Politechnika Białostocka
Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 KATEDRA MATEMATYKI
WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE
1. Wylicz b z równania
b-1
a) ba + a2 = 1 + b; b) a = ;
b+a
b-1 a2+ab
c) a - b = ; d) = 3.
a b
2. Oblicz
"
"
"
5
2+"3
"
5+1
5 ·5
3
"
a) 4 · (0, 5) ; b) ;
5
-1
2
125
"2 "2
" " " "
" "
5 5+2 2 2
c) (0, 5) · 2 · (0, 25) ; d) 2 - 3 2 + 3 .
3. Doprowadz
do możliwie najprostszej postaci wyrażenia

1 1
a1,5-b1,5 a-b
2 2
a) - (a + b );
a-b a0,5-b0,5
" "
2 2
n+2+ -4 n+2- -4
"n "n
b) + ;
n+2- n2-4 n+2+ n2

"
" "-4
ab2+c
"
c) a + : b a + b ab2 + c .
ab2+c
4. Wykonaj działania
ax+ay 2x+2y 2a3-2b3 a2-2ab+b2
a) · ; b) : ;
x2-2xy+y2 ax2+2axy+ay2 3a+3b 6a2-6b2
a2-25 a2+5a a4-x4 a2+x2
c) : ; d) : ;
a2-3a a2-9 a3-x3 a2-x2
e) (2a2b3c)6 · (-ab2c2d)4; f) (2xyz2)2 · (-3x2y4x5)3 : (-3x2yz)3;
g) (-3am+nbm-nc) : (-1,5amb-n); h) (8xpynza) : (-4xp-2y2za-4).
5. Wykonaj działania i przeprowadz
redukcjÄ™
a) -(3 + x)2 + 5(1 - x)2 - 3(1 - x)(1 + x);
b) 4(m + 3n)2 + 3(4m - n)2 - 2(m + n)(m - n).
6. Naszkicuj wykres funkcji
a) y = |x| + 1; b) y = |x| - 3; c) y = |x + 2| - 1;
d) y = |x - 1| + 3; e) y = |x2 - 4| - 2; f) y = -|x2 - 2|.
1
Politechnika Białostocka
Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 KATEDRA MATEMATYKI
7. Rozwiąż równanie lub nierówność
a) |x| = 3; b) |x + 5| = 2; c) x + |x - 1| = 1;
"
d) x2 - 2x + 1 + 1 = 2;
e) |3 - x| > 1; f) |2x - 1| 1; g) |x - 2| < 4;
8. Przedstaw ilustracje graficzne nierówności
a) y > |x| + 1; b) y |x - 4|; c) |x| + |y| 1;
d) |x| + |y| > 2.
2
Politechnika Białostocka
Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 KATEDRA MATEMATYKI
WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE
1. Podaj postać kanoniczną oraz iloczynową. Narysuj wykres funkcji.
a) w(x) = x2 - 2x + 1; b) w(x) = x2 - 5x;
c) w(x) = -x2 + 1; d) w(x) = x2 - 3x + 2;
e) w(x) = 2x2 - 10x + 8; f) w(x) = x2 + x + 1.
2. Wyznacz rzeczywiste pierwiastki wielomianu w(x) oraz podaj jego postać iloczy-
nowÄ…:
a) w(x) = Ä„ - x; b) w(x) = x2 - 5x + 6;
c) w(x) = x20 - 1; d) w(x) = x4 - 3x2 + 2;
e) w(x) = 7x5 - 224; f) w(x) = 2x4 - 10x2 + 8;
g) w(x) = x3 + 6x2 + 6x + 1; h) w(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6.
3. Naszkicuj wykresy wielomianów: w(x) = x, p(x) = x2, q(x) = x3, r(x) = x4 oraz
s(x) = xn, n " N.
4. Naszkicuj wykresy wielomianów o podanych wzorach w(x) i w każdym przypadku
podaj rozwiązanie nierówności w(x) 0.
"
a) w(x) = 2x(x + 1)(x - 2); b) w(x) = -4(x - 3)2(x + 1)3(x - 5);
c) w(x) = 2x3(2x + 1)(x2 - 4); d) w(x) = x4 + 2x2 + 1.
5. Rozwiąż algebraicznie układy równań

2
x + y = 4 (x - y)2 = x - 1 = y
3
a) ; b) ; c)
1
x3 + y3 = 28 xy = x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0.
3
6. Podaj ilustracje graficzne układów nierówności
Å„Å‚

ôÅ‚ x2 y 2x2
òÅ‚
y x2 x + y 0
a) ; b) y - 8 0 ; c)
ôÅ‚
y 2x + 3 x2 - 2x + y 0.
ół
x 0
7. Rozwiąż nierówności
3 1
a) < 2 + x podaj ilustracjÄ™ graficznÄ…; b) x2;
x x
x(x-5) (1-x)(x+2) 2(x+3)(x-2)2
c) 0; d) > 0; e) 0;
1-x (2x+3)2 (x-1)3
1 -2x2-3x+2 1
f) x + 0; g) 0; h) 0;
x (x-3)2 (x-1)2
8. Naszkicuj wykresy funkcji
1 2 x+2 2x
a) y = ; b) y = - . c) y = ; d) y = ;
3x x x-3 3x-6
1 1 1
9. Dana jest funkcja f(x) = . Rozwiąż nierówność: f(x) - f(x) < f(x3) - f(x ).
3
x
3
Politechnika Białostocka
Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 KATEDRA MATEMATYKI
FUNKCJA WYKA
ADNICZA I LOGARYTMICZNA
1. Naszkicuj wykresy funkcji
a) y = 3x; b) y = (1)x; c) y = (0.1)x;
3
d) y = 22x; e) y = 2-x; f) y = 10x-1.
2. Rozwiąż graficznie układy równań

y = 2x y = (1)x + 1 y = 3x y = 3x+1 - 3
2
a) ; b) ; c) ; d) .
y + 2x = 8 2x + y - 1 = 0 x2 - x = 0 y = x
3. Rozwiąż równania
"
2
a) 2x+3 = 4x-1; b) (0, 25)3x-1 = ( 2)5-x; c) (0, 04)-2 = 511x +7x.
4. Wykreśl w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji
1 1
a) y = log x, y = log3 x; b) y = log x, y = log2 x.
3 2
5. SporzÄ…dz
wykresy funkcji
a) log2 8x; b) log3 x; c) log(x + 5);
9
d) log(x - 3); e) log2 x3; f) | log2 x|.
6. Oblicz:
a) log3 27; b) log10 0, 01; c) log"2 2;
"
2 3
d) 2log 5; e) 9log 7; f) log5 5 5;
"
3
g) log1 3 3; h) log6 1; i) log4 4.
9
7. KorzystajÄ…c z kalkulatora lub tablic logarytmicznych oblicz
a) log4 0, 015; b) log1 1000; c) log7 5; d) log100 25.
2
8. Wyznacz dziedzinÄ™ funkcji
a) f(x) = log(x + 2); b) f(x) = log3(x2 - 3); c) f(x) = log(2x - 5) - log5(x2 - 4);
1
d) f(x) = log0,5(2x + 1);e) f(x) = log (4x2 - 9); f) f(x) = log(x - 5) - log(x2 - 25).
3
9. Rozwiąż równania
1
a) 3x = 7; b) log2 x = 5; c) 3log x = ;
27
d) 0, 5 · 2x = 10; e) logx 2 = 3; f) 10log x = 4.
10. Wyznacz wskazaną wielkość
a) log y = 2 Ò! y =? b) log2 y = x Ò! y =?
c) log3 a = 8 Ò! a =? d) log5 b = x + 1 Ò! b =?
4
Politechnika Białostocka
Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 KATEDRA MATEMATYKI
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZE
1. Podaj w radianach następujące miary kątów: 15ć%, 120ć%, 225ć%, 300ć%, 1125ć%.
2. Oblicz wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla kątów o następujących
miarach: 135ć%, 150ć%, 240ć%, 1740ć%, 660ć%, -150ć%.
3. Wyraz
za pomocą funkcji trygonometrycznych kątów dodatnich nie większych od 45ć%:
sin 115o, cos 315o, tg 165o, cos 1000o, ctg 85o.
4. UzupeÅ‚nij tabelÄ™. JeÅ›li kÄ…t nie istnieje, wpisz znak ×:
Ä… (0,90) (90,180) (180,270) (270,360)
cos Ä…
1
2
-1
2
"
3
2
"
3
-
2
"
2
2
"
2
-
2
5. Wpisz odpowiedniÄ… miarÄ™ kÄ…ta do tabeli (o ile istnieje)
" "
1 3
sin Ä… -1 3 -
2 2 2 2
cos Ä…
1
2
-1
2
"
3
2
"
3
-
2
"
2
2
"
2
-
2
6. Zbadaj, czy istnieje kąt ą taki, że
"
3 1 3
a) sin Ä… = i cos Ä… = ; b) sin Ä… = -1 i cos Ä… = - ;
4 5 2 2
3 1 3 3
c) tg Ä… = i ctg Ä… = ; d) tg Ä… = i sin Ä… = .
4 3 4 5
7. Oblicz
a) sin(ą + 45ć%) mając dane cos ą = -1 i 90ć% < ą < 180ć%;
2
b) cos(60ć% - ą) mając dane sin ą = -12 i 180ć% < ą < 270ć%.
13
5
Politechnika Białostocka
Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 KATEDRA MATEMATYKI
8. Uprość wyrażenie
a) sin Ä… - sin Ä… · cos2 Ä…; b) sin2 Ä… · cos Ä… + cos3 Ä…;

c) cos Ä… · 1 + tg2Ä…; d) (sin Ä… + cos Ä…)2 - sin 2Ä….
9. Dla x " -2Ą; 2Ą wykonaj wykresy następujących funkcji
1
a) y = 1 - cos x; b) y = 2 sin(Ä„ - x); c) y = | sin 2x|;
2 2
Ä„
d) y = tgx; e) y = -2 sin 2x; f) y = ctg(x + ).
2 2
10. Rozwiąż równania
"
2
a) sin 2x = 1; b) cos x = -1; c) sin(2x) = - ;
2 2
"
3 Ä„
d) ctgx = ; e) tgx = -1; f) cos(2x + ) = -1.
3 2 2 2
11. Dane są dwa boki a, b trójkąta ABC. Obliczyć bok c, jeżeli wiadomo, że miara
kąta C jest dwa razy większa od miary kąta B.
12. Dwa boki trójkata mają długości 2 cm i 4 cm, a miara kąta między nimi wynosi
120o. Oblicz obwód tego trójkata, jego pole oraz długość promienia okręgu opisanego na
tym trójkącie.
13. Dany jest trójkąt o bokach długości: 10,10, 14. Określ czy jest to trójkąt rozwar-
tokÄ…tny. Oblicz jego pole.
6
Politechnika Białostocka
Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 KATEDRA MATEMATYKI
ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ
1. MajÄ…c dane punkty
- - -
-
a) A(1, 2), B(5, 6), C(7, 8), znajdz
współrzędne wektorów AB, AC i BC oraz
ich długości;
- - - -

b) A(1, 3), B(2, 4), C(5, 14), znajdz
długości wektorów AB + AC i AB - AC.
- -

2. Znajdz
cosinus kąta między wektorami u i v mając dane:
- - - -

a) u = [1, 2], v = [-3, 4]; b) u = [-4, 2], v = [2, 4];
- - - -

c) u = [0, 2], v = [5, -5]; d) u = [1, 1], v = [-5, -2].
3. Dane są wierzchołki trójkąta A(1, 1), B(3, 5) i C(2, 4). Napisz równania prostych
AB, AC i BC.
4. Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór A, jeżeli:
a) A = {(x, y) : x 1 '" y -2} ;
b) A = {(x, y) : y -2x + 3 '" y x + 1} ;
c) A = {(x, y) : x + y - 2 0 '" -x + 2y + 3 0} ;
5. Opisz za pomocą równania lub nierówności:
a) okrąg; b) koło; c) wnętrze koła; d) zewnętrze koła
o środku S(2, -1) i promieniu r = 3. Czy punkt P (5, -1) należy do wnętrza tego koła?
6. Podaj długość promienia i współrzędne środka okręgu o równaniu:
a) x2 + y2 = 5; b) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 9; c) x2 + y2 - 4x = 0;
d) x2 + y2 + y = 0.
7. Narysuj okręgi z poprzedniego zadania w układzie współrzędnych.
8. Zbadaj wzajemne położenie okręgów o równaniach:
a) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 25 i (x + 3)2 + y2 = 1;
b) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 25 i (x + 5)2 + y2 = 1;
c) x2 + (y - 1)2 = 5 i (x - 1)2 + y2 = 1.
9. Zbadaj wzajemne położenie:
a) prostej x + 2y - 3 = 0 i okręgu x2 + y2 - 2x + 5y = 0;
b) prostej x + 4y - 1 = 0 i okręgu x2 + y2 - 2x - 5y = 0;
c) prostej 2x + y = 0 i okręgu x2 + x + y2 = 0.
7
Politechnika Białostocka
Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 KATEDRA MATEMATYKI
ELEMENTY KOMBINATORYKI I CI
GI LICZBOWE
1. Oblicz:

20
9! 8! 6!
a) ; b) ; c) ; d) .
8! 3!5! 0! 2
2. Rozwiąż równanie:

n n n n
a) = 10; b) = 4; c) = 35; d) = 45.
2 3 4 n-2
3. Utwórz wszystkie trzyelementowe kombinacje z elementów zioru A = {a, b, c, d, e} za-
kładając, że wszystkie elementy zbioru A są różne.
4. Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 ułożono wszystkie możliwe liczby pięciocyfrowe o nie powtarzających
się cyfrach. Ile jest wśród nich liczb:
a) zaczynajÄ…cych siÄ™ cyfrÄ… 3; b) nie zaczynajÄ…cych siÄ™ cyfrÄ… 5;
c) podzielnych przez 2; d) podzielnych przez 25.
5. Zbadaj monotoniczność ciągów o wyrazach ogólnych:
3n+1 n2+2 1
a) an = ; b) an = ; c) an = ;
n+3 n2+1 n2+3n+2
1-3n 1+2+3+···+n 2+4+···+2n
d) an = ; e) an = ; f) an = .
2 n2+1 n2+2
2n
6. Sprawdz
, że ciąg o wyrazie ogólnym an = , (n > 1) jest ciągiem malejącym.
n!
7. Oblicz granice ciągów o wyrazach ogólnych:
"
3n2-n n 1+2+···+n
" "
a) an = ; b) an = ; c) an = n - n2 + 4; d) an = .
5-n2
n2-1 4n4+3n+1
8. Podaj przykład ciągu, który jest zbieżny do 2, ale nie jest monotoniczny.
9. Suma n-pierwszych wyrazów pewnego ciągu wynosi Sn = 2n2 + 3. Oblicz czwarty
wyraz tego ciÄ…gu.
10. Rozwiąż równanie: 1 + 4 + 7 + · · · + x = 117.
11. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 1. Dla jakiej wartości różnicy r
tego ciągu wyrażenie a1a3 + a2a3 ma wartość najmniejszą?
12. Rozwiąż równania:
x2 x3
x- + -···
2 4
a) 1 + x + x2 + x3 + · · · = 2; b) = -1.
1+x+x2+x3+···
8