Rozwiązania zadań do modułu Ciągi liczbowe
Zadanie 1
a) Aby zbadać monotoniczność ciągu (an ) rozważmy różnicę
p(n + 1) + 3 pn + 3
an+1 - an = - =
(n + 1) + 1 n + 1
pn + p + 3 pn + 3 (pn + p + 3)(n + 1) - (pn + 3)(n + 2)
= - = =
n + 2 n + 1 (n + 2)(n + 1)
pn2 + pn + pn + p + 3n + 3 - pn2 - 2pn - 3n - 6 p - 3
= =
(n + 2)(n + 1) (n + 2)(n + 1)
Zatem ciąg jest malejący, gdy
an+1 - an < 0 �! p - 3 < 0 �! p < 3
Największą liczbę naturalną, dla której ciąg (an ) jest malejący jest liczba p = 2 .
b) Równanie nasze ma sens, gdy lewa strona jest sumą nieskończonego
szeregu geometrycznego o ilorazie q < 1
1
Czyli, gdy < 1 oraz, gdy x `" 1.
1- x
Nierówność ta jest równoważna nierówności
1- x > 1,
a ta jest równoważna alternatywie nierówności
1- x < 1 (" 1- x > 1
x > 2 (" x < 0
1
Ostatecznie < 1 �! x "(-";0) *" (2;+ ") .
1- x
Dla wyznaczonych x , suma szeregu geometrycznego
1 1 1 1
+ + + ... + + ...
1- x (1- x)2 (1- x)3 (1- x)n
jest równa
1 1
1
1- x 1- x
S = = = - .
1 1- x - 1
x
1-
1- x 1- x
Jednocześnie dla p = 2 mamy
1
3
ś#
n�#2 +
ś# ź#
2n + 3 n
�# #
lim an = lim = lim = 2
n" n" n"
n + 1 1
ś#
n�#1+
ś# ź#
n
�# #
Stąd ostatecznie nasze równanie przyjmie postać
1
- = 3 - 2x �" 2 , dla x "(-";0) *" (2;+ ") .
x
Przekształcając je otrzymujemy kolejno
1
- - 3 + 4x = 0
x
- 1- 3x + 4x2
= 0 �! 4x2 - 3x - 1 = 0
x
" = (-3)2 - 4 �" 4 �" (-1) = 25
- (-3) - 5 1 - (-3) + 5
x1 = = - (" x2 = = 1
2 �" 4 4 2 �" 4
Widzimy jednak, że x2 " (-";0) *" (2;+ ") , a zatem rozwiązaniem równania jest
1
x1 = -
4
Zadanie 2
a) Ciąg (an ) nazywamy arytmetycznym, gdy dla dowolnego n " N różnica
pomiędzy (n + 1) wyrazem i n-tym wyrazem jest stała. Dla naszego ciągu
an = 22 - 4n , więc an+1 = 22 - 4(n + 1) = 18 - 4n
Stąd dla dowolnego n " N
an+1 - an = 18 - 4n - (22 - 4n) = -4
Wykazaliśmy, więc, że badany ciąg (an ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy
r = -4 .
b) Korzystając z postaci wyrazu ogólnego ciągu mamy
an-2 = 22 - 4(n - 2) = 30 - 4n ,
an+1 = 22 - 4(n + 1) = 18 - 4n ,
an+2 = 22 - 4(n + 2) = 14 - 4n .
Ponieważ wyrazy an-2 ,an+1 ,an+2 tworzą ciąg geometryczny, to
2
an+1 an+2
=
an-2 an-1
czyli
18 - 4n 14 - 4n
=
30 - 4n 18 - 4n
2(9 - 2n) 2(7 - 2n)
=
2(15 - 2n) 2(9 - 2n)
(9 - 2n)2 = (15 - 2n)(7 - 2n)
81- 36n + 4n2 = 105 - 30n - 14n + 4n2
8n - 24 = 0
n = 3
Widzimy, więc, że dla n = 3 wyrazy an-2 = a1 = 18 , an+1 = a4 = 6 i
an+2 = a5 = 2.
c) Skorzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu
a1 + an
S(n) = �" n .
2
Dla naszego ciągu
18 + 22 - 4n
S(n) = �" n = (20 - 2n)n = -2n2 + 20n .
2
Suma S(n) jest funkcją liczby wyrazów ciągu n . Jest to funkcja kwadratowa o
2
ujemnym współczynniku przy n .
Osiąga, zatem swoją największą wartość dla liczby n będącej odciętą
wierzchołka paraboli
Zapiszemy funkcję S(n) w postaci kanonicznej
�# ś#
S(n) = -2n2 + 20n = -2(n2 -10) = -2ś#n2 -10n + 25 - 25ź# = -2[(n - 5)2 - 25]= -2(n - 5)2 + 50
14243
4 4
ś# ź#
=(n-5)2
�# #
Zatem dla n = 5 suma n początkowych wyrazów naszego ciągu osiąga
wartość największą równą
S(5) = -2 �" 52 + 20 �" 5 = 50
3
Zadanie 3
Najpierw rozwiążemy równanie
2x-18 �" 4x-19 = 0,516-x .
Sprowadzamy obie strony równania do postaci funkcji wykładniczej o podstawie
2.
Kolejno otrzymujemy
16-x
1
�# ś#
2x-18 �" 22(x-19) =
ś# ź#
2
�# #
2x-18+2( x-19) = 2-( x-16)
23x-56 = 2x-16 .
Teraz, korzystając z różnowartościowości funkcji wykładniczej, ostatnie równie
jest równoważne równaniu ( opuszczamy podstawy)
3x - 56 = x - 16
2x = 40
x = 20 .
Wyznaczony pierwiastek równania jest równy sumie n początkowych wyrazów
1 1
ciągu arytmetycznego, w którym a1 = - oraz r = .
4 2
Ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
2a1 + (n - 1)r
S(n) = �" n
2
1 1
�# ś#
2 �" + (n -1) �"
ś#- ź#
4 2
�# #
20 = �" n | �"2
2
1 1 1
�# ś#n | �"2
40 = + n - ź#
ś#-
2 2 2
�# #
80 = n2 - 2n
" = (-2)2 - 4 �"1�" (-80) = 324
" = 18
- (-2) - 18 - (-2) + 18
n1 = (" n2 =
2 �"1 2 �"1
n1 = -8 " N (" n2 = 10
4
Badany ciąg ma, zatem n2 = 10 wyrazów. Ze wzoru, na n-ty wyraz
an = a1 + (n - 1)r mamy
1 1
a10 = - + (10 - 1) �"
4 2
1 9
a10 = - +
4 2
17
a10 = .
4
Aby wyznaczyć, które wyrazy naszego ciągu należą do przedziału (5;9) należy
rozwiązać nierówność podwójną
5 < an < 9
gdzie
1 1
an = - + (n -1) �"
4 2
Zatem
1 1
5 < - + (n -1) �" < 9
4 2
1 1 1 3
5 < - + n - < 9 | +
4 2 2 4
3 1 3
5 < n < 9 | �"2
4 2 4
1 1
11 < n < 20 .
2 2
Ponieważ n jest liczbą naturalną, to rozwiązaniem nierówności są liczby ze
zbioru {12,13,14,15,16,17,18,19,20}.
Do przedziału (5;9) należą, zatem wyrazy a12,a13,...,a20 naszego ciągu.
Zadanie 4
1
Rozpoczniemy od wyznaczenia dziedziny wyrażenia log .
x
Ze względu na postać tego wyrażenia
5
1
> 0 �! x > 0 .
x
Dodatkowo, ponieważ wyrazy ciągu (an ) są niezerowe, to spełniony musi być
warunek
1
log `" 0
x
1
log `" log1
x
Z różnowartościowości funkcji logarytmicznej ostatnia nierówność jest
równoważna nierówności
1
`" 1
x
x `" 1.
Jednocześnie, aby istniała suma nieskończonego ciągu geometrycznego o
n
1
�#log ś#
wyrazie ogólnym an = jego iloraz q musi spełniać warunek q < 1.
ś# ź#
x
�# #
A
atwo zauważyć, że w naszym ciągu
n+1
1
�#log ś#
ś# ź#
an+1 �# # 1
x
q = = = log .
an �#log 1 ś#n x
ś# ź#
x
�# #
Zatem
1
q < 1 �! log < 1
x
czyli
1
- 1< log < 1
x
1 1
log < log < log10 .
10 x
Ponieważ funkcja logarytmiczna o podstawie 10 jest rosnąca, to ostatnia
nierówność jest równoważna nierówności
1 1
< < 10
10 x
( opuszczamy nawiasy )
6
A stąd
1 1
ż#
x < 10
ż#
�#10 < x
�# �#
�! .
�# �#
1
1 x >
�# �#
�# 10
�#x < 10
�#
1
�#
Ostatecznie x " ;10ś# \ {}.
1
ś# ź#
�#10 #
Wyznaczymy teraz takie liczby x , dla których suma wszystkich wyrazów o
numerach nieparzystych jest o2 mniejsza od sumy wszystkich wyrazów.
Dostajemy równanie
3 5 2 3
1 1 1 1 1 1
�#log ś# �#log ś# �#log ś# �#log ś#
log + + + ... + 2 = log + + + ...
ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź#
x x x x x x
�# # �# # �# # �# #
3
1 1
�#log ś#
Suma log + + ... jest suma nieskończonego szeregu geometrycznego o
ś# ź#
x x
�# #
2
1
�#log ś#
ilorazie , zaś prawa strona jest sumą nieskończonego szeregu
ś# ź#
x
�# #
1
geometrycznego o ilorazie log .
x
Zatem otrzymujemy równanie
1 1
log log
x x
+ 2 = .
2
1
1
�#log ś#
1- log
1- ś# ź#
x
x
�# #
1
Dla ułatwienia obliczeń dokonamy podstawienia log = t .
x
Wtedy nasze równanie przyjmuje postać
t t
+ 2 = ,
2
1- t 1- t
a po przekształceniu
2
t 2(1- t ) t
+ - = 0
2 2
1- t 1- t 1- t
2
t + 2 - 2t t(1+ t)
- = 0
(1- t)(1+ t) (1- t)(1+ t)
2 2
t + 2 - 2t - t - t
2
= 0 �! - 3t + 2 = 0
(1- t)(1+ t)
7
2
2
t - = 0
3
2 2
t1 = - (" t2 =
3 3
Stąd
1 2 1 2
log = - (" log =
x 3 x 3
2 2
-
1 1
3 3
log = log10 (" log = log10
x x
Korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej równania te są
równoważne równaniom
2 2
-
1 1
3 3
= log10 (" = log10
x x
2 2
-
3 3
x1 = log10 (" x2 = log10
2
-
2 2
3
A ponieważ " (-1;1) oraz - " (-1;1) to liczby x1 = 10 oraz
3 3
2
1
�#
3
x2 = 10 należą do przedziału ;10ś# czyli spełniają warunki zadania.
ś# ź#
�#10 #
Zadanie 5
Wyznaczymy najpierw te wartości x , dla których wyrażenia logx (x - 1) oraz
logx (2x + 1) mają sens.
Z definicji logarytmu spełnione muszą być warunki:
x > 0
ż#
�#
�#
�#x `" 1 ,
�#
x
�# - 1 > 0
�#
�#
�#2x + 1 > 0
lub równoważnie
8
x > 0
ż#
�#
�#
x `" 1
�#
�#x > 1
�#
�#
1
�#x > -
�# 2
Rozwiązaniem tego ostatniego układu są liczby x " (1;+ ") .
Ponieważ liczby logx (x - 1) , 1, logx (2x + 1) tworzą ciąg arytmetyczny, to
1- logx (x - 1) = logx (2x + 1) -1
2 - logx (x - 1) = logx (2x + 1) .
Korzystając z faktu, że
x
2 = logx x2 oraz loga x - loga y = loga ,
y
mamy
logx x2 - logx (x -1) = logx (2x + 1)
�# ś#
x2
ś# ź#
logx ś# = logx (2x + 1).
x - 1ź#
�# #
Ponieważ funkcja kwadratowa jest różnowartościowa, ostatecznie równanie jest
równoważne równaniu ( opuszczamy logarytm)
x2
= 2x + 1
x - 1
x2 (2x + 1)(x - 1)
- = 0
x - 1 x - 1
x2 - (2x2 - 2x + x - 1)
= 0
x - 1
- x2 + x + 1
= 0 �! - x2 + x + 1 = 0
x - 1
Rozwiązując otrzymane równanie kwadratowe mamy kolejno
" = (-1)2 - 4 �" (-1) �"1 = 5
- 1- 5 - 1+ 5
x1 = (" x2 =
2 �" (-1) 2 �" (-1)
1 5 1 5
x1 = + (" x2 = -
2 2 2 2
9
Ponieważ rozwiązań szukamy wśród liczb z przedziału x " (1;+ ") , tylko
1 5
x1 = + spełnia warunki zadania.
2 2
Zatem jedyną liczbą rzeczywistą x , dla której liczby logx (x - 1) , 1, logx (2x + 1) są
1 5
kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest x = + .
2 2
10