Lista zadań nr 3. Parametry opisowe rozkladu zmiennych losowych
(momenty i kwantyle)
Zadanie 1
Niech X oraz Z beda zmiennymi losowymi z zadania 4 listy nr 2. Jakiego rzedu kwantylem jest liczba
1/2 dla rozkladu zmiennej X, a jakiego rzedu dla rozkladu zmiennej Z ?
Zadanie 2
a) Zmienna losowa Y ma rozklad typu ciaglego dla kt rego a jest kwantylem rzedu 0,36 zaÅ› b jest
kwantylem rzedu 0, 98. Obliczyć prawdopodobieństwo: P(a < Y < b).
b) Zmienna losowa X ma rozklad typu ciaglego symetryczny wzgledem zera (funkcja gestości jest
symetryczna). Liczba b spelnia warunek: P(-b < X < b) = 0,74 Jakiego rzedu kwantylem jest
liczba b ?
Zadanie 3
Dla zmiennych losowych z poprzednich zadań znalez
ć (o ile istnieja) wszystkie momenty rzedu pier-
wszego i drugiego
Zadanie 4
Dane sa dwa kola fortuny reprezentujace wyplaty w dw ch możliwych inwestycjach finansowych.
Z teorii Markowitza wynika, że lepiej zagrać w to kolo fortuny, kt re daje wiekszy średni zysk przy
E(W)
mniejszym ryzyku, tzn. to, dla kt rego wsp lczynnik jest wiekszy (W oznacza wyplate losowa
Ã
"
zwiazana z danym kolem, Ã = D2W).
Kt re kolo należy wybrać zgodnie z teoria Markowitza? Jaka kwote należy w to  kolo inwestować,
aby w dlugim ciagu inwestycji uzyskać dodatnia stope zwrotu?
1
2
Lista zadań nr 4. Rodziny rozklad w zmiennych losowych
Zadanie 1
Z dużej partii produkcji pobrano w spos b przypadkowy 9 sztuk towaru (losowanie ze zwracaniem).
Niech L oznacza liczbe sztuk wadliwych wśr d wylosowanych. Określ rozklad zmiennej losowej L, jeśli
wiadomo, że wadliwość produkcji wynosi 5% (!). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśr d wylosowanych
produkt w dokladnie trzy sa wadliwe? Jaka jest oczekiwana liczba wadliwych produkt w w wylosowanej
pr bie? Jak to rozumiesz?
Zadanie 2
Przedstawiciele komisji stwierdzili, że na każdych 20 zlożonych przez rolnik w wniosk w o dofinan-
sowanie inwestycji z programu SAPART 15 jest z
le wypelnionych (zawiera bledy formalne). Jaka jest
szansa, że spośr d 18 kolejnych wniosk w, co najmniej 4 beda dobrze wypelnione?
Zadanie 3
Pracownicy urzedu bezpieczeństwa lotniczego w USA stwierdzili, że liczba awarii lotniczych w prze-
wozach pasażerskich w ciagu miesiaca na terenie Stan w Zjednoczonych ma rozklad Poissona z parame-
trem =8,6. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w kolejnym miesiacu na terenie Stan w Zjednoczonych
zostana zarejestrowane co najwyżej dwie awarie lotnicze w trakcie przewoz w pasażerskich?
Zadanie 4
Czas dokonania przelewu finansowego na konto bankowe (w godzinach) ma rozklad normalny N(30,10).
Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że pieniadze zostana przelane w czasie dluższym niż 12, ale nie
przekraczajacym 36 godzin?
Zadanie 5
Czas bezawaryjnej pracy urzadzenia (w dniach) jest zmienna losowa o rozkladzie wykladniczym z
parametrem 1/500. Jakie jest prawdopodobieństwo, że urzadzenie zepsuje sie w okresie 365 dni? Jaka
jest wartość oczekiwana czasu bezawaryjnej pracy?
Zadanie 6
Z badań przeprowadzonych w USA wynika, że w ostatnich latach banki ponosza gl wnie straty z
tytulu tzw. kredyt w wewnetrznych, tzn. kredyt w udzielanych czlonkom zarzadu, nadzoru lub przed-
stawicielom gl wnego inwestora. Szacuje sie, że starty te maja rozklad normalny N(500000,142000).
Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo kontrolowanym banku straty te nie przekraczaja 650000$.