GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
1. Dane sÄ… wektory: a= 2,-ð3,1 , b = 1,6,-ð1 , c = 1,5,3 . Wyznaczyć:
[ð ]ð [ð ]ð [ð ]ð
a) -ða ´ð2b c +ð 3a b) -ð2b -ð c 2a ´ðc
(ð )ð (ð )ð
(ð )ð (ð )ð
c) -ðb +ð 2a 4a ´ðc d) a ´ð2b 3a -ð c
(ð )ð (ð )ð
(ð )ð (ð )ð
2. Napisać równania ogólne płaszczyzn spełniających podane warunki:
a) pÅ‚aszczyzna przechodzi przez punkt P =ð (ð1,-ð2,0)ð i jest prostopadÅ‚a do wektora
rð
n =ð[ð0,-ð3,2]ð
b) pÅ‚aszczyzna przechodzi przez punkty P1 =ð (ð0,0,0)ð, P2 =ð (ð1,2,3)ð, P3 =ð (ð-ð1,-ð3,5)ð
c) pÅ‚aszczyzna przechodzi przez punkt P1 =ð (ð0,0,0)ð i jest prostopadÅ‚a do prostej
x +ð 3y -ð z +ð1 =ð 0
ìð
l :
íð2x -ð y +ð 2z +ð 5 =ð 0
îð
d) pÅ‚aszczyzna przechodzi przez punkt P =ð (ð1,-ð1,3)ð i jest równolegÅ‚a do wektorów
rð
rð
a =ð [ð1,1,0]ð, b =ð [ð0,1,1]ð
e) pÅ‚aszczyzna przechodzi przez punkt P =ð (ð0,3,0)ð i jest równolegÅ‚a do pÅ‚aszczyzny
H : 3x -ð y +ð 2 =ð 0
f) pÅ‚aszczyzna przechodzi przez punkt P =ð (ð2,1,-ð3)ð i jest prostopadÅ‚a do pÅ‚aszczyzn
H1 : x +ð y =ð 0 , H2 : y -ð z =ð 0
®ð
g) pÅ‚aszczyzna przechodzi przez punkt A =ð (ð1,-ð5,4)ð i jest prostopadÅ‚a do wektora AB , gdzie
B =ð (ð-ð 4,3,7)ð.
3. Napisać równania parametryczne prostych spełniających podane warunki:
rð
a) prosta przechodzi przez punkt P =ð (ð-ð 3,5,2)ð i jest równolegÅ‚a do wektora u =ð[ð2,-ð1,3]ð
b) prosta przechodzi przez punkty P1 =ð (ð1,0,6)ð, P2 =ð (ð-ð 2,2,4)ð
c) prosta przechodzi przez punkt P1 =ð (ð2,1,-ð 2)ð i jest równolegÅ‚a do prostej
x -ð1 y z -ð1
l : =ð =ð
-ð1 2 1
rð
d) prosta przechodzi przez punkt P =ð (ð7,2,0)ð i jest prostopadÅ‚a do wektorów v1 =ð[ð2,0,-ð3]ð,
rð
v2 =ð[ð-ð1,2,0]ð
e) prosta jest częściÄ… wspólnÄ… pÅ‚aszczyzn H1 :x +ð 2z -ð 4 =ð 0 i H2 :x -ð y +ð 6 =ð 0
f) prosta jest równolegÅ‚a do pÅ‚aszczyzn o równaniach H1 :6x -ð y +ð z -ð 2 =ð 0
i H2 :x +ð 3y -ð 2z +ð1 =ð 0 i przechodzi przez punkt P 2,3,1
(ð )ð
x =ð 3t
ìð
x -ð y +ð z =ð1
ìð
g) prosta jest prostopadÅ‚a do prostych: l1 :íð , l2 :ïðy =ð -ð1+ð t , t Îð R oraz
íð
îðx +ð 2y +ð 3z =ð 2 ïðz =ð-ðt
îð
przechodzi przez punkt P 2,3,1
(ð )ð