ELEKTRONIKA MATEMATYKA/2st(MAP1058)
LISTA 1. (Miara i całka Lebesgue a w IRn, przestrzenie liniowe, rozwinięcia ortogonalne.)
1. Niech X będzie dowolnym zbiorem nieskończonym. Pokazać, że rodzina zbiorów
2
A={A " 2X :A jest zbiorem przeliczalnym lub A jest zbiorem przeliczalnym} jest Ã-ciaÅ‚em.
2. Pokazać, że funkcja µ okreÅ›lona na rodzinie zbiorów A z zad.1 jako 0, gdy A jest zbiorem przeliczal-
2
nym oraz 1, gdy A jest zbiorem przeliczalnym jest miarÄ….
3. Pokazać, że podzbiór zbioru miary Lebesgue a zero jest zbiorem miary Lebesgue a zero.
4. Pokazać, że każdy zbiór przeliczalny jest miary Lebesgue a zero.
2
sin
"nx
5. Zbadać zbieżność punktową ciągu funkcji fn(x) = oraz zbieżność punktową ciągu (fn(x)).
n

1

6. Zbadać zbieżność punktową ciągu funkcji fn(x) = n2x(1 - x2)n oraz zbieżność ciągu fn(x))dx .
0

1

7. Zbadać zbieżność punktową ciągu funkcji fn(x) = nx(1 - x2)n oraz zbieżność ciągu fn(x))dx .
0
8. Znalez
ć bazę i wymiar przestrzeni generowanej przez wektory (3, 1, 0, -1), (1, 0, 1, 1), (6, 2, 3, 0), (1, 0, -2, -1).
9. Podać bazę i wymiar przestrzeni rozwiązań układów równań:
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ x + 2y + 3z - t = 0 ôÅ‚ x + 2y + 3z - t = 0
òÅ‚ òÅ‚
3x + 6y + 7z = 0 + 6y + 7z = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
x + 2y + 4z + 2t = 0 x + + + 2t = 0
10. Sprawdzić, że zbiór V = {p " IR4[x] : p(1) + p2 (0) = p2 (1) + p2 2 (0)} jest podprzestrzenią liniową
przestrzeni wielomianów stopnia 4. Znalez
ć bazę w V i okrelić jej wymiar.
11. Wykazać, że dla dowolnego n układ funkcji sin x, sin 2x, . . . , sin nx jest układem liniowo niezależnym
w przesztrzeni funkcji ciągłych na [0, 2Ą].
12. W przetrzeni IR2 zdefiniowany jest taki iloczyn skalarny ć%, że e1 ć% e2 = 1 oraz |e1| = |e2| = 2.
Obliczyć u ć% v, jeżeli u = (2, -1) oraz v = (3, 5).
13. Znalez
ć rzut ortogonalny wektora = (1, 0, -1) na podprzestrzeń V = lin{(2, -1, 0), (0, 2, 1)}.
u0 u
14. Wykazać, że dla dowolnego n układ funkcji sin x, sin 2x, . . . , sin nx jest układem ortogonalnym w
przesztrzeni L2([0, 2Ä„]).
15. Sprawdzić, że funkcja f ć% g = f(-1)g(-1) + f(0)g(0) + f(1)g(1) określa iloczyn skalarny w prze-
strzeni wielomianów stopnia 2. Wyznaczyć rzut ortogonalny wielomianu f(x) = x2 na podprzestrzeń
generowanÄ… przez funkcje e1(x) = 1, e2(x) = x.
16. W przestrzeni L2([0, 2Ą]) wyznaczyć rzut ortogonalny funkcji f(x) = sin 2x na podprzestrzeń gene-
rowanÄ… przez funkcje e1(x) = sin x, e2(x) = cos x.
17. Wyznaczyć szereg Fouriera w postaci rzeczywistej i zespolonej oraz widmo amplitudowe i fazowe
następujących funkcji:
Å„Å‚
0 dla 1 < |t| < 2},
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1 òÅ‚
2(1 - 2|t|) dla |t| < , 2 dla |t| < 1,
2
1)f0(t) = 2) f3(t) =
1 1
ôÅ‚
okresowo dla |t| > , 1 dla t = -1 lub t = ,
ôÅ‚
2 2 2
ôÅ‚
ół
okresowo dla |t| > 2,
1
ELEKTRONIKA MATEMATYKA/2st(MAP1058)
LISTA 2. (Zmienne losowe wielowymiarowe, warunkowa wartość oczekiwana.)
1. Niech (&!, F,P ) będzie przestrzenią probabilistyczną i niech A będzie ustalonym zdarzeniem o praw-
dopodobieństwie dodatnim. Pokazać, że funkcja PA określona na F wzorem PA(B) = P (B|A) jest
miarÄ… probabilistycznÄ….
2. Rzucamy symetryczną kostką tak długo aż wypadnie  6 . Interesuje nas ilość wyrzuconych po drodze
 5 . Opisać to doświadczenie za pomocą dwu zmiennych losowych i znalez
ć ich rozkład łączny.
3. Wektor losowy (X, Y ) ma następujący rozkład łączny:
P (X = 0, Y = -2) = 0, 1; P (X = 0, Y = 0) = 0; P (X = 0, Y = 1) = 0, 2;
P (X = 2, Y = -2) = P (X = 2, Y = 0) = 0, 2; P (X = 2, Y = 1) = 0, 3.
Czy X i Y są niezależne?
4. Znalez
ć gęstość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) o dystrybuancie F (x, y),
gdzie:

2
1-e-x-e-y +e-x-y dla 0 < x, 0 < y e-(x +y2) gdy x2 + y2 1,
a) F (x, y) = b) f(x, y) =
0 poza tym. 0 poza tym.

C(x2y + y) dla 0 < x < 1, 0 < y < 2
5. Dobrać stałą C tak, aby funkcja F (x, y) =
0 poza tym.
była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y ). Czy X i Y są niezależne?

c(x + y) dla 0 x 1, 0 y x,
6. Dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x, y) =
0 poza tym
2
była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y ). Obliczyć następnie P (X2 + Y 1) i współczynnik
korelacji zmiennych losowych X i Y . Czy X i Y są niezależne?
7. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład jednostajny na zbiorze
1 1
{(x, y) : 0 x, y 1, y x + lub x - y x}.
2 2
a) Sprawdzić, że rozkłady brzegowe są jednostajne na przedziale [0, 1].
b) Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?
8. Gęstość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) zadana jest wzorem
1
2
"1 2
f(x, y) = e- (x2+y2). a) Obliczyć P (X > 1). b) Obliczyć P (X2 + Y 1).
2Ä„
9. Rzucamy dwa razy monetÄ…. Rozważamy Ã-ciaÅ‚o generowane przez zdarzenie A -  wypadÅ‚y dwie
reszki . Zmienna losowa X równa jest liczbie otrzymanych orłów. Wyznaczyć warunkową wartość
oczekiwanÄ… zmiennej X wzglÄ™dem rozważanego Ã-ciaÅ‚a.
10. Rzucamy dwa razy kostkÄ…. Rozważamy Ã-ciaÅ‚o generowane przez zdarzenia A1, A2, gdzie A1 -  suma
oczek nie przekacza 4 , A2 -  suma oczek wynosi przynajmniej 10 . Zmienna losowa X równa jest
wartości bezwzględnej różnicy liczby oczek na kostkach. Wyznaczyć warunkową wartość oczekiwaną
zmiennej X wzglÄ™dem rozważanego Ã-ciaÅ‚a.
11. &! = [0, 1] i P jest miarÄ… Lebesgue a. Rozważamy Ã-ciaÅ‚o generowane przez zbiór liczb wymier-
nych i zmienną losową f(x)=x2. Wyznaczyć warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X względem
rozważanego Ã-ciaÅ‚a.
1 1
12. &! = [0, 1] i P jest miarÄ… Lebesgue a. Rozważamy Ã-ciaÅ‚o generowane przez zbiory postaci [n+1, ) i
n
zmienną losową f(x) = x. Wyznaczyć warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X względem rozwa-
żanego Ã-ciaÅ‚a.
2