Ć w i c z e n i a z ma t e ma t y k i
Janusz Górczyński
RozwiÄ…zywanie
zadań elementarnych
Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu
Sochaczew 2010
Zeszyt ten jest kolejną pozycją w serii materiałów dydaktycznych
Ćwiczenia z matematyki.
Wydanie I
Materiały do druku zostały w całości przygotowane przez Autora
ISBN
Wydawca: Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu w Sochaczewie
Projekt okładki i druk cyfrowy:
Poligraphica, 95-050 Konstantynów A
ódzki, ul. Dąbrowska 44
http://www.CentrumPoligrafii.pl
Arkuszy wydawniczych 4,0
Arkuszy drukarskich 4,0
3
Spis treści
OD AUTORA....................................................................................................................... 6
1. DZIAA
ANIA NA LICZBACH - UA
AMKI ................................................................... 7
Zadanie 1.1. Oblicz .................................................................................................... 7
2. DZIAA
ANIA NA LICZBACH - POT
GOWANIE ..................................................... 8
Zadanie 2.1 Oblicz ..................................................................................................... 8
Zadanie 2.2 Zapisz w postaci jednej potęgi i oblicz................................................... 8
Zadanie 2.3 Oblicz ..................................................................................................... 9
Zadanie 2.4 Oblicz ..................................................................................................... 9
Zadanie 2.5 Oblicz ..................................................................................................... 9
3. DZIAA
ANIA NA LICZBACH  PIERWIASTKOWANIE ...................................... 11
Zadanie 3.1 Oblicz sprawdz
poprawność wyniku .................................................... 11
Zadanie 3.2 Oblicz sprawdz
poprawność wyniku .................................................... 11
Zadanie 3.3 Oblicz ................................................................................................... 12
4. FUNKCJE, RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE......................................... 13
Zadanie 4.1 Naszkicuj wykres funkcji ...................................................................... 13
Zadanie 4.2 Rozwiąż równanie ................................................................................ 13
Zadanie 4.3 Rozwiąż nierówność ............................................................................. 13
Zadanie 4.4 Dla jakiej wartości parametru p funkcja.............................................. 14
5. FUNKCJE, RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE ............................ 15
Zadanie 5.1 Rozwiąż równanie ................................................................................ 15
Zadanie 5.2 Rozwiąż nierówność ............................................................................. 15
Zadanie 5.3 Dla jakiej wartości parametru p funkcja.............................................. 16
Zadanie 5.4 Dla jakiej wartości parametru p funkcja.............................................. 16
6. FUNKCJE, RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYKA
ADNICZE ............................ 17
Zadanie 6.1 Rozwiąż równania ................................................................................ 17
Zadanie 6.2 Rozwiąż równania ................................................................................ 17
Zadanie 6.3 Rozwiąż nierówności............................................................................ 17
4
7. FUNKCJE, RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYKA
ADNICZE ............................ 18
Zadanie 7.1 Oblicz ................................................................................................... 18
Zadanie 7.2 Rozwiąż równania ................................................................................ 18
ROZWI
ZANIA ZADAC
................................................................................................ 19
Z DZIAA
AC
NA LICZBACH - UA
AMKI ............................................................................. 19
Zadanie 1.1............................................................................................................... 19
Z DZIAA
AC
NA LICZBACH - POT
GOWANIE................................................................... 24
Zadanie 2.1............................................................................................................... 24
Zadanie 2.2............................................................................................................... 26
Zadanie 2.3............................................................................................................... 29
Zadanie 2.4............................................................................................................... 31
Zadanie 2.5............................................................................................................... 32
Zadanie 2.6............................................................................................................... 32
Z DZIAA
AC
NA LICZBACH - PIERWIASTKOWANIE.......................................................... 33
Zadanie 3.1............................................................................................................... 33
Zadanie 3.2............................................................................................................... 34
Zadanie 3.3............................................................................................................... 34
FUNKCJE, RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE ........................................................... 35
Zadanie 4.1............................................................................................................... 35
Zadanie 4.2............................................................................................................... 36
Zadanie 4.3............................................................................................................... 37
Zadanie 4.4............................................................................................................... 38
FUNKCJE, RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE ................................................. 39
Zadanie 5.1............................................................................................................... 39
Zadanie 5.2............................................................................................................... 41
Zadanie 5.2............................................................................................................... 43
FUNKCJE, RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYKA
ADNICZE ................................................. 43
Zadanie 6.1............................................................................................................... 43
Zadanie 6.2............................................................................................................... 45
Zadanie 6.3............................................................................................................... 46
FUNKCJE, RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE ............................................. 48
Zadanie 7.1............................................................................................................... 48
Zadanie 7.2............................................................................................................... 48
5
6
Od Autora
Zadania zebrane w tej książeczce przeznaczone są do samodzielnego rozwiązania.
W sytuacji, gdyby okazało się to trudne lub gdyby wynik samodzielnego rozwiązania był
innych od podanego można zajrzeć do rozdziału z rozwiązaniami poszczególnych zadań.
W przypadku, gdy musieliśmy zajrzeć do rozwiązania danego zadania wskazane
jest, aby po analizie rozwiązania ponownie spróbować samodzielnego jego rozwiązania.
Zadania, które przedstawiam w tym zeszycie pochodzą z różnych z
ródeł, część ze
znanych podręczników, część pochodzi z zestawów przygotowanych przez wykładowców
naszej Uczelni: dr BogdÄ™ KowalskÄ…, dr AnnÄ™ RajfurÄ™, dr A
ukasza Kowalika, dr Andrzeja
Zielińskiego.
Zeszyt ten jest w trakcie tworzenia, powstaje na podstawie prowadzonych przez
Autora zajęć wyrównawczych dla studentów pierwszego roku.
7
1. Działania na liczbach - ułamki
Zadanie 1.1. Oblicz
3 1
Å"1,8 Å"1 : 0,07
4 5
a) Odp. 21,6
1 5
: 0,49 Å" 2
5 8
5
0,2ëÅ‚6,2 : 0,31 - Å" 0,9öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
6
íÅ‚ Å‚Å‚
b) Odp. 0,77
4
2 + 1 Å" 0,22 : 0,1
11
4
ëÅ‚0,5 :1,25 + 1,4 :1 - 3
öÅ‚
Å" 3
ìÅ‚ ÷Å‚
7 11Å‚Å‚
íÅ‚
c) Odp. 32
1 1
ëÅ‚1,5 + öÅ‚
:18
ìÅ‚ ÷Å‚
4 3
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1 5
ëÅ‚ öÅ‚
8 Å" 4 -11 : 9 - ìÅ‚- 2 :
÷Å‚
4 5 3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
d) Odp. 2
2 2 2
14 : 2 + 8 Å"1
9 5 7
3
4
(2 -1,9): 3
5
4
e) 0,05 - Odp. 0
1
îÅ‚3 - Å" 2,4 + 5,8)
(-1,25)Å‚Å‚ (-
ïÅ‚ śł
6
ðÅ‚ ûÅ‚
8
2. Działania na liczbach - potęgowanie
Zadanie 2.1 Oblicz
5
1
ëÅ‚ öÅ‚ 1
a) : 0,252 Odp. -
ìÅ‚- ÷Å‚
4 64
íÅ‚ Å‚Å‚
b) (- 0,1)3 Å" 0,14 : 0,12 Odp. -0,00001
(- 0,2)3 Å" 0,24 Å"(- 0,2)4
c) Odp. -0,2
-(- 0,24 Å" 0,26)
Zadanie 2.2 Zapisz w postaci jednej potęgi i oblicz
1
a) (- 0,1)4 Å" 54 Odp.
16
3 3
1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
b) : Odp. 27
ìÅ‚- ÷Å‚ ìÅ‚- ÷Å‚
3 9
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
(- 2)8
c) Odp. 100 000 000
(- 0,2)8
d) (- 0,2)9 : 0,019 Odp. -512 000 000 000
3 3
4 3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
e) Å" Odp. 1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
3 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
1 1 1
ëÅ‚1 öÅ‚ ëÅ‚1 öÅ‚
f) Å" Odp. 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
8 3 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
4 4
3 3
ëÅ‚3 öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
g) : - ÷Å‚
Odp. 625
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
4 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
9
Zadanie 2.3 Oblicz
-2
1 13
ëÅ‚ öÅ‚
a) - 4-2 Å" 3 Odp. 15
ìÅ‚ ÷Å‚
4 16
íÅ‚ Å‚Å‚
-1
1
b) (3-1 Å" 62 - 5) Odp.
7
-2
c) [(-1)-2 - 2-1 + 2] Odp. 0,16
-1
-1 -2
4 2
d) [(4 ) Å" 2 - (11) ] Odp. 9
5 3 2
Zadanie 2.4 Oblicz
3
2
a) 49 Odp. 343
2
- 1
3
b) 27 Odp.
9
2
5
c) 32 Odp. 4
1
d) 9-1,5 Odp.
27
e) 100-0,5 Å" 0,1-2 Odp. 10
2
- 1
3
f) 8 Odp.
4
3
- 1
4
g) 81 Odp.
27
h) 0,0001-1,25 Odp. 100 000
Zadanie 2.5 Oblicz
-3
-1
îÅ‚
a) (11) - 2-2 Å‚Å‚ Odp. 8
3
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
-2
-3 1
îÅ‚ 2
b) (- ) + 3Å" 2-3Å‚Å‚ Odp.
3
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
9
10
23 Å" 2-1 + 5-3 Å"54
c) Odp. -10
10-3 :10-2 - 0,250
-30 9
d) 0,75-28 Å"(11) Odp.
3
16
11
3. Działania na liczbach  pierwiastkowanie
Zadanie 3.1 Oblicz sprawdz
poprawność wyniku
a) 121 Odp. 11
b) 1,21 Odp. 1,1
c) 1,44 Odp. 1,2
d) 0,36 Odp. 0,6
4
16
e) Odp.
81
9
5
7 2
f) 2 Odp. = 1
9 3
3
Zadanie 3.2 Oblicz sprawdz
poprawność wyniku
3
a) 8 Odp. 2
3
b) 0,008 Odp. 0,2
27 3
3
c) Odp.
64 4
61 5
3
d) 1 Odp.
64 4
3 1
3
e) Odp.
81 3
12
Zadanie 3.3 Oblicz
3
a) 121 + 64 Odp. 15
b) 81 + 36 - 49 Odp. 8
3 1
c) 900 : 27 : 81 Odp. 1
9
d) 36 + 100 Odp. 4
2
1 1 1 11
e) (- ) - + Odp. -
3 16 9 36
3
f) 25Å" 25 Odp. 5
13
4. Funkcje, równania i nierówności liniowe
Funkcja y = ax + b określona jest w zbiorze liczb rzeczywistych, jej wykresem jest
linia prosta nachylona do osi x-ów pod kątem ą . Parametr a nosi nazwę współczynnika
kierunkowego prostej, tangens kąta ą jest równy parametrowi a : tg(ą ) = a .
Parametr b nazywamy wyrazem wolnym, jego wartość wskazuje punkt przecięcia
osi y-ek dla x = 0 .
b
Jeżeli a `" 0 , to wykres funkcji y = ax + b przecina oś x-ów w punkcie x0 = - ,
a
punkt ten jest miejscem zerowym tej funkcji.
Jeżeli a = 0 , to funkcja liniowa jest stała, a jej wykresem jest prosta równoległa do
osi x-ów przecinająca oś y-ów w punkcie b .
Jeżeli a > 0 , to funkcja y = ax + b jest rosnąca, a dla a < 0 jest funkcją malejącą.
Równanie ax + b = 0 nazywamy równaniem liniowym (z uwagi na to, że argument
b
x jest w pierwszej potędze). Rozwiązaniem tego równania jest x = - (dla a `" 0 ).
a
Zadanie 4.1 Naszkicuj wykres funkcji
a) y = 2x - 3
b) y = -2x -1
Zadanie 4.2 Rozwiąż równanie
2 - 3x 13
a) - 5 = 2x Odp. x = -
3 9
1 4 - x
b) 2 + = Odp. x = 3
x - 3 x - 3
c) 2 x - x +1 = 2 Odp. x = -1(" x = 3
Zadanie 4.3 Rozwiąż nierówność
a) -3x + 7 d" 4x Odp. x e" 1
2 + 5x x 2x
b) d" + Odp. x e" 4
6 4 3
14
x2 - 2x + 6 2x2 + x -1
13
c) > Odp. x <
5
2 4
Zadanie 4.4 Dla jakiej wartości parametru p funkcja
2 p - 4
f (x) = x +1
3
Odp. p = 2
nie ma miejsc zerowych?
15
5. Funkcje, równania i nierówności kwadratowe
Zadanie 5.1 Rozwiąż równanie
2x +1 x -1 x + 3 4 + x
5
a) - = - Odp. x = - (" x = 1
4
x + 3 - 9 - x 3 + x
3
x2
1 1 x2 +1
b) - = Odp. Brak pierwiastków
x -1 x +1 -1
x2
2
c) - 3x2 + x + 2 = 0 Odp. x = - (" x = 1
3
7 3
d) 2x2 - x = x2 - 3 Odp. x = (" x = 2
2 2
e) 2 + x2 = 1- 2x2 Odp. Brak pieriwastków
Zadanie 5.2 Rozwiąż nierówność
a) x2 - 3x + 2 < 2x2 - 6x + 4 Odp. x "{(-",1) *" (2,+")}
1
b) 3x2 - 6 +18x d" x Odp. x "< -6, >
3
c) x2 + 3x + 9 d" -3x Odp. x = -3
d) x2 d" 1 Odp. x "< -1; 1 >
16
Zadanie 5.3 Dla jakiej wartości parametru p funkcja
f (x) = x2 - x + p
1
ma dokładnie dwa różne pierwiastki? Odp. p <
4
Zadanie 5.4 Dla jakiej wartości parametru p funkcja
f (x) = x2 - x + p
1
ma dokładnie dwa różne pierwiastki dodatnie? Odp. p " (0; )
4
17
6. Funkcje, równania i nierówności wykładnicze
Zadanie 6.1 Rozwiąż równania
2
a) 2x -5x+10 = 64 Odp. x = 1(" x = 4
1 x
x x-1
b) 2 = 4 Odp. Równanie sprzeczne
1
5
c) Å" 2x+7 - 8x = 0 Odp. x =
2
4
x
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
3
d) Å"9x Å"81 = Odp. x = -
ìÅ‚ ÷Å‚ 4
3x+1 27
íÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 6.2 Rozwiąż równania
a) 5x - 53-x = 20 Odp. x = 2
x-2 x-2
b) 4 +16 = 10Å" 2 Odp. x = 3(" x = 11
Zadanie 6.3 Rozwiąż nierówności
x+ 1
x-1 1 3
a) 0,5 > Odp. x < 1(" x >
32 2
1
b) x2 Å" 2x + x Å" 2x-1 > 0 Odp. x < - (" x > 0
2
x -1- x
1 1
c) -( )
e" 1 Odp. x d" -1
( )
2 2
18
7. Funkcje, równania i nierówności wykładnicze
Zadanie 7.1 Oblicz
a) log3 3 27 Odp. 2
3
b) 3log 2006 Odp. 2006
Zadanie 7.2 Rozwiąż równania
a) log2 x = 1- log2 (x -1) Odp. x = 2
b) log10 x - 2 - log10 4 - x = 1- log10 13 - x Odp. x = 3
( ) ( ) ( )
19
Rozwiązania zadań
Z działań na liczbach - ułamki
Zadanie 1.1
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ… za pionowÄ… liniÄ…).
Podpunkt a). Oblicz
3 1
Å"1,8Å"1 : 0,07
4 5
=
1 5
: 0,49Å" 2
5 8
3 9 6 7
PorzÄ…dkujemy licznik i mianownik sprowadzajÄ…c wszystkie
Å" Å" :
18 9
4 5 5 100
liczby do postaci ułamków, stąd zamiast 1,8 mamy ,
= = =
10 5
1 49 21
: Å"
1 1Å" 5 + 1 6 5 2 Å"8 + 5 21
5 100 8
zamiast 1 mamy = , a 2 = = itd.
5 5 5 8 8 8
162 100 W liczniku i mianowniku mamy dzielenia ułamków,
Å"
zastępujemy je mnożeniami przez odwrotność (korzystamy
100 7
= =
a c a d
1 100 21
z : = Å"
Å" Å"
b d b c
5 49 8
162
7
= =
20 3
Å"
7 8 Skracamy ułamki,
162 7 8
= Å" Å" =
Zastępujemy dzielenia mnożeniem przez odwrotność
7 20 3
162 Å" 2 324 Skracamy uÅ‚amki, mnożymy, ostatnie dzielenie i mamy
= = = 21,6
wynik końcowy
15 15
20
Zadanie 1.1. Podpunkt b). Oblicz
5
0,2ëÅ‚6,2 : 0,31- Å" 0,9öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
6
íÅ‚ Å‚Å‚
=
4
2 +1 Å"0,22 : 0,1
11
PorzÄ…dkujemy licznik i mianownik sprowadzajÄ…c
2 62 31 5 9
ëÅ‚ öÅ‚
:
ìÅ‚ - Å"
÷Å‚
wszystkie liczby do postaci ułamków
10 10 100 6 10
íÅ‚ Å‚Å‚
= =
15 22 1
2 + Å" :
11 100 10
W liczniku i mianowniku mamy dzielenia
2 62 100 1 3
ëÅ‚ öÅ‚
ułamków, zastępujemy je mnożeniami przez
Å"
ìÅ‚ - Å"
÷Å‚
10 10 31 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
a c a d
= =
odwrotność (korzystamy z : = Å" )
15 2 10
b d b c
2 + Å" Å"
1 100 1
2 3
ëÅ‚2Å"10 - öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
10 4 Skracamy ułamki
íÅ‚ Å‚Å‚
= =
2 + 3
2 3
ëÅ‚20 - öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
PorzÄ…dkujemy licznik i mianownik
10 4
íÅ‚ Å‚Å‚
= =
5
2 20Å" 4 - 3
Å" Wyrażenie w nawiasie sprowadzamy do
10 4
= = wspólnego mianownika,
5
2 77
Å"
2 77 1 77
10 4
Mnożymy, ostatnie dzielenie i mamy wynik
= = Å" Å" = = 0,77
5 10 4 5 100
końcowy
21
Zadanie 1.1. Podpunkt c). Oblicz
4
ëÅ‚0,5 :1,25 +1,4 :1 - 3 öÅ‚
Å"3
ìÅ‚ ÷Å‚
7 11Å‚Å‚
íÅ‚
=
1 1
ëÅ‚1,5 + öÅ‚
:18
ìÅ‚ ÷Å‚
4 3
íÅ‚ Å‚Å‚
PorzÄ…dkujemy licznik i mianownik sprowadzajÄ…c
ëÅ‚ 5 125 14 11 3 öÅ‚
: + : - ÷Å‚
Å"3
ìÅ‚ wszystkie liczby do postaci uÅ‚amków
íÅ‚10 100 10 7 11Å‚Å‚
= =
15 1 55
ëÅ‚ öÅ‚
+ :
ìÅ‚ ÷Å‚
3
íÅ‚10 4 Å‚Å‚
W liczniku i mianowniku mamy dzielenia
ułamków, zastępujemy je mnożeniami przez
ëÅ‚ 5 100 14 7 3 öÅ‚
Å" + Å" - ÷Å‚
Å"3
ìÅ‚
a c a d
íÅ‚10 125 10 11 11Å‚Å‚
odwrotność (korzystamy z : = Å" ).
= =
b d b c
3 1 3
ëÅ‚ öÅ‚
+ Å"
ìÅ‚ ÷Å‚ 15 3
Ułamek został skrócony przez 5, stąd
2 4 55
10 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Skracamy ułamki, w mianowniku w nawiasie
10 98 3
ëÅ‚ öÅ‚
3 6
+ - ÷Å‚
Å"3
ìÅ‚ uÅ‚amek rozszerzono do (na potrzeby
2 4
25 110 11Å‚Å‚
íÅ‚
= =
dodawania ułamków)
6 1 3
ëÅ‚ öÅ‚
+ Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
4 4 55
íÅ‚ Å‚Å‚
2Å"11 49 3Å"5
ëÅ‚ öÅ‚
W liczniku wprowadzono jednolity mianownik,
+ - ÷Å‚
Å"3
ìÅ‚
5Å"11 55 11Å"5
íÅ‚ Å‚Å‚
= =
7 3
Å"
4 55
(22 + 49 -15)Å"3
Porządkujemy licznik ułamka piętrowego
55
= =
7 3
Å"
4 55
Likwidujemy ułamek piętrowy, skracamy ułamki i
56Å"3 4 55 4Å"56
mamy wynik końcowy
= Å" Å" = = 4Å"8 = 32
55 7 3 7
22
Zadanie 1.1. Podpunkt d). Oblicz
1 1 1 1 5
ëÅ‚ öÅ‚
8 Å" 4 -11 : 9 - ìÅ‚- 2 :
÷Å‚
4 5 3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
=
2 2 2
14 : 2 + 8 Å"1
9 5 7
PorzÄ…dkujemy licznik i mianownik sprowadzajÄ…c
17 56 28 7 5
ëÅ‚ öÅ‚
8 Å" - : - ìÅ‚- ÷Å‚
:
wszystkie liczby do postaci ułamków
4 5 3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
= =
20 42 9
14 : + Å"
9 5 7
W liczniku i mianowniku mamy dzielenia
56 3 7 3
ułamków, zastępujemy je mnożeniami przez
34 - Å" + Å"
5 28 3 5
= = a c a d
9 6 9 odwrotność (korzystamy z : = Å" ).
14 Å" + Å"
b d b c
20 5 1
6 7
34 - +
Skracamy ułamki
5 5
= =
63 54
+
10 5
W liczniku i mianowniku ułamka piętrowego
340 -12 +14
wprowadzono jednolity mianownik,
10
= =
63 +108
10
Likwidujemy ułamek piętrowy, skracamy ułamki i
342
= = 2
mamy wynik końcowy
171
23
Zadanie 1.1. Podpunkt e). Oblicz
3
4
(2 -1,9): 3
5
4
0,05 - =
1
îÅ‚3 - Å" 2,4 + 5,8)
(-1,25)Å‚Å‚ (-
ïÅ‚ śł
6
ðÅ‚ ûÅ‚
14 19 15
ëÅ‚ öÅ‚
:
ìÅ‚ - ÷Å‚
5 5 10 4
íÅ‚ Å‚Å‚ PorzÄ…dkujemy licznik i mianownik sprowadzajÄ…c
= - =
19 125 24 58 wszystkie liczby do postaci ułamków
100 îÅ‚ Å‚Å‚
+ Å" -
ïÅ‚
6 100śł 10 10
ðÅ‚ ûÅ‚
28 19 4
ëÅ‚ öÅ‚
Å"
ìÅ‚ - ÷Å‚
W liczniku było dzielenie ułamków, zastępujemy
1 10 10 15
íÅ‚ Å‚Å‚
je mnożeniami przez odwrotność (korzystamy z
= - =
19 5 12 29
20 ëÅ‚ öÅ‚
a c a d
+ Å"
ìÅ‚ ÷Å‚ -
: = Å" ).
6 4 5 5
íÅ‚ Å‚Å‚
b d b c
9 4
Å"
1
10 15
= - =
Skracamy ułamki, wyrażenie w mianowniku
19 Å" 2 + 5 Å" 3 12 29
20 ëÅ‚ öÅ‚
Å"
ìÅ‚ ÷Å‚ - uÅ‚amka piÄ™trowego sprowadzamy do wspólnego
12 5 5
íÅ‚ Å‚Å‚
mianownika
9 4
Å"
1 1 9 4 5
10 15
= - = - Å" Å" =
53 29
20 20 10 15 24
PorzÄ…dkujemy licznik i mianownik
-
5 5
1 18 1 6
= - = - =
Dalszy ciąg porządków
20 15 Å" 24 20 5 Å" 24
1 1 1 1
= - = - = 0 Odejmujemy dwa ułamki i mamy wynik
20 5 Å" 4 20 20
24
Z działań na liczbach - potęgowanie
Zadanie 2.1
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
Zadanie 2.1. Podpunkt a). Oblicz
5
1
ëÅ‚ öÅ‚
: 0,252 =
ìÅ‚- ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
5 2
1 25
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
=
ìÅ‚-1Å" : =
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚100 Å‚Å‚
Korzystamy z wzoru (a Å" b)n = an Å" bn , a uÅ‚amek dziesiÄ™tny
zamieniamy na ułamek zwykły
5 2
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
= (-1)5ëÅ‚ öÅ‚ : =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
4 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
5 2
Korzystamy z faktu, że (-1)5 = -1
1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
= -1Å" : =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
4 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
5-2
1
= -ëÅ‚ öÅ‚ = Korzystamy z wzoru an : am = an-m
ìÅ‚ ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
3
1
= -ëÅ‚ öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
13 1 n
a an
= - = - ëÅ‚ öÅ‚
Korzystamy z wzoru =
ìÅ‚ ÷Å‚
64
43
b
íÅ‚ Å‚Å‚ bn
25
Zadanie 2.1. Podpunkt b). Oblicz
(- 0,1)3 Å" 0,14 : 0,12 =
LiczbÄ™ -0,1 można zapisać jako -1Å" 0,1
= (-1Å" 0,1)3 Å" 0,14 : 0,12 =
= (-1)3 Å" 0,13 Å" 0,14 : 0,12 = Co pozwala skorzystać z wzoru (a Å" b)n = an Å" bn
Korzystamy z faktu, że (-1)3 = -1 oraz z wzorów
= -1Å" 0,13+4-2 =
an Å" am = an+m i an : am = an-m
= -0,15 = 0,00001
Zadanie 2.1. Podpunkt c). Oblicz
(- 0,2)3 Å" 0,24 Å"(- 0,2)4
=
-(- 0,24 Å" 0,26)
Wszystkie potęgi sprowadzamy do tej samej podstawy,
= = Å" =
-1Å" 0,23 Å" 0,24 Å" 0,24 mamy (-0,2)3 (-1Å" 0,2)3 (-1)3 0,23 -1Å" 0,23
= =
(0,24 Å" 0,26)
Dla (-0,2)4 mamy 0,24 (bo (-1)4 = 1)
Korzystamy z wzoru an Å" am = an+m
0,23+4+4
= - =
0,24+6
Korzystamy z wzoru an : am = an-m
0,211
= - =
0,210
= -0,211-10 = -0,21 = -0,2
Po kilku przekształceniach mamy wynik
26
Zadanie 2.2
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
Zadanie 2.2. Podpunkt a). Zapisz w postaci jednej potęgi i oblicz
(- 0,1)4 Å" 54 =
= (-1Å" 0,1)4 Å" 54 =
Wyrażenie (- 0,1)4 = (-1Å" 0,1)4 = (-1)4 Å" 0,14 = 0,14
= 0,14 Å" 54 =
Podstawę potęgi 0,1 musimy teraz tak przekształcić, aby w
4
= (10-1) Å" 54 =
podstawie pojawiła się liczba 5, mamy więc
0,1 = 10-1 = (2 Å" 5)-1
= (2 Å" 5)-4 Å" 54 =
Korzystamy z wzoru (a Å" b)n = an Å" bn
= 2-4 Å" 5-4 Å" 54 =
1
1
Korzystamy z wzorów a-n = oraz an Å" am = an+m
= Å" 5-4+4 =
an
24
1 1 Korzystamy z definicji a0 = 1
= Å" 50 =
16 16
Zadanie 2.2. Podpunkt b). Zapisz w postaci jednej potęgi i oblicz
3 3
1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
: =
ìÅ‚- ÷Å‚ ìÅ‚- ÷Å‚
3 9
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
m
Korzystamy z wzoru (an) = anÅ"m
3 2Å"3
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚- ëÅ‚ öÅ‚ ÷Å‚
= -ëÅ‚ öÅ‚ : = Korzystamy z wzorów an : am = an-m oraz
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ 1
(a)-n = . W szczególności
an
-n n
3-6 -3
a 1 1 bn b
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
= = = 1Å" =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= = = = 33 = 27
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
n
3
b a
3 3 íÅ‚ Å‚Å‚ an an íÅ‚ Å‚Å‚
a
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ ëÅ‚ öÅ‚
1
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
b bn
3 íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
27
Zadanie 2.2. Podpunkt c). Zapisz w postaci jednej potęgi i oblicz.
(- 2)8
=
(- 0,2)8
(-1Å" 2)8 (-1)8 Å" 28 Pozbywamy siÄ™ minusów w liczniku i mianowniku
= = =
(-1Å"0,2)8 (-1)8 Å"0,28
28 28
= = = Podstawę potęgi w mianowniku zapisujemy w postaci
8
28
2
ëÅ‚ öÅ‚ uÅ‚amka zwykÅ‚ego
ìÅ‚ ÷Å‚
108
íÅ‚10 Å‚Å‚
108
Likwidujemy ułamek piętrowy, skracamy i mamy wynik
= 28 Å" = 108 = 100 000 000
28
Zadanie 2.2. Podpunkt d). Zapisz w postaci jednej potęgi i oblicz
(- 0,2 =)9 : 0,019 =
Pozbywamy się minusa w podstawie potęgi
= (-1Å" 0,2)9 : 0,019 =
9 9
2 1 Podstawy potęg zapisujemy w postaci ułamków
ëÅ‚ öÅ‚
= -ëÅ‚ öÅ‚ : =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
zwykłych
íÅ‚10 Å‚Å‚ íÅ‚100 Å‚Å‚
2 Likwidujemy ułamek piętrowy, a dalej korzystamy z
29 1009 29 (109)
9 2
= - Å" = - Å" =
= (102) = (109)
109 19 109 19 faktu, że 1009
= -29 Å"109 = -512 000 000 000 Po podniesieniu 29 i przesuniÄ™ciu o 9 zer mamy wynik
28
Zadanie 2.2. Podpunkt e). Zapisz w postaci jednej potęgi i oblicz
3 3
4 3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Å" =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
3 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
n
a an
ëÅ‚ öÅ‚
43 33
Korzystamy z wzoru = , skracamy i mamy wynik
ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" = 1
b
íÅ‚ Å‚Å‚ bn
33 43
Zadanie 2.2. Podpunkt f). Zapisz w postaci jednej potęgi i oblicz
2 2
1 1
ëÅ‚1 öÅ‚ ëÅ‚1 öÅ‚
Å" =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
8 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
9 4
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
= Å" = Podstawy potÄ™g sprowadzamy do uÅ‚amków niewÅ‚aÅ›ciwych
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
8 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
n
92 42 a an
ëÅ‚ öÅ‚
= Å" = Korzystamy z wzoru =
ìÅ‚ ÷Å‚
82 32 b
íÅ‚ Å‚Å‚ bn
2 2
(32) Å"(22)
Podstawy potęgowania 9, 8 i 4 zastępujemy odpowiednio
= =
3
potęgami 3 i 2
(22) Å" 32
32 9 1
Skracamy i mamy wynik
= = = 2
4 4
22
29
Zadanie 2.2. Podpunkt g). Zapisz w postaci jednej potęgi i oblicz
4 4
3 3
ëÅ‚3 öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
: =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚- ÷Å‚
4 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
4 4
15 3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
= : = Podstawy potęg sprowadzamy do ułamków niewłaściwych
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
4 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
n
a an
ëÅ‚ öÅ‚
154 44
Korzystamy z wzoru = , dzielenie zastępujemy
ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" =
b
íÅ‚ Å‚Å‚ bn
44 34
mnożeniem przez odwrotność
(3 Å" 5)4
= =
Podstawy potęgowania 15 zapisujemy jako iloczyn 3 i 5
34
34 Å" 54
Skracamy i mamy wynik
= = 54 = 625
34
Zadanie 2.3
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
Zadanie 2.3. Podpunkt a). Oblicz
-2
1
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ - 4-2 Å" 3 =
4
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1
= - Å" 3 =
1
1
42
Korzystamy z wzoru a-n =
an
42
3
Do wspólnego mianownika
= 42 - =
42
Odejmowanie, dzielenie i mamy wynik
256 - 3 253 13
= = = 15
16 16 16
30
Zadanie 2.3. Podpunkt b). Oblicz
-1
(3-1 Å" 62 - 5) =
-1
1
ëÅ‚ 36
Korzystamy z wzorui a-n =
= - 5öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
an
3
íÅ‚ Å‚Å‚
1
Odejmowanie, ponowne zastosowanie powyższego wzoru i mamy
= 7-1 =
wynik
7
Zadanie 2.3. Podpunkt c). Oblicz
-2
[(-1)-2 - 2-1 + 2] =
-2
îÅ‚ Å‚Å‚ PorzÄ…dkujemy w nawiasie kwadratowym, korzystamy z
1 1
= - + 2śł =
ïÅ‚
1
2
(-1)2 ûÅ‚
ïÅ‚ śł
wzorui a-n =
ðÅ‚
an
-2
1
îÅ‚1
= - + 2Å‚Å‚ =
ïÅ‚ śł PorzÄ…dkujemy wyrażenie w nawiasie kwadratowym
2
ðÅ‚ ûÅ‚
-2 -2
1 6
ëÅ‚3 öÅ‚ ëÅ‚ -1
öÅ‚
Do wspólnego mianownika
= - ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= =
ìÅ‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
-n n
-2 2
a 1 1 bn b
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
5 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Korzystamy z wzoru = = = =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= = =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ n
b a
íÅ‚ Å‚Å‚ an an íÅ‚ Å‚Å‚
a
2 5 ëÅ‚ öÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
b bn
íÅ‚ Å‚Å‚
4 4 16
Rozszerzamy ułamek tak, aby w mianowniku otrzymać
= Å" = = 0,16
25 4 100
100, w ten sposób przechodzimy do ułamka dziesiętnego
31
Zadanie 2.3. Podpunkt d). Oblicz
-1
-1 -2
4 2
[(4 ) Å" 2 - (11) ] =
5 3 2
-1
Podstawy potęg w nawiasie kwadratowym sprowadzamy
îÅ‚ëÅ‚ 24 öÅ‚-1 8 ëÅ‚ 3 öÅ‚-2 Å‚Å‚
= ïÅ‚ Å" - ìÅ‚ ÷Å‚ śł = do uÅ‚amków niewÅ‚aÅ›ciwych
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚
ðÅ‚íÅ‚ 5 Å‚Å‚ 3 íÅ‚ 2 Å‚Å‚ śł
ûÅ‚
-1
2
îÅ‚ Å‚Å‚
PorzÄ…dkujemy w nawiasie kwadratowym, korzystamy z
5 8 2
ëÅ‚ öÅ‚
= ïÅ‚ Å" - ìÅ‚ ÷Å‚ śł =
-n n
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚24 3 3 śł 1 a b
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
wzorui a-n = oraz =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
an b a
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
-1 -1
Odejmowamnie, skorzystanie z powyższego wzoru i
5 4 1
îÅ‚ Å‚Å‚ ëÅ‚ öÅ‚
= - = = 91 = 9
ìÅ‚ ÷Å‚
mamy wynik
ïÅ‚9 9 śł
9
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 2.4
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
3
2 Podstawę potęgi zapisujemy jako 72 , co pozwala na
a) 49 =
m
3
skorzystanie z wzoru (an) = anÅ"m
2
= (72) = 73 = 49 Å" 7 = 343
2
-
3
b) 27 =
1
Jak wyżej, korzystamy także z wzoru a-n =
2
-
1 1
an
3
= (33) = 3-2 = =
9
32
2
5
c) 32 =
Analogicznie do pkt. a)
2
2
5
5
= (25) = 25Å" = 22 = 4
d) 9-1,5 =
Analogicznie do pkt. b)k
-1,5
1
= (32) = 3-3 =
27
32
Zadanie 2.5
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
a) 100-0,5 Å" 0,1-2 = PodstawÄ™ potÄ™gi 100 zapisujemy jako 102 , a 0,1
-0,5 -2
jako 10-1 co pozwala na skorzystanie z wzoru
= (102) Å"(10-1) =
m
(an) = anÅ"m . Korzystamy także z wzoru
= 10-1 Å"102 = 10-1+2 = 101 = 10
an Å" am = an+m
2
-
3
b) 8 =
2
1
-
1 1
3
Jak wyżej, korzystamy także z wzoru a-n =
= (23) = 2-2 = =
an
4
22
3
4
c) 81- =
Analogicznie do pkt. b)
3
- 3
1 1
4
4
= (34) = 34Å"(- ) = 3-3 = =
27
33
d) 0,0001-1,25 =
Analogicznie do pkt. a)
-1,25
= (10-4) = 10(-4)Å"(-1,25) =
= 105 = 100 000
Zadanie 2.6
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
-3
-1
îÅ‚
a) (11) - 2-2 Å‚Å‚ =
3
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Liczbę mieszaną 11 zamieniamy na ułamek
3
-3
-1 -3
îÅ‚ 4 3 1
= ( ) - 2-2 łł = [ - ] = niewłaściwy (taki, w którym licznik jest większy od
3 4 4
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
-n n
a b
mianownika), korzystamy z wzoru ( ) = ( )
-3 -3 3
2 1 2 b a
= ( ) = ( ) = ( ) = 23 = 8
4 2 1
-2
-3
-n n
îÅ‚ 2
a b
b) (- ) + 3Å" 2-3 Å‚Å‚ =
Korzystamy z wzoru ( ) = ( ) , w nawiasie
3
ïÅ‚ śł b a
ðÅ‚ ûÅ‚
3
-2
kwadratowym wyciągnięto wspólny element ,
-2
3
îÅ‚- 3 3 3
Å‚Å‚
23
= ( ) + =[ (- 32 +1)] =
2
ïÅ‚ 23 23
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1
uporzÄ…dkowano, skorzystano z wzoru a-n =
-2 1 1
3
an
= [ Å"(- 8)] = (- 3)-2 = =
8
(- 3)2 9
33
23 Å" 2-1 + 5-3 Å"54
c) =
10-3 :10-2 - 0,250
Korzystamy z wzorów an Å" am = an+m oraz
23-1 + 5-3+4 22 + 51
= = =
1
10-3-(-2) -1 10-1 -1
a-n =
an
4 + 5 9 9Å"10
= = = = -10
1 1-10
-1 - 9
10 10
-30
1
d) 0,75-28 Å"(1 ) =
3
Obie potęgi musimy sprowadzić do tej samej
-28 -30 -28 30
3 4 3 3
= ( ) Å"( ) = ( ) Å"( ) = podstawy, bÄ™dziemy wtedy mogli skorzystać z
4 3 4 4
wzoru an Å" am = an+m .  Po drodze
-28+30 2 9
3 3
= ( ) = ( ) =
-n n
4 4
a b
16 skorzystaliśmy jeszcze z wzoru ( ) = ( )
b a
Z działań na liczbach - pierwiastkowanie
Zadanie 3.1
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
1
2
m
121 = 112 = (112) = n
n
Korzystamy z am = a Sprawdzenie: 112 = 121
a)
1
2
= 112Å" = 111 = 11
Jak wyżej, sprawdzenie: 1,12 = 1,21
b) 1,21 = 1,12 = 1,1
Jak wyżej, sprawdzenie: 1,22 = 1,44
c) 1,44 = 1,22 = 1,2
d) 0,36 = 0,62 = 0,6
Jak wyżej, sprawdzenie: 0,62 = 0,36
2
16 4 4
e) = ( ) = 2
4 16
81 9 9
Jak wyżej, sprawdzenie: ( ) =
9 81
f)
Liczbę mieszaną zapisujemy jako ułamek, dalej jak
2
7 25 5 5 2
2 = = ( ) = = 1
2
9 9 3 3 3
5 25
wcześniejsze zadania. Sprawdzenie: ( ) =
3 9
34
Zadanie 3.2
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
m
n
n
3
Korzystamy z am = a Sprawdzenie: 23 = 8
3
3
a) 8 = 23 = 23 = 2
3
3 Jak wyżej, sprawdzenie: 0,23 = 0,008
b) 0,008 = 0,23 = 0,2
3
3
3 27
27 3 3
3
3
Jak wyżej, sprawdzenie: ( ) =
c) = ( ) `=
4 64
64 4 4
Liczbę mieszaną zapisujemy jako ułamek, dalej jak
3
61 125 3 5 5
3 3
d) 1 = = ( ) = 3
5 125 61
64 64 4 4
wcześniejsze zadania., sprawdzenie: ( ) = = 1
4 64 64
3
3 1 3 1 1
3 3 Skracamy liczbę podpierwiastkową, dalej jak wcześniej-
e) = = ( ) =
81 27 3 3
3
1 1 1 3 3
sze zadania, sprawdzenie: ( ) = = Å" =
3 27 27 3 81
Zadanie 3.3
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
3 8
a) 121 + 64 = 11+ 4 = 15 Obliczamy oba pierwiastki: 121 = 11, 64 = 4 ,
sumujemy
b) 81 + 36 - 49 = 9 + 6 - 7 = 8
Jak wyżej
3
900 : 27 : 81 =
3
Mamy 900 = 30; 27 = 3; 81 = 9 , podstawiamy
c)
= 30 : 3 : 9 = 10 : 9 = 11
8 w miejsce pierwiastków, kilka działań i już.
36 + 100 = Jak wyżej
d)
= 6 +10 = 16 = 4
e)
Chyba wszystko jest jasne, wystarczy spokojnie
2 2
1 1 1 1 9+16
(- ) - + = (- ) - = prześledzić kolejne kroki. Dwa wyjaśnienia
3 16 9 3 16Å"9
2 2 2 2
1 1 1 1
1
(- ) = (-1Å" ) = (-1)2 Å"( ) = ( )
2 2
1 52 2 1 5 3 3 3 3
= (- ) -( ) = ( ) - =
3
42Å"32 3 12 1
1
2
2 2Å"1
52 2 ëÅ‚ 5 öÅ‚ 5 2 5
1 5 4-15 11
( ) = ( ) = ( ) =
ìÅ‚ ÷Å‚
= - = = -
9 12 36 36 42Å"32 4Å"3 4Å"3 12
íÅ‚ Å‚Å‚
35
Wszystko powinno być jasne, wystarczy prześledzić
3 3
25Å" 25 = 25Å"5 =
kolejne przekształcenia.
f)
1
3 3 3
= 52 Å"51 = 53 = (53) = 5
Funkcje, równania i nierówności liniowe
Zadanie 4.1
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
a) y = 2x - 3 Z postaci ogólnej funkcji liniowej
y = a + bx mamy, że parametr b
(współczynnik kierunkowy) jest równy 2, a
parametr a (wyraz wolny) jest równy -3 .
Dla x = 0 funkcja przyjmuje wartość -3 ,
jest to punkt przecięcia wykresu funkcji z
osiÄ… y-ka.
Funkcja przyjmuje wartość 0 wtedy, gdy
3
2x - 3 = 0 Ò! 2x = 3 Ò! x = .
2
Geometrycznie jest to punkt przecięcia
wykresu funkcji z osią x-ów, punkt ten
nazywamy miejscem zerowym funkcji.
b) y = -2x -1 Dla x = 0 wykres przecina oś y-ów w
punkcie y = -1 .
Miejsce zerowe znajdujemy rozwiÄ…zujÄ…c
1
równanie - 2x -1 = 0 Ô! -2x = 1 Ô! x = -
2
Mamy więc dwa punkty o współrzędnych
1
odpowiednio P1(0; -1) i P2 (- ; 0) ,
2
zaznaczamy te punkty i prowadzimy przez
nie prostÄ…
36
Zadanie 4.2
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
a)
Mnożymy obustronnie przez 3 w celu zlikwidowania
2 - 3x
- 5 = 2x Å"3
ułamka
3
Będziemy teraz porządkować to równanie przenosząc
2 - 3x -15 = 6x
wyrazy z niewiadomÄ… na lewÄ… stronÄ™, a wyrazy wolne na
- 3x - 6x = -2 +15
prawą stronę znaku równości
- 9x = 13 :(- 9)
Po uporzÄ…dkowaniu dzielimy obustronnie przez -9, co
13
x = -
daje natychmiast rozwiÄ…zanie
9
b)
Obustronnie mnożymy przez wyrażenie x - 3 , co pozwoli
1 4 - x
2 + = Å" (x - 3)
na zlikwidowanie ułamków.
x - 3 x - 3
Pozostaje nam uporządkowanie tego równania.
2(x - 3) +1 = 4 - x
2x - 6 +1 = 4 - x
Przygotowania do przesunięcia wyrazów z niewiadomą
na jedną stronę znaku równości a wyrazów wolnych na
2x + x = 4 + 6 -1
drugÄ….
3x = 9 : 3
Po podzieleniu obu stron przez 3 mamy rozwiÄ…zanie.
x = 3
c) W tym wypadku niewiadoma występuje w module, wyra-
Å„Å‚- x dla x < 0 Å„Å‚- x -1 dla x < -1
żenie , a .
x +1 =
2 x - x +1 = 2 x ==
òÅ‚ òÅ‚
x dla x e" 0 x +1 dla x e" -1
ół ół
Rozwiążemy nasze równanie w kolejnych przedziałach:
2(-x) - (-x -1) = 2
1. x < -1 Jak widzimy w tym przypadku równanie nie
- 2x + x +1 = 2
ma rozwiązań (bo x = -1, a zgodnie z założeniem
powinno być mniejsze od minus 1).
- x = 1 Ò! x = -1
2(-x) - (x +1) = 2
2. -1 d" x < 0
- 2x - x -1 = 2
Jak widzimy w tym przedziale mamy rozwiÄ…zanie x = -1
- 3x = 3 Ò! x = -1
2(x) - (x +1) = 2
3. x e" 0 Także w tym przedziale mamy rozwiązanie
2x - x -1 = 2
x = 3
x -1 = 2 Ò! x = 3
37
Zadanie 4.3
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
a) PorzÄ…dkujemy przenoszÄ…c wyrazy z niewiadomÄ… na jednÄ…
-3x + 7 d" 4x stronę znaku mniejszości, a wyrazy wolne na drugą.
- 3x - 4x d" -7
Dzielimy obustronnie nierówność przez liczbę -7 ,
dlatego zmieniamy kierunek nierówności.
- 7x d" -7 : (-7)
x e" 1
Odp. x e" 1 albo inaczej x "< 1; + ")
b)
2 + 5x x 2x
d" +
6 4 3
Pierwszy krok to likwidacja ułamków, osiągamy to
2 + 5x x 2x mnożąc obustronnie nierówność przez 12 (wspólny
d" + Å"12
mianownik).
6 4 3
2(2 + 5x) d" 3x + 8x Po wymnożeniu porządkujemy doprowadzając
nierówność liniową do klasycznej postaci: wyrazy z
4 +10x d" 11x
niewiadomÄ… po jednej stronie operatora a wyrazy wolne
4 d" 11x -10x
po drugiej.
x e" 4
Na zakończenie całą nierówność odwrócono.
c)
Pierwszy krok to likwidacja ułamków, osiągamy to
x2 - 2x + 6 2x2 + x -1
>
mnożąc obustronnie nierówność przez 4 (wspólny
2 4
mianownik).
x2 - 2x + 6 2x2 + x -1
> Å" 4
Po wymnożeniu porządkujemy doprowadzając
2 4
nierówność liniową do klasycznej postaci: wyrazy z
niewiadomÄ… po jednej stronie operatora a wyrazy wolne
2(x2 - 2x + 6) > 2x2 + x -1
po drugiej. Wyrażenia 2x2 występowały po obu stronach
2x2 - 4x +12 > 2x2 + x -1
symbolu nierówności z tym samym znakiem, stąd ich
- 4x - x > -1-12
redukcja.
- 5x > -13 : (-5)
Na zakończenie dzielimy obustronnie przez -5 ,
13
pamiętamy o zmianie kierunku nierówności.
x <
5
38
Zadanie 4.4
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
Funkcja liniowa y = ax + b nie ma miejsc zerowych (jest
2 p - 4
f (x) = x +1
stała) wtedy, gdy współczynnik kierunkowy prostej jest
3
równy zero ( a = 0).
2 p-4
a = = 0
3
2 p-4
Ponieważ w naszej funkcji a = , to musimy
2 p-4
3
= 0 Å"3
3
2 p-4
rozwiązać równanie a = = 0
3
2 p - 4 = 0
2 p = 4 : 2
p = 2
39
Funkcje, równania i nierówności kwadratowe
Zadanie 5.1
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
a) Równanie jest określone w zbiorze
2x +1 x -1 x + 3 4 + x Z = R -{- 3, 3}.
- = -
x + 3 - 9 - x 3 + x
3
x2
Zaczynamy od likwidacji ułamków,
2x +1 x -1 x + 3 x + 4
wystarczy pomnożyć obustronnie przez
- = - - Å"(x - 3)(x + 3)
wspólny mianownik
x + 3 - 9 - 3 x + 3
x
x2
(2x +1)(x - 3) - (x -1) =
Wymnażamy i porządkujemy w celu
doprowadzenia do ogólnej postaci
- (x + 3)(x + 3) - (x + 4)(x - 3)
ax2 + bx + c = 0
2x2 - 6x + x - 3 - x +1 =
- x2 - 3x - 3x - 9 - x2 + 3x - 4x +12
2x2 - 6x - 2 = -2x2 - 7x + 3 Równanie 4x2 + x - 5 = 0 jest równo-
ważne wyjściowemu w zbiorze Z
4x2 + x - 5 = 0
Widzimy, że nasze a = 4 , b = 1oraz
c = -5 . Wyznaczamy wyróżnik
" = b2 - 4ac = 12 - 4Å" 4Å" (-5) = 1+ 80 = 81
jest dodatni, możemy wyznaczyć
pierwiastek z delty.,
" = 81 = 9
-b- " -1-9 10 5
Mamy dwa różne pierwiastki należące
x1 = = = - = -
2a 2Å"4 8 4
do zbioru Z, a więc będące także
-b+ " -1+9 8
x2 = = = = 1
rozwiązaniami równania wyjściowego
2a 2Å"4 8
b) Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny równania,
będzie to Z = R -{-1, 1}
1 1 x2 +1
- =
x -1 x +1 x2 -1
Mnożąc obustronnie przez x2 -1 = (x -1)(x +1)
1 1 x2 +1 likwidujemy mianowniki.
- = Å" x2 -1
( )
x -1 x +1 x2 -1
PorzÄ…dkujemy
Zmieniamy kolejność zapisu
x +1- (x -1) = x2 +1
2 = x2 +1
Równanie x2 -1 = 0 nie jest równoważne
wyjściowemu w zbiorze Z (jego pierwiastki nie
x2 -1 = 0
należą do zbioru Z). Oznacza to, że równanie
(x +1)(x -1) = 0 Ò! x = -1(" x = 1
wyjściowe nie posiada pierwiastków.
40
c) Równanie podane jest w postaci ogólnej, gdzie
a = -3, b = 1, c = 2 .
- 3x2 + x + 2 = 0
Obliczamy wartość wyróżnika (delty)
" = 12 - 4Å" (-3) Å" 2 = 1+ 24 = 25
Jest dodatni, a więc będą dwa pierwiastki
" = 25 = 5
Obliczamy pierwiastek z delty i znajdujemy oba
-1-5 -6
x1 = = = 1
2Å"(-3) -6
rozwiązania naszego równania.
-1+5 4 2
x2 = = = -
2Å"(-3) -6 3
d) Zaczynamy od uporządkowania tego równania
w celu doprowadzenia go do postaci ogólnej
7
2x2 - x = x2 - 3
2
ax2 + bx + c = 0
7
2x2 - x2 - x + 3 = 0
2
7
x2 - x + 3 = 0 Å" 2
2
2x2 - 7x + 6 = 0 Mamy już postać ogólną ( a = 2, b = -7, c = 6 )
" = (-7)2 - 4Å" 2Å" 6 = 49 - 48 = 1
Obliczamy wyróżnik,
" = 1 = 1
jego pierwiastek
-(-7)-1
7-1 6 3
x1 = = = =
i pierwiastki równania
2Å"2 4 4 2
-(-7)+1
7+1 8
x1 = = = = 2
2Å"2 4 4
e) Po uporządkowaniu równania widzimy, że
mamy postać zredukowaną typu ax2 + c = 0 ,
2 + x2 = 1- 2x2
równanie takie ma pierwiastki tylko wtedy, gdy
x2 + 2x2 + 2 -1 = 0 a Å"c < 0 (sÄ… różnych znaków). U nas ten
warunek nie jest spełniony, tym samym
3x2 +1 = 0
równanie jest sprzeczne (brak pierwiastków).
Analogiczny wniosek wynika z faktu, że suma
dwóch wyrażeń dodatnich nie jest równa zero.
41
Zadanie 5.2
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
a)
Porządkujemy nierówność do takiej
x2 - 3x + 2 < 2x2 - 6x + 4
postaci, aby po jednej stronie znaku
x2 - 3x + 2 - 2x2 + 6x - 4 < 0
większości (mniejszości) było tylko zero
- x2 + 3x - 2 < 0 Å"(-1)
Mamy już nierówność kwadratową
x2 - 3x + 2 > 0
postaci ax2 + bx + c > 0 , musimy
" = (-3)2 - 4Å"1Å" 2 = 9 - 8 = 1
wyznaczyć miejsca zerowe funkcji
" = 1
kwadratowej.
-(-3)-1
3-1 2
x1 = = = = 1
Mamy już miejsca zerowe, rozwiązania
2Å"1 2 2
nierówności znajdziemy z wykresu
-(-3)+1
3+1 4
x2 = = = = 2
2Å"1 2 2
funkcji y = x2 - 3x + 2 = (x -1)(x - 2)
9
y
Wykresem jest parabola o gałęziach
6
skierowanych do góry (a>0), o
3
miejscach zerowych 1 i 2.
0
-1 0 1 2 3 4
Nierówność x2 - 3x + 2 > 0 spełniona
-3
x
jest dla tych x-ów, dla których wykres
funkcji położony jest NAD osią x-ów,
stÄ…d rozwiÄ…zanie: x "{(-",1) *" (2,+")}
b) Postępujemy tak jak wyżej, aż do
naszkicowania wykresu trójmianu
3x2 - 6 +18x d" x
1
y = 3(x + 6)(x - )
3
3x2 +18x - x - 6 d" 0
3x2 +17x - 6 d" 0
" = 172 - 4Å"3Å"(-6) = 289 + 72 = 361
" = 361 = 19
-17-19 -36
x = = = -6
1
2Å"3 6
RozwiÄ…zanie:
-17+19 2 1
x2 = = =
2Å"3 6 3
1 1
3(x + 6)(x - ) d" 0 Ô! x "< -6, >
1 3 3
3x2 +17x - 6 d" 0 Ô! 3(x + 6)(x - ) d" 0
3
42
c)
Porządkujemy nierówność doprowadzając ją
x2 + 3x + 9 d" -3x
do postaci typu ax2 + bx + c po lewej stronie
x2 + 3x + 9 + 3x d" 0
znaku nierówności
x2 + 6x + 9 d" 0
" = b2 - 4ac =
Poszukujemy miejsc zerowych trójmianu
ax2 + bx + c
= 62 - 4Å"1Å"9 = 36 - 36 = 0
-b -6
x1 = x2 = = = -3
2a 2Å"1 Wyróżnik trójmianu y = x2 + 6x + 9 jest
równy zero, co oznacza, że jego wykres
dotyka osi x-ów w jednym punkcie.
Wykres jest skierowany gałęziami do góry,
tym samym nierówność x2 + 6x + 9 d" 0 jest
spełniona jedynie dla x = -3 .
d) Postępujemy wg tej samej zasady jak w
poprzednim zadaniu, tym razem po lewej
x2 d" 1
stronie nierówności mamy trójmian
kwadratowy zredukowany ax2 + c .
x2 -1 d" 0
Korzystając z wzoru na różnicę kwadratów
(x +1)(x -1)d" 0
a2 - b2 = (a + b)(a - b) mamy po lewej
stronie postać iloczynową trójmianu
a(x - x1)(x - x2 ) , co pozwala nam na
wykonanie szkicu wykresu trójmianu
kwadratowego  od ręki (znamy miejsca
zerowe i wiemy jak będą skierowane gałęzie
paraboli).
Jak widzimy z wykresu wartości mniejsze lub
równe zero trójmian przyjmuje dla
x "< -1;1 >
43
Zadanie 5.2
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
f (x) = x2 - x + p
Trójmian f (x) = ax2 + bx + c ma dwa różne pierwiastki
wtedy, gdy jego wyróżnik jest większy od zera.
Mamy a = 1; b = -1; c = p , stÄ…d
" = b2 - 4ac =
" = 1- 4 p
= (-1)2 - 4Å"1Å" p = 1- 4 p
Musimy teraz ustalić, dla jakich wartości p delta jest
większa od zera:
1- 4 p > 0
1
Odp. Dla p < wyróżnik trójmianu f (x) = x2 - x + p
- 4 p > -1 : (-4)
4
1 będzie większy od zera, co pociąga istnienie dwóch
p <
4
różnych miejsc zerowych
Funkcje, równania i nierówności wykładnicze
Zadanie 6.1
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
a)
Jedna z technik rozwiązywania równań
2
2x -5x+10 = 64
wykładniczych polega na wykorzystaniu faktu, że
równość wartości funkcji wykładniczej przy tej
samej podstawie pociąga za sobą równość
x1 x2
argumentów: a = a Ò! x1 = x2 .
2
Po prawej stronie mamy liczbę 64, którą możemy
2x -5x+10 = 26
zapisać jako 26 , co natychmiast pozwala nam na
x2 - 5x +10 = 6
porównanie wykładników. Porządkujemy i
rozwiązujemy równanie kwadratowe.
x2 - 5x + 4 = 0
" = (- 52)- 4Å"1Å" 4 = 25 -16 = 9
Sprawdzenie:
" = 9 = 3
-(-5)-3
5-3 2
x1 = = = 1
2Å"1 2 Dla x = 1 mamy 21 -5Å"1+10 = 26
-(-5)+3
8
x2 = = = 4 2
2Å"1 2
Dla x = 4 mamy 24 -5Å"4+10 = 216-20+10 = 26
44
b)
Postępujemy tak jak w zadaniu poprzednim, czyli
1 x
x x-1
2 = 4
doprowadzamy po obu stronach znaku równości do
x
1 2 x tej samej podstawy (najlepiej 2).
x-1
x x-1
2 = (22) = 2
Możemy już porównać wykładniki potęg.
1 2x
=
x x-1
Likwidujemy mianowniki mnożąc obustronnie przez
1 2x
= Å" x(x -1)
x x-1
x(x -1)
Porządkujemy i rozwiązujemy równanie
x -1 = 2x2
kwadratowe
2x2 - x +1 = 0
Delta jest ujemna, a więc równanie 2x2 - x +1 = 0
" = (-1)2 - 4Å" 2Å"1 = 1- 8 = -7
nie ma rozwiązań, tym samym równanie wyjściowe
także nie ma rozwiązań.
c)
1
Å" 2x+7 - 8x = 0
Po przeniesieniu wyrażenia 8x na prawą stronę
4
znaku równości i po kilku przekształceniach
2-2 Å" 2x+7 = 8x
( )
możemy doprowadzić do równości wartości funkcji
2-2+ x+7 = 23x przy tych samych podstawach.
-2 + x + 7 = 3x
Możemy teraz porównać wykładniki i rozwiązać
-2x = -5
równanie liniowe.
5
x =
2
d)
Doprowadzimy do równości wartości funkcji przy
x
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
podstawie 3, co nam pozwoli na porówanie
Å"9x Å"81 =
ìÅ‚ ÷Å‚
wykładników.
3x+1 27
íÅ‚ Å‚Å‚
x
32x Å"34
= 3-3
( )
3x+1
32x+4-x-1 = 3-3x
2x + 4 - x -1 = -3x
4x = -3
3
x = -
4
45
Zadanie 6.2
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
a)
Tego równania wykładniczego nie rozwiążemy
5x - 53-x = 20
metodą użytą w poprzednim zadaniu, zastosujemy
metodÄ™ pomocniczej zmiennej.
5x - 53 Å"5-x - 20 = 0
125
5x - - 20 = 0 Wprowadzamy t = 5x
5x
125
Pozbywamy się mianownika mnożąc przez t
t - - 20 = 0
t
125
t - - 20 = 0 Å"t
t
Rozwiązujemy równanie kwadratowe z uwagi na
t2 - 20t -125 = 0
zmiennÄ… t
" = (-20)2 - 4Å"1Å"(-125) =
= 400 + 500 = 900
" = 30
-(-20)-30
20-30
t1 = = = -10
2Å"1 2
Równanie t2 - 20t -125 = 0 ma dwa pierwiastki:
-(-20)+30
50
t2 = = = 25
2Å"1 2
t = -10 oraz t = 25 , lecz pierwszy z nich nie jest
pierwiastkiem równania wykładniczego, bo 5x > 0 .
Dla t = 25 mamy 5x = 25 = 52 Ò! x = 2
b)
x-2 x-2
4 +16 = 10 Å" 2
Podobnie jak w poprzednim zadaniu zastosujemy
x-2
x-2
22 +16 = 10Å" 2 pomocniczÄ… zmiennÄ…, jej wprowadzenie wymaga
( )
kilku przekształceń.
2
x-2 x-2
2 +16 = 10Å" 2
( )
Możemy już wprowadzić nową zmienną, powiedzmy
x-2
u = 2 .
u2 +16 = 10u
Po podstawieniu i uporządkowaniu mamy równanie
u2 -10u +16 = 0
kwadratowe z uwagi na zmiennÄ… u.
" = (-10)2 - 4 Å"1Å"16 = 100 - 64 = 36
" = 36 = 6
Równanie u2 -10u +16 = 0 ma dwa pierwiastki,
-(-10)-6
10-6
u1 = = = 2
2Å"1 2 wracamy do oryginalnej zmiennej.
-(-10)+6
16
u2 = = = 8
2Å"1 2
x-2
2 = 2 = 21 Ò! x - 2 = 1
Dla u = 2 mamy, po porównaniu wykładników
równanie pierwiastkowe, podnosimy je obustronnie
46
2
do kwadratu otrzymujÄ…c x = 3 .
x - 2 = 12
( )
x - 2 = 1 Ò! x = 3
Dla u = 8 mamy, po porównaniu wykładników
x-2 równanie pierwiastkowe, podnosimy je obustronnie
2 = 8 = 23 Ò! x - 2 = 3
do kwadratu otrzymujÄ…c x = 11 .
2
x - 2 = 32
( )
x - 2 = 9 Ò! x = 11
Zadanie 6.3
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
a)
Tak przekształcamy obie strony nierówności
x+1
x-1 1
0,5 >
wykładniczej, aby były jednakowe podstawy.
32
x+1
5
x-1
1 1
>
( ) ( )
2 2
Możemy teraz porównać wykładniki, ale będziemy
musieli zmienić kierunek nierówności na przeciwny
x +1 1
(dlatego, że przy podstawie funkcja wykładnicza
< 5 2
x -1
1 2
jest malejÄ…ca, a wtedy ax > ax Ò! x1 < x2
x +1
- 5 < 0
Przenosimy wyraz wolny na lewÄ… stronÄ™ (tak, aby
x -1
po prawej stronie nierówności otrzymać zero), a
x +1- 5(x -1)
< 0
następnie wyrażenie po lewej stronie sprowadzamy
x -1
do wspólnego mianownika.
x +1- 5x + 5
< 0
x -1
-4x + 6 Dzielimy obustronnie przez -4 pamiętając o zmianie
< 0 : (-4)
kierunku nierówności.
x -1
6
x -
4
> 0
x -1
Znak ilorazu jest taki sam jak i mnożenia, mamy
6
x -
więc do rozwiązania nierówność kwadratową
4 3
> 0 Ô! x - )( -1 > 0
x
( )
2
zapisanÄ… od razu w postaci iloczynowej.
x -1
SporzÄ…dzamy szkic wykresu i odczytujemy
3
rozwiÄ…zanie x < 1(" x >
2
47
b)
Zapiszemy inaczej wyrażenie 2x-1
x2 Å" 2x + x Å" 2x-1 > 0
Ponieważ 2x jest dodatnie dla każdego x, to możemy
x2 Å" 2x + x Å" 2x Å" 2-1 > 0
obustronnie podzielić nierówność przez 2x .
x2 Å" 2x + x Å" 2x Å" 2-1 > 0 : 2x
Otrzymaliśmy nierówność kwadratową, którą
1
x2 + x > 0
2 rozwiązujemy w znany sposób, a jej rozwiązaniem są
1 1 1
x(x + ) > 0 Ô! x < - (" x > 0 - (" x > 0 (można zrobić szkic wykresu, gaÅ‚Ä™zie
x <
2 2 2
1
paraboli skierowane do góry, miejsca zerowe to - i
2
0 , nierówność jest spełniona dla tych x-ów, dla
których wykres funkcji położony jest nad osią x-ów).
c)
Tę nierówność będziemy rozwiązywać przez
x -1- x
1 1
x
e" 1
( ) -( )
1
2 2
wprowadzenie pomocniczej zmiennej t = .
( )
2
x -1 - x
1 1 1
Å" e" 1
( ) -( ) ( )
2 2 2
Możemy obustronnie pomnożyć nierówność przez
2 x
zmienną pomocniczą t, ponieważ z własności funkcji
1
t - -1 e" 0 Å"t t = > 0
( )
( )
2
wykładniczej wiemy, że t jest zawsze dodatnie (czyli ma
t
ustalony znak). Otrzymaliśmy nierówność kwadratową
t2 - t - 2 e" 0
z uwagi na zmiennÄ… t, rozwiÄ…zujemy jÄ….
" = (-1)2 - 4Å"1Å" (-2) = 9
" = 9 = 3
Nierówność t2 - t - 2 e" 0 Ô! t d" -1 (" t e" 2 , z uwagi
-(-1)-3 -2
1-3
t1 = = = = -1
2Å"1 2 2
x
1
-(-1)+3 jednak na podstawienie t = wartości t d" -1 nie
1+3 ( )
2
t2 = = = 2
2Å"1 2
wchodzÄ… w rachubÄ™. RozwiÄ…zanie t e" 2 jest zgodne z
podstawieniem, rozwiązujemy więc nierówność
x
1
t = e" 2 x
( )
2 1
t = e" 2
( )
2
x -1
1 1
e"
( ) ( )
2 2
(kierunek nierówności został zmieniony z uwagi na to,
x d" -1
1
że funkcja wykładnicza przy podstawie jest
2
malejÄ…ca.
48
Funkcje, równania i nierówności logarytmiczne
Zadanie 7.1
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
a) Możemy skorzystać z wzoru na zmianę
podstawy logarytmu:
log3 3 27 =
logb x
log3 27
loga x = loga b Å"logb x = (b > 0 '" b `" 1)
= =
logb a
log3 3 3
oraz z wzoru na logarytm potęgi i logarytm z
log3 33
podstawy:
= =
log3 31,5
loga xn = n loga x
3
loga a = 1
= = 2
1,5
3 3
b) 3log 2006 Niech 3log 2006 = x LogarytmujÄ…c obustronnie
3
przy podstawie 3 mamy:
3log 2006 = x
3
log3 3log 2006 = log3 x
log3 2006Å" log3 3 = log3 x
Mamy równość logarytmów przy tej samej
log3 2006 = log3 x
podstawie, możemy porównać liczby
2006 = x
logarytmowane i mamy wynik.
Zadanie 7.2
RozwiÄ…zanie (komentarze kursywÄ…).
a)
Przekształcamy równanie tak, aby wyrażenia z logarytmem
log2 x = 1- log2 (x -1)
znalazły się po tej samej stronie znaku równości.
log2 x + log2 (x -1) = 1
W efekcie po lewej stronie mamy sumę logarytmów przy tej
samej podstawie, co pozwala nam na skorzystanie z wzoru:
log2 x(x -1) = 1
loga x + loga y = loga x Å" y
( )
log2 x(x -1) = log2 2
Po prawej stronie mamy liczbę 1, którą możemy zapisać jako
logarytm z podstawy.
x(x -1) = 2
Mamy teraz równość logarytmów przy tej samej podstawie,
możemy więc porównać liczby logarytmowane. Otrzymaliśmy
x2 - x - 2 = 0
równanie kwadratowe, które rozwiązujemy w znany sposób.
" = (-1)2 - 4Å"1Å" (-2) = 9
" = 3
Pierwiastek x = -1 nie spełnia warunków zadania (logarytmy
-(-1)-3
1-3
x1 = = = -1
2Å"1 2
istnieją tylko z liczb dodatnich), a więc rozwiązaniem
-(-1)+3
1+3
x2 = = = 2
równania wyjściowego jest x = 2 .
2Å"1 2
49
b)
Liczbę 1 możemy zapisać jako
log10 x - 2 - log10 4 - x = 1- log10 13 - x
( ) ( ) ( )
log10 10 = 1 , co nam pozwoli na
skorzystanie z wzoru na różnicę
log10 x - 2 - log10 4 - x = log10 10 - log10 13 - x logarytmów.
( ) ( ) ( )
x - 2 10
log10 = log10
4 - x 13 - x
Możemy teraz porównać liczby
logarytmowane.
x - 2 10
=
4 - x 13 - x
x - 2 10
= Å"(4 - x)(13 - x)
4 - x 13 - x
(x - 2)(13 - x) = 10(4 - x)
13x - x2 - 26 + 2x = 40 -10x
Po uporzÄ…dkowaniu mamy
-x2 + 25x - 66 = 0 Å" (-1)
równanie kwadratowe
x2 - 25x + 66 = 0
" = (-25)2 - 4Å"1Å"66 = 625 - 264 = 361
" = 361 = 19
-(-25)-19
25-19 6
x1 = = = = 3
2Å"1 2 2
Równanie x2 - 25x + 66 = 0 ma
-(-25)+19
25+19 44
x2 = = = = 22
dwa rozwiÄ…zania: x = 3 oraz
2Å"1 2 2
x = 22 . Drugi z tych pierwiastków
nie jest rozwiązaniem równania
logarytmicznego, bo funkcja
logarytmiczna określona jest w
zbiorze liczb dodatnich ( a dla
x = 22 wyrażenia 4 - x oraz
13 - x sÄ… ujemne.
Rozwiązaniem jest więc x = 3