Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 15
15. Fale w ośrodkach sprę\ystych
15.1 Fale mechaniczne
Fale powstające w ośrodkach sprę\ystych (np. fale dzwiękowe) nazywamy falami me-
chanicznymi. Powstają w wyniku wychylenia jakiegoś fragmentu ośrodka z poło\enia
równowagi co w następstwie powoduje drgania fragmentu wokół tego poło\enia. Drga-
nia te (dzięki właściwościom sprę\ystym ośrodka) są przekazywane na kolejne części
ośrodka. Sam ośrodek nie przesuwa się a jedynie jego elementy wykonują drgania w
ograniczonych obszarach przestrzeni. Np. fale na powierzchni wody: przedmioty pły-
wajÄ…ce wykonujÄ… ruch drgajÄ…cy natomiast same fale poruszajÄ… siÄ™ ruchem jednostaj-
nym. Fala dobiegajÄ…ce do danego przedmiotu wprawiajÄ… go w ruch drgajÄ…cy przekazu-
jąc mu energię. Mo\na za pomocą fal przekazywać więc energię na du\e odległości.
Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka.
Cechą charakterystyczną fal jest to, \e przenoszą energię poprzez materię dzięki prze-
suwaniu się zaburzenia w materii a nie dzięki ruchowi postępowemu samej materii.
Do rozchodzenia się fal mechanicznych potrzebny jest ośrodek. To właściwości sprę\y-
ste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali.
Ze względu na kierunek drgań cząstek względem kierunku rozchodzenia się fali
" fale poprzeczne (np. lina)
" fale podłu\ne (np. sprę\yna, głos)
Ze względu na czoło fali (powierzchnia łącząca punkty o jednakowych zaburzeniach w
danej chwili) wyró\niamy
" fale płaskie (w jednym kierunku)
" fale kuliste
15.2 Fale rozchodzÄ…ce siÄ™ w przestrzeni
Rozwa\my długi sznur naciągnięty w kierunku x, wzdłu\ którego biegnie fala po-
przeczna. W dowolnej chwili np. t = 0 kształt sznura mo\na opisać funkcją
y = f(x), t = 0
y przemieszczenie czÄ…steczek sznura sznura.
W miarę upływu czasu fala biegnie wzdłu\ sznura bez zmiany kształtu. Po czasie t fala
przesuwa się o vt w prawo (v - prędkość fali). Zatem po czasie t równanie krzywej ma
postać
y = f(x - vt), t
Oznacza to, \e w chwili t w punkcie x = vt, kształt jest taki sam jak w chwili t = 0
w punkcie x = 0. Mamy więc równanie fali tylko trzeba określić funkcję f.
Je\eli śledzimy wybraną część fali (czyli określoną fazę) to musimy zbadać jak zmienia
się w czasie określona wartość y (np. maksimum - amplituda). Chcemy \eby y było cały
15-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
czas takie samo, więc argument x - vt musi być taki sam, a to oznacza, \e gdy czas ro-
śnie to musi te\ rosnąć x (czyli ruch w prawo). Fala w lewo ma więc równanie
y = f(x+vt).
PodsumowujÄ…c, dla wybranej fazy mamy
x - vt = const.
Ró\niczkując względem czasu otrzymujemy
d x
-v = 0
d t
czyli
d x
=v
d t
To jest prędkość fazowa. Zauwa\my, \e dla danego t mamy równanie f(x), a dla danego
miejsca sznura x mamy równanie f(t).
Rozwa\my teraz fale o szczególnym kształcie. Załó\my, \e w chwili t = 0 kształt sznura
jest opisany funkcjÄ…
2Ä„
y = Asin x
gdzie A jest maksymalnym wychyleniem. Zauwa\my, \e wychylenie jest takie samo
w punktach x, x + , x + 2, x + 3 itd. Wielkość nazywamy długością fali (odległość
między punktami o tej samej fazie). Je\eli fala biegnie w prawo to po czasie t
2Ä„
y = Asin (x -vt)
To jest równanie fali biegnącej.
Okres T jest czasem, w którym fala przebiega odległość równą więc:
= vT
stÄ…d
x t
ëÅ‚ öÅ‚
y = Asin 2Ä„ - ÷Å‚
(15.1)
ìÅ‚
T
íÅ‚ Å‚Å‚
Widać, \e w danej chwili taka sama faza jest w punktach x, x + , x + 2, x + 3 itd.,
oraz, \e w danym miejscu faza powtarza siÄ™ w chwilach t, t + T, t +2T, itd.
CzÄ™sto wprowadza siÄ™ dwie nowe wielkoÅ›ci: liczbÄ™ falowÄ… k = 2Ä„/ i czÄ™stość É = 2Ä„/T.
Wówczas y = Asin(kx-Ét) lub y = Asin(kx+Ét) dla fal biegnÄ…cych w prawo i lewo.
Widać, \e prędkość fazowa fali v jest dana wzorem
v = /T = É/k (15.2)
oraz, \e dla danego x otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego.
15-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
15.3 Rozchodzenie się fal, prędkość fal
Je\eli chcemy zmierzyć prędkość fali v to śledzimy jak przemieszcza się w czasie
wybrana część fali czyli określona faza.
Wiemy, \e prędkość fali zale\y od sprę\ystości ośrodka i jego bezwładności. Sprę-
\ystość dla sznura jest określona poprzez napinającą go siłę F (np. im większa siła tym
szybciej wychylone elementy sznura wracają do poło\enia równowagi). Natomiast
bezwładność jest związana z masą sznura m oraz jego długością l. Spróbujemy teraz
wyprowadzić wzór na zale\ność prÄ™dkoÅ›ci v fali od siÅ‚y F i od µ = m/l tj. masy przypa-
dającej na jednostkę długości sznura. W tym celu rozpatrzmy mały wycinek sznura
o długości dx pokazany na rysunku.
KoÅ„ce wycinka sznura tworzÄ… z osiÄ… x maÅ‚e kÄ…ty ¸1 i ¸2. Dla maÅ‚ych kÄ…tów
¸ E" sin¸ E" dy/dx. Wypadkowa pionowa siÅ‚a tj. siÅ‚a wychylajÄ…ca sznur w kierunku y wy-
nosi
Fwyp = F sin¸2 - F sin¸1 = F¸2 - F¸1
Zgodnie z zasadą dynamiki siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka
dm = µÅ"dx i jego przyspieszenia. StÄ…d
"vy
"2 y
Fwyp = F¸2 - F¸1 = (µdx) = (µdx)
2
"t "t
lub
2
"¸ µ " y
=
2
"x F " t
(Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cząstkowe oznaczane symbolem "y bo wy-
chylenie y jest funkcją dwóch zmiennych y = f (x,t) i liczymy pochodne zarówno
względem zmiennej x jak i zmiennej t).
UwzglÄ™dniajÄ…, \e ¸ = "y/"x otrzymujemy
15-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
2 2
" y µ " y
= (15.3)
" x2 F " t2
Jest to równanie falowe dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpo-
wiednie pochodne funkcji y = f(x,t) = Asin(k x - É t)
2
" y
2
= -AÉ sin(k x -Ét)
2
" t
oraz
2
" y
2
= -Ak sin(k x - Ét)
" x2
W wyniku podstawienia otrzymujemy
µ
2 2
k = É
F
skąd mo\emy obliczyć prędkość fali
É F
v = = (15.4)
k µ
Zwróćmy uwagę, \e sinusoidalna fala mo\e być przenoszona wzdłu\ struny z prędko-
ścią niezale\ną od amplitudy i częstotliwości.
Je\eli teraz przepiszemy równanie struny w postaci
2 2
" y 1 " y
= (15.5)
2
"x2 v2 " t
to otrzymamy równanie falowe, które stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzą-
cych się fal, takich jak fale dzwiękowe czy elektromagnetyczne.
15.4 Przenoszenie energii przez fale
Szybkość przenoszenia energii wyznaczymy obliczając siłę F jaka działa na koniec
struny (porusza struną w górę i w dół w kierunku y).
W tym celu posłu\ymy się zale\nością
P = Fyv
y
Jak widać z rysunku prędkość poprzeczna równa jest
v = "y/"t, a składowa siły F w kierunku y wynosi
y
Fsin¸ . PodstawiajÄ…c do wzoru na moc otrzymujemy
15-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
" y
P = F sin¸
" t
Dla maÅ‚ych kÄ…tów ¸ mo\emy przyjąć sin¸ E" "y/"x (znak minus wynika z ujemnego
nachylenia struny). StÄ…d
" y " y
P = -F
" t " x
Obliczamy teraz pochodne funkcji y = f(x,t) = Asin(k x - É t)
" y
= -AÉcos(kx - Ét)
" t
" y
= Ak cos(kx - Ét)
" x
i podstawiamy do wyra\enia na moc
P = FA2kÉ cos2 (k x - Ét) (15.6)
Zauwa\my, \e moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Korzystając
z tego, \e k = É /v, É = 2Ä„f oraz, \e v = F / µ otrzymujemy
2 2
P = 4Ä„ A2 f µvcos2 (kx -Ét) (15.7)
Widzimy, \e szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy
i kwadratu częstotliwości. Ta zale\ność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.
15.5 Interferencja fal
Rozwa\my dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach ale o fazach ró\-
niÄ…cych siÄ™ o Õ. Równania tych fal sÄ… nastÄ™pujÄ…ce
y1 = Asin(kx Ét Õ)
y2 = Asin(kx Ét)
Znajdzmy teraz falÄ™ wypadkowÄ… (zasada superpozycji) jako sumÄ™ y = y1 + y2.
Korzystając ze wzoru na sumę sinusów otrzymujemy
y = 2Acos(Õ/2)sin(kx Ét Õ/2) (15.8)
co jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie 2Acos(Õ/2). Dla Õ = 0 fale spotykajÄ…
siÄ™ zgodnie w fazie (wzmacniajÄ…), a dla Õ = 180 wygaszajÄ….
15-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
15.6 Fale stojÄ…ce
Rozwa\my teraz dwa ciÄ…gi falowe biegnÄ…ce w przeciwnych kierunkach tzn.
y1 = Asin(kx Ét)
y2 = Asin(kx + Ét)
np. falÄ™ padajÄ…cÄ… i odbitÄ….
Falę wypadkową mo\na zapisać jako
y = y1 + y2 = 2AsinkxcosÉt (15.9)
To jest równanie fali stojącej. Zauwa\my, \e cząstki drgają ruchem harmonicznym pro-
stym. Cząstki mają tę samą częstość ale ró\ną amplitudę zale\ną od poło\enia cząstki x.
Punkty kx = Ä„/2, 3Ä„/2, 5Ä„/2, itd. czyli x = /4, 3/4, 5/4 itd. majÄ…ce maksymalnÄ… am-
plitudę nazywamy strzałkami a punkty kx = Ą, 2Ą, 3Ą itd. czyli x = /2, , 3/2 itd. ma-
jące zerową amplitudę nazywamy węzłami.
Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną istotną ró\nicę. Energia nie jest przenoszona wzdłu\
sznura bo nie mo\e ona przepłynąć przez węzły, jest na stałe zmagazynowana w po-
szczególnych elementach sznura.
15.6.1 Układy drgające, przykład
Je\eli struna zamocowana na obu końcach zostanie najpierw wygięta a następnie
puszczona, to wzdłu\ struny rozchodzą się drgania poprzeczne. Zaburzenia te odbijają
się od zamocowanych końców i w wyniku interferencji powstaje fala stojąca. Zwróćmy
uwagę, \e drgania struny wytwarzają w otaczającym strunę powietrzu dzwiękowe fale
podłu\ne (fale akustyczne). Poniewa\ jedynym warunkiem, jaki musi być spełniony,
jest nieruchomość obu końców struny, czyli istnienie węzłów fali stojącej na tych koń-
cach, to mogą powstać w tej strunie fale stojące o ró\nej długości. Pierwsze cztery ro-
dzaje drgań jakie powstają w strunie o długości L zamocowanej na końcach są pokazane
na rysunku poni\ej. Takie fale stojÄ…ce nazywamy rezonansami.
1 = 2L
2 = L
3 = 2L/3
4 = L/2
L
Widzimy, \e długości fal spełniają związek
15-6
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
2L
n = (15.10)
n
Korzystając z tego, \e prędkość fali v = T = v oraz podstawiając wyra\enie (15.4)
mo\emy obliczyć częstotliwość rezonansów
n n F
fn = v = (15.11)
2L 2L µ
Najni\szą częstość nazywamy częstością podstawową a pozostałe wy\szymi harmonicz-
nymi czyli alikwotami.
Zazwyczaj w drganiach występują, oprócz drgania podstawowego, równie\ drgania
harmoniczne, a dzwięki jakie odbieramy są wynikiem nakładania się tych drgań. O ja-
kości instrumentu (jego barwie) decyduje właśnie to ile alikwotów jest zawarte w
dzwięku i jakie są ich natę\enia. Przykładowo, drganie wypadkowe struny będące zło-
\eniem tonu podstawowego (n = 1) i wy\szych harmonicznych (n = 3, 5, 7) o ró\nych
amplitudach jest pokazane na rysunku poni\ej.
n = 1
drganie wypadkowe
n = 3
n = 5
t
n = 7
Zwróćmy uwagę, \e wypadkowe drganie (chocia\ okresowe) nie jest harmoniczne (nie
daje się opisać funkcją sinus lub cosinus).
15.7 Dudnienia - modulacja amplitudy
Mówiliśmy ju\ o superpozycji fal, interferencji w przestrzeni (dodawanie fal o tej
samej częstości). Rozpatrzmy teraz przypadek interferencji w czasie. Pojawia się ona
gdy przez dany punkt w przestrzeni przebiegajÄ… w tym samym kierunku fale o trochÄ™
ró\nych częstotliwościach. Wychylenie wywołane przez jedną falę ma postać
y1 = Acos2Ä„v1t
y2 = Acos2Ä„v2t
15-7
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
więc
y = y1 + y2 = A(cos2Ä„v1t + cos2Ä„v2t)
Ze wzoru na sumę cosinusów
v1
îÅ‚2Acos 2Ä„ - v2 v1 + v2
ëÅ‚ öÅ‚t
y = tłł cos 2Ą (15.12)
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Drgania wypadkowe mo\na więc uwa\ać za drgania o częstości
vsrednie = (v1 + v2)/2
która jest średnią dwóch fal, i o amplitudzie (wyra\enie w nawiasie kwadratowym)
zmieniającej się w czasie z częstością
vamp = (v1 v2)/2
Je\eli częstotliwości v1 i v2 są bliskie siebie to amplituda zmienia się powoli. Mówimy,
\e mamy do czynienia z modulacjÄ… amplitudy AM (stosowana np. w odbiornikach ra-
diowych). Dla fal dzwiękowych AM przejawia się jako zmiana głośności nazywana
dudnieniami (rysunek).
y
t
y
t
15.8 Zjawisko Dopplera
Austriak, Christian Doppler w pracy z 1842 r zwrócił uwagę, \e barwa świecącego
ciała (częstotliwość) musi się zmieniać z powodu ruchu względnego obserwatora lub
zródła. Zjawisko Dopplera występuje dla wszystkich fal. Obecnie rozwa\ymy je dla fal
dzwiękowych. Zajmiemy się przypadkiem ruchu zródła i obserwatora wzdłu\ łączącej
ich prostej.
15-8
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
yródło dzwięku spoczywa, a obserwator porusza się w kierunku zródła z prędkością vo.
Nieruchomy obserwator odbierał by vt/ fal w czasie t. Teraz odbiera jeszcze dodatko-
wo vot/ fal. Częstość słyszana przez obserwatora
vt vot
+
v+vo v+vo
v'= = =
v
t
v
Ostatecznie
v+vo
v'= v
v
Studiując pozostałe przypadki otrzymujemy ogólną zale\ność
ëÅ‚ vÄ…vo öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
v'= vìÅ‚ (15.12)
÷Å‚
íÅ‚vmvz Å‚Å‚
gdzie v' - częstość odbierana przez obserwatora, v - częstość zródła, v - prędkość fali, vo
- prędkość obserwatora, vz - prędkość zródła.
Znaki "górne" w liczniku i mianowniku odpowiadają zbli\aniu się, a znaki dolne odda-
laniu się obserwatora i zródła.
15-9
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
8 Dynamika ruchu sprezystego Fale w osrodkach sprezystych (2)więcej podobnych podstron