8. PA
ASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 1
8. ����Ł�
8. PA
ASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPR
ŻYSTOŚCI
8.1. Płaski stan naprężenia
Tarcza  układ, ustrój ciągły jednorodny, w którym jeden wymiar jest znacznie mniejszy od
pozostałych, a obciążenie jest równoległe do płaszczyzny dwóch równoległych wymiarów. Tarcza jest
obustronnie wyznaczona przez dwie płaszczyzny.
Spłycenie grubości  naprężenie w płaszczyz
nie prostopadłej do obciążenia stycznego jest równe
zeru.
Dla konstrukcji tarczowych tensor naprężeń przedstawia się następująco:
�ą11 �ą12 �ą13
T =
�ą21 �ą22 �ą23 (8.1)
�ą
[ ]
�ą31 �ą32 �ą33
Płaski stan naprężeń:
�ą11 �ą12 0
T = (8.2)
�ą21 �ą22 0
�ą
[ ]
0 0 0
A związany z nim tensor odkształceń:
�ą11 �ą12 0
T =
�ą21 �ą22 0 (8.3)
�ą
[ ]
0 0 �ą33
Warto zauważyć, że � przyjmuje wartość niezerową:
33
-�ą
(8.4)
�ą33= śą�ą11�ą�ą22źą`"0
E
W płaskim stanie naprężenia możemy założyć występowanie dwóch przemieszczeń u i u .
1 2
Przyjmujemy, że stan naprężeń jest wyznaczony dla jednej z płaszczyzn o grubości równej zero
(płaszczyzna środkowa).
Dla płaskiego stanu naprężeń możemy przyjąć:
"2 "2
"2= �ą
(8.5)
2
" x1 " x2
2
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
8. PA
ASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 2
ą Równania w przemieszczeniach:
1�ą�ą
1
'
"2 ui�ą �ą pi=0 ,gdzie ' =ui ' i , '=�ąii (8.6)
i=1,2
' i
1-�ą G
ą Równania w naprężeniach:
,gdzie s' =�ąii (8.7)
"2 s'=- pk , k śą1�ą�ąźą i=1,2
Algorytm obliczeń (w płaskim stanie naprężenia) w naprężeniach:
" "
�ą śą�ą11�ą�ą22źą=- pk , k śą1�ą�ąźą
1) (8.8)
2
śą źą
" x1 " x2
2
"�ą11 "�ą12
�ą �ą p1=0
" x1 " x2
2) �ą �ą pi=0 , (8.9)
i=1,2
ji , j
"�ą21 "�ą22
�ą �ą p2=0}
" x1 " x2
1
3) �ą11= śą�ą11-�ą�ą22źą
E
1
�ą22= śą�ą22-�ą�ą11źą
E
(8.10)
-�ą
�ą33= śą�ą11�ą�ą22źą
E
1
�ą12= �ą12
2G
4) �ąij Śą ui , u (8.11)
j
Zapis macierzowy - płaski stan naprężenia (I stan):
1 �ą 0
E
[ D]= (8.12)
�ą 1 0
1-�ą2 0 0 śą1-�ąźą
[ ]
(8.13)
{�ą}=[ D]-1{�ą }
{�ą }=[ D]{�ą} (8.14)
1 -�ą 0
1
[ D]-1= -�ą 1 0
(8.15)
E
[ ]
0 0 śą1�ą�ąźą
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
8. PA
ASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 3
8.2. Płaski stan odkształcenia
Płaski stan odkształcenia (II stan  charakterystyczny)- występuje wtedy, gdy jeden wymiar jest
znacznie większy od dwóch pozostałych. Obciążenie działa w płaszczyznach prostopadłych do najdłuższego
wymiaru, np. mur oporowy, tama, grobla.
3
Rys.8.1. Mur oporowy
Wówczas zachodzą następujące zależności:
�ą11 �ą12 0
" u3
u3=0 =�ą33=0
T = ,przy czym stąd (8.16)
�ą21 �ą22 0
�ą
" x3
[ ]
0 0 0
�ą11 �ą12 0
T =
�ą21 �ą22 0 (8.17)
�ą
[ ]
0 0 �ą33
1
�ą33= [�ą33-�ąśą�ą11�ą�ą22źą]=0 (8.18)
E
� nie jest stałe dla całego przekroju i wyraża się wzorem:
33
�ą33=�ąśą�ą11�ą�ą22źą (8.19)
Z równania równowagi Naviera
"�ą13 "�ą23 "�ą33
�ą �ą �ą p3=0 (8.20)
" x1 " x2 " x3
Wiedząc, że
"�ą13 "�ą23
=0 , =0 oraz p3=0 (8.21)
" x1 " x2
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
8. PA
ASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 4
wnioskujemy, iż � jest stałe wzdłuż osi trzeciej:
33
"�ą33
=0 (8.22)
" x3
Równanie równowagi dla płaskiego stanu odkształcenia w przemieszczeniach:
1 1
"2 ui�ą �ą pi=0 (8.23)
' i
1-2 �ą G
oraz w naprężeniach:
"2 s'=- pk , k 1 (8.24)
śą1-�ąźą
Jeżeli na układ nie działają siły masowe to równania dla płaskiego stanu naprężenia i odkształcenia są
identyczne. Algorytm rozwiązania przedstawia się następująco:
"2 �ą "2 śą�ą11�ą�ą22źą=- pk 1
1) (8.25)
, k
2
śą1-�ąźą
" x1 " x2
2
"�ą11 "�ą12
2) �ą �ą p1=0
" x1 " x2
"�ą21 "�ą22 (8.26)
�ą �ą p2=0
" x1 " x2
�ą33=�ąśą�ą11�ą�ą22źą
Zmianie ulegają związki fizyczne:
1�ą�ą
3)
�ą11= [śą1-�ąźą�ą11-�ą�ą22]
E
1�ą�ą
(8.27)
�ą22= [śą1-�ąźą�ą22-�ą�ą11]
E
1
�ą12= �ą12
2G
W zapisie macierzowym:
śą1-�ąźą �ą 0
E
[ D]= (8.28)
�ą śą1-�ąźą 0
śą1�ą�ąźąśą1-2 �ąźą
[ ]
0 0 śą1-2 �ąźą
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
8. PA
ASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 5
śą1-�ąźą -�ą 0
1�ą�ą
[ D]-1= (8.29)
-�ą śą1-�ąźą 0
E
[ ]
0 0 1
8.3. Dwuwymiarowe zagadnienia teorii sprężystości we współrzędnych biegunowych
Punkt we współrzędnych prostokątnych ma obraz prostokąta:
dy
y
x
Rys.8.2. Obraz punktu we współrzędnych prostokątnych
a we współrzędnych biegunowych jego obrazem jest wycinek pierścienia:
r
dr
dĆ
Ć
Rys.8.3. Obraz punktu we współrzędnych biegunowych
Zależności między współrzędnymi w układzie prostokątnym i biegunowym są następujące:
x=rcos�ą
(8.30)
y=rsin�ą
Na plasterku o wymiarach dr, dĆ zaznaczmy występujące naprężenia:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
8. PA
ASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 6
j�r
�r+ dr
jr
j�Ć
�Ć+ dĆ
jtrĆ
jĆ
Ś
dr
trĆ+
jtĆr
jr
R
dĆ
tĆr+
O'
jĆ
r
płaszczyzna
dr
�r trĆ
ujemna
tĆr
�Ć
dĆ
Ć
Rys.8.4. Plasterek jako obraz punktu
Przyjmijmy, że plasterek ma grubość = 1. Dodatnie naprężenia skierowane są od płaszczyzny
rozciągającej. Jednostkowe siły masowe Ś, R związano z dodatnimi kierunkami osi. Dokonujemy
rzutowania sił po kierunku R:
�ą PR=0
"�ąr
d �ą d �ą
-�ąr rd �ą�"1�ą �ąr�ą dr śąr�ądrźąd �ą�"1-�ą�ą r drcos -�ą�ą drsin
śą źą śą źą śą źą
" r 2 2
(8.31)
" �ą�ą r "�ą�ą d �ą
�ą �ą�ą r�ą d �ą dr�"1- �ą�ą�ą dr �ąRdr śąrd �ąźą=0
śą źą śą źą
"�ą "�ą 2
Pomijamy małe wyższego rzędu otrzymując równanie:
" �ąr �ąr-�ą�ą
"�ąr 1 �ą
(8.32)
�ą �ą �ąR=0
" r r "�ą r
Wyliczmy teraz sumę momentów względem środka plasterka:
�ą M =0
0 '
" �ąr �ą dr2 d �ą "�ą�ą r d �ą2 d �ą
(8.33)
-�ąr �ą dr -�ąr �ą dr - �ą�ą�ą r �ą �ą�ą�ą r =0
2 2 " r 2 2 "�ą 2 2
Równanie to spełnione jest wtedy i tylko wtedy, gdy
�ą�ą r=�ąr �ą (8.34)
Jeśli w analogiczny sposób do rzutowania sił na kierunek R dokonamy tym razem rzutowania na
kierunek Ś, otrzymamy zależność:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
8. PA
ASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPR
ŻYSTOŚCI 7
�ą P�ą=0
"�ą�ą "�ąr �ą 2 �ąr �ą (8.35)
1
�ą �ą �ą�ą=0
r "�ą " r r
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater