o b a w a r u n k i , d o p i e r o Bc z n e i c h s f o r m u Bo w a n i e g w a r a n t u j e t o , |e o b a
p i e r w i a s t k i b d d o d a t n i e . W y k o r z y s t a n i e t y l k o p i e r w s z e g o z n i c h n i e g w a r a n t u j e t a k i e j
s y t u a c j i , m o |e b y b o w i e m t a k , |e s r ó |n y c h z n a k ó w , a l e i c h s u m a j e s t d o d a t n i a . Z k o l e i
t y l k o d r u g i z n i c h n i e w y k l u c z a s y t u a c j i , g d y o b a s u j e m n e ( a l e i c h i l o c z y n j e s t d o d a t n i ) .
S t d k o n i e c z n o [ s f o r m u Bo w a n i a i z b a d a n i a o b u w a r u n k ó w . W z a d a n i u m a m y :
3
+ = - > 0 ,
1 2
- + 5
Å" = > 0 .
1 2
P i e r w s z y z t y c h w a r u n k ó w j e s t s p e Bn i o n y d l a > 0 . R o z w i z u j e m y d r u g i z w a r u n k ó w :
- + 5
> 0 Ô! - ( - 5 ) > 0 Ô! ( - 5 ) < 0 Ô! 0 < < 5 .
Ac z c w s z y s t k i e t r z y w a r u n k i o t r z y m u j e m y o s t a t e c z n e r o z w i z a n i e : r ó w n a n i e
2
1
+ 3 - + 5 = 0 b d z i e m i a Bo d w a r ó |n e p i e r w i a s t k i d o d a t n i e w t e d y , g d y 0 < <
2
9
l u b < < 5 .
2
6 9
Z a d a n i e 4 3 . D l a j a k i e j w a r t o [c i p a r a m e t r u p i e r w i a s t k i r ó w n a n i a
+ 1
+ = + 1
- 1
s p e Bn i a j n i e r ó w n o [
1 1
+ < 2 + 1 .
1 2
Z u w a g i n a p o s t a r ó w n a n i a m u s i m y p r z y j z a Bo |e n i e , |e `" 1 i `" 0 . P r z y t y c h
2
z a Bo |e n i a c h p r z e k s z t a Bc a m y r ó w n a n i e w y j [c i o w e d o p o s t a c i + + = 0 . M a m y
k o l e j n o :
+ 1
+ = + 1 Å" ( - 1 )
- 1
Å" + ( - 1 ) Å" ( + 1 ) = ( + 1 ) Å" Å" ( - 1 )
2 2
+ - 1 = ( - + - 1 )
2 2 2 2
+ - 1 = - + -
2 2
+ ( 1 - ) + - 1 = 0 .
2 2
R ó w n a n i e + ( 1 - ) + - 1 = 0 b d z i e m i e d w a p i e r w i a s t k i ( n i e k o n i e c z n i e
2
r ó |n e ) w t e d y , g d y " = - 4 e" 0 .
2
W z a d a n i u m a m y = 1 , = 1 - , = - 1 , m o |e m y w i c w a r u n e k n a n i e u j e m n
d e l t z a p i s a w p o s t a c i :
2
" = ( 1 - ) 2 - 4 Å"1 Å" ( - 1 ) e" 0 .
P o r z d k u j c l e w s t r o n o t r z y m u j e m y n i e r ó w n o [:
2 2 2 2
( 1 - ) 2 - 4 Å"1 Å" ( - 1 ) e" 0 Ô! 1 - 2 + - 4 + 4 e" 0 Ô! - 3 - 2 + 5 e" 0 .
2
N i e r ó w n o [ - 3 - 2 + 5 e" 0 r o z w i z u j e m y a n a l o g i c z n i e d o w c z e [n i e j s z y c h
2
p r z y k Ba d ó w , c z y l i z n a j d u j e m y m i e j s c a z e r o w e t r ó j m i a n u = - 3 - 2 + 5 , s z k i c u j e m y
j e g o w y k r e s i o d c z y t u j e m y w a r t o [c i , d l a k t ó r y c h n i e r ó w n o [ j e s t s p e Bn i o n a .
K o l e j n o m a m y :
" = ( - 2 ) 2 - 4 Å" ( - 3 ) Å" 5 = 4 + 6 0 = 6 4 , " = 6 4 = 8
- ( - 2 ) - 8 - 6 - ( - 2 ) + 8 1 0 5
= = = 1 , = = = - .
1 2
2 Å" ( - 3 ) - 6 2 Å" ( - 3 ) - 6 3
M o |e m y j u | s p o r z d z i s z k i c w y k r e s u t r ó j m i a n u k w a d r a t o w e g o
2
5
= - 3 - 2 + 5 = - 3 ( - 1 ) ( + ) .
3
7 0
2
5
= - 3 - 2 + 5 = - 3 ( - 1 ) ( + )
3
+ +
5 1
-
3
-
-
2
J a k Ba t w o o d c z y t a z e s z k i c u w y k r e s u , n i e r ó w n o [ - 3 - 2 + 5 e" 0 s p e Bn i o n a j e s t
5
d l a - d" d" 1 .
3
U w z g l d n i a j c z a Bo |e n i e w y j [c i o w e `" 1 m a m y , |e r ó w n a n i e
+ 1
+ = + 1
- 1
5
m a d w a p i e r w i a s t k i w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y p a r a m e t r s p e Bn i a w a r u n e k : - d" < 1 .
3
Z w a r u n k u z a d a n i a w i e m y , |e t e d w a p i e r w i a s t k i m a j s p e Bn i a n i e r ó w n o [
1 1
+ < 2 + 1 .
1 2
S p r o w a d z a j c l e w s t r o n t e j n i e r ó w n o [c i d o w s p ó l n e g o m i a n o w n i k a , a n a s t p n i e
k o r z y s t a j c z e w z o r ó w V i e t e a n a s u m i i l o c z y n p i e r w i a s t k ó w t r ó j m i a n u k w a d r a t o w e g o
m a m y :
-
1 1 + -
1 2
+ < 2 + 1 Ô! < 2 + 1 Ô! < 2 + 1 Ô! < 2 + 1 .
Å"
1 2 1 2
2
P o u w z g l d n i e n i u , |e = 1 - , = - 1 m u s i m y r o z w i z a n i e r ó w n o [:
- ( 1 - ) - 1 1 1
< 2 + 1 Ô! < 2 + 1 Ô! < 2 + 1 Ô! - ( 2 + 1 ) < 0 Ô!
2
( - 1 ) ( + 1 ) + 1 + 1
- 1
1 - ( 2 + 1 ) ( + 1 ) 1 - 2 2 - 3 - 1 - 2 ( + 1 , 5 )
Ô! < 0 Ô! < 0 Ô! < 0 Ô! ( + 1 , 5 ) ( + 1 ) > 0
+ 1 + 1 + 1
R o z w i z a n i e n i e r ó w n o [c i ( + 1 , 5 ) ( + 1 ) > 0 w y m a g a z b a d a n i a z n a k u t r z e c h
w y r a |e D: , + 1 i + 1 , 5 . M o |n a t o z r o b i b u d u j c t z w . t a b e l z n a k ó w .
7 1
- " . . . - 1 , 5 . . . . - 1 . . . . 0 . . . + "
+ 1 , 5 - 0 + + +
+ 1 - - 0 + +
- - - 0 +
( + 1 , 5 ) ( + 1 ) - + - +
J a k w i d z i m y z p o w y |s z e g o z e s t a w i e n i a , n i e r ó w n o [ ( + 1 , 5 ) ( + 1 ) > 0 j e s t
s p e Bn i o n a d l a - 1 , 5 < < - 1 l u b > 0 .
Ac z c p o w y |s z e r o z w i z a n i e z r o z w i z a n i e m w a r u n k u w y n i k a j c e g o z f a k t u i s t n i e n i a
d w u p i e r w i a s t k ó w o t r z y m u j e m y o s t a t e c z n e r o z w i z a n i e n a s z e g o p r o b l e m u .
5
- - 1 , 5 - 1 0 1
3
+ 1
O d p o w i e d z. D l a - 1 , 5 < < - 1 l u b 0 < < 1 p i e r w i a s t k i r ó w n a n i a + = + 1
- 1
1 1
s p e Bn i a j n i e r ó w n o [ + < 2 + 1 .
1 2
7 2
1 . E . B a Dk o w s k a i i n .
W y d a w n i c t w o P o d k o w a , G d a Ds k 1 9 9 4
2 . B . G d o w s k i , E . P l u c i Ds k i .
. W y d a w n i c t w o N a u k o w o - T e c h n i c z n e , W a r s z a w a 1 9 8 2
3 . J . G ó r c z y Ds k i . .
W S Z i M w S o c h a c z e w i e , S o c h a c z e w 2 0 0 0
4 . J . G ó r c z y Ds k i .
. W S Z i M w S o c h a c z e w i e , S o c h a c z e w 2 0 0 1
5 . J . G ó r c z y Ds k i . .
W S Z i M w S o c h a c z e w i e , S o c h a c z e w 2 0 0 1
6 . J . G ó r c z y Ds k i .
. W S Z i M w S o c h a c z e w i e , S o c h a c z e w 2 0 0 0
7 . J . K Bo p o t o w s k i i i n . ( p o d r e d . I . N y k o -
w s k i e g o ) . O f i c y n a W y d a w n i c z a S G H , W a r s z a w a 1 9 9 5
8 . J . L a s z u k . . O f i c y n a W y d a w n i c z a S G H ,
W a r s z a w a 1 9 9 6
9 . J . L a s z u k .
O f i c y n a W y d a w n i c z a S G H , W a r s z a w a 1 9 9 7
1 0 . R . L e i t n e r , W . {a k o w s k i .
. W y d a w n i c t w o N a u k o w o - T e c h n i c z n e , W a r s z a w a 1 9 8 4
1 1 . R . L e i t n e r , W . {a k o w s k i .
. W y d a w n i c t w o N a u k o w o - T e c h n i c z n e , W a r s z a w a 1 9 8 4
1 2 . A . Z i e l i Ds k i . . F u n d a c j a R o z w ó j S G G W ,
W a r s z a w a 1 9 9 7
1 3 . A . Z i e l i Ds k i .
. W S Z i M
w S o c h a c z e w i e , S o c h a c z e w 2 0 0 2
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