1
Zadania z Algebry i geometrii analitycznej
Informatyka i Mechatronika
Studia dzienne i zaoczne
Macierze. Wyznaczniki macierzy.
îÅ‚1 3Å‚Å‚ îÅ‚2 1Å‚Å‚
1.Niech A = , B =
ïÅ‚0 1śł ïÅ‚1 0śł. Znalez
ć AB oraz BA. Czy AB=BA ?
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2. Niech
1 0
îÅ‚ -1 1 2 3
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 cos
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Ä… sin Ä…Å‚Å‚
ïÅ‚3 śł, C îÅ‚1 1 Å‚Å‚ ïÅ‚0
A =
ïÅ‚3 2 1śł, B = ïÅ‚ 0 1 śł = ïÅ‚1 -1śł, D = ïÅ‚ 3 0śł, E = ïÅ‚- sin Ä… cos Ä…śł
śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 0 2 śł ðÅ‚1 2 3ûÅ‚
ûÅ‚
Wyznaczyć; jeśli to mo\
liwe; następujące macierze: a) AB - A ;
b) C 2- AAT ;
c) D _ AT A;
d) 4B  2DT ;
e) AB + 3I;.
f) E2 : En.
3. Niech
1
îÅ‚ -1
Å‚Å‚
A =
ïÅ‚-1 1 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Obliczyć f(A) dla : a) f(X) = X2  5X + 3I
b) f(X) = X3  I.
4. Obliczyć wyznaczniki następujących macierzy:
1 2 3 x y x+y a b c sinÄ… cosÄ… 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
śł, c) ïÅ‚c a bśł, d) ïÅ‚sin ² cos² 1śł,
a) ïÅ‚3 2 1śł, b) ïÅ‚ y x+y x
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł śł
ðÅ‚3 1 2ûÅ‚ ïÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚b śł ðÅ‚sin
ðÅ‚x+y x y śł ïÅ‚ c aûÅ‚ ïÅ‚ Å‚ cos Å‚ 1ûÅ‚
1 0 1 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚-3 0 0 0 1 0 -3 2
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚2 1 1 -1śł ïÅ‚ śł
2 5 0 0śł ïÅ‚ 0 1 3 1
śł, f) ïÅ‚ śł, g)ïÅ‚ śł
e) ïÅ‚
ïÅ‚ -1 1
śł ïÅ‚-1 3 2 0
śł ïÅ‚-2 0 6 -4
śł
5 2
ïÅ‚1 1 1 0 śł ïÅ‚ śł
1 2 3 4śł ïÅ‚ 1 2 3 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A 0
îÅ‚ Å‚Å‚
h) ïÅ‚ , gdzie A i B sÄ… macierzami kwadratowymi
0 Bśł
ðÅ‚ ûÅ‚
4* Obliczyć wyznaczniki macierzy:
a11 0 .. 0 a11 0 ... 0 0 0 0 x1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 a22 ... 0 0 a22 ... 0 0 0 x2 0
ïÅ‚ śł, ïÅ‚ śł, ïÅ‚ śł.
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . . ... . 0 x3 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 0 ... ann ûÅ‚ ðÅ‚an1 an2 ... ann ûÅ‚ ðÅ‚x4 0 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
2
x 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1
5. Rozwiązać równanie : det x 1śł = 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚1 1 xûÅ‚
6.Wyznaczyć rzędy następujących macierzy:
1 4 2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 2 0 1 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚3 śł, ïÅ‚ 2 4 6 śł, c) ïÅ‚-1 1 -1śł
a) 2 0 1 b)
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ -1 -1
śł
0
ïÅ‚ ïÅ‚ śł
0 3 2
ïÅ‚ śł
ðÅ‚4 1 0 2śł ðÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚
3 7 1
ðÅ‚ ûÅ‚
7. Podać przykład macierzy :
a) wymiaru 2x5 rzędu 1;
b) wymiaru 4x4 rzędu 2.
8. Niech :
1 1 0 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
A =
ïÅ‚3 1śł, B = ïÅ‚1 0śł, Zastosować twierdzenie Cauchy`ego do obliczenia :
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
a) detAB;
b) det A3B;
c) det ABT.
Ile wynosi det (-2A), det(5B) ?
9.Wyznaczyć macierze odwrotne do ni\
ej podanych:
1 2 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
0 1 cos îÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Ä… sin Ä…Å‚Å‚ 2 2Å‚Å‚ ïÅ‚1
śł; e) ïÅ‚4 2 0 0śł
a) ïÅ‚ ; b)
ïÅ‚ śł; d)
ïÅ‚- sin Ä… cos Ä…śł; c) 2 2ûÅ‚ ïÅ‚ 0 1 śł ïÅ‚0 0 - 2 0śł;
śł
ðÅ‚-1 0śł ðÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚
ðÅ‚-
ïÅ‚ -1ûÅ‚ ïÅ‚
śł
ðÅ‚2 1 śł
ðÅ‚0 0 0 1ûÅ‚
.
10. Dla jakiego parametru p "R , istnieje macierz odwrotna do A, gdy :
1 p 1
îÅ‚ Å‚Å‚
p - 3
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚p
a) A =
b) A = 2 0śł
ïÅ‚p -1 p +1śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚1 p 3ûÅ‚
11. Wyznaczyć macierz X z równania
2
îÅ‚ - 3 3 1 0
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a) ïÅ‚ X = ïÅ‚
śł;
ðÅ‚1 -1śł ðÅ‚1 1 1 ûÅ‚
ûÅ‚
2 0
îÅ‚ Å‚Å‚
2
îÅ‚ - 3
Å‚Å‚ ïÅ‚ śł
b) XïÅ‚ =
ïÅ‚-1 2śł;
ðÅ‚1 -1śł ïÅ‚
ûÅ‚
1 -1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
3
Układy równań liniowych.
12. Korzystając ze wzorów Cramera rozwiązać układy równań:
2x
Å„Å‚ - y - z = 4
x + 5y = 2
Å„Å‚
a)òÅ‚ , b)ôÅ‚3x + 4y - 2x = 11.
òÅ‚
ół- 3x + 6y = 15
ôÅ‚3x - 2y + 4z = 11
ół
13. Korzystając z metody eliminacji Gaussa rozwiązać układy równań:
2x + y + z = 1 x + 2y + 3z - t = -1
Å„Å‚ Å„Å‚
x + 2y + 3z - t = -1
Å„Å‚
ôÅ‚3x - y + 3z = 2 ôÅ‚
3x + 6y + 7z + t = 5
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
a)òÅ‚ , b)òÅ‚ ., c) òÅ‚3x + 6y + 7z + t = 5
x + y + z = 0
ôÅ‚ ôÅ‚2x + 4y + 7x - 4t = -6 ôÅ‚2x + 4y + 7z - 4t = -6
ół
ôÅ‚ ôÅ‚
x - y + z = 1 4x + 8y +10z = 4
ół ół
x
Å„Å‚ - 2y + 3z - t = 2
x + y + z + t = 0
Å„Å‚
ôÅ‚3x
d) - y + 5z - 3t = 6 e)
òÅ‚ òÅ‚2x
ôÅ‚2x + y + 2z - 2t = 8 ół + 3y - 3z + 5t = 0
ół
.
14. Dla jakich wartości parametru p"R układy równań liniowych
x + y + z = 0 px + 2y = 4
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚2x - y + pz = 1 òÅ‚py - z = 3
ôÅ‚x + 4y - 6z = p ôÅ‚px + py + z = p
ół ół
mają: a) 0 rozwiązań;
b) 1 rozwiÄ…zanie;
c) nieskończenie wiele rozwiązań.
15. Ułó\
układy równań mające podane zbiory rozwiązań:
a) {[1,t,2 - t],t " R},
b) {[1- t + 2s,1+ 2t,-2 + s,t - s]t,s " R}
c) {[1,2,-3,1]}.
16. Zastąpić znaki ? liczbami tak, aby otrzymane układy równań miały dokładnie po jednym
rozwiÄ…zaniu
x + y + z = 0 x + ? y + z = 0
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
a) 2x + y + z = 1 b) x + ? y + z = 1
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚? x + ? y + ? z = 1 ôÅ‚2x + ? y + z = 1
ół ół
Wektory. Działania na wektorach.
17. Punkty A(1,-2,-3), B(2,4,0), C(3,-1,-2) są wierzchołkami równoległoboku ABCD.
Wyznaczyć współrzędne punktu D; długość przekątnych oraz punkt przecięcia przekątnych.
18. Czy punkty A(2,1,0) , B(3,-2,2), C(8,-1,1), D(7,2,-1) są wierzchołkami prostokąta ?
Obliczyć długość AB oraz AC oraz kąt między nimi.
19. Wskazać, które z wektorów [1,-3,-2], [1,-2,-3], [-2,2,2], [-2,4,6], [-2,0.-1] są:
a) prostopadłe; b) równoległe.
4
20. Obliczyć: [1,2,3]x[3,1,-1] oraz [1,-1,1]x[-1,2,-3].
21. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach (1,2,3), (3,1,0), (1,1,1).
22. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach (0,0,0), (-1,2,1), (1,3,-2),(2,-1,5). Jaką
długość ma wysokość czworościanu poprowadzona z wierzchołka (2,-1,5).
Proste i płaszczyzny.
23. Sprawdzić, czy punkty : (1,3,0), (2,4,5), (3,5,9) le\
Ä… na jednej prostej.
24. Napisać równanie prostej ( parametryczne i kierunkowe ) przechodzącej przez punkt
(1,2,3) i równoległej do wektora [-1,0,2].
25. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt (1,2,3) i równoległej do prostej
Å„Å‚
x + y + z - 3 = 0
òÅ‚
.
2x + y + 5 = 0
ół
26. Które z podanych prostych są :
a) równoległe,
b) prostopadłe,
c) przecinają się ( wyznaczyć punkt przecięcia i kąt między nimi);
d) skośne
x = 2
Å„Å‚ - t x = 1+ s x = 1+ 3t
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
l = = 3 + t k = = s m = = 3 - 3t
òÅ‚y òÅ‚y òÅ‚y
ôÅ‚z = 1+ t, t " R ôÅ‚z = 2 - s , s " R ôÅ‚z = 7 - 3t, t " R
ół ół ół
x = 1+ 2t x = 1+ 2t
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚y ôÅ‚y
n = = 5 + 3t p = = 3 - t
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚z = -t, t " R ôÅ‚z = 1+ t, t " R
ół ół
27. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (1,2,3) i
a) prostopadłej do wektora [-1,0,2],
b) przez punkty (-1,0,2), (2,-1, -1),
x =
Å„Å‚ -3 + 2t
ôÅ‚
c) zawierajÄ…cej prostÄ… : = 2 - 3t
òÅ‚y
ôÅ‚
z = 6
ół
d) równoległej do płaszczyzny: x+y+3z-3=0.
28. Znalez
ć punkty, w których płaszczyzna:
a) 2x + 3y + 4z  12=0;
b) x + y = 2
przecina osie układu współrzędnych.
29. Obliczyć odległość płaszczyzny x + y + 2z  5 = 0 od
a) punktu (1,1,1),
5
Å„Å‚
x = -1+ 2t
ôÅ‚
òÅ‚
b) prostej y = -3 + 2t ,
ôÅ‚
z = 4t
ół
c) płaszczyzny : 2x + 2y + 4z - 6 = 0.
x =
Å„Å‚ -1+ 2t
ôÅ‚y
30. Obliczyć odległość prostej l = = -3 + 2t od
òÅ‚
ôÅ‚
z = 4t
ół
a) punktu (1,1,1),
x = 1+ s
Å„Å‚
ôÅ‚
b) prostej k = y = 2 + s
òÅ‚
ôÅ‚z = -1+ 2s,
ół
x = 1+ s
Å„Å‚
ôÅ‚y
c) prostej. m = = 2 + 2s
òÅ‚
ôÅ‚
z = 1- 2s
ół
31. Obliczyć kąt (tzn. jego sinus lub cosinus ) między :
a) prostÄ…
x = 1+ t
Å„Å‚
ôÅ‚y = 1- t
òÅ‚
ôÅ‚z = 1+ 2t, t " R
ół
i płaszczyzną -x + 5z  7 = 0;
b) płaszczyznami : x + 2y + 2z  7 = 0 i 2x  2y  2z + 3 = 0.