PODSTAWY LINIOWEJ
TEORII SPR
ŻYSTOŚCI
" Przestrzenne zadanie brzegowe teorii
sprężystości
" Metody rozwiązywania zadań brzegowych
teorii sprężystości
" Rozwiązanie płaskiego zadania brzegowego
teorii sprężystości w naprężeniach
" Rozwiązanie płaskiego osiowosymetrycznego
zadania brzegowego teorii sprężystości w
przemieszczeniach
" Naprężenia kontaktowe
Przestrzenne zadanie brzegowe teorii sprężystości
Klasyczna, liniowa teoria sprężystości jest mechaniką ciała (ośrodka)
odkształcalnego, opierająca się na następujących
założeniach:
1. Ciało jest wypełnione w sposób ciągły materią zarówno przed, jak i po
odkształceniu (kontinuum materialne).
2. Ośrodek ciągły jest fizycznie jednorodny i izotropowy.
3. Przemieszczenia i odkształcenia pojawiają się w chwili przyłożenia
obciążeń wywołujących naprężenia.
4. Istnieje naturalny beznapięciowy (beznaprężeniowy) stan ciała, do
którego powraca ono zawsze po odciążeniu.
5. Odkształcenia i przemieszczenia są bardzo małe.
6. Ośrodek ciągły (materiał) zachowuje się zgodnie z prawem Hooke a.
7. Funkcje określające naprężenia, przemieszczenia i odkształcenia są
ciągłe i różniczkowalne.
Przestrzenne zadanie brzegowej teorii sprężystości
można sformułować w następujący sposób:
Dane jest ciało liniowo sprężyste o dowolnym kształcie i wymiarach ( rys. 10.1 )
Rys. 10.1
Przyjmujemy, że pozostaje ono w spoczynku. Znany jest sposób podparcia ciała i jego
własności sprężyste. Określone są siły powierzchniowe q i masowe X ( objętościowe X� )
działające na rozważane ciało. Poszukujemy natomiast wektorowego pola przemieszczeń
oraz tensorowych pól stanu naprężenia i odkształcenia w tym ciele. Innymi słowy, trzeba
znalez
ć piętnaście funkcji współrzędnych punktu w ciele nieodkształconym.
Poszukiwane funkcje:
�ij = (xk ) (i, j, k = 1,2,3)
( 10.1 )
ui(xk ) (i, k = 1,2,3) ( 10.2 )
�ij(ik )
(i, j, k = 1,2,3) ( 10.3 )
lub w notacji inżynierskiej:
�x(x, y, z) �xy(x, y, z)
�y(x, y, z) �yz(x, y, z)
( 10.4 )
�z(x, y, z) �zx(x, y, z)
u(x, y, z)
v(x, y, z)
( 10.5 )
w(x, y, z)
łxy(x, y, z)
�x(x, y, z)
�y(x, y, z) ł (x, y, z)
( 10.6 )
yz
�z(x, y, z) łzx(x, y, z)
Do znalezienia tych funkcji należy zastosować piętnaście podstawowych równań teorii
sprężystości, które zostały wcześniej wprowadzone. Tworzą one trzy grupy zależności:
A. Równania wewnętrznej równowagi lokalnej
Są to trzy warunki Naviera, w których uwzględniono postulat Boltzmana, zwany
także warunkiem Cauchy ego
� + Xi� = 0
(i = 1,2,3; j = 1,2,3)
ji, j ( 10.7 )
�ij = �
ji (i = 1,2,3; j = 1,2,3)
( 10.8 )
albo w notacji inżynierskiej:
"�x "�yx "�zx
+ + + X� = 0
"x "y "z
"�xy "�y "�zy
+ + + Y� = 0
( 10.9 )
"x "y "z
"�xz "�yz "�z
+ + + Z� = 0
"x "y "z
�xy = �yx �yz = �zy �zx = �xz
( 10.10 )
B. Związki geometryczne.
Wyróżnia się dwa rodzaje związków geometrycznych:
B1. Zależność między składowymi stanu odkształcenia i przemieszczeniami,
czyli sześć związków Cauchy ego.
1
�ij = (ui, j + u )
j,i
(i = 1,2,3; j = 1,2,3)
( 10.11 )
2
�ij = �
ji ( 10.12 )
albo w notacji inżynierskiej:
"w
"v
"u
�z = ,
�y = ,
�x = ,
"z
"y
"x
"u "v "v "w "w "u
( 10.13 )
łxy = + , ł = + , łzx = + ,
yz
"y "x "z "y "x "z
B2. Warunki ciągłości ( nierozdzielności ) odkształceń de Saint  Venanta,
których jest także sześć:
(i = 1,2,3; j = 1,2,3)
eikm ejln� kl,mn = 0
(k = 1,2,3;l = 1,2,3)
(m = 1,2,3; n = 1,2,3)
( 10.14 )
albo w notacji inżynierskiej:
"2�y "2�z "2ł
"2�x "2�y "2łxy "2�z "2�x "2ł
yz
zx
+ = , + = , + =
"y2 "x2 "x"y "z2 "y2 "y"z "x2 "z2 "z"x
"łxy "łzx "ł
�# ś#
" "2�x
yz
ś# ź#
+ - = 2
ś# ź#
"x "z "y "x "y"z
�# #
"ł "łxy "łzx "2�
�# ś#
"
yz y
ś# ź#
+ - = 2
ś# ź#
( 10.15 )
"y "x "z "y "z"x
�# #
�# ś#
" "łzx "ł "łxy ź# "2�z
yz
ś#
+ - = 2
ś# ź#
"z "y "x "z "x"y
�# #
C. Związki fizyczne
Jest to uogólnione prawo Hooke a, które może mieć dwojaką postać:
C1. Sześć funkcji określających składowe stanu odkształcenia w zależności
od składowych stanu naprężenia:
1+ � �
(i, j, k = 1,2,3)
�ij = �ij - �kk�ij
( 10.16 )
E E
albo w notacji inżynierskiej:
1
�x = [�x - �(�y + �z)]
E
1
� = [�y - �(�z + �x )]
y
E
1
�z = [�z - �(�x + �y)]
( 10.17 )
E
�xy �yz
�zx
łxy = ,
ł = , łzx =
yz
G G
G
C2. Sześć funkcji określających składowe stanu naprężenia w zależności
od składowych stanu odkształcenia.
2�G
�ij = 2G�ij + �kk�ij
(i = 1,2,3; j = 1,2,3; k = 1,2,3)
( 10.18 )
1- 2�
albo w notacji inżynierskiej:
E �
Ą#� +
�x = (�x + �y + �z)ń#
x
ó# Ą#
1+ � 1- 2�
Ł# Ś#
E �
Ą#� +
�y = (�x + �y + �z)ń#
y
ó# Ą#
1+ � 1- 2�
Ł# Ś#
E �
Ą#
� =
()ń#
( 10.19 )
z
ó#�z + 1- 2� �x + � y + �z Ą#
1+�
Ł# Ś#
�xy = Głxy
�yz = Gł
yz
�zx = Głzx
W dynamicznym zadaniu brzegowym teorii sprężystości poszukiwane
funkcje ( 10.1 ), ( 10.2 ) i ( 10.3 ) albo ( 10.4 ),( 10.5 ) i ( 10.6 ) są dodatkowo zależne od
czasu t. W równaniach równowagi wewnętrznej należy uwzględnić siły bezwładności
d Alemberta przyłożone do infinitezymalnego prostopadłościanu. Formuły
( 10.7 ) albo ( 10.9 ), w których prawe strony są odpowiednio równe :
..
"2ui
�ui = �
(i = 1,2,3)
"t2
albo
"2u "2v "2w
� , � , � ,
"t2 "t2 "t2
stają się dynamicznymi równaniami ośrodka ( ciała ) odkształcalnego.
Metody rozwiązywania zadań brzegowych
teorii sprężystości
Poszukiwane funkcje ( 10.1 ), ( 10.2 ) i ( 10.3 ) albo ( 10.4 ),( 10.5 ) i ( 10.6 ) muszą być tak
dobrane, aby spełniały podstawowe równania teorii sprężystości A, B i C oraz warunki
brzegowe, a w przypadku zadania dynamicznego także warunki początkowe.
Rozwiązanie w naprężeniach polega na tym, że w pierwszej kolejności wyznacza
�ij(xk )
(i, j, k = 1,2,3)
się sześć funkcji określających składowe stanu naprężenia
�y(x, y, z), �xy(x, y, z), �yz(x, y, z),
�x(x, y, z), �z(x, y, z), �zx(x, y, z).
albo
Należy w tym celu tak przekształcić podstawowe równania teorii sprężystości, aby uzyskać
układ równań różniczkowych ze względu na naprężenia. Trzy pierwsze równania tego
układu stanowią lokalne warunki równowagi wewnętrznej A. Aby uzyskać pozostałe
równania, należy składowe stanu odkształcenia, wyrażone przez składowe stanu
naprężenia w zależnościach C1, wprowadzić do warunków ciągłości odkształceń B2.
Po dokonaniu tej operacji i po przekształceniach, w trakcie których stosuje się również
równania równowagi lokalnej, otrzymujemy warunki nierozdzielności odkształceń
wyrażone przez naprężenia. Jest to sześć równań Beltramiego - Michella >>>
Sześć równań Beltramiego  Michella:
1 �
(i, j, k = 1,2,3)
�ij,kk + �kk,ij = -(Xi, j + X )- �ij Xk,k
j,i
( 10.20 )
1+ � 1- �
albo w notacji inżynierskiej:
3 "2�śr � �# "X "Y "Z ś# "X
"2�x + + ś# + + ź#� + 2 � = 0
1+ � "x
"x2 1- � "x "y "z
�# #
"2 "2 "2
"2 = + + -
3 "2�śr � �# "X "Y "Z ś# "Y
"2�y + + ś# + + ź#� + 2 � = 0
"x2 "y2 "z2
1+ � "y
"y2 1- � "x "y "z
�# #
oznacza operator
harmoniczny Laplace a
3 "2�śr � �# "X "Y "Z ś# "Z
zwany laplasjanem.
"2�z + + ś# + + � + 2 � = 0
ź#
1+ � "z
Czytaj  nabla dwa .
"z2 1- � "x "y "z
�# #
3 "2�śr "Y "X
( 10.22 )
"2�xy + + � + � = 0
1+ � "x"y "x "y
( 10.21 )
3 "2�śr "Y "X
"2�yz + + � + � = 0
1+ � "y"z "y "z
3 "2�śr "X "Z
"2�xy + + � + � = 0
1+ � "z"x "z "x
�ij(xk ) (i, j, k = 1,2,3) albo �x(x, y, z),
Poszukiwanych sześć funkcji
�y(x, y, z), �xy(x, y, z), �yz(x, y, z),
�z(x, y, z), �zx(x, y, z),
musi spełniać równania równowagi wewnętrznej A, równania Beltramiego  Michella oraz
warunki brzegowe:
qni = � ą
ji jn (i = 1,2,3; j = 1,2,3)
( 10.23 )
albo w notacji inżynierskiej:
qnx = �x cos(xn)+ �yx cos(yn)+ �zx cos(zn)
qny = �xy cos(xn)+ �y cos(yn)+ �zy cos(zn)
( 10.24 )
qnz = �xz cos(xn)+ �yz cos(yn)+ �z cos(zn)
W tym przypadku n jest normalną do powierzchni zew. ciała w rozważanym
punkcie, której kierunek wyznaczają ąij( j = 1,2,3)
albo cos( xn ), cos( yn ), cos( zn ).
Ściana elementarnego czworościanu ( patrz obok )
prostopadła do n jest fragmentem powierzchni
ciała, na który działa obciążenie powierzchniowe
q( x, y, z ) o składowych qni ( i = 1, 2, 3 )
albo qnx, qny, qnz. Pozostałe trzy wzajemnie
prostopadłe ściany,na których występują
naprężenia, znajdują się już wewnątrz ciała.
Warunki brzegowe wiążą znane powierzchniowe
obciążenia zewnętrzne ze stanem naprężenia
wewnątrz ciała.
Przy okazji omawiania warunków brzegowych warto przytoczyć
zasadę de Saint  Venanta, która brzmi:
Różne, ale statycznie równoważne układy sił, przyłożone na niewielkiej części
powierzchni ciała, wywołują w punktach dostatecznie oddalonych od strefy działania
obciążenia praktycznie jednakowe stany naprężenia. Przez dostateczne oddalenie od strefy
działania obciążenia należy rozumieć odległość rzędu porównywalnego z liniowymi
wymiarami powierzchni, na którą działa układ sił zewnętrznych.
Zasada ta umożliwia modyfikację i upraszczanie warunków brzegowych. Wynika z
niej również, że stan naprężenia w pobliżu miejsca przyłożenia obciążenia powinien być
przedmiotem odrębnej analizy. Wiąże się to z naprężeniami stykowymi.
Rozwiązanie w przemieszczeniach polega na tym, że w pierwszej kolejności
ui(x )
(i, j = 1,2,3) u(x, y, z),
wyznacza się trzy funkcje określające przemieszczenia albo
j
v(x, y, z), w(x, y, z). Należy w związku z tym przekształcić podstawowe równania teorii
sprężystości, aby uzyskać układ równań różniczkowych ze względu na przemieszczenia. W
tym celu składowe stanu odkształcenia wyrażone przez przemieszczenia zgodne z
zależnościami B1 wprowadzamy do uogólnionego prawa Hooke a ( C2 ). Uzyskamy składowe
stanu naprężenia wyrażone przez przemieszczenia, które różniczkujemy i wstawiamy do
warunków równowagi wewnętrznej A. Po przekształceniach otrzymamy warunki równowagi
wewnętrznej wyrażone w przemieszczeniach, czyli trzy równania Naviera  Lamego :
Gui, jj + ( + G)u + Xi = 0
j, ji (i, j, k = 1,2,3)
( 10.25 )
albo w notacji inżynierskiej:
( + G)"Ń + G"2u + �X = 0
"x
( + G)"Ń + G"2v + �Y = 0
( 10.26 )
"y
( + G)"Ń + G"2w + �Z = 0
"z
"u "v "w 2�G
-
gdzie: Ń = �x + �y + �z = + + ;  =
stała Lamego
"x "y "z 1- 2�
ui(x ) (i, j = 1,2,3) u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)
Funkcje albo muszą
j
spełniać układ równań różniczkowych cząstkowych Naviera  Lamego ( 10.25 ) lub ( 10.26 )
oraz warunki brzegowe. Są to warunki naprężeniowe ( 10.23 ) albo ( 10.24 ), które należy
również podać w przemieszczeniach. Aby uzyskać odpowiednie formuły, wystarczy w
naprężeniowych warunkach brzegowych ( 10.23 ) albo ( 10.24 ) składowe stanu naprężenia
wyrazić przez przemieszczenia, w analogiczny do stosowanego przy wyprowadzeniu równań
Naviera -Lamego. Mogą to być również przemieszczeniowe warunki brzegowe określające
u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)
przemieszczenia ui(x ) (i, j = 1,2,3) albo na części lub
j
na całym brzegu.
Rozwiązanie przestrzennego zadnia brzegowego teorii sprężystości wprost, tzn.
przez całkowanie układu cząstkowych równań różniczkowych jest bardzo trudne. Dlatego
stosuje się różne sposoby ułatwiające uzyskanie choćby przybliżonego rozwiązania.
Wprowadza się w tym celu uproszczone modele geometryczne ciała liniowo  sprężystego,
takie jak pręt, tarcza, płyta czy powłoka. Stosuje się przybliżone metody rozwiązywania
równań różniczkowych. Korzysta się także z przybliżonych metod numerycznych
rozwiązywania zadań teorii sprężystości, takich jak metoda różnic skończonych, metoda
elementów skończonych czy metoda elementów brzegowych. Metody te noszą nazwę metod
macierzowych lub komputerowych, ponieważ opierają się na rachunku macierzowym i są
przystosowane do obliczeń za pomocą komputera.
ROZWI
ZANIE PA
ASKIEGO ZADANIA
BRZEGOWEGO TEORII SPR
ŻYSTOŚCI W
NAPR
ŻENIACH.
Wyróżnić trzeba dwa przypadki tego zadania, a mianowicie płaski stan naprężenia
lub odkształcenia. Poszukuje się odpowiednio funkcji �x(x, y), �y(x, y), �xy(x, y) lub
�y(x, y), łxy(x, y). Rozważymy szczegółowo pierwszy przypadek, który
�x(x, y),
zilustrowano na rys. 10.2, przedstawiającym tarcze przenoszącą obciążenia zewnętrzne q( x, y )
i utwierdzoną na części brzegu.
Rys.10.2
Podstawowe równania teorii sprężystości przedstawiają się następująco: >>>
� `" 0, ponieważ
z
Płaskie zadania teorii sprężystości
Płaskie zadania teorii sprężystości
Płaski stan odkształcenia
Płaski stan naprężenia
F0
ny n
y
nx
h
p0
a) b)
1
Ą#
x
�xxy 0ń#
ł
ó# Ą#
2
� � 0
Ą# ń#
ó# Ą#
xxy
ó#1
ó#�� 0Ą#
[� ] = ł �Ą#
0Ą#
[T� ] =
yx y
yx y
ó#
ó# Ą#
2
ó#
ó# Ą#
00 0Ś#
00 0Ą#
Ł#
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł# Ś#
� `" 0, ponieważ
z
E �
Ą#
� = =
()ń# E Ą# � ()ń#
z
ó#�z + 1- 2� �x + � y + �z Ą#ó#1- �x + � y Ą#
1+� 1+� 2�
Ł# Ś#Ł# Ś#
1
1
h
A. Lokalne warunki równowagi
"�x "�xy
+ + X� = 0
"x "y
( 10.27 )
"�xy "�y
+ + Y� = 0
"x "y
B. Związki geometryczne
"u "v
"u "v
�x = , �y = ,
łxy = +
( 10.28 )
"x "y
"y "x
"2�x "2�y "2łxy
lub
+ =
( 10.29 )
"y2 "x2 "x"y
C. Związki fizyczne
�xy
1 1
łxy =
�x = (�x - ��y), �y = (�y - ��x),
( 10.30 )
G
E E
E E
�xy = Głxy ( 10.31 )
lub �x = (�x + �� ), �y = (�y + ��x),
y
1- �2 1- �2
Rozwiązanie płaskiego zadania brzegowego teorii sprężystości w naprężeniach
opiera się na warunkach równowagi wewnętrznej ( 10.27 ) oraz warunku nierozdzielności
przemieszczeń ( 10.29 ) wyrażonym w naprężeniach. Aby otrzymać to trzecie równanie,
wprowadzimy zależność ( 10.30 ) do ( 10.29 ) po uwzględnieniu , że G = E
2(1+ �)
"2 1 "2 1 "2 2(1+ �)�
Ą# Ą# Ą# ń#
(�x - �� )ń# + (�y - ��x)ń# =
y xy
Ą# Ą# ó# Ą#
"x"y E
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
"y2 ó#E "x2 ó#E
Po wykonaniu różniczkowania i uporządkowaniu uzyskuje się:
"2�xy
"2�x "2�y "2�y "2�x
- � + - � = 2(1+ �)
( 10.32 )
"x"y
"y2 "y2 "x2 "x2
Różniczkujemy pierwsze równanie ( 10.27 ) względem x, a drugie względem y, dodajemy
stronami i wyliczamy, co następuje:
"2�xy "2�x "2�y �# "X "Y ś#
( 10.33 )
2 = - - - ś# + ź#�
"x"y "x "y
"x2 "y2
�# #
Po wstawieniu wzoru ( 10.33 ) do ( 10.32 ) i po prostych przekształceniach otrzymujemy
równanie Levy ego:
�# "X "Y ś#
"2(�x + �y)= -(1+ �) + �
ś# ź#
( 10.34 )
"x "y
�# #
Dla przypadku płaskiego stanu odkształcenia, po analogicznych operacjach, równanie
Levy ego ma następującą postać:
1 �# "X "Y ś#
"2(�x + �y)= - ś# + ź#�
( 10.35 )
(1- �)�# "x "y
#
Jeśli siły masowe X, Y mają wartości stałe, równanie Levy ego dla płaskiego stanu
naprężenia i odkształcenia jest identyczne
"2(�x + �y)= 0 ( 10.36 )
Upoważnia nas to do zajmowania się wyłącznie przypadkiem płaskiego stanu
�x(x, y), �y(x, y), �xy(x, y)
naprężenia. Poszukiwane funkcje muszą spełniać
równania równowagi wewnętrznej ( 10.27 ), równanie Levy ego ( 10.36 ) oraz
następujące warunki brzegowe:
qnx = �x cos(x, n)+ �yx cos(y, n)
( 10.37 )
qny = �xy cos(x, n)+ �y cos(y, n)
Rozwiązanie płaskiego zadania teorii sprężystości można uprościć, wprowadzając funkcję
naprężeń Airy ego � ( x, y ), za pomocą której można wyrazić składowe stanu naprężenia
następująco:
"2�
"2�
"2�
�x = ,
�y = ,
�xy = - + X�y - Y�x
( 10.38 )
"y2 "x"y
"x2
A
atwo sprawdzić, że jeśli X i Y mają wartości stałe, funkcje ( 10.38 ) spełniają warunki
równowagi ( 10.27 ). Po wstawieniu zależności ( 10.38 ) do równania Levy ego ( 10.36 ) i
po prostych przekształceniach uzyskuje się równanie biharmoniczne ze względu na funkcję
naprężeń:
"4� "4� "4�
+ 2 + = 0
( 10.39 )
"x4 "x2"y2 "y4
czyli "2"2� = "4� = 0 ( 10.40 )
�#
"2 "2 ś#�# "2 "2 ś#
ś# ź#ś# ź#
"2"2 = "4 = + +
ś#
gdzie: ( 10.41 )
"x2 "y2 ź#ś# "x2 "y2 ź#
�# #�# #
Funkcja naprężeń �( x, y ) musi być tak dobrana, aby spełniała równanie biharmoniczne,
a składowe stanu naprężenia przez nią wyrażone spełniały warunki brzegowe.
Przykład 10.1 >>>
PRZYKA
AD 10.1
Płaska tarcza o grubości równej 1 jest zamocowana i obciążona w sposób pokazany na rys. 4.
Dane: ł, p  ciężar jednostki objętości materiału tarczy, kąt ą.
Poszukujemy rozwiązania w postaci wielomianu trzeciego stopnia
( 10.42 )
�(x, y) = ax3 + bx2 y + cxy2 + dy3
Funkcja ta może być funkcją naprężeń, ponieważ spełnia równanie biharmoniczne.
Składowe stanu naprężenia wyrażają następująco:
�x = 2cx + 6dy
�y = 6ax + 2by ( 10.43 )
�xy = -2bx - 2cy + px
Stałe a, b, c, d oblicza się z warunków brzegowych.
Rys.10.3
WARUNKI BRZEGOWE >>>
WARUNKI BRZEGOWE:
- na ścianie pionowej
�xy = 0,
1. x = 0,
2. x = 0,
�x = -q = ły
- na ścianie pochyłej
y
3. �x cos(xn)+ �xy cos(yn) = 0
qnx = 0,
= -tgą,
x
y
4. qny = 0, �xy cos(xn)+ �y cos(yn) = 0
= -tgą,
x
gdzie:
Ą
cos(xn) = cos�# - ąś# = sin ą,
cos(yn) = cos(ą)
ś# ź#
2
�# #
Z warunku 1
- 2cy = 0 c = 0
Z warunku 2
1
6dy = ły
d = ł
6
dalej >>>
Z warunku 3
1
6 �" łysin ą - (2b - p)xcosą = 0
6
y sin ą
ł = 2b - p
x cosą
- łtg2ą = 2b - p
1 1
b = - łtg2ą + p
2 2
Z warunku 4
(xłtg2ą - px + px)sin ą +(6ax - yłtg2ą + py)cosą = 0
y y
łtg3ą + 6a - łtg2ą + p = 0
x x
łtg3ą + 6a + łtg3ą - ptgą = 0
1 1
a = ptgą - łtg3ą = 0
6 3
Po wstawieniu stałych a, b, c, d do formuł ( 10.43 ) otrzymuje się ostateczne rozwiązanie:
�x = ły,
�y = x(p - 2łtg2ą) tgą +(p - łtg2ą) y = 0,
( 10.44 )
2
�xy = łtg ąx
Po wstawieniu y = - h = const otrzymujemy:
�x = -ły - wartość stała
�y = x(p - 2łtg2ą) tgą -(p - łtg2ą) h = 0 - funkcja liniowa x
�xy = xłtg2ą - funkcja liniowa x ( 10.45 )
Opierając się na formułach ( 10.45 ), można sporządzić wykresy składowych stanu
naprężenia dla h = const ( rys. 10.4 )
Formuły ( 10.44 ) są błędne w pobliżu
miejsca utwierdzenia, ponieważ nie są tam
spełnione warunki brzegowe.
Rys. 10.4
ROZWI
ZANIE PA
ASKIEGO
OSIOWOSYMETRYCZNEGO ZADANIA BRZEGOWEGO
TEORII SPR
ŻYSTOŚCI W PRZEMIESZCZENIACH.
Pierścień o promieniu wewnętrznym a i zewnętrznym b oraz grubości 1 wykonany jest z
materiału o znanych stałych sprężystych �, E oraz gęstości �. Na powierzchni wewnętrznej i
zewnętrznej pierścienia, który wiruje ze stałą prędkością kątową �, działa promieniowe
obciążenie powierzchniowe pa i pb ( rys. 10.5 )
Tak sformułowane płaskie osiowosymetryczne,
dynamiczne zadanie brzegowe teorii sprężystości
wygodniej będzie rozwiązywać w biegunowym
układzie współrzędnych. Wymaga to
wyprowadzenia odpowiednich podstawowych
równań teorii sprężystości.
Rys. 10.5
Wytniemy z rozważanego krążka segment ograniczony dwiema powierzchniami walcowymi o
promieniu r i r + dr oraz dwoma płaszczyznami przechodzącymi przez oś obrotu, które tworzą
kąt dwuścienny d� ( rys. 10.6 )
Rys. 10.6
Ze względu na symetrię, w dowolnej płaszczyz
nie przechodzącej przez oś obrotu naprężenie
styczne musi być równe zeru, a wiec jest to płaszczyzna główna stanu naprężenia. Występuje
w niej naprężenie �t zwane obwodowym. Na powierzchniach walcowych występują zatem
również tylko naprężenia normalne, zwane promieniowymi, równe odpowiednio �r oraz
�r + d�r. Obydwa naprężenia główne �t i �r zależą wyłącznie od promienia r.
Zgodnie z zasadą d Alemberta, przyłożymy do segmentu siłę bezwładności równą
iloczynowi masy rd�dr� i przyspieszenia dośrodkowego �2r, zwróconą od środka na
zewnątrz. Segment obciążony siłami powierzchniowymi oraz siłą bezwładności pozostaje w
równowadze, a więc suma rzutów tych sił na symetryczny kierunek promieniowy musi być
równa zeru:
d�
�2r2�drd� + (�r + d�r ) (r + dr) d� - �rrd� - 2�tdr sin = 0
2
d� d�
Po uwzględnieniu, że sin H" oraz odrzuceniu małych wyższego rzędu otrzymujemy
2 2
równanie równowagi wewnętrznej A:
d�r
�r + r - �t = -��2r2 ( 10.46 )
dr
Ze względu na osiową symetrię dowolny punkt tarczy dozna przemieszczenia u w kierunku
promieniowym. Ponieważ u jest funkcją r, wiec dwa punkty odległe od siebie o dr
przemieszczą się odpowiednio o u i u + du. Wynikają z tego następujące związki
geometryczne B:
du 2Ą(r + u)- 2Ąr u
�r = , �t = =
( 10.47 )
dr 2Ąr r
Odkształcenie promieniowe �r i obwodowe �t zależy tylko od r. Są to odkształcenia główne.
Po wyrugowaniu przemieszczenia u z zależności ( 10.47 ) otrzymamy warunek
nierozdzielności odkształceń:
du d�t d�t
u = �tr, ( 10.48 )
�r = �t + rt
= �t + r,
dr
dr dr
Związki fizyczne C będą miały następującą postać:
1
�r = [�r - ��t ]
E
( 10.49 )
1
�t = [�t - ��r ]
E
lub
E
�r = [�r + ��t ]
1- �2
( 10.50 )
E
�t = [�t + ��r ]
1- �2
Poszukujemy zatem pięciu funkcji �r( r ), �t( r ), �r( r ), �t( r ) i u( r ), które spełniają równania
A, B, C oraz warunki brzegowe.
Rozwiązanie płaskiego osiowosymetrycznego, dynamicznego zadania teorii sprężystości w
przemieszczeniach będzie polegało na znalezieniu w pierwszej kolejności u( r ).
Wstawiamy związki geometryczne ( 10.47 ) do prawa Hooke a ( 10.50 )
E du u
Ą# ń#
�r = + �
Ł# Ś#
1- �2 ó# dr r Ą#
( 10.51 )
E u du
Ą# ń#
�t = + �
Ł# Ś#
1- �2 ó#r dr Ą#
Składowe stanu naprężenia wyrażone przez przemieszczenie zależnością ( 10.51 )
wprowadzamy do równania równowagi lokalnej ( 10.46 )
E du u E d du u E u du
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
+ � + r + � - + � = -��2r2
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
1- �2 ó# dr r Ą# 1- �2 dr ó# dr r Ą# 1- �2 ó#r dr Ą#
1- �2
Po obustronnym pomnożeniu przez i wykonaniu różniczkowania otrzymamy:
E
2
du u d u du u u du 1- �2
+ � + r + � - � - - � = - ��2r2
dr r dr r r dr E
dr2
Po uproszczeniu i obustronnym podzieleniu przez r równanie równowagi lokalnej względem
przemieszczenia u( r ) będzie miało postać:
2
d u 1 du u 1- �2
( 10.52 )
+ - = - ��2r
E
dr2 r dr r2
Lewa strona równania ( 10.52 ) może być zapisana jeszcze krócej
d 1 d 1- �2
Ą#
( 10.53 )
(ur)ń# = - ��2r
ó#r Ą#
dr dr E
Ł# Ś#
Po dwukrotnym scałkowaniu otrzymamy:
1- �2 r3 C2
( 10.54 )
u = - ��2 + C1r +
E 8 r
Stałe C1 i C2 należy wyliczyć z warunków brzegowych. Znajomość u( r ) umożliwia
wyznaczenie na podstawie zależności ( 10.51 ) składowych stanu naprężenia:
naprężenia promieniowego - �r( r ) i naprężenia obwodowego - �t( r )
E 1 ��2
Ą#C �)+ C2(1- �) ń#
naprężenie promieniowe
�r = (1+ - (3 + �)r2
1
Ł# Ś#
1- �2 ó# r2 Ą# 8
( 10.55 )
E 1 ��2
Ą#C �)+ C2(1- �) ń#
naprężenie obwodowe
�t = (1+ - (1+ 3�)r2
1
Ł# Ś#
1- �2 ó# r2 Ą# 8
W przypadku rury grubościennej ( rys. 10.7 ) � = 0, a
warunki brzegowe można sformułować następująco:
dla r = a, �r = -pa; dla r = b, �r = -pb, czyli
E 1
Ą#C �)+ C2(1- �) ń#
(1+ = - pa
1
Ł# Ś#
1- �2 ó# a2 Ą#
E 1
Ą#C �)+ C2(1- �) ń#
(1+ = - pb
1
Ł# Ś#
1- �2 ó# b2 Ą#
Rys.10.7
Wyliczone z tych równań stałe wynoszą:
1- � paa2 - pbb2
C1 =
E
b2 - a2
1+ � a2b2
C2 = (pa - pb)
E
b2 - a2
Po wstawieniu stałych C1 i C2 do zależności ( 10.55 ) oraz
( 10.54 ) otrzymujemy wzory na naprężenia i przemieszczenia w rurze:
NAPR
ŻENIA I PRZEMIESZCZENIA W RURZE GRUBOŚCIENNEJ
paa2 - pbb2 a2b2 pa - pb
r
( 10.56 )
�t = m
b2 - a2 r2 b2 - a2
1- � paa2 - pbb2 1+ � a2b2 pa - pb
( 10.57 )
u = r +
E E r
b2 - a2 b2 - a2
paa2 - pbb2
�r + �t = 2
Warto zauważyć, że nie zależy od r, a
b2 - a2
�
więc �x = - (�r + �t ) jest wartością stałą. Innymi słowy, grubość
E
rozważanego krążka zmienia się we wszystkich jego miejscach jednakowo i
dlatego rurę grubościenną można traktować jako zbiór płaskich tarcz.
Przykład 10.2. >>>
PRZYKA
AD 10.2
Zbiornik wysokociśnieniowy stanowi długa rura grubościenna
( rys. 10.8 ) o wymiarach a = 2 cm, b = 3 cm, l =100 cm.
1. Wyznaczyć nadciśnienie p panujące wewnątrz zbiornika,
jeśli wiadomo, że wywołuje ono na zewnątrz powierzchni
cylindra odkształcenie względne w kierunku tworzącej
�x =10-4. Moduł sprężystości E = 2 �" 105 MPa, a
współczynnik Poissona � = 0,3.
2. Narysować wykresy �r, �t, �x.
3. Obliczyć wg hipotezy maksymalnych naprężeń stycznych
maksymalne naprężenie redukowane w ścianach zbiornika.
Rys.10.8
Rozwiązanie >>>
Naprężenia i przemieszczenie w krążkach wirujących >>>
Stan naprężenia w rurze grubościennej z dnem jest określony
następującymi wzorami:
�# ś#
a2 p
ś#1- b2 ź#
�r = ( 10.58 )
b2 - a2 ś# r2 ź#
�# #
�# ś#
a2 p
ś#1+ b2 ź#
�t = ( 10.59 )
b2 - a2 ś# r2 ź#
�# #
a2
�x = p
( 10.60 )
b2 - a2
To ostatnie wyrażenie otrzymuje się z warunku, że suma rzutów na oś x sił działających na
część zbiornika, odciętą dowolną płaszczyzną prostopadłą do tej osi, musi być równa zeru.
1
�x = [�x - ��t ]
E
naprężenie normalne w przekroju
prostopadłym do osi x.
<<< powrót
dalej >>>
a2 2a2 p
�x(r=b) = p,
�t(r =b) =
b2 - a2
b2 - a2
a2 p - 2a2�p
E�x =
b2 - a2
E�x(b2 - a2)= a2 p(1- 2�)
nadciśnienie panujące wew. zbiornika
E�x(b2 - a2)= 62,5 MPa
p =
a2(1- 2�)
pa2 (a2 - b2)= - p = - 62,5 MPa
�r(r =a) =
b2 - a2 a2
pa2 (b2 + a2)= p(b2 + a2)= 162,5 MPa
�t(r =a) =
b2 - a2 a2 b2 - a2
a2
�x = p = 50 MPa
max. naprężenie redukowane
b2 - a2
w ścianach zbiornika
�red = �t - �r = 225 MPa
<<< powrót Wykresy naprężeń>>>
<<< powrót
W przypadku krążka wirującego bez otworu
( rys 10.9 ) a = 0, pa = 0, pb = 0, a warunki
brzegowe sformułować można następująco: dla r =
0 u = 0, dla r = b �r = 0. Pierwszy warunek
brzegowy może być spełniony tylko wówczas, gdy
C2 = 0, w przeciwnym bowiem razie ostatni człon
wyrażenia ( 10.54 ) będzie równy
nieskończoności dla r = 0. Po wyliczeniu C1 i
wstawieniu stałych do wzorów ( 10.55 ) i ( 10.54 )
otrzymujemy :
Rys. 10.9
��2
( 10.61 )
�r = (3 + �) (b2 - r2)
8
��2 1+ 3�
( 10.62 )
�t = (3 + �)�#b2 - r2 ś#
naprężenia i przemieszczenia
ś# ź#
8 3 + �
�# #
w krążkach wirujących
1- �2 ��2r 3 + �
�#
( 10.63 )
u = b2 - r2 ś#
ś# ź#
E 8 1+ �
�# #
dalej >>>
<<< powrót
Jeśli krążek ma otwór ( rys .10.10 ), warunki
brzegowe sa następujące: dla r = a �r = 0 i dla
r = b �r = 0. Wzory na naprężenia i
przemieszczenia przybierają wtedy formę:
�# ś#
��2 a2b2
( 10.64 )
�r = (3 + �)ś#b2 + a2 - - r2 ź#
ś# ź#
8
r2
�# #
Rys.10.10
�# ś#
��2 a2b2 1+ 3�
�t = (3 + �)ś#b2 + a2 + - r2 ź# ( 10.65 )
ś#
8
r2 3 + � ź#
�# #
2
ń#
��2(3 + �)Ą# (1- �2) r3
u = + (1- �) (b2 + a2) r + (1+ �)a b2 ( 10.66 )
ó#- Ą#
8E 3 + � r
ó# Ą#
Ł# Ś#
Przykład 10.3 >>>
<<< powrót
PRZYKA
AD 10.3
Na stalowy wał jest nasadzony krążek o stałej grubości. Różnica promieni wału i
otworu � = 0,005 mm ( rys. 10.11 ). Obliczyć liczbę obrotów na minutę, przy której
wzajemny nacisk wałka i krążka na powierzchni styku zmaleje do zera. Dane :
E = 2 �"105 MPa, � = 0,28, a = 5 cm, b = 40 cm, � = 800 kg/m3.
Rys. 10.11
Wzajemny nacisk na powierzchni styku zmaleje do zera, jeśli różnica przemieszczeń
punktów leżących na powierzchni otworu i na powierzchni wałka osiągnie wartość:
(uk )r =a - (uw)r =a = �
( 10.67 )
Wał traktujemy jako krążek bez otworu.
Dla wirującego nieobciążonego krążka o średnicy 2b z otworem o średnicy 2a, przy r = a,
otrzymamy:
2
Ą#
(3 + �) �2� 1- �2 ń#
( 10.68 )
uk = (1- �) (a2 + b2) a + (1+ �)a b2 - a3Ą#
ó#
8E a 3 + �
Ł# Ś#
Dla wirującego nieobciążonego krążka o średnicy 2a ( w formule ( 10.63 ) oznaczone
2b ) bez otworu i r = a
(1- �2) a�2� 3 + �
�#
uw = a2 - a2 ś# ( 10.69 )
ś# ź#
8E 1+ �
�# #
Po wstawieniu zależności ( 10.68 ) i ( 10.69 ) do ( 10.67 ) otrzymuje się równanie, z
którego można wyliczyć �
2
Ą#
(3 + �) �2� 1- �2 ń# (1- �2) �2� 3 + �
(1- �) (a2 + b2) a + (1+ �)a b2 - a3Ą# - a�# a2 - a2 ś# = �
ś# ź#
ó#
8E a 3 + � 8E 1+ �
�# #
Ł# Ś#
(3 + �)�2ab2�
czyli
= �
4E
2 E�
stąd
� = = 437 s-1
b �(3 + �) a
30� obr
n = = 4171
Ą min
NAPR
ŻENIA KONTAKTOWE
Teorię naprężeń stykowych, czyli kontaktowych
opracował Hertz. Jest to zagadnienie geometrycznie nieliniowe. Na
rysunku 10.12 pokazano dwa stykające się ciała. Mają one wspólną
normalną, wspólną płaszczyznę styczną w punkcie styku i są
wzajemnie dociskane siłami P. Dla ciała 1 min i max promień
krzywizny wynosi r1 i r1 , a stałe sprężyste E1 i �1. Dla ciała 2
odpowiednie wielkości wynoszą r2 i r2 , a stałe sprężyste E2 i �2.
Kąt między płaszczyznami największych krzywizn ( czyli
minimalnych promieni krzywizn, r1 i r2 ) jest równy �.
Przyjmuje się następujące założenia:
1. Stykające się ciała są jednorodne, izotropowe i
liniowosprężyste
2. Powierzchnie zewnętrzne ciał w otoczeniu punktu styku są
gładkie o regularnej krzywiz
nie.
3. Odkształcenia ciał są niewielkie.
4. Powierzchnia styku w stosunku do powierzchni ciał jest mała.
Rys. 10.12
5. Na powierzchni styku nie ma naprężeń stycznych, a jedynie
normalne.
Po odkształceniu ciał spowodowanym ich wzajemnym dociśnięciem powstaje obszar
styku w postaci elipsy o osiach a i b ( a > b ), które można obliczyć ze wzorów
m
a = ą3 P
( 10.70 )
n
m
b = �3 P
n
4
8 E1E2
m = ,
n =
gdzie:
2
1 1 1 1
3
E2(1- �1 ) + E1(1- �2)
+ + + 2
r1 r1' r2 r2'
przy czym ą i � - współczynniki zależne od B/A, przy:
2 2
�# ś# �# ś# �# ś#�# ś#
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ś# ź# ś# ź# ź#ś# ź#cos 2�
A = , B = - + - + 2ś# - -
' '
ś#
m 2 r1 r1' ź# ś# r2 r2 ź# ś# r1 r1' ź#ś# r2 r2 ź#
�# # �# # �# #�# #
podane w tablicy >>>
Tablica. Wartości ą, �, B/A
B/A ą � B/A ą �
0,0000 1,000 1,0000 0,8270 2,443 0,5247
0,0466 1,032 0,9696 0,8310 2,469 0,5217
0,1075 1,076 0,9318 0,8350 2,494 0,5186
0,1974 1,148 0,8791 0,8389 2,521 0,5155
0,2545 1,198 0,8472 0,8428 2,548 0,5124
0,3204 1,262 0,8114 0,8468 2,576 0,5093
0,3954 1,345 0,7717 0,8507 2,605 0,5061
0,4795 1,456 0,7218 0,8545 2,635 0,5029
0,5342 1,540 0,6992 0,8584 2,666 0,4996
0,5819 1,607 0,6791 0,8623 2,698 0,4963
0,6113 1,684 0,6580 0,8661 2,731 0,4930
0,6521 1,775 0,6359 0,8699 2,765 0,4897
0,6716 1,826 0,6245 0,8737 2,800 0,4863
0,6920 1,882 0,6127 0,8774 2,837 0,4828
0,7126 1,943 0,6006 0,8811 2,874 0,4794
cd.>>>
B/A ą � B/A ą �
0,7332 2,011 0,5881 0,8849 2,914 0,4759
0,7538 2,087 0,5752 0,8885 2,954 0,4723
0,7579 2,103 0,5726 0,8922 2,996 0,4687
0,7620 2,119 0,5699 0,8958 3,040 0,4650
0,7661 2,136 0,5672 0,8994 3,085 0,4613
0,7702 2,153 0,5646 0,9030 3,132 0,4576
0,7743 2,171 0,5618 0,9065 3,181 0,438
0,7784 2,189 0,5591 0,9100 3,233 0,4499
0,7825 2,207 0,5564 0,9134 3,286 0,4460
0,7866 2,226 0,5536 0,9269 3,526 0,4297
0,7907 2,245 0,5508 0,9428 3,899 0,4076
0,7948 2,265 0,5480 0,9458 3,986 0,4029
0,7988 2,286 0,5452 0,9488 4,079 0,3981
0,8029 2,306 0,5423 0,9517 4,178 0,3932
0,8069 2,328 0,5395 0,9574 4,395 0,3830
0,8110 2,350 0,5366 0,9705 5,091 0,3551
0,8150 2,372 0,5336 0,9818 6,159 0,3223
0,8190 2,395 0,5307 0,9909 8,062 0,2814
0,8230 2,419 0,5277 0,9937 12,789 0,2232
Rozkład nacisków powierzchniowych na obszarze styku jest elipsoidą ( rys. 10.13 ) o
następującym równaniu:
2 2
3P x y
�# ś# �# ś#
p(x, y) = 1- -
ś# ź# ś# ź#
( 10.71 )
2Ąab a b
�# # �# #
Rys. 10.13
Wartość pmax największego ciśnienia na powierzchni styku dla x = 0 i y = 0 wynosi:
3P
pmax =
( 10.72 )
2Ąab
Jeśli elementy dociskane są walcami o osiach równoległych, obszar styku jest
prostokątem o szerokości 2b, przy czym:
4 k r1 r2
b =
P'
( 10.73 )
Ą (r1 + r2)
2
1- �1 1- �2
Siła docisku na jednostkę
2
k = +
długości wspólnej tworzącej
E1 E2
Rozkład nacisków na obszarze styku jest walcem o przekroju półeliptycznym, a pmax wynosi:
2P'
pmax =
( 10.74 )
Ąb
Największe naprężenie redukowane występuje w tak zwanym punkcie
Bielajewa, którego położenie na osi symetrii określa współrzędna zB. Według hipotezy
maksymalnych naprężeń stycznych przy � = 0,3 dla kołowego obszaru styku ( ściskania
kul ) zB/b = 0,481 i �red/pmax = 0,620,natomiast dla prostokątnego obszaru styku (ściskania
walców ) zB/b = 0,780 i �red/pmax = 0,608 . Według hipotezy energii odkształcenia
postaciowego wielkości te zmieniaja się odpowiednio w przedziale od zB/b = 0,481 i
�red/pmax = 0,620 do zB/b = 0,697 i �red/pmax = 0,567. Wartości naprężenia redukowanego
w punkcie Bielajewa przekraczają często Re, a nawet Rm. Materiał wytrzymuje to,
ponieważ panuje tam stan naprężenia bliski przestrzennemu równomiernemu ściskaniu
( dla takiego stanu naprężenia obydwie hipotezy tracą sens ).
Kryterium nacisku powierzchniowego można sformułować następująco:
( 10.75 )
pmax d" kdH
Wartości jednostkowe nacisku dopuszczalnego kdH są znaczne, np. dla stali StOS wynoszą
440 MPa, a dla stali 18G2 nawet 880 MPa, ponieważ stany naprężenia w obszarze styku są
bliskie równomiernemu przestrzennemu ściskaniu.
LITERATURA
Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia
komputerowego. WNT, Warszawa 2000