CI
GI LICZBOWE
Zad.1. Zbadać monotoniczność następujących ciągów o wyrazach ogólnych:
1+� 2 +� 3 +� ...+� n n -�1 2 (�n +�1)�! +� n!
a) an =� -� b) bn =� c) cn =�
n (�n +�1)�! -� n!
n2
n +� 3
7n
n
d) an =� e) an =� 7 -� 3 f) fn =� log4(�n +� 2)�
n!
Zad.2. Czy podane poniżej ciągi są ograniczone? Z jakim rodzajem ograniczoności mamy do
czynienia?
n
1 1 np�
ć�1+� ��
a) an =� 1-� b) an =� c) an =� sin
�� ��
4n n 2
Ł� ł�
n+�1
d) an =� 2 -� n2 e) an =� (�-�1)� f) an =� n +� 4
Zad.3. Obliczyć granice ciągów:
n
ć� ��
��
��4��
��
5n2 +� 6n +� 3 4n2 +� 6n5 +� 3n -�1
Ł� ł�
a) lim b) lim c) lim
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
5 +� 4n
3n5 +� 4n 2 +� 7n -� n2
2n +� 5 2n+�3 +� 3n+�1 5�� 2n+�1 +�13
3
d) lim e) lim f) lim
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
7 -� 8n
2n +� 3�� 3n 3�� 4n +� 22n +� 3n
2
1 (�3 -� n)�
��
g) limć� n2 +� 4n +� 3 -� n2 +� 2n h) lim i) lim
�� ��
n��Ą� ł� n��Ą� n��Ą�
Ł�
5 +� 4n
n2 +� n +�1 -� n2 +� 3
n
1
ć� ��
n n n
n
j) lim 2��3n +� 3�� 4n+�1 +� 4 ��5n k) lim 11n +� 9n +�1+� l) lim en +� 3n +� p�
�� ��
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
3
Ł� ł�
3n2 +�2
2n+�3 3n+�7
ć� ��
n +� 5 n2 +� 9 n -� 2
�� ��
m) limć� �� n) lim�� �� o) limć� ��
�� �� �� ��
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
n n +� 5
n2 +� 2
Ł� ł� Ł� ł�
Ł� ł�
3n2 +�3n 3n+�1
9n-�1
ć� �� ć� ��
5n +� 3 n2 +� 6n -� 4 n2 +� 3n +� 2
�� �� �� ��
p) limć� �� r) lim�� s) lim��
�� ��
�� ��
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
5n +� 8
n2 +� 2n
Ł� ł�
Ł�10 +� n2 +� 5n ł� Ł� ł�
1+� n
2-�n
�� n
ć� ��
�� ł�
n2 +� n +� 2
n
ć� ��
ę��� ��(�n -� 3)�ł�
ś�
�� ��
ę� ś�
Ł� ł�
ć� ���� 2 ��
4n2 +� 6n -� 4
2
ę�Ł�2ł� ś�
�� ��
t) limę� ś� u) lim�� w) lim
��
ę�
n��Ą� n��Ą� n��Ą� ś�
n
4n2 +� 5n +� 3 ć� ��
ę�1+� 2 +� 3 +�...+� nś�
Ł� ł�
�� ��
3�� ��
ę� ś�
ę� ś�
�� ��
ę� ś�
Ł�3 ł�
�� ��
n2 +�3
1-�n 3-�7n
ć� ��
2n +� 5 7n +� 2 2n2 +� n +� 4
�� ��
x) limć� �� y) limć� �� z) lim��
�� �� �� ��
��
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
n 4n +� 5
n2 +� 5n
Ł� ł� Ł� ł�
Ł� ł�