Wstępna wersja listy zadań z geometrii analitycznej
dla studentów kierunku Robotyka
Rok akademicki 2013/14.
Opracował dr inż. Marek Żabka.
Zad 1. Oblicz (([1, 1, -3]+[1, 6, 3])×[1, 6, 3])·(([1, 3, 0]·[1, 1, -3])·[1, 3, 0]). (odp:12).
Zad 2. Oblicz [1, 1, 0] × (([1, 1, 4] · [1, 1, 0]) · ([1, 1, 0] × [0, 3, 1])) (odp:[6, -6, -4]).
Zad 3. Oblicz ([-4, -4, -3] · [2, -2, 1]) · [-2, -1, 4] (Odp:[6, 3, -12]).
Zad 4. Oblicz iloczyn mieszany: ([1, 2, 3] × [4, 100, -2]) · [1, 2, 3] (Odp. 0).
Zad 5. Niech (( × × w) = Ä…u + ²v + Å‚w. Która z liczb Ä…, ², Å‚ jest równa zero?
u v)
Zad 6. Niech ( × ( × w)) = Ä…u + ²v + Å‚w. Która z liczb Ä…, ², Å‚ jest równa zero?
u v
Zad 7. Oblicz przybliżoną wartość iloczynu skalarnego wektorów oraz gdy ich
u v,
dÅ‚ugoÅ›ci sÄ… równe | = 7, | = 3, a kÄ…t < { H" 290 (Odp. · H" 18.367.
u| u| ) u, v} u v
Zad 8. Dane są wektory oraz Jaka jest wartość iloczynu skalarnego, gdy
u v.
Ä„
| = 12, | = 15, | × = 18, a < { < . W odpowiedzi można użyć
u| v| u v| ) u, v}
2
"
mnożenia, dzielenie i pierwiastkowanie oraz liczb całkowitych. (Odp. 18 99 . Czy w
Ä„ Ä„
zadaniu można zmienić warunek < { < na trochę inny: < { > ? Jak
) u, v} ) u, v}
2 2
zmieni siÄ™ wynik?
Zad 9. Dane sÄ… wektory oraz w R3, o których wiadomo, że × = [1, 7, -1]
u v u v
"
oraz · = 17 . Oblicz < { (Odp.: Ä„/3)
u v ) u, v}.
Zad 10. Niech dane będą punkty: A = (1, -4, 2) oraz B = [5, 6, 0]. Na odcinku
-3 3
AB, znajdz
punkt leżący 3 raz bliżej punktu A niż punktu B. (Odp. (2, , )).
2 2
Zad 11. Oblicz objętość czworościanu ABCD, gdy A = (5, 4, 1), B = (-4, 3, 2),
C = (8, 3, 8), D = (-4, 3, -3). (Odp. 10)
Zad 12. Dla jakie wartości t wektory [1, 2, 3], [4, t, 5], [2, -1, t] są liniowo zależne?
(Odp. dla t = 1 oraz t = 13).
"
Zad 13. Oblicz < { 4, -2], -2, 1]}. (Odp.: arc cos( 21/7))
) [1, [2,
Zad 14. Zapisz równanie płaszczyzny 3x + 2y - z + 10 = 0 w postaci
" " " "
14 14 5 14
1) normalnej (Odp. Ä…(3 14x + y - z + ) = 0)
14 7 14 7
x y z
2) odcinkowej (Odp. + + = 1)
-10/3 -5 10
3) parametrycznej (Odp. jedna z możliwych: x = -1 + t, y = -2 - t + s,
z = 3 + t + 2s
Zad 15. Znajdz
prostÄ… przechodzÄ…cÄ… przez punkty A = (1, 2, 3) oraz B = (-2, 3, 1).
Zapisz równanie otrzymanej prostej w postaciach: parametryczna, kanoniczna, kra-
wędziowa. (Odp. (nie ma jednonacznie określonej dpowiedzi, ale tylko przykłado-
we: parametryczna: x = 1 - 3t, y = 2 + t, z = 3 - 2t, t " R; kanoniczna

x - 1 y - 2 z - 3 x + 3y - 4 = 0
= = ; krawędziowa: )
-3 1 -2 2y + z - 7 = 0
Zad 16. Dany jest punkt A = (-4, -5, 2). Znajdz
punkt symetryczny A do punktu
A względem płaszczyzny 7x + 6y + 3z + 5 = 0.
Zad 17. Znajdz
punkt wspólny płaszczyzny 2x-5y +2z -21 = i prostej x = 4+3t,
y = -3 + 3t, z = -2 + 5t. (Odp (10, 3, 8))
Zad 18. Dane są proste: l1, l2, l3, l4. Proste 11, l2, l3 określone równaniami: l1 :
Å„Å‚

ôÅ‚ -3t
x =
òÅ‚
3x + 2y - z + 5 = 0
x+3 y-4 z-4
, l2 : z = 7t - 3 , l3 : = = , natomiast prosta
1 -2 3
ôÅ‚
x - y + 2z - 1 = 0
ół
z = 5t - 1
l4, to prosta przechodzÄ…ca przez punkty P = (3, -5, 7) oraz Q = (-3, 9, 3).
Uwaga: tu specjalnie są różne sposoby określenia prostych.
Dla każdej pary prostej sprawdz
czy są identyczne, równoległe, przecinają się, są
skośne.
Zad 19. Napisz równania płaszczyzn, których odległość od płaszczyzny opisanej
równaniem -2x - y + 3z + 6 = 0 jest równa 4 (Odp: (są dwie takie płaszczyzny)
"
-2x - y + 3z + D = 0, gdzie D = 6 Ä… 4 14.
Zad 20. Znajdz
równanie jekiejkolwiek płaszczyzny na której leżą punkty A = (1, -4, 3),
B = (3, -12, 9) oraz C = (-2, 8, -6).
Zad 21. Napisz równanie ogólne postaci Ax + By + Cz + D = 0 płaszczyzny
prostopadłej do prostej x = 1 + t, y = -3 - 2t, z = -3 - 2t i przechodzącej przez
punkt (4, -2, 4).
Zad 22. Którą nierówność spełnia kąt ą między płaszczyznami: 3x-2y+2z +2 = 0
oraz -2x + y - 2z + 4 = 0 .
.nie Ä… 0 .tak 0 < Ä… 30 .nie 30 < Ä… 45 .nie 45 < Ä… 60 .nie 60 < Ä… 90
.nie 90 < Ä…
Zad 23. Oblicz kąt między płaszczyznami: -x+2y-3z+1 = 0 oraz 4x-y+5z+8 =
0 (Odp:.tak 30o)
Zad 24. Oblicz Kąt między prostą: x = -2 - t, y = -1 + 2t, z = 1 - 3t, oraz
płaszczyzną 4x - y + 5z + 11 = 0 (Odp. 60o).
Zad 25. Co przedstawia równanie x2 + 2y2 - 3z2 = 1. (będzie węcej podobnych
pytań).
Zad 26. Napisz równanie prostej a równoległej do danej prostej l1 : x = 2t, y =
2 - t, z = t + 1, odległej o 2, oraz przecinającej inną daną prostą l2 : x = 1 - t, y =
-t, z = 5t-3. Jeżeli takiej prostej nie ma, napisz prostą w odległości 20 (lub jeszcze
więcej).