Analiza matematyczna 2
Lista zadań!
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Lista 1
1. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
"
" "
dx dx
(a) ; (b) " ; (c) x sin x dx;
3
(x + 2)2
3x + 5
1 1 Ä„
-3
0 "

dx Ä„ dx
(d) ; (e) + arc tg x dx; (f) .
x2 - 4 2 x2 -4x + 13
-" -" -"
2. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
" " "
dx dx x(x + 1) dx
(a) " ; (b) " ; (c) ;
x ( x + 1) x - 3 x4 + x + 1
4 10 1
"
" " "
x2 + 1 dx 2 + cos x dx
(x + sin x) dx
(d) ; (e) ; (f) " .
x4 + x2 + 1 x3 x-1
-" Ä„ 2
* 3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
-1
" " "
( x + 1) dx x2 dx (x + 1) dx
(a) ; (b) " ; (c) " ;
x (x + 1)
x5 - 3 1 - x3
1 5 -"
" " -1

e2x + 1 dx
1 x2 dx
(d) sin2 dx; (e) ; (f*) .
x x3 -sin x ex - 1
1 1 -"
1
4. (a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y = oraz osią Ox.
x2 + 4

2
(b) Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru D = (x, y) " R : x 0, 0 y e-x .
1
(c) Uzasadnić, że pole powierzchni powstaÅ‚ej z obrotu wykresu funkcji y = " dla x 1 wokół osi Ox ma
x x
skończoną wartość.
5. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
0 Ä„ 3
dx dx dx
(a) " ; (b) ; (c) ;
5
sin x x(x - 3)
x2
Ä„
-1 2
2
e 5 e
ln x dx 2x dx sin ln x dx
(d) ; (e) ; (f*) .
x 2x - 8 x
0 3 0
6. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
"
2
2 Ä„
1 1 ex dx cos2 x dx
"
(a) arc tg dx; (b) ; (c) " ;
3
x x x3 x - Ä„
0 0 0
4 2 3
dx dx x6 dx
(d) " ; (e*) " ; (f*) .
x2 + x (x - 1)2
16 - x4
0 0 1
!
Zadania oznaczone gwiazdką są nieobowiązkowe. Nie należy ich przerabiać na ćwiczeniach. Przeznaczone są dla
studentów, którzy chcą poszerzyć swoją wiedzę z analizy.
1
* 7. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
Ä„ 1 Ä„
e2x - 1 dx
sin3 x dx dx
(a) ; (b) " ; (c) " ;
3 3
x4 cos x
x4
Ä„
0 0
2
1 0 Ä„
dx dx dx
(d) ; (e*) " ; (f*) ;
(arc sin x)2 x - sin x
ex - e2x
0 -1 0
2 1 2
dx dx dx
(g*) " ; (h*) ; (i*) .
x2 - x ex - cos x 2x - x2
1 0 1
* 8. Zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych, które są jednocześnie całkami niewłaściwymi pierwszego
i drugiego rodzaju:
" " "
dx dx dx
(a) ; (b) ; (c) " ;
x2 - 1 x + sin x x3 + x
1 0 0
"
" "
dx dx dx
(d) ; (e) ; (f) " .
3x - 2x ln x
x2 x - 2
0 1 2
9. Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych:
" " "
x3 cos x dx ex dx
(a) ; (b) ; (c) e-|x+5| dx;
x2 + 4 ex + 1
-" -" -"
"
9 1

dx sin x
(d x3 - x2 dx; (e ; (f) dx.
x2
|x|
-" -4 -1
Lista 2
10. Znalez
ć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:
n
" " " "

5 n - 1 1 1
(a) ; (b) ; (c) ; (d) " .
"
6 n! (2n - 1)(2n + 1)
n + 1 + n
n=0 n=2 n=1 n=1
n

Uwaga. W przykładzie (b) przyjąć, że Sn = ak, n 2.
k=2
11. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów:
" " " "

1 n ln n 1
(a) ; (b) ; (c) ; (d) " .
n2 + n n2 + 4 n2
n n + 1
n=1 n=1 n=2 n=1
12. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów:
Ä„
" " " "
sin

n2 + n + 1 n + 1 2n - 1
3n
(a) ; (b) " ; (c) ; (d) .
Ä„
2n3 - 1 3n - 1
n3 + 1
sin
n=1 n=1 n=1 n=1
2n
13. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:
" " "

3 n + 1 Ä„
(a) ; (b) ; (c) sin ;
n2 + 2 n2 + 1 2n
n=1 n=1 n=1
" " "

2n + sin n! 3 - 2 cos n2 3n + 1
(d) ; (e) " ; (f) .
3n n n3n + 2n
n=0 n=1 n=1
14. Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów:
2
" " "

100n Ä„ n!
(a) ; (b) n2 sin ; (c) ;
n! 2n nn
n=1 n=1 n=1
" " "

(n!)2 nn 2n + 1
(d) ; (e) ; (f) .
(2n)! 3nn! n5 + 1
n=1 n=1 n=1
15. Korzystając z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów:
2
" " " "

(n + 1)2n 2n + 3n 3nnn 1
(a) ; (b) ; (c) ; (d) arc cosn .
2
(2n2 + 1)n 3n + 4n (n + 1)n n2
n=1 n=1 n=1 n=1
* 16. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności
szeregów uzasadnić podane równości:
n5 nn nn (3n)!(4n)!
(a) lim = 0; (b) lim = 0; (c) lim = "; (d*) lim = 0.
n" n" n" n"
7n (n!)2 n! (5n)!(2n)!
17. Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów:
" " "

"
"
4n Ä„
(a) (-1)n+1 n + 1 - n ; (b) (-1)n ; (c) tg cos nĄ;
4n + 5n n
n=1 n=0 n=4

" " "

3n ln2 n (-1)n
(d) (-1)n+1 ; (e) (-1)n ; (f*) ln 1 + .
n! n n
n=1 n=2 n=2
* 18. Obliczyć sumy przybliżone podanych szeregów ze wskazaną dokładnością:
" "

(-1)n+1 (-1)n
(a) , ´ = 10-6; (b) , ´ = 10-3.
n10n (2n + 1)!
n=1 n=0
Lista 3
19. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów:
n
" " "

(-1)n+1 (-1)nn -2n
(a) ; (b) ; (c) ;
2n + 1 n2 + 1 3n + 5
n=1 n=2 n=1
n
# #
" " " 2


"
(-2)n (-1)
n
(d) (-1)n 3 - 1 ; (e) ; (f*) .
3n + 1 n + 1
n=2 n=0 n=0
20. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych:
" " "

xn (x + 3)n
(a) ; (b) n(x - 2)n; (c) ;
n2n n3
n=1 n=1 n=1
" " "

xn n n!xn
(d) ; (e) (x + 1)n; (f*) .
2n + 3n n2 + 1 nn
n=0 n=1 n=1
21. Znalez
ć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:
2 x
(a) ; (b) cos ; (c) xe-2x;
1 - 3x 2
x
(d) ; (e) sinh x; (f*) sin4 x.
9 + x2
22. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne:
x
(a) f(50)(0), f(x) = x sin x; (b) f(2014)(0), f(x) = ;
ex
x3
(c) f(21)(0), f(x) = ; (d) f(10)(0), f(x) = sin2 3x.
1 + x2
x
23. Wyznaczyć szeregi potęgowe funkcji f2 (x) oraz f(t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem:
0
1 1 2
(a) f(x) = ; (b) f(x) = ; (c*) f(x) = ex .
2x - 1 1 + x2
3
24. Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów:
" " "

1 2n - 1 n(n + 1)
(a) ; (b) ; (c) .
(n + 1)2n 3n 4n
n=0 n=2 n=1
* 25. Obliczyć podane całki oznaczone ze wskazaną dokładnością:
1 1
2
(a) ex dx, ´ = 0.001; sin x2 dx, ´ = 0.0001.
0 0
Lista 4
26. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji:

x x x2y x2 + y2 - 4
(a) f(x, y) = ; (b) f(x, y) = ; (c) f(x, y) = ; (d) f(x, y) = ln ;
x - y2 y 9 - x2 - y2
x2 + y2 - 25
"
"
(e) g(x, y, z) = x + y - 1 + z - 2; (f) g(x, y, z) = arc sin x2 + y2 + z2 - 2 .
27. Naszkicować wykresy funkcji:

(a) f(x, y) = 1 - x2 + y2; (b) f(x, y) = 3 + 2x - x2 - y2; (c) f(x, y) = x2 - 2x + y2 + 2y + 3;
(d) f(x, y) = sin y; (e) f(x, y) = x2 - 1; (f) f(x, y) = 1 - |x|.
* 28. Uzasadnić, że nie istnieją granice:
x2y2 x2y sin2 x x + y - 2
(a) lim ; (b) lim ; (c) lim ; (d) lim .
(x,y)(0,0) x4 + y4 (x,y)(0,0) x4 + y2 (x,y)(Ä„,0) y2 (x,y)(1,1) x2 + y2 - 2
* 29. Obliczyć granice:

1 - cos x2 + y2
xy2 x4 - y4
(a) lim ; (b) lim ; (c) lim ;
(x,y)(0,0) (x,y)(0,0) x2 + y2 (x,y)(0,0) x2 - y2
(x2 + y2)2


tg x3 - y3
x2y2 - 4x2 - y2 + 4 1
(d) lim ; (e) lim ; (f) lim x2 + y2 sin .
(x,y)(1,2) xy - 2x - y + 2 (x,y)(0,0) x - y (x,y)(0,0) xy
30. Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu fx, fy funkcji f i pochodne cząstkowe
gx, gy, gz funkcji g we wskazanych punktach:

x + y2
(a) f(x, y) = x2y, (0, 1); (b) f(x, y) = x4 + y4, (0, 0); (c) g(x, y, z) = , (-1, 0, 1).
z
31. Obliczyć pochodne cząstkowe fx, fy funkcji f i pochodne cząstkowe gx, gy, gz funkcji g:
y
sin
x2 + y2 1 - xy
x
(a) f(x, y) = ; (b) f(x, y) = arc tg ; (c) f(x, y) = e ;
xy x + y


xz
(d) f(x, y) = x x2 + y2; (e) f(x, y) = ln x + x2 + y2 ; (f) g(x, y, z) = x2 + + yz3;
y


"
x
(g) g(x, y, z) = ; (h) g(x, y, z) = sin(x cos(y sin z)); (i) g(x, y, z) = x + y + z.
x2 + y2 + z2
Lista 5
* 32. Sprawdzić, że podana funkcja spełnia wskazane równanie:

(a) f(x, y) = ln x2 + xy + y2 , xfx + yfy = 2;
"
y f
(b) f(x, y) = x sin , xfx + yfy = .
x 2
33. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu fxx, fxy, fyx, fyy funkcji f i pochodne cząstkowe gxx, gxy,
gxz, gyx, gyy, gyz, gzx, gzy, gzz funkcji g i sprawdzić, że pochodne cząstkowe mieszane są równe:

y
(a) f(x, y) = sin x2 + y2 ; (b) f(x, y) = xexy; (c) f(x, y) = x + ;
x

1
(d) f(x, y) = y ln xy; (e) g(x, y, z) = ; (f) g(x, y, z) = ln x2 + y4 + z6 + 1 .
x2 + y2 + z2
4
34. Obliczyć pochodne cząstkowe:
x + y x2y3
(a) hxyy, h(x, y) = sin xy; (b) hyyxy, h(x, y) = ; (c) hxyz, h(x, y, z) = .
x - y z
* 35. Sprawdzić, że funkcje:


y x y "
(a) z = arc tg ; (b) z = x + ; (c) z = x + ln 1 + ; (d) z = x + xy
x y x
spełniają równanie
x2zxx + 2xyzxy + y2zyy = 0, (x, y > 0).
36. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu:

(a) z = x2 y + 1, (x0, y0, z0) = (1, 3, z0); (b) z = ex+2y, (x0, y0, z0) = (2, -1, z0);

"
arc sin x 1 3
(c) z = , (x0, y0, z0) = - , , z0 ; (d) z = xy, (x0, y0, z0) = (2, 4, z0).
arc cos y 2 2
x
37. (a) Na wykresie funkcji z = arc tg wskazać punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do
y
płaszczyzny x + y - z = 5.
1 - xy
(a) Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = arc ctg , która jest prostopadła do
x + y
t t
prostej x = , y = , z = t, t " R.
2 2
Lista 6
38. (a) Wysokość i promień podstawy stożka zmierzono z dokładnością ą1 mm. Otrzymano h = 350 mm oraz
r = 145 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość V tego stożka?
(b) Krawędzie prostopadłościanu mają długości a = 3 m, b = 4 m, c = 12 m. Obliczyć w przybliżeniu, jak
zmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o 2 cm.
(c) Oszacować bÅ‚Ä…d wzglÄ™dny ´V objÄ™toÅ›ci prostopadÅ‚oÅ›ciamu V , jeżeli pomiaru jego boków x, y, z dokonano z
dokładnością odpowiednio "x, "y, "z.
* 39. Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania:

z
(a) z = f x2 + y2 , yzx - xzy = 0; (b) z = xf (sin(x - y)) , zx + zy = ;
x

y x y
(c) z = xnf , xzx + yzy = nz (n " N); (d*) z = g(x) + h , xyzxy + y2zyy + xzx + 2yzy = 0.
x y x
* 40. Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kie-
runkach:

"

3 1
(a) f(x, y) = x2 + y2, (x0, y0) = (0, 0), v = , ;
2 2

" "
" 2 2
3
(b) f(x, y) = xy, (x0, y0) = (1, 0), v = , ;
2 2

3 4 12
(c) g(x, y, z) = x2 + yz, (x0, y0, z0) = (-1, 0, 1), v = , , .
13 13 13
41. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:

12 5
(a) f(x, y) = x2 + y2, (x0, y0) = (-3, 4), v = , ;
13 13

y 3 4
(b) f(x, y) = x - + y, (x0, y0) = (1, 1), v = , - ;
x2 5 5

"
1 3 3
(c) g(x, y, z) = exyz, (x0, y0, z0) = (-1, 1, -1), v = , - , .
2 4 4
5

1
42. (a) Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = y - x2 + 2 ln(xy). w punkcie - , -1 w kierunku
2
wersora v tworzącego kąt ą z dodatnim zwrotem osi Ox. Dla jakiego kąta ą pochodna ta ma wartość 0, a dla
jakiego przyjmuje wartość największą?
"
(b) Wyznaczyć wersory v, w kierunku których funkcja f(x, y) = ex x + y2 w punkcie (0, 2) ma pochodną
kierunkową równą 0.
Lista 7
43. Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji:
(a) f(x, y) = 3(x - 1)2 + 4(y + 2)2; (b) f(x, y) = x3 + y3 - 3xy;
"
(c) f(x, y) = x3 + 3xy2 - 51x - 24y; (d) f(x, y) = y x - y2 - x + 6y;
8 x
(e) f(x, y) = xy2(12 - x - y), (x, y > 0); (f) f(x, y) = + + y, (x, y > 0);
x y
1 1
(g) f(x, y) = xy + ln y + x2; (h) f(x, y) = 4xy + + .
x y
44. Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki:
(a) f(x, y) = x2 + y2, 3x + 2y = 6; (b) f(x, y) = x2 + y2 - 8x + 10, x - y2 + 1 = 0;
(c) f(x, y) = x2y - ln x, 8x + 3y = 0; (d) f(x, y) = 2x + 3y, x2 + y2 = 1.
45. Znalez
ć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach:

(a) f(x, y) = 2x3 + 4x2 + y2 - 2xy, D = (x, y) " R2 : x2 y 4 ;

(b) f(x, y) = x2 + y2 - 6x + 4y, D = (x, y) " R2 : x + y 4, 2x + y 6, x 0, y 0 ;

(c) f(x, y) = x2 + y2, D = (x, y " R2 : |x| + |y| 2 ;

(d) f(x, y) = xy2 + 4xy - 4x, D = (x, y) " R2 : -3 x 3, -3 y 0 ;

(e) f(x, y) = x4 + y4, D = (x, y) " R2 : x2 + y2 9 .
46. (a) W trójkącie o wierzchołkach A = (-1, 5), B = (1, 4), C = (2, -3) znalez
ć punkt M = (x0, y0), dla
którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza.
(b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V ,
aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza?
(c) Znalez
ć odległość między prostymi skośnymi:

x + y - 1 = 0, x - y + 3 = 0,
k : l :
z + 1 = 0, z - 2 = 0.
(d) Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 216 m3. Do budowy ścian magazynu używane są płyty
w cenie 30 zł/m2, do budowy podłogi w cenie 40 zł/m2, a sufitu w cenie 20 zł/m2. Znalez
ć długość a, szerokość
b i wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy.
(f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne w cenach zbytu odpowiednio 500 zł i 2000 zł za sztukę.
Koszt wyprodukowania x sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi
K(x, y) = x2 - xy + y2 [zł].
Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk?
Lista 8
47. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach:


dxdy
(a) x + xy - x2 - 2y dxdy, R = [0, 1] × [0, 1]; (b) , R = [0, 2] × [0, 1];
(x + y + 1)3
R R

(c) (x sin xy) dxdy, R = [0, 1] × [Ä„, 2Ä„]; (d) e2x-y dxdy, R = [0, 1] × [-1, 0].
R R
6

48. Całkę podwójną f(x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograniczony jest krzywymi o
D
równaniach:
(a) y = x2, y = x + 2; (b) x2 + y2 = 4, y = 2x - x2, x = 0 (x, y 0);
(c) x2 - 4x + y2 + 6y - 51 = 0; (d) x2 - y2 = 1, x2 + y2 = 3 (x < 0).
49. Obliczyć całki iterowane:
"
x2 2x 4-x2
2 4 2 3 y


"
y
(a) dx dy; (b) dx x2 y - x dy; (c) dx x3 + y3 dy; (d) dy y2 + 16 dx.
x2
1 x 1 x -2 0 0 0
Narysować obszary całkowania.
50. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach:
"
|x|
1 1 0 4 2 x

(a) dx f(x, y) dy; (b) dx f(x, y) dy; (c) dx f(x, y) dy;
" "
-1 0 -1 0
- 1-x2 4x-x2
"
y2
2
2
Ä„ sin x e 1

(d) dy f(x, y) dx; (e) dx f(x, y) dy; (f) dx f(x, y) dy.
"
Ä„
cos x 1
y2-1 ln x
- 2
2
51. Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi:

"
1
(a) xy2 dxdy, D : y = x, y = 2 - x2; (b) x2y dxdy, D : y = -2, y = , y = - -x;
x
D D

"
x
y
(c) e dxdy, D : y = x, x = 0, y = 1; (d) xy + 4x2 dxdy, D : y = x + 3, y = x2 + 3x + 3;
D D

(e) x2exy dxdy, D : y = x, y = 1, x = 0; (f) (xy + x) dxdy, D : x = 0, y = -1, y = 3 - x2 (x 0);
D D

"
2
(g) ex dxdy, D : y = 0, y = 2x, x = ln 3; (h) (2x - 3y + 2) dxdy, D : y = 0, y = Ä„, x = -1, x = sin y.
D D
* 52. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:

(a) min(x, y) dxdy, D = [0, 1]×[0, 2]; (b) #x + y# dxdy, D = [0, 2]×[0, 2];
D D


(c) |x - y| dxdy, D = (x, y) " R2 : x 0, 0 y 3 - 2x ;
D


(d) sgn x2 - y2 + 2 dxdy, D = (x, y) " R2 : x2 + y2 4 .
D
Uwaga. Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei #u# oznacza część całkowitą liczby u.
53. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach:

Ä„
(a) f(x, y) = sin x cos y, D = [0, Ä„] × 0, ; (b) f(x, y) = x + y, D : 0 y Ä„, 0 x sin y.
2
* 54. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:

(x + y)2
(a) dxdy, D : x + y = -1, x + y = 1, x - y = 1, x - y = 3;
(x - y)3
D

dxdy 1
(b) , D : y = x, y = 2x, y = - x + 1, y = -2x + 4;
y 2
D

(c) xy dxdy, D : xy = 1, xy = 2, y = x2, y = 3x3;
D
7


(d*) x4 - y4 dxdy, D : x2 + y2 = 3, x2 + y2 = 5, x2 - y2 = 1, x2 - y2 = 2 (x 0, y 0).
D
Lista 9
55. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:

"
x
"
(a) xy dxdy, D : x2 + y2 1, y 3x; (b) xy2 dxdy, D : x 0, 1 x2 + y2 2;
3
D D

2
(c) y2ex +y2 dxdy, D : x 0, y 0, x2 + y2 1; (d) x2 dxdy, D : x2 + y2 2y;
D D


(e) x2 + y2 dxdy, D : y 0, y x2 + y2 x; (f) y dxy, D : x2 + y2 2x.
D D
Obszar D naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych.
56. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
(a) y2 = 4x, x + y = 3, y = 0 (y 0); (b) x2 + y2 - 2y = 0, x2 + y2 - 4y = 0;
"
(c) x + y = 4, x + y = 8, x - 3y = 0, x - 3y = 5; (d) x2 + y2 = 2y, y = 3|x|.
57. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami:
(a) y = z, y = 2x, y = 2, z = 0, z = y; (b) x2 + y2 + z2 = 4. z = 1 (z 1);
(c) x2 + y2 - 2y = 0, z = x2 + y2, z = 0; (d) z = 5 - x2 + y2, x = 0, y = 0, x + y = 1, z = 0;
(e*) (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1, z = xy, z = 0; (f*) 2z = x2 + y2, y + z = 4.
58. Obliczyć pola płatów:

(a) z = x2 + y2, x2 + y2 1; (b) x2 + y2 + z2 = R2, x2 + y2 - Rx 0, z 0; (c) z = x2 + y2, 1 z 2.
59. Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych:

(a) D = (x, y) " R2 : 0 x Ä„, 0 y sin x , Ã(x, y) = x;

(b) D = (x, y) " R2 : 1 x2 + y2 4, y 0 , Ã(x, y) = |x|.
60. Znalez
ć położenia środków masy obszarów jednorodnych:
(a) D  trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości h;

(b) D = (x, y) " R2 : 0 x Ä„, 0 y sin2 x ;

(c) D = (x, y) " R2 : x2 y 1 ;

(d) D = (x, y) " R2 : 0 x 1, 0 y ex .
61. Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi:
(a) D  kwadrat jednorodny o boku a, przekÄ…tna kwadratu, przyjąć Ã(x, y) = 1;


(b) D = (x, y) " R2 : x2 + y2 R2, y 0 , oÅ› Ox, przyjąć Ã(x, y) = x2 + y2;

(c) D = (x, y) " R2 : 0 y 1 - x2 , oÅ› symetrii obszaru, przyjąć Ã(x, y) = x2;

(d) D = (x, y) " R2 : 0 x Ä„, 0 y sin x , oÅ› Ox, przyjąć Ã(x, y) = x.
Lista 10
62. Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach:

x dxdydz
(a) , U = [1, 2] × [1, e] × [1, e];
yz
U

(b) (x + y + z) dxdydz, U = [1, 2] × [2, 3] × [3, 4];
U

(c) sin x sin(x + y) sin(x + y + z) dxdydz, U = [0, Ä„] × [0, Ä„] × [0, Ä„];
U
8

(d) (x + y)ex+z dxdydz, U = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].
U
63. Całkę potrójną z funkcji g(x, y, z) po obszarze U zamienić na całki iterowane, jeżeli U jest ograniczony
powierzchniami o podanych równaniach:

(a) z = 2 x2 + y2, z = 6; (b) x2 + y2 + z2 = 25, z = 4, (z 4); (c) z = x2 + y2, z = 20 - x2 - y2.
* 64. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania:
"
3
y 4-x2-y2
1 2-2x 3-3x- 2
2 0
(a) dx dy f(x, y, z) dz; (b) dx dy f(x, y, z) dz;
" "
0 0 0 -2
- 4-x2 4-x2-y2
-
" " "
z
z-x2 1-x2
3 1 1
(c) dz dx f(x, y, z) dy; (d) dx dy f(x, y, z) dz.
" "
0 - z - z-x2
0 0
x2+y2
65. Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach:
(a) g(x, y, z) = ex+y+z, U : x 0, -x y 1, 0 z -x;
1
(b) g(x, y, z) = , U : x 0, y 0, 0 z 1-x-y;
(3x+2y+z+1)4
(c) g(x, y, z) = x2 + y2, U : x2 + y2 4, 1 - x z 2 - x;
(d) g(x, y, z) = x2y2, U : 0 x y z 1.
* 66. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć całki potrójne:

(a) x(x+ y)2(x+ y + z)3 dxdydz, U jest obszarem ograniczonym przez płaszczyzny: x = 0, x = 1, x+ y = 1,
U
x + y = 2, x + y + z = 2, x + y + z = 3;

2
y
(b) dxdydz, U jest obszarem ograniczonym przez powierzchnie: y = x, y = 2x, xy = 1, xy = 4,
x
U
z = y + 2, z = y + 3, x > 0;


(c*) x2 + y2 dxdydz, U jest torusem, tj. bryłą powstałą z obrotu wokół osi Oz koła (x - R)2 + z2 r2,
U
y = 0, 0 < r R.
Lista 11
67. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach:

2
(a) x2 + y2 + z2 dxdydz, U : x2 + y2 4, 0 z 1;
U


(b) xyz dxdydz, U : x2 + y2 z 1 - x2 - y2;
U


(c) x2 + y2 dxdydz, U : x2 + y2 + z2 R2, x2 + y2 + z2 2Rz;
U

(d) (x + y + z) dxdydz, U : x2 + y2 1, 0 z 2 - x - y.
U
68. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach:

dxdydz
(a) , U : 4 x2 + y2 + z2 9;
x2 + y2 + z2
U



(b) x2 + y2 dxdydz, U : x2 + y2 z 1 - x2 - y2;
U
9

(c) z2 dxdydz, U : x2 + y2 + (z - R)2 R2 (R > 0);
U

(d) x2 dxdydz, U : x2 + y2 + z2 4x.
U
69. Obliczyć objętości obszarów U ograniczonych podanymi powierzchniami:
(a) x2 + y2 = 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5; (b) x = -1, x = 2, z = 4 - y2, z = 2 + y2;
1
(c) z = , z = 0, x2 + y2 = 1; (d) x2 + y2 + z2 = 2, y = 1 (y 1).
1 + x2 + y2
70. Obliczyć masy obszarów o zadanych gęstościach objętościowych:
(a) U = [0, a] × [0, b] × [0, c], Å‚(x, y, z) = x + y + z oraz a, b, c > 0;
(b) U : x2 + y2 + z2 9, Å‚(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
71. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
(a) U : 0 x 1, 0 y 1 - x, 0 z 1 - x;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H;

(c) U : x2 + y2 z 2 - x2 - y2.
72. Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M:
(a) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka;
(c) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem średnicy podstawy.
Lista 12
73. Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace a funkcji:
(a) 2t - 1; (b) sin 2t; (c) t2;
(d) te-t; (e) e2t cos 2t; (f) sinh t;
y y y
(g) (h) (i)
y = f(t) y = g(t) y = h(t)
1 1 1
1 t 1 2 t 1 t
74. Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace a mają postać:
1 s 1
(a) ; (b) ; (c) ;
s + 2 s2 + 4s + 5 s2 - 4s + 3
s + 2 s2 + 1 s + 9
(d) ; (e) ; (f) ;
(s + 1)(s - 2) (s2 + 4) s2 + 6s + 13
s2 (s2 - 1)2
2s + 3 3s2 e-s
(g) ; (h) ; (i) .
s3 + 4s2 + 5s s + 1
(s3 - 1)2
75. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych
współczynnikach:
(a) y2 - y = 1, y(0) = 1; (b) y2 - 2y = sin t, y(0) = 0;
(c) y2 2 + y2 = 0, y(0) = 1, y2 (0) = 1; (d) y2 2 + 3y2 = e-3t, y(0) = 0, y2 (0) = -1;
(e) y2 2 - 2y2 + 2y = sin t, y(0) = 0, y2 (0) = 1; (f) y2 2 - 2y2 + y = 1 + t, y(0) = 0, y2 (0) = 0;
(g) y2 2 + 4y2 + 4y = t2, y(0) = 0, y2 (0) = 0; (h) y2 2 + 4y2 + 13y = te-t, y(0) = 0, y2 (0) = 2.
* 76. Korzystając z własności przekształcenia Laplace a obliczyć transformaty funkcji:
(a) sin4 t; (b) cos 4t cos 2t; (c) t2 cos t; (d) t sinh 3t;
(e) tet cos t; (f) e3t sin2 t; (g) 1(t - 2) sin(t - 2); (h) 1(t - 1)et-1.
10
* 77. Obliczyć sploty par funkcji:
(a) f(t) = et, g(t) = e2t; (b) f(t) = cos 3t, g(t) = cos t;
(c) f(t) = 1(t), g(t) = sin t; (d) f(t) = et, g(t) = t.
* 78. Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami:
1 1 1 s
(a) ; (b) ; (c) ; (d) .
(s + 1)(s + 2) (s - 1)2(s + 2) s2 (s2 + 1)
(s2 + 1)2
Lista 13
79. Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji:
Å„Å‚
Ä„

ôÅ‚
cos t dla |t| ,
òÅ‚
sin t dla |t| Ä„, t dla |x| 1,
2
(a) f(t) = (b) f(t) = (c) f(t) =
Ä„
ôÅ‚
0 dla |t| > Ä„; 0 dla |x| > 1;
ół
0 dla |t| > ;
2

t2 dla |t| 1, 2
(d) f(t) = (e) f(t) = e-|t|; (f*) f(t) = e-at , a = 0.

0 dla |t| > 1;

"
2 Ä„
Wskazówka. (f*) Wykorzystać równość e-at dt = .
a
-"
80. Niech c, h " R oraz ´ > 0. Wyznaczyć transformatÄ™ Fouriera funkcji
y
h
c
´ ´
t
c - c +
2 2
Ć
81. Pokazać, że jeżeli F {f(t)} = f(É), to:

1 1
Ć Ć Ć Ć
(a) F {f(t) cos Ä…t} = f(É - Ä…) + f(É + Ä…) ; (b) F {f(t) sin Ä…t} = f(É - Ä…) - f(É + Ä…) .
2 2i
82. Korzystając z własnści transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty
funkcji:
2
(a) f(t) = e-3|t-1|; (b) f(t) = te-|t|; (c) f(t) = e-4t -4t-1;

t
2 cos t dla |t| Ä„,
cos dla |t| Ä„,
(d) f(t) = (e) f(t) = (f) f(t) = [1(t) - 1(t - 4)] · t;
2
0 dla |t| > Ä„;
0 dla |t| > Ä„;
t
(g) f(t) = 1(t) · e-t cos t; (h) f(t) = e-|t| cos ; (i) f(t) = e-|t| sin 2t.
2

0 dla t < 0,
Uwaga. 1(t) =  funkcja Heaviside a.
1 dla t 0
* 83. Korzystając z zadania 80 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji:
(a) (b)
y y
2 2
-2 2 t -2 -1 1 2 t
* 84. W obwodzie RLC, napięcie x(t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y(t) sygnałem wyjściowym (rys.).
+
R L
+
x(t) y(t)
-
C
-
Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y(t).
11
2 2 2 2 2 1
Ć
85. Obliczyć transformatÄ™ Fouriera funkcji t2f (t) + 2f (t), jeżeli f(É) = .
1 + É2
86. Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać:
1 1 e2iÉ sin É cos É 1
(a) ; (b) ; (c) ; (e) ; (f) ;
1 + 2iÉ 4 + É2 1 + iÉ 2É (1 + É2) (4 + É2)
87. Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera:
(a) f(t) = g(t) = 1(t) - 1(t - 1), (b) f(t) = 1(t) - 1(t - 1), g(t) = 1(t + 1) - 1(t),
2
(c) f(t) = 1(t) · e-t, g(t) = 1(t) · e-2t, (d) f(t) = g(t) = e-t .
12