15. RÓWNANIA TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 1
�� �� Ł�
15.
15. Równania teorii sprężystości
15.1 Zestawienie równań teorii sprężystości
Stan naprężenia i odkształcenia w dowolnym punkcie ciała jest znany, wtedy gdy znamy współrzędne
tensora naprężenia
�ą11 �ą12 �ą13
�ąij=
�ą21 �ą22 �ą23 , (15.1)
[ ]
�ą31 �ą32 �ą33
współrzędne tensora odkształcenia
ą11 ą12 ą13
ąij=
ą21 ą22 ą23 (15.2)
[ ]
ą31 ą32 ą33
oraz współrzędne wektora przemieszczenia
u1
ui=
u2 . (15.3)
[ ]
u3
A
ącznie więc w każdym punkcie mamy 15 niewiadomych, na które składają się
1. 6 współrzędnych tensora naprężenia,
2. 6 współrzędnych tensora odkształcenia,
3. 3 współrzędne wektora przemieszczenia.
Aby wyznaczyć tych 15 niewiadomych należy dysponować 15 równaniami. Trzy pierwsze równania to
równania różniczkowe równowagi , które w zapisie wskaz
nikowym mają postać
.
�ą �ąGi=0 (15.4)
ji' j
Trzy równania po rozpisaniu będą miały postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
15. RÓWNANIA TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 2
"�ą11 "�ą21 "�ą31
,
�ą �ą �ąG1=0
(15.5)
" x1 " x2 " x3
"�ą12 "�ą22 "�ą32
,
�ą �ą �ąG2=0
(15.6)
" x1 " x2 " x3
"�ą13 "�ą23 "�ą33
.
�ą �ą �ąG3=0 (15.7)
" x1 " x2 " x3
Sześć następnych równań to równania geometryczne Cauchy'ego. W zapisie wskaz
nikowym mają one postać
1�"
.
ąij= ui , j�ąu (15.8)
śą źą
j ,i
2
Równanie (15.8) po rozpisaniu ma postać
" u1
ą11=u1,1=
" x1
" u2
(15.9)
ą22=u2,2=
" x2
" u3
{
ą33=u3,3=
" x3
oraz
1�" 1�" " u1�ą " u2
ą12= u1,2�ąu2,1 =
śą źą
śą źą
2 2 dx2 dx1
" u2 " u3 .
1 1
(15.10)
ą23= �" u2,3�ąu3,2 = �" �ą
śą źą
śą źą
2 2 dx3 dx2
1�" 1�" " u1�ą " u3
{
ą13= u1,3�ąu3,1 =
śą źą
śą źą
2 2 dx3 dx1
Ostatnie sześć równań to równania fizyczne lub odwrotne równania fizyczne. Dla ciała anizotropowego
równania fizyczne mają postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
15. RÓWNANIA TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 3
ąij=Bijkm�"�ąkm (15.11)
natomiast odwrotne równania fizyczne
�ąij= Aijkm�"ąkm . (15.12)
We wzorach (15.11) i (15.12) B oraz A są tensorami czwartego rzędu. Pierwszy z nich nazywany jest
ijkm ijkm
tensorem sztywności natomiast drugi nazywany jest tensorem podatności sprężystej.
Równania fizyczne dla ciała izotropowego zapisane w postaci wskaz
nikowej mają postać
1�ą�ą �ą
(15.13)
ąij= �"�ąij- �"�ąij�"�ąkk
E E
natomiast odwrotne równania fizyczne mają postać
E�"�ą
E
�ąij= �"ąij�ą �"�ąij�"ąkk .
(15.14)
1�ą�ą
1�ą�ą �" 1-2�"�ą
śą źą śą źą
Równania fizyczne (15.13) mają postać
1�"
ą11= -�ą�" �ą22�ą�ą33
śą źą
[�ą ]
11
E
1�"
ą22= -�ą�" �ą11�ą�ą33
śą źą
[�ą ]
22
E
,
(15.15)
1�"
ą33= -�ą�" �ą11�ą�ą22
śą źą
[�ą ]
33
E
�ą12 �ą23 �ą13
ą12= ,ą23= ,ą13=
2�"G 2�"G 2�"G
w których
E
G=
. (15.16)
2�" 1�ą�ą
śą źą
Odwrotne równania fizyczne (15.14) mają postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
15. RÓWNANIA TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 4
�ą
E
�ą11= �" ą11�ą �" ą11�ąą22�ąą33 ,
śą źą
(15.17)
[ ]
1�ą�ą 1-2�"�ą
�ą
E
�ą22= �" ą22�ą �" ą11�ąą22�ąą33 ,
śą źą
(15.18)
[ ]
1�ą�ą 1-2�"�ą
�ą
E
�ą33= �" ą33�ą �" ą11�ąą22�ąą33 ,
śą źą
(15.19)
[ ]
1�ą�ą 1-2�"�ą
�ą12=2�"G�"ą12 ,�ą23=2�"G�"ą23 ,�ą13=2�"G�"ą13 . (15.20)
Powyższe 15 równań muszą spełniać równania nierozdzielności odkształceń, które mają formę
.
ąij.kl�ąąkl ,ij-ąik , jl-ą =0 (15.21)
jl , ik
Wzór (15.21) oznacza 81 równań, z których tylko sześć jest niezależnych.
Dla i=k=1, j=l=2 równanie (15.21) będzie miało postać
.
2�"ą12,12-ą11,22-ą22,11=0 (15.22)
Dla i=k=2, j=l=3 równanie (15.21) będzie miało postać
.
2�"ą23,23-ą22,33-ą33,22=0 (15.23)
Dla i=k=3, j=l=1 równanie (15.21) będzie miało postać
.
2�"ą31,31-ą33,11-ą11,33=0 (15.24)
Dla i=j=1, k=2, l=3 równanie (15.21) będzie miało postać
.
ą11,23�ąą23,11-ą12,13-ą13,12=0 (15.25)
Dla i=j=2, k=3, l=1 równanie (15.21) będzie miało postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
15. RÓWNANIA TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 5
.
ą22,31�ąą31,22-ą23,21-ą21,23=0 (15.26)
Dla i=j=3, k=1, l=2 równanie (15.21) będzie miało postać
.
ą33,12�ąą12,33-ą31,32-ą32,31=0 (15.27)
Wprowadzając symbol permutacyjny (10.35) wzór (15.21) można inaczej zapisać jako
.
�ąij=�ą =eikm�"e �"ąkl , mn=0 (15.28)
ji jln
Tensor h nazywa się tensorem niespójności. Równania nierozdzielności można także przedstawić w formie
ij
macierzowej
�ą11 �ą12 �ą13
�ąij= =0
�ą21 �ą22 �ą23 . (15.29)
[ ]
�ą31 �ą32 �ą33
Współrzędne równowskaz
nikowe oznaczają równania (15.22), (15.23) i (15.24). Współrzędne
różnowskaz
nikowe oznaczają równania (15.25), (15.26) i (15.27).
Spełnienie równań (15.21) oznacza, że ośrodek, który był ciągły przed odkształceniem jest także ciągły po
odkształceniu. Każdemu punktowi materialnemu w konfiguracji pierwotnej odpowiada dokładnie jeden punkt
w konfiguracji aktualnej (po odkształceniu). W materiale nie powstaną więc dziury ani elementarne
prostopadłościany nie będą na siebie nachodzić.
Jak widać liczba równań, które są do dyspozycji równa się liczbie niewiadomych. Oznacza to, że problem jest
matematycznie rozwiązywalny. Problem ten wykracza jednak poza ramy niniejszego wykładu. Istnieje
natomiast szereg elementów konstrukcyjnych, dla których możliwe jest określenie współrzędnych tensora
naprężenia i odkształcenia bez konieczności rozwiązywania przedstawionego powyżej układu równań.
Równania te jednak w tych przypadkach obowiązują nadal.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
15. RÓWNANIA TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 6
(15.1)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński