Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151, 2009/10
Wydział Elektroniki
Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
Listy zadań nr 1-2
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
Lista 1. Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne.
Prawdopodobieństwo geometryczne. Twierdzenie o prawdopodobieństwie
całkowitym. Wzór Bayesa. Niezależność zdarzeń
Zadanie 1.1
(a) Siedem opon samochodowych zostało ponumerowanych liczbami od 1 do 7 w zależności od
ich jakości od najlepszej do najgorszej. Klient wybrał losowo cztery opony. Wyznaczyć praw-
dopodobieństwo, że najlepsza opona jaką wybrał klient ma jakość 3. W rozwiązaniu określić
precyzyjnie przestrzeń probabilistyczną modelującą podaną sytuację.
(b) Hasło potrzebne do uzyskania połączenia w sieci komputerowej składa się z dwóch cyfr i następ-
nie czterech dużych liter alfabetu angielskiego. Znalez
ć prawdopodobieństwo, że osoba postron-
na odgadnie hasło, jeśli wiadomo, że pierwsza cyfra jest nieparzysta, a wśród liter są dokładnie
dwie litery A. W rozwiązaniu określić precyzyjnie przestrzeń probabilistyczną modelującą po-
danÄ… sytuacjÄ™.
(c) Pudełko zawiera 90 śrub dobrych i 10 wadliwych. Z pudełka wyjęto 10 śrub. Jakie jest praw-
dopodobieństwo, że wszystkie one są dobre? W rozwiązaniu określić precyzyjnie przestrzeń
probabilistycznÄ… modelujÄ…cÄ… podanÄ… sytuacjÄ™.
Zadanie 1.2
(a) Rzucamy monetą tak długo, aż upadnie na stronę ORZEA
. Określić precyzyjnie przestrzeń
probabilistyczną modelującą podaną sytuację dla monety symetrycznej. Obliczyć prawdopodo-
bieństwo, że wykonamy mniej niż 6 i więcej niż 3 rzuty.
(c) Niech &! = {Én, n = 1, 2, . . .}, F = 2&!. Wez
my ciąg pn = c3-n, n = 1, 2, . . .. Dobrać stałą c tak,
aby ciÄ…g (pn) okreÅ›laÅ‚ prawdopodobieÅ„stwo P na zbiorze &! tak, że pn = P ({Én}). Obliczyć
P ({É3, . . . , É9}).
Zadanie 1.3
(a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrany losowo punkt koła x2+y2 < 4 leży na zewnątrz
kwadratu |x| < 1, |y| < 1. W rozwiązaniu określić precyzyjnie przestrzeń probabilistyczną
modelujÄ…cÄ… podanÄ… sytuacjÄ™.
(b) Dwoje internautów umówiło się na spotkanie w sieci między godziną 17 a 18, przy czym będą
na siebie czekać 6 minut i nie dłużej niż do godziny 18. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się
spotkają? W rozwiązaniu określić precyzyjnie przestrzeń probabilistyczną modelującą podaną
sytuacjÄ™.
(c) Wybieramy losowo parÄ™ liczb (a, b) z prostokÄ…ta [-2, 2]×[-1, 1]. Obliczyć prawdopodobieÅ„stwo
tego, że pierwiastki równania x2+2ax+b = 0 są rzeczywiste. W rozwiązaniu określić precyzyjnie
przestrzeń probabilistyczną modelującą podaną sytuację.
1
Zadanie 1.4
(a) Pewna choroba jest obecna w 0,05% populacji. Opracowano test, który daje wynik dodatni
u 95% chorych i u 7% zdrowych. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pacjent z wynikiem
dodatnim jest chory? Czy ma on powody do obaw?
(b) W pewnym teleturnieju za jednymi z trzech zamkniętych drzwi znajduje się samochód, a za
pozostałymi dwoma kozy. Prowadzący grę wie, które drzwi kryją samochód. Gracz wskazuje
na jedne z drzwi, prowadzący otwiera jedne z pozostałych odkrywając kozę i następnie pyta
gracza, które z zamkniętych drzwi otworzyć (tzn. czy gracz zmienia wybór, czy nie). Jeżeli
gracz wskaże na odpowiednie drzwi, wygrywa samochód.
Powiedzmy, że gracz wskazał na początku na drzwi nr 2, a prowadzący grę otworzył drzwi nr 1
z kozą. Czy graczowi opłaca się zmienić decyzję i wskazać na drzwi nr 3? Odpowiedz
uzasadnić.
(c) Spośród trzech równorzędnych kandydatów należy wybrać przewodniczącego grupy. W tym celu
na jednej z trzech czystych kartek piszemy słowo  przewodniczący i wrzucamy je do pudełka.
Następnie kandydaci kolejno losują jedną kartkę i ten, który wylosuje  przewodniczącego zo-
staje wybrany. Który kandydat ma największe szanse: losujący jako pierwszy, drugi, czy trzeci?
(d) Kondensatory są dostarczane przez trzy zakłady, przy czym prawdopodobieństwo tego, że dany
detal był przygotowany w pierwszym zakładzie wynosi 0, 2; że w drugim 0, 3; że w trzecim 0, 5.
Prawdopodobieństwo tego, że w określonych warunkach pracy kondensator zachowuje zdol-
ność do pracy w przeciągu czasu T , dla kondensatorów pochodzących z pierwszego, drugiego i
trzeciego zakładu są równe odpowiednio 0, 9; 0, 92; 0, 808.
1. Jakie jest prawdobodobieństwo tego, że przypadkowo wybrany kondensator z posiadanego
zapasu kondensatorów zachowa zdolność do pracy w przeciągu czasu T ?
2. Przypuśćmy, że kondensator nie przetrzymał ustalonego czasu pracy i uległ uszkodzeniu.
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pochodził on z pierwszego, z drugiego, z trzeciego
zakładu?
(e) Wśród 100 mężczyzn jest 5 daltonistów, a wśród 1000 kobiet są 2 daltonistki. Z grupy o jedna-
kowej liczbie kobiet i mężczyzn wybrano losowo osobę, która okazała się daltonistą. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna?
Zadanie 1.5
(a) Prawdopodobieństwo trafienia w ruchomy cel przy jednym strzale jest równe 2/3. Pięć osób
strzela niezależnie do jednego ruchomego celu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cel zostanie
trafiony?
(b) Jest 10 kartek z pytaniami egzaminacyjnymi. Losuje się jedną z nich w sposób przypadkowy.
Kartka nr k zawiera najtrudniejszy zestaw pytań. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że żaden
z pięciu zdających nie wylosuje kartki nr k, jeśli wylosowane już kartki
1. są odkładane;
2. nie są odkładane, tzn. mogą być ponownie wylosowane.
W którym z dwu rozważanych sposobów losowania zdarzenia polegające na wylosowaniu kartki
nr k przez różne osoby zdające są niezależne?
(e) Rozważmy rodziny z trojgiem dzieci. Przyjmujemy, że każda z ośmiu możliwości: CCC, CCD,
CDC, DCC, ... DDD, gdzie C oznacza chłopca, D - dziewczynkę, jest jednakowo prawdopodob-
na. Niech A oznacza zdarzenie, że rodzina ma dzieci obu płci; B - zdarzenie, że wśród dzieci
jest co najwyżej jedna dziewczynka. Czy zdarzenia A i B są niezależne?
Rozwiązać analogiczne zadanie dla rodzin z dwojgiem dzieci; z czworgiem dzieci.
2
Lista 2. Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej. Dystrybuanta.
Zadanie 2.1
(a) Gracz wyciąga z talii (52 kart) trzy karty (bez zwracania). Jeśli są to 3 asy, wygrywa 100 zł.
Jeśli są wśród nich dokładnie 2 asy, gracz wygrywa 50 zł. Jeśli są to 3 figury, gracz wygrywa
10 zł, a w pozostałych przypadkach płaci 1 zł. Niech X oznacza wygraną gracza (przy czym
przegrana 1 zł to inaczej wygrana -1 zł). Znalez
ć i narysować dystrybuantę zmiennej losowej
X. Obliczyć P (X > 0).
(b) Na przestrzeni probabilistycznej &! = {É = (x, y) : x2 + y2 1} z prawdopodobieÅ„stwem
geometrycznym definiujemy zmienną losową R jako odległość punktu (x, y) " &! od środka koła
"
(0, 0), tzn. R(É) = R(x, y) = x2 + y2. Znalez
ć i narysować dystrybuantę zmiennej losowej R.
Obliczyć P (R < 0, 5).
Zadanie 2.2
(a) Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 0 dla x -1,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 1
òÅ‚
dla -1 < x 0,
3
F (x) =
ôÅ‚
ôÅ‚ 1
ôÅ‚
(x + 1) dla 0 < x 1,
ôÅ‚
3
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1 dla 1 < x.
Narysować F (x) i obliczyć P (0 < X < 1), P (0 < X 1), P (0 X < 1), P (-1 < X < 2),
P (-1 X < 2), P (X > 0), P (|X| > 0, 5).
(b) Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
0 dla x 0,
F (x) =
0, 75
ôÅ‚
ôÅ‚
ół 1 - dla x > 0
1 + x2
Narysować F (x) i obliczyć P (-1 < X < 0), P (-1 < X 0), P (1 < X < 3), P (|X| > 3),
P (|X - 1| < 1).
Zadanie 2.3
(a) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F (x) = A+Barctg(2x) była dystrybuantą pewnej zmiennej
losowej X. Obliczyć P (X > 0, 5).
Å„Å‚
ôÅ‚ Ax2 dla x -1,
òÅ‚
(b) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F (x) = x + B dla -1 < x -0, 5, była dystrybu-
ôÅ‚
ół
1 dla x > -0, 5
antą pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć P (-0, 75 < X < 0).
Å„Å‚
ôÅ‚ A + 1 + ex dla x -1,
òÅ‚
(c) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F (x) = e-1 dla -1 < x 1, była dystrybu-
ôÅ‚
ół
B(3 - x-1) dla x > 1
antą pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć P (-2 < X < 1/2) i P (X > 2).
3
Odpowiedzi i wskazówki:
Lista nr 1:
1.1 (a) &! = {{op1, op2, op3, op4}, gdzie opi to różne opony spośród 7 możliwych}, F = 2&!, P -
4
prawd. klasyczne.; H" 0, 114;
35
(b) &! = {(c1, c2, l1, . . . , l4), gdzie c1 " {1, 3, 5, 7, 9}, c2 to dowolna cyfra (w tym 0), li to duże
1
litery, dokładnie 2 wśród nich to A}. F = 2&!, P - prawd. klasyczne.; H" 0, 000005333;
187500
(c) &! = {{s1, . . . , s10}, gdzie si to różne śruby spośród 100 możliwych}, F = 2&!, P - prawd.
520058680173
klasyczne.; H" 0, 33
1573664496040
3
1.2 (a) H" 2, 541 · 10-21;
435-1
(b) &! = {Én = (n - 1) razy RESZKA, na koÅ„cu ORZEA
, n = 1, 2, . . .}, F = 2&!,
n
1 3
pn = P ({Én}) = , szukane prawdop. wynosi = 0, 09375;
2 25
37-1
(c) c = 2, p = H" 0, 11106
39
1.3 (a) &! = {(x, y) : x2 + y2 < 4}, F - zbiory borelowskie, P - prawdopod. geometryczne.;
1
1- H" 0, 6817; (b) &! = [0, 60]×[0, 60], F - zbiory borelowskie, P - prawdopod. geometryczne.;
Ä„
5
0, 19; (c) &! = [-2, 2]×[-1, 1], F - zbiory borelowskie, P - prawdopod. geometryczne.; H" 0, 833
6
0,95·0,0005 1
1.4 (a) H" 0, 00674; (b) tak, patrz przykłady; (c) losujący mają taką samą szansę ; (d) 1.
0,07044 3
1 6 24 25
0, 86, 2. odpowiednio H" 0, 1434, H" 0, 171, H" 0, 686; (e) H" 0, 9615
7 35 35 26
242
1.5 (a) H" 0, 9959; (b) 1. 0, 5, 2. (0, 9)5 H" 0, 59; zdarzenia są niezależne w przypadku 2.; (c) tak
243
(3 dzieci), nie (2 dzieci), nie (4 dzieci)
Lista nr 2:
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 0 dla x -1,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
5397
ôÅ‚
H" 0, 9768 dla -1 < x 10,
ôÅ‚
ôÅ‚
5525
ôÅ‚
òÅ‚
5397
5452
2.1 (a) F (x) = P (X > 0) = 1 - H" 0, 0232;
H" 0, 9868 dla 10 < x 50,
5525
ôÅ‚ 5525
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
5524
ôÅ‚
ôÅ‚
H" 0, 9998 dla 50 < x 100,
ôÅ‚
5525
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1 dla x > 100
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 dla r 0,
òÅ‚
(b) F (r) = r2 dla 0 < r 1, P (R < 0, 5) = 0, 25
ôÅ‚
ół
1 dla r > 1
1 2 2
2.2 (a) P (0 X < 1) = H" 0, 3333, P (0 < X 1) = H" 0, 6667, P (-1 < X < 2) = H" 0, 6667,
3 3 3
2 5
P (-1 X < 2) = 1, P (X > 0) = H" 0, 6667, P (|X| > 1/2) = H" 0, 8333;
3 6
(b) P (-1 < X < 0) = 0, P (-1 < X 0) = 0, 25, P (1 < X < 3) = 0, 3, P (|X| > 3) = 0, 075,
P (|X - 1| < 1) = 0, 6
1
2.3 (a) A = 0, 5; B = , P (X > 0, 5) = 0, 25;
Ä„
(b) A = 0, 1 B 1, 5, P (-0, 75 < X < 0) = 1, 75 - B;
1 e-1 1
(c) A = -1, B = , P (-2 < X < 1/2) = H" 0, 2325, P (X > 2) = H" 0, 1667
3 e2 6
4