Zadania do samodzielnego rozwiązania do modułu Ciągi liczbowe
Zadanie 1
a) Wyznacz największą liczbę naturalną p , dla której ciąg (an ) dany wzorem
p �" n + 3
an = jest malejący
n + 1
b) Dla wyznaczonego p rozwiąż równanie
1 1 1 1
+ + + ... + + ... = 3 - 2x �"(lim an).
n"
1- x (1- x)2 (1- x)3 (1- x)n
Zadanie 2
Ciąg liczbowy (an ) określony jest wzorem ogólnym (an ) = 22 - 4n , n " N .
a) Na podstawie definicji wykazać, że ciąg (an ) jest ciągiem arytmetycznym.
b) Wyrazy an-2 ,an+1 ,an+2 ciągu (an ) są trzema kolejnymi wyrazami pewnego
ciągu geometrycznego. Wyznaczyć n .
c) Wyznaczyć wartość n , dla której suma n kolejnych, początkowych wyrazów
ciągu (an ) osiąga największą wartość. Oblicz te wartość.
Zadanie 3
1 1
W ciągu arytmetycznym a1 = - , r = zaś suma n początkowych wyrazów
4 2
tego ciągu jest równa pierwiastkowi równania: 2x-18 �" 4x-19 = 0,516-x .
a) Wyznacz n-ty wyraz ciągu.
b) Ustal, które wyrazy tego ciągu należą do przedziału (5;9) .
Zadanie 4
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an ) o wyrazach niezerowych i
n
1
�#log ś#
wzorze ogólnym an = . Wyznaczyć x , dla którego suma wszystkich
ś# ź#
x
�# #
wyrazów o numerach nieparzystych jest o 2 mniejsza od sumy wszystkich
wyrazów o numerach parzystych.
Zadanie 5
Dla jakich x " R liczby logx (x - 1) , 1 oraz logx (2x + 1) są trzema kolejnymi
wyrazami ciągu arytmetycznego?