Lista 10. RozwiÄ…zania. Autor Jerzy Peisert.
1. (Odsyłacz: http://www.if.pwr.wroc.pl/lpf/opisy/cw033.pdfa)
Sposób pierwszy  dynamicznie:
Siła F działa wzdłuż obwodu krawędzi styku poprzeczki z mydlinami. Długość tego obwodu wynosi
2l, bo błonka z mydlin ma dwie strony. Zakładamy, że poprzeczka ma znikomą masę. A więc
napięcie powierzchniowe
siła F 10-2
à = = = [N/m]
obwód 2l 5 · 10-2
b) Sposób drugi  energetycznie:
Praca potrzebna na wytworzenie bÅ‚onki jest równa F · a, bo drogÄ™ a przebywa poprzeczka pod
dziaÅ‚aniem siÅ‚y F . Powstaje bÅ‚onka o powierzchni l · a z jednej strony, a z dwóch 2l · a. Z defi-
nicji napięcia powierzchniowego jako pracy potrzebnej na powiększenie powierzchni o jednostkę
otrzymujemy
praca F a F 10-2
à = = = = [N/m]
przyrost powierzchni 2la 2l 5 · 10-2
2. Zakładamy, że woda doskonale zwilża ścianki kapilary, czyli kąt zwilżania jest równy zeru. Siła
potrzebna na utrzymanie słupka (walca) wody o promieniu r i wysokości h jest równa ciężarowi
tegoż walca
F = mg = Ä„r2hÁg, Á = 103 kg/m3, ( pomyÅ‚ka w sformuÅ‚owaniu treÅ›ci zadania)
Siła ta rozkłada się na obwód wewnętrzny kapilary, 2Ąr, co daje
Ä„r2hÁg rhgÁ
à = = .
2Ä„r 2
Liczbowo ... .
3. Ciężar ciaÅ‚a w powietrzu, Qp, jest równy iloczynowi objÄ™tosci ciaÅ‚a, V , jego gÄ™stoÅ›ci, Á, oraz
staÅ‚ej g. Jego ciężar wodzie, Qw, o gÄ™stoÅ›ci Áw jest, z prawa Archimedesa, równy różnicy ciężaru
w powietrzu, Qp i siły wyporu, równej ciężarowi wypartej cieczy, czyli
Qw = V Ág - V Áwg.
Z warunków zadania mamy Qw = Qp/7, stąd
V g(Á - Áw) = V gÁ/7
co daje 6Á/7 = Áw czyli szukana gÄ™stość Á = 7Áw/6 1166.6 kg/m3.
4. Parcie się nie zmieni, bo jest to ta sama ciecz w tej samej ilości. Nowe naczynie jest walcem, tak
jak poprzednie, więc wysokość słupa cieczy wzrośnie dziewięciokrotnie, bo pole powierzchni dna,
proporcjonalne do kwadratu promienia, zmalało właśnie dziewięciokrotnie. Stąd ciśnienie wzrośnie
dziewięciokrotnie.
5. Oznaczmy: V - objÄ™tość ciaÅ‚a i zarazem objÄ™tość wypartej wody, Á - gÄ™stość ciaÅ‚a, Áw - gÄ™stość
wody. Mamy układ równań:
V Ág = 25N
V Ág - V Áwg = 12N (z prawa Archimedesa) (1)
Z tego ukÅ‚adu równaÅ„, przy znanych g i Áw znajdujemy szukanÄ… objÄ™tość.
6. Ruch jest jednowymiarowy; przypiszmy mu oś Oz z dodatnim zwrotem w górę. Niech h oznacza
szukaną głębokość. Gdy kulka jest już w wodzie, działa na nią wypadkowa siła równa ciężarowi
kulki, pomniejszonemu o siłę wyporu (z prawa Archimedesa):
F = -mg + V Áwodyg.
Według warunków zadania pomijamy lepkość i napięcie powierzchniowe, które nota bene są jednak
istotne. Nasza siła musi być skierowana w górę, bo inaczej kulka nigdy by się nie zatrzymała.
Rozważmy trzy stany kulki:
1. Stan początkowy  położenie z1=H, prędkość v1 = 0,
2. Stan pośredni  położenie z2=0, prędkość v2,
3. Stan końcowy  położenie z3=-h, prędkość v3=0.
Z zasady zachowania energii mechanicznej możemy obliczyć energię kinetyczną w stanie 2.:
Epot1 + Ekin1 = Epot2 + Ekin2
czyli
Ekin2 = Ekin1 + Epot1 - Epot2 = mgH
Zaś z twierdzenia o pracy i energii kinetycznej, zastosowanej do przejścia 2.3. mamy
Ekin3 - Ekin2 = praca siły wypadkowej na drodze h = -F h
StÄ…d
h = mgH/F = mgH/(-mg + V Áwodyg)
co liczbowo daje 2 · 10-3 · 10 · 0.2/(-2 · 10-3 · 10 + 3 · 10-6 · 103 · 10)=0.4 m.
7. Najpierw uzupeÅ‚nimy treść zadania: w U-rurce jest ciecz o gÄ™stoÅ›ci Á. Wybierzmy oÅ› pionowÄ…
jako Oy. Wez
my dwa miejsca w układzie:
1. górny poziom cieczy w prawym ramieniu U-rurki
2. dolny poziom cieczy w lewym ramieniu U-rurki.
Do tak wybranych punktów zastosujemy prawo Bernoulliego:
2 2
Áv1 Áv2
p1 + + Ágy1 = p2 + + Ágy2.
2 2
Oczywiście ciecz się nie porusza, więc v1 = v2 = 0. W tym co pozostaje z równania podstawmy
dane z zadania:
p1 = px szukane ciśnienie
p2 = po ciśnienie atmosferyczne,
zaÅ›
y2 = y1 + h
czyli
px + Ágy1 = po + Ágy2,
a wiÄ™c szukane ciÅ›nienie px = po + Ágh.
8. Aby odważnik o masie m=100 kg był nieruchomy, jego ciężar mg (siła działająca w dół) musi
być zrównoważony parciem ze strony cieczy takim samym co do wartości. Musi więc w cieczy
(zakładamy że jest nieściśliwa i, na wszelki wypadek, nieważka) być ciśnienie równe ilorazowi parcia
i pola powierzchni, mg/S2. To samo ciśnienie działa na mniejszy tłok, zaś parcie, czyli siła F1 jest
równa iloczynowi ciÅ›nienia i pola powierzchni tegoż tÅ‚oka: mgS1/S2 = 100 · 10 · 10/100=100N.
9. SiÅ‚a parcia jest sumÄ… siÅ‚y nacisku na tÅ‚ok, F , i parcia hydrostatycznego, równego ÁghS, czyli
10 + 103 · 10 · 0.25 · 0.5 = 1260 N.
10. Najpierw poprawka w treści pytania: z jaką prędkością płynie woda w rozszerzonej części rury?
Przez rurÄ™ przepÅ‚ywa woda w iloÅ›ci S1 · v1 = 0.1 · 0.02=0 .002 m3/s w każdym przekroju rury czyli,
(z równania ciÄ…gÅ‚oÅ›ci v · S = const.)
v2 · S2 = v1 · S1
skÄ…d v2 = 0.01 m/s.
11. To zadanie jest tak trywialne, że niech każdy sobie przeliczy sam.
12. Jeśli cokolwiek pływa wynurzone, to znaczy, że siła wyporu jest równa ciężarowi tego czegoś.
Niech H oznacza grubość kry. Aby obliczyć szukaną masę kry wystarczy znalez
ć wartość tejże
gruboÅ›ci, bo gÄ™stość lodu i pole powierzchni znamy. Ciężar kry bÄ™dzie równy gSHÁlodu zaÅ› ciężar
wypartej wody bÄ™dzie gS(H - h)Áwody. Mamy wiÄ™c
gSHÁlodu = gS(H - h)Áwody
skÄ…d H = hÁwody/(Áwody - Álodu) = 0.02 · 103/(103 - 9 · 102) = 0.2 m. Masa kry wiÄ™c bÄ™dzie równa
ÁloduHS = 900 · 0.2 · 0.2 = 36 kg.
13. Wykonaj rysunek sytuacji.
Oznaczmy górną powierzchnię wody jako  stan 1 o parametrach: S1  pole powierzchni, y1 
położenie tej powierzchni  nad poziomem morza , v1  prędkość ruchu lustra wody (woda dołem
wypływa, więc lustro opada)
Oznaczmy dolnÄ… powierzchniÄ™ wody (przy dziurze w dnie) jako  stan 2 o parametrach: S2  pole
powierzchni otworu, y2  położenie otworu  nad poziomem morza , v2  prędkość ruchu wody
wypływającej z otworu.
Równanie ciÄ…gÅ‚oÅ›ci mówi nam, że v1 · S1 = v2 · S2, skÄ…d v1 = v2 " (S2/S1). Napiszmy prawo
Bernoulliego dla naszego układu: ciśnienia z obu stron są takie same (atmosferyczne) więc się
znoszą. Pozostałe składniki możemy podzielić przez gęstośc wody i zostaje
2 2
v1 v2
+ gy1 = + gy2
2 2
skąd, przy y1 - y2 = h = 1m wraz z wnioskiem z równania ciągłości mamy
"
2gh
v2 =
1 - (S2/S1)2
"
"
co przy małym dolnym otworze sprowadza się do v2 = 2gh = 20m/s.
14. Zastosujmy prawo Bernoulliego do naszego układu, biorąc dwa przekroje: 1. otwór strzykawki
i 2. tłok strzykawki. Różnicę poziomów tych przekrojów możemy zaniedbać. Pozostaje
2 2
p1 + Áv1/2 = p2 + Áv2/2
Z warunków zadania mamy:
dla otworu strzykawki
pole przekroju otworu S1 = 10-6m2,
ciśnienie p1 równe jest ciśnieniu atmosferycznemu, pa (średnio 1000 hektopaskali czyli 105 N/m2),
docelowa wartość prędkości wypływu v1=5m/s,
dla tłoczka
pole przekroju otworu S2 = 2 · 10-4m2,
ciśnienie p2 jest sumą ciśnienia atmosferycznego i tego, co musimy znalez
ć, F/S2
v2 możemy obliczyć z równania ciągłości:
v2 = v1S1/S2 = 0.02v1.
Treść zadania sensownie sugeruje pominięcie prędkości v2, więc zróbmy to i prawo Bernoulliego
przyjmie postać:
2
pa + F/S2 = pa + Áv1/2
Stąd siła działająca na tłoczek będzie równa
2
F = S2Áv1/2 = 2 · 10-4 · 1000 · 25/2 = 2.5N