ÿþ8 . D y n a m i k a r u c h u d r g a j c e g o i f a l e w o [r o d k a c h s p r |y s t y c h .
W y b ó r i o p r a c o w a n i e z a d a D 8 . 1 . 8 . 3 5 . - R y s z a r d T w a r d o w s k i
W y b ó r i o p r a c o w a n i e z a d a D 8 . 3 6 . - 8 . 4 5 - B o g u s Ba w K u s z
8 . 1 . W u k Ba d z i e p r z e d s t a w i o n y m n a
r y s u n k u 8 . 1 . m a s m = 0 , 0 1 k g w c h w i l i t
= 0 s o d c h y l o n o o d p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i
o x 0 = 0 , 0 1 m i n a d a n o j e j p r d k o [ v 0 =
0 , 4 m / s . Z n a l e z z a l e |n o [ w y c h y l e n i a ,
m
p r d k o [c i i p r z y s p i e s z e n i a m a s y m o d
c z a s u . I l e w y n o s i o k r e s d r g a D, a m p l i t u d a i
f a z a p o c z t k o w a w y c h y l e n i a m a s y m ?
x
0
R y s . 8 . 1 .
W s p ó Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i n i e w a |k i e j
s p r |y n y k = 1 0 N / m . T a r c i e z a n i e d b a .
8 . 2 . W s t r o n n i e r u c h o m e j m a s y m p r z e d s t a w i o n e j n a r y s u n k u 8 . 1 . p o r u s z a s i z p r d k o [c i - v
c i a Bo o m a s i e m i z d e r z a s i z n i c e n t r a l n i e . J a k d Bu g o t r w a r u c h m a s y z a m o c o w a n e j d o
n i e w a |k i e j s p r |y n y o w s p ó Bc z y n n i k u s p r |y s t o [c i k w p r z y p a d k u , k i e d y a ) z d e r z e n i e m a s
j e s t s p r |y s t e b ) z d e r z e n i e m a s j e s t n i e s p r |y s t e , a m a s y t r w a l e p r z y l e g a j d o s i e b i e ? I l e
w y n o s i o k r e s d r g a D w o b u p r z y p a d k a c h ? T a r c i e z a n i e d b a .
8 . 3 . C z s t k a w y k o n u j e d r g a n i a h a r m o n i c z n e . W o d l e g Bo [c i a c h x 1 i x 2 o d p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i
j e j p r d k o [c i w y n o s z v 1 i v 2 . Z n a l e z a m p l i t u d i c z s t o [ d r g a D c z s t k i .
8 . 4 * * . C z s t k a w y k o n u j e d r g a n i a h a r m o n i c z n e z g o d n i e z r ó w n a n i e m x = A s i n ( É0 t ) . O b l i c z y
p r a w d o p o d o b i e Ds t w o p z n a l e z i e n i a c z s t k i w p r z e d z i a l e o d A / 2 d o A . O t r z y m a z a l e |n o [
g s t o [c i p r a w d o p o d o b i e Ds t w a ( d p / d x ) o d x .
8 . 5 . W u k Ba d z i e p r z e d s t a w i o n y m n a r y s . 8 . 1 . m a s m o d c i g n i t o o "x k o d p o Bo |e n i a
r ó w n o w a g i . D Bu g o [ n i e o d k s z t a Bc o n e j s p r |y n y w y n o s i d . O i l e p r z e s u n B s i d o w o l n y p u n k t
s p r |y n y o d p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i ?
8 . 6 * * . W u k Ba d z i e p r z e d s t a w i o n y m n a r y s u n k u 8 . 1 . s p r |y n a o m a s i e M m a w s p ó Bc z y n n i k
s p r |y s t o [c i k . M a s m o d c i g n i t o n i e c o o d p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i i p u s z c z o n o . Z n a l e z o k r e s
d r g a D t e g o u k Ba d u .
8 . 7 * . I l e w y n o s i o k r e s m a By c h d r g a D k u l k i A w u k Ba d z i e z Bo |o n y m z w a h a d Ba
m a t e m a t y c z n e g o i n i e w a |k i e j s p r |y n y ( r y s . 8 . 2 . ) ? O s o b n o w a h a d Bo m a t e m a t y c z n e m a o k r e s
m a By c h d r g a D T 1 , a k u l k a A p o d w i e s z o n a t y l k o d o s p r |y n y m a o k r e s d r g a D T 2 .
A
R y s . 8 . 2 .
8 . 8 . D w a w a h a d Ba m a t e m a t y c z n e o d Bu g o [c i d i m a s i e m k a |d e p o Bc z o n o z a p o m o c s Ba b e j
n i e w a |k i e j i n i e o d k s z t a Bc o n e j s p r |y n y o w s p ó Bc z y n n i k u s p r |y s t o [c i k ( r y s . 8 . 3 . ) . Z n a l e z
o k r e s m a By c h d r g a D w p r z y p a d k a c h a ) k a |d e w a h a d Bo o d c h y l o n o o k t ±0 w p r a w o o d
p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i , b ) p i e r w s z e w a h a d Bo o d c h y l o n o o k t ±0 w p r a w o , d r u g i e o k t ±0 w
l e w o o d p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i , c ) o d c h y l o n o t y l k o p i e r w s z e w a h a d Bo o k t ±0 w p r a w o o d
p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i . W p r z y p a d k u c ) o b l i c z o d s t p c z a s u u p By w a j c e g o p o m i d z y c h w i l a m i
c z a s u , k i e d y j e d n o w a h a d Bo p r z e s t a j e d r g a , a d r u g i e w y k a z u j e m a k s y m a l n e d r g a n i a .
R y s . 8 . 3 .
8 . 9 . N i e w a |k s p r |y n p o d z i e l o n o n a d w i e , t a k , |e s t o s u n e k i c h d Bu g o [c i w y n o s i 1 : 2 .
N a s t p n i e z t y c h s p r |y n i c i a Ba A z m o n t o w a n o u k Ba d p r z e d s t a w i o n y n a r y s u n k u 8 . 4 .
O b l i c z y o k r e s d r g a D c i a Ba o d c h y l o n e g o o d p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i w k i e r u n k u p o z i o m y m , j e [l i
w i a d o m o , |e c i a Bo A z a m o c o w a n e d o c a Be j s p r |y n y w y k o n u j e d r g a n i a o c z s t o t l i w o [c i f .
Z a Bo |y b r a k t a r c i a .
A
x
0
R y s . 8 . 4 .
8 . 1 0 * . W y o b r a zm y s o b i e t u n e l w y d r |o n y w Z i e m i w z d Bu | j e j o s i o b r o t u . W c h w i l i t = 0
c i a Bo A z a c z y n a s p a d a s w o b o d n i e z p o w i e r z c h n i Z i e m i w g Bb t u n e l u , a c i a Bo B z a c z y n a
s p a d a w g Bb t u n e l u z o d l e g Bo [c i r = R Z / 2 o d [r o d k a Z i e m i . O b l i c z y c z a s t , p o k t ó r y m c i a Ba
s i s p o t k a j i w s k a z a m i e j s c e s p o t k a n i a . Z a n i e d b a o p ó r p o w i e t r z a o r a z z a Bo |y , |e Z i e m i a
j e s t j e d n o r o d n k u l o p r o m i e n i u R Z = 6 4 0 0 k m .
8 . 1 1 * . J e d n o r o d n y p o z i o m y p r t w i s z c y n a d w ó c h p i o n o w y c h l i n a c h o d Bu g o [c i b k a |d a i
u w i z a n y c h d o k o Dc ó w p r t a , o b r ó c o n o o m a By k t w o k ó B n i e r u c h o m e j p i o n o w e j o s i
p r z e c h o d z c e j p r z e z j e g o [r o d e k . O b l i c z y o k r e s w a h a D p r t a .
8 . 1 2 . W y p r o w a d z i w z ó r n a o k r e s m a By c h d r g a D w a h a d Ba f i z y c z n e g o w y c h o d z c a ) z z a s a d
d y n a m i k i r u c h u o b r o t o w e g o , b ) z z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i m e c h a n i c z n e j .
8 . 1 3 . N a k o Dc a c h c i e n k i e g o p r t a o d Bu g o [c i b = 0 , 3 m i m a s i e m = 0 , 4 k g u m o c o w a n o m a Be
k u l e o m a s a c h m 1 = 0 , 2 k g i m 2 = 0 , 3 k g . P r t z k u l a m i w a h a s i w o k ó B o s i p o z i o m e j
p r z e c h o d z c e j p r z e z j e g o [r o d e k . O b l i c z y o k r e s m a By c h w a h a D.
8 . 1 4 * . J e d n o r o d n y p r t o d Bu g o [c i b w y k o n u j e m a Be w a h a n i a w o k ó B p o z i o m e j o s i
p r z e c h o d z c e j p r z e z p r t i p r o s t o p a d Be j d o n i e g o . D l a j a k i e j o d l e g Bo [c i m i d z y o s i a
[r o d k i e m p r t a o k r e s w a h a D b d z i e n a j k r ó t s z y ?
8 . 1 5 * . C i |a r e k z a w i e s z o n y n a n i e w a |k i e j s p r |y n i e o d Bu g o [c i d = 1 0 c m w y k o n u j e d r g a n i a
z d e k r e m e n t e m l o g a r y t m i c z n y m › = 2 À. P o s k r ó c e n i u s p r |y n y d e k r e m e n t l o g a r y t m i c z n y
d r g a D w y n o s i ›1 = À. O b l i c z y d Bu g o [ s k r ó c o n e j s p r |y n y .
8 . 1 6 . W o d s t p i e c z a s u "t 1 e n e r g i a d r g a D w r u c h u h a r m o n i c z n y m s Ba b o t Bu m i o n y m z m a l a Ba n -
k r o t n i e . I l e r a z y z m a l e j e a m p l i t u d a d r g a D w t y m r u c h u w o d s t p i e c z a s u "t 2 ?
8 . 1 7 * . W p e w n y m o [r o d k u w a h a d Bo m a t e m a t y c z n e d r g a z l o g a r y t m i c z n y m d e k r e m e n t e m
t Bu m i e n i a ›0 = 1 , 5 . J a k i b d z i e l o g a r y t m i c z n y d e k r e m e n t t Bu m i e n i a ›, j e [l i o p ó r o [r o d k a
w z r o [n i e n = 2 r a z y ? I l e r a z y n a l e |y z w i k s z y o p ó r o [r o d k a , a b y w a h a d Bo n i e m o g Bo d r g a ?
8 . 1 8 . Z n a l e z l o g a r y t m i c z n y d e k r e m e n t t Bu m i e n i a w a h a d Ba m a t e m a t y c z n e g o o d Bu g o [c i d ,
j e [l i p o c z a s i e Ä j e g o e n e r g i a z m n i e j s z y Ba s i n r a z y .
8 . 1 9 * . M a B k u l k w y c h y l o n o z p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i n a o d l e g Bo [ d = 2 c m i p u s z c z o n o
s w o b o d n i e . L o g a r y t m i c z n y d e k r e m e n t t Bu m i e n i a d r g a D k u l k i w y n o s i B › = 0 , 0 0 2 . J a k d r o g
p r z e b d z i e k u l k a d o c h w i l i z a t r z y m a n i a s i ?
8 . 2 0 . W u k Ba d z i e p o k a z a n y m n a r y s . 8 . 1 . m a s a m z n a j d u j e s i w s t a n i e r ó w n o w a g i . W c h w i l i
t = 0 d o m a s y m p r z y Bo |o n o p o z i o m s i B F = F 0 s i n ( Ét ) . Z n a l e z r ó w n a n i e o p i s u j c e
w y c h y l e n i e x ( t ) m a s y m z p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i . W s p ó Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i n i e w a |k i e j
s p r |y n y w y n o s i k . Z a Bo |y b r a k t a r c i a .
8 . 2 1 . N a p o d s t a w i e w y r a |e n i a n a a m p l i t u d w y c h y l e n i a s t a c j o n a r n y c h d r g a D w y m u s z o n y c h
o t r z y m a w z ó r n a c z s t o [ r e z o n a n s o w .
8 . 2 2 . A m p l i t u d y w y c h y l e n i a p u n k t u w y k o n u j c e g o s t a c j o n a r n e d r g a n i a w y m u s z o n e s s o b i e
r ó w n e p r z y c z s t o [c i a c h É1 i É2 . I l e w y n o s i c z s t o [ r e z o n a n s o w a ?
8 . 2 3 . A m p l i t u d y p r d k o [c i p u n k t u w y k o n u j c e g o s t a c j o n a r n e d r g a n i a w y m u s z o n e s s o b i e
r ó w n e p r z y c z s t o [c i a c h É1 i É2 . I l e w y n o s i c z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h ?
8 . 2 4 * * . C i a Bo o m a s i e m w y k o n u j e s t a c j o n a r n e d r g a n i a p o d w p By w e m s i By F = F 0 c o s ( Ét ) w
o [r o d k u o w s p ó Bc z y n n i k u t Bu m i e n i a ². O b l i c z y [r e d n i m o c s i By o p o r u o [r o d k a , c z s t o [
d r g a D w Ba s n y c h w y n o s i É0 . W y k a z a , |e s u m a [r e d n i e j m o c y s i By o p o r u o [r o d k a i [r e d n i e j
m o c y s i By F w y n o s i z e r o .
8 . 2 5 * . O b l i c z y [r e d n i e n e r g i k i n e t y c z n i [r e d n i e n e r g i p o t e n c j a l n s i By s p r |y s t o [c i
c i a Ba o m a s i e m w y k o n u j c e g o s t a c j o n a r n e d r g a n i a w y m u s z o n e o r ó w n a n i u x = D c o s ( Ét + Õ) .
C z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h w y n o s i É0 .
8 . 2 6 . W p e w n y m o [r o d k u w z d Bu | o s i y p r z e m i e s z c z a s i m o n o c h r o m a t y c z n a h a r m o n i c z n a
f a l a p Ba s k a o d Bu g o [c i ». Z n a l e z r ó |n i c f a z d r g a D c z s t e k o [r o d k a z n a j d u j c y c h s i n a
r ó w n o l e g By c h p Ba s z c z y z n a c h A i B o d l e g By c h o d s i e b i e o "y . P Ba s z c z y z n y t e s p r o s t o p a d Be d o
o s i y .
8 . 2 7 * . W j e d n o r o d n y m o [r o d k u s p r |y s t y m o g s t o [c i Á0 r o z c h o d z i s i f a l a p Ba s k a
s ( x , t ) = s 0 c o s ( Ét - k x ) .
S p o r z d z i w y k r e s y d l a t = À/ É
a ) z a l e |n o [c i s ( x ) , ( "s / "t ) ( x ) , ( "s / "x ) ( x ) ,
b ) z a z n a c z y n a w y k r e s i e d l a s = 0 k i e r u n k i p r d k o [c i c z s t e k o [r o d k a d l a f a l i
p o d Bu |n e j i p o p r z e c z n e j ,
c ) z a l e |n o [c i g s t o [c i o [r o d k a Á( x ) d l a f a l i p o d Bu |n e j .
8 . 2 8 . W y k a z a , |e o g ó l n e r ó w n a n i e f a l i p Ba s k i e j w p o s t a c i
r
r r
s ( r , t ) = s 0 c o s ( Ét - k r + Õ )
s p e Bn i a r ó w n a n i e f a l o w e .
8 . 2 9 . W z a m o c o w a n e j n a k o Dc a c h s t r u n i e o d Bu g o [c i b = 1 2 0 c m w y t w o r z o n o f a l s t o j c . W
p u n k t a c h o d l e g By c h o d s i e b i e o d 1 = 1 5 c m i d 2 = 5 c m a m p l i t u d a t e j f a l i j e s t r ó w n a A 1 = 3 , 5
m m . Z n a l e z m a k s y m a l n a m p l i t u d t e j f a l i . K t ó r e j h a r m o n i c z n e j o d p o w i a d a t a f a l a ?
8 . 3 0 . W o [r o d k u o g s t o [c i Á w y t w o r z o n o m e c h a n i c z n p o d Bu |n f a l s t o j c . W y c h y l e n i e
c z s t e c z e k o [r o d k a o p i s a n e j e s t r ó w n a n i e m : s = 2 s 0 c o s ( k x ) c o s ( Ét ) . O b l i c z y [r e d n i g s t o [
e n e r g i i k i n e t y c z n e j i [r e d n i g s t o [ e n e r g i i p o t e n c j a l n e j r u c h u f a l o w e g o w w z Ba c h i w
s t r z a Bk a c h .
8 . 3 1 * * . W p u n k t a c h Z 1 i Z 2 o s i x , o d l e g By c h o d o d s i e b i e , u m i e s z c z o n o zr ó d Ba
m o n o c h r o m a t y c z n y c h p Ba s k i c h f a l h a r m o n i c z n y c h o j e d n a k o w y c h k i e r u n k a c h d r g a D i
r o z c h o d z c y c h s i z g o d n i e z e z w r o t e m o s i x . Z n a l e z [r e d n i g s t o [ e n e r g i i r u c h u f a l o w e g o
w p u n k c i e P n a o s i x . Z a Bo |y , |e d o p u n k t u P d o c h o d z z o b y d w u zr ó d e B f a l e o r ó w n a n i a c h
o d p o w i e d n i o
s 1 = s 0 1 c o s ( É1 t - k 1 x + Õ1 ) i s 2 = s 0 2 c o s ( É2 t - k 2 ( x - d ) + Õ2 ) .
Z b a d a p r z y p a d k i a ) f a l e s n i e s p ó j n e , b ) f a l e s s p ó j n e . O [r o d e k j e s t n i e d y s p e r s y j n y .
8 . 3 2 . W t r z e c h r ó w n o o d l e g By c h p u n k t a c h z n a j d u j c y c h s i n a j e d n e j p r o s t e j d o k o n a n o
p o m i a r u n a t |e n i a f a l i e m i t o w a n e j p r z e z t o s a m o zr ó d Bo p u n k t o w e . G d z i e z n a j d u j e s i zr ó d Bo
f a l i , j e |e l i n a t |e n i e f a l i w p u n k t a c h s k r a j n y c h j e s t j e d n a k o w e , a w p u n k c i e [r o d k o w y m
w i k s z e o p = 1 0 % ? O d l e g Bo [ m i d z y p u n k t e m [r o d k o w y m a p u n k t a m i s k r a j n y m i w y n o s i a
= 1 0 m . P r z y j a ) f a l e s k u l i s t e , b ) f a l e s k o l i s t e .
8 . 3 3 . P u n k t o w e zr ó d Bo f a l o m o c y P z n a j d u j e s i w [r o d k u w a l c a o p r o m i e n i u R i w y s o k o [c i
h . P r z y j m u j c , |e [c i a n k i w a l c a c a Bk o w i c i e t Bu m i f a l e , o b l i c z y [r e d n i s t r u m i e D e n e r g i i
p a d a j c y n a b o c z n p o w i e r z c h n i w a l c a .
8 . 3 4 . D w a c i g i f a l p Ba s k i c h o d Bu g o [c i a c h »1 i »2 p r z e m i e s z c z a j s i w t y m s a m y m k i e r u n k u
w o [r o d k u d y s p e r s y j n y m o d y s p e r s j i d . P r d k o [ g r u p o w a f a l i w y p a d k o w e j w y n o s i v g .
Z n a l e z c z s t o [c i t y c h f a l .
8 . 3 5 . W p e w n y m o [r o d k u d w i e p Ba s k i e f a l e h a r m o n i c z n e t w o r z g r u p o p i s a n r ó w n a n i e m :
s = 0 , 0 0 5 c o s ( 2 0 x - 6 5 0 0 t ) c o s ( 0 , 5 x - 1 6 0 t ) ,
g d z i e w s p ó Bc z y n n i k i l i c z b o w e s w y r a |o n e w u k Ba d z i e S I . O b l i c z y s t o s u n e k p r d k o [c i
f a z o w e j d o p r d k o [c i g r u p o w e j .
8 . 3 6 . Z w a |y Be m s i n a w a d z e s p r |y n o w e j ( Ba z i e n k o w e j ) . P o d c z a s w a |e n i a s z a l k a w a g i
o b n i |y Ba s i o D = 1 c m a w a g a w s k a z a Ba m = 1 0 0 k g . O b l i c z w s p ó Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i o r a z
e n e r g i p o t e n c j a l n z g r o m a d z o n w s p r |y n i e .
8 . 3 7 * . P o d c z a s s k o k u z m o s t u o w y s o k o [c i H = 1 7 m n a g u m i e b u n g e e s k o c z e k o m a s i e
m = 7 5 k g o s i g n B m i n i m a l n w y s o k o [ n a p o z i o m i e D = 2 m n a d w o d . P o u s t a n i u d r g a D o
o k r e s i e T = 2 s s k o c z e k s w o b o d n i e z w i s a B n a w y s o k o [c i h = 6 m . Z a k Ba d a j c , |e t a r c i e
w y s t p u j c e w u k Ba d z i e j e s t p r o p o r c j o n a l n e d o p r d k o [c i r o z c i g a n i a g u m y , o s z a c u j :
a / e n e r g i p o t e n c j a l n g u m y w c h w i l i g d y s k o c z e k o s i g n B p o z i o m D ,
b / s t r a t y e n e r g i i j a k i e n a s t p i By d o c h w i l i g d y s k o c z e k o s i g n B p o z i o m D ,
c / o s z a c u j w a r t o [ m a k s y m a l n e g o p r z y s p i e s z e n i a d z i a Ba j c e g o n a s k o c z k a ,
d / n a r y s u j p r a w d o p o d o b n y w y k r e s z m i a n p o Bo |e n i a , p r d k o [c i i p r z y s p i e s z e n i a s k o c z k a w
f u n k c j i c z a s u .
U w a g a : d Bu g o [ l i n y w y n o s i L = 1 0 m , m a s l i n y i o p o r y p o w i e t r z a z a n i e d b a , V ( 0 ) = 0 .
8 . 3 8 . N a l i n c e o d Bu g o [c i L w i s i t a r c z a o m a s i e m . W t a r c z t r a f i a l e c c a p o z i o m o z
p r d k o [c i V 0 k u l k a o m a s i e m . N a p i s z r ó w n a n i e r u c h u t a r c z y p o z d e r z e n i u : a / z k u l k
g u m o w ( z d e r z e n i e s p r |y s t e ) , b / z k u l k p l a s t e l i n y ( z d e r z e n i e n i e s p r |y s t e ) . Z a Bo |e n i e :
u k Ba d m o |n a o p i s a j a k w a h a d Bo m a t e m a t y c z n e a z d e r z e n i e k u l i z t a r c z j e s t z d e r z e n i e m
c e n t r a l n y m .
8 . 3 9 . O p i s z r u c h u k Ba d u z z a d a n i a 3 8 w i e d z c , |e w u k Ba d z i e w y s t p u j e t Bu m i e n i e o p i s a n e
l o g a r y t m i c z n y m d e k r e m e n t e m t Bu m i e n i a ›.
8 . 4 0 . O s z a c o w a , d l a j a k i c h w a r t o [c i l o g a r y t m i c z n e g o d e k r e m e n t u t Bu m i e n i a › m o |n a
z a s t o s o w a p r z y b l i |e n i e › = ²T H" ²T 0 z b Bd e m m n i e j s z y m n i | 1 % .
8 . 4 1 . P By t k a k w a r c o w a o c z s t o t l i w o [c i d r g a D w Ba s n y c h f 0 = 1 0 M H z z o s t a Ba w z b u d z o n a d o
d r g a D s w o b o d n y c h t Bu m i o n y c h . P o j a k i m c z a s i e e n e r g i a z g r o m a d z o n a w p By t c e z m a l e j e d o
p o Bo w y , j e [l i l o g a r y t m i c z n y d e k r e m e n t t Bu m i e n i a ›= 0 , 0 0 1 ?
8 . 4 2 . S z a r p n i t y p r z e z r y b s p Ba w i k ( w k s z t a Bc i e p a t y k a ) w p a d B w d r g a n i a t Bu m i o n e . P o c z a s i e
t 8 = 4 T = 4 s ( T - o k r e s d r g a D) a m p l i t u d a d r g a D z m a l a Ba 8 r a z y . O b l i c z l o g a r y t m i c z n y d e k r e m e n t
t Bu m i e n i a o r a z c z s t o t l i w o [ d r g a D w Ba s n y c h s p Ba w i k a .
8 . 4 3 . J a k i e m a k s y m a l n e w s k a z a n i e o d c z y t a m y z w a g i s p r |y n o w e j ( Ba z i e n k o w e j ) j e [l i
s k o c z y m y n a j e j s z a l k z w y s o k o [c i h = 1 2 c m ? D a n e : m = 1 0 0 k g - m a s a c i a Ba , D = 1 c m -
o b n i |e n i e s z a l k i p r z y s t a t y c z n y m o b c i |e n i u . M a s s z a l k i m o |n a z a n i e d b a .
8 . 4 4 . D o j e d n e g o k o Dc a s p r |y n y o s t a Be j k = 2 / 3 N / m d o Bc z o n o m a B k u l k o m a s i e
m = 0 , 0 1 k g . T r z y m a j c s p r |y n z a j e j d r u g i k o n i e c w p r a w i o n o k u l k m w r u c h p o o k r g u w
p Ba s z c z y zn i e p o z i o m e j z p r d k o [c i V = 0 , 7 6 m / s . S p r |y n a w y d Bu |y Ba s i d w u k r o t n i e . O b l i c z
p r o m i e D t o r u k u l k i . Z a Bo |e n i e : m a s a s p r |y n y j e s t d o z a n i e d b a n i a a j e j o [ p o r u s z a s i p o d
s t a By m k t e m d o p i o n u .
8 . 4 5 . P e w n f a l o p i s a n o r ó w n a n i e m : s ( x , t ) = 1 0 - 6 s i n ( 2 0 4 0 À t - 6 Àx ) . C o m o |n a
w y w n i o s k o w a z t e g o o p i s u ? U w a g a : w i e l k o [c i w r ó w n a n i u p o d a n e s w u k Ba d z i e S I .
8 . 4 6 . O p i s z r ó w n a n i e m m e c h a n i c z n f a l p o p r z e c z n p o r u s z a j c s i w k i e r u n k u ( - " ) o s i y o
a m p l i t u d z i e A , d Bu g o [c i f a l i » i p r d k o [c i V .
8 . 4 7 . J a k i e f a l e s t o j c e m o |n a w z b u d z i w n a s t p u j c y c h u k Ba d a c h :
a / p r t m e t a l o w y o d Bu g o [c i L z a m o c o w a n y n a j e d n y m k o Dc u ,
b / p r t m e t a l o w y o d Bu g o [c i L z a m o c o w a n y n a o b u k o Dc a c h ,
c / p r t m e t a l o w y o d Bu g o [c i L z a m o c o w a n y w p u n k c i e o d l e g By m o 0 , 2 5 L o d k o Dc a ,
d / w p u s t e j s z k l a n c e o w y s o k o [c i H ,
e / w r u r c e p l a s t i k o w e j o d Bu g o [c i L .
8 . 4 8 . W i s z c y m o s t w T a c o m a ( U S ) z n i s z c z y B w 1 9 4 0 r o k u w i a t r o p r d k o [c i o k o Bo 7 0 k m / h
w i e j c y p r o s t o p a d l e d o l i n i i m o s t u . W i a t r s p o w o d o w a B p o w s t a n i e d r g a D r e z o n a n s o w y c h
c a Be g o m o s t u o a m p l i t u d z i e r z d u m e t r ó w . N a s z k i c u j p r a w d o p o d o b n y k s z t a Bt m o s t u t u | p r z e d
c a Bk o w i t y m z n i s z c z e n i e m .
U w a g a : p r z y j , |e m o s t w i s z c y t o z a m o c o w a n a n a k o Dc a c h , w i s z c a n a l i n a c h j e z d n i a o
d Bu g o [c i o k o Bo 2 0 0 0 m s z e r o k o [c i 2 0 m i g r u b o [c i 3 m .
8 . 4 9 . P r d k o [ f a z o w a f a l p o w i e r z c h n i o w y c h n a w o d z i e s i l n i e z a l e |y o d m e c h a n i z m u i c h
p r z e m i e s z c z a n i a . G d y d e c y d u j e o t y m n a p i c i e p o w i e r z c h n i o w e ( d l a f a l k r ó t k i c h »< 2 c m ) , i c h
2 ÀÃ
p r d k o [ w y r a |a s i w z o r e m : V f = g d z i e à j e s t n a p i c i e m p o w i e r z c h n i o w y m w o d y .
Á»
K i e d y s i Ba c i |k o [c i j e s t g Bó w n p r z y c z y n r o z c h o d z e n i a s i f a l n a w o d z i e i c h p r d k o [
g »
m o |n a o p i s a w z o r e m : V f = g d z i e g - p r z y s p i e s z e n i e z i e m s k i e . I l e w y n o s i p r d k o [
2 À
g r u p o w a f a l k r ó t k i c h i d Bu g i c h w s t o s u n k u d o i c h p r d k o [c i f a z o w y c h ?
8 . 5 0 . G r u p a f a l w y w o Ba n a p r z e z p r z e p By w a j c m o t o r ó w k p o r u s z a s i z p r d k o [c i 1 m / s .
Z n a l e z [r e d n i p r d k o [ f a z o w i d Bu g o [ f a l w t e j g r u p i e ?
R o z w i z a n i a
8 . 1 . R . R ó w n a n i e r u c h u m a s y m m a p o s t a :
( 1 ) m a = F s ,
g d z i e :
. .
d 2 x
a = a" x , F s = - k x .
d t 2
P o r z d k u j c r ó w n a n i e ( 1 ) o t r z y m a m y r ó w n a n i e r u c h u h a r m o n i c z n e g o p r o s t e g o
. .
k
2 2
( 2 ) x + É0 x = 0 , É0 = .
m
S z u k a m y n i e t r y w i a l n e g o r o z w i z a n i a r ó w n a n i a ( 2 ) w p o s t a c i x = C e r t ( C `" 0 ) . O b l i c z a j c
d r u g p o c h o d n w z g l d e m c z a s u z t a k z a p o s t u l o w a n e g o r o z w i z a n i a i w s t a w i a j c d o
r ó w n a n i a ( 2 ) o t r z y m a m y :
2
C e r t ( r 2 + É0 ) = 0
s k d m a m y r ó w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e
2
( 3 ) r 2 + É0 = 0 .
R ó w n a n i e ( 3 ) p o s i a d a d w a p i e r w i a s t k i :
r 1 = i É0 o r a z r 2 = - i É0 , g d z i e i = - 1 .
T a k , w i c r ó w n a n i e ( 2 ) m a d w a l i n i o w o n i e z a l e |n e r o z w i z a n i a :
x 1 = C 1 e i É0 t , x 2 = C 2 e - i É0 t ,
g d z i e C 1 i C 2 s s t a By m i . R o z w i z a n i e o g ó l n e r ó w n a n i a ( 2 ) j e s t k o m b i n a c j l i n i o w t y c h
r o z w i z a D
( 4 ) x = C 1 e i É0 t + C 2 e - i É0 t
R ó w n a n i e ( 4 ) z a z w y c z a j p r z e d s t a w i a s i w p o s t a c i t r y g o n o m e t r y c z n e j k o r z y s t a j c z w z o r ó w
E u l e r a
x = C 1 [ c o s ( É0 t ) + i s i n ( É0 t ) ] + C 2 [ c o s ( É0 t ) - i s i n ( É0 t ) ] = A c o s ( É0 t ) + B s i n ( É0 t ) ,
g d z i e : A = C 1 + C 2 , B = i ( C 1 - C 2 ) .
.
S t a Be A i B z n a j d u j e m y z w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h : x ( t = 0 ) = x 0 , v ( t = 0 ) = x ( t = 0 ) = v 0
x 0 = A c o s ( É0 0 ) + B s i n ( É0 0 ) = A
v 0
v 0 = - A É0 s i n ( É0 0 ) + B É0 c o s ( É0 0 ) = B É0 Ò! B = .
É0
Z a l e |n o [ w y c h y l e n i a m a s y m o d c z a s u p r z e d s t a w i a s i , w i c n a s t p u j c o :
v 0
( 5 ) x = x 0 c o s ( É0 t ) + s i n ( É0 t ) .
É0
R ó w n a n i e ( 5 ) m o |n a p r z e d s t a w i w p o s t a c i n p . k o s i n u s o w e j
2
v 0
2
( 6 ) x = D c o s ( É0 t + Õ0 ) , g d z i e D = ( x 0 + ) 1 / 2 ,
2
É0
x 0 v 0 v 0
c o s ( Õ0 ) = , s i n ( Õ0 ) = - , l u b t g ( Õ0 ) = - ,
D É0 D É0 x 0
c o Ba t w o p o k a z a p r z e z s p r a w d z e n i e .
N a p o d s t a w i e r ó w n a D ( 6 ) u z y s k a m y D = 0 , 0 1 6 m i Õ0 = - 0 , 9 0 2 r a d i a n ó w . O k r e s d r g a D
w y n o s i
2 À m
T = = 2 À
É0 k
i p o w s t a w i e n i u d a n y c h l i c z b o w y c h T = 0 , 2 s .
N a p o d s t a w i e r ó w n a D ( 6 ) o t r z y m a m y z a l e |n o [ p r d k o [c i v i p r z y s p i e s z e n i a a m a s y m o d
c z a s u
v = - D É0 s i n ( É0 t + Õ0 ) = D É0 c o s ( É0 t + Õ0 + À / 2 ) ,
2 2
a = - D É0 c o s ( É0 t + Õ0 ) = D É0 c o s ( É0 t + Õ0 + À) .
8 . 2 . R .
a ) Z d e r z e n i e s p r |y s t e
W p r z y p a d k u t e g o z d e r z e n i a c i a Bo u d e r z a j c e z a t r z y m a s i , a c i a Bo z a m o c o w a n e d o s p r |y n y
z a c z n i e r u c h , w k t ó r y m j e g o w y c h y l e n i e m o |n a o p i s a r ó w n a n i e m ( p a t r z z a d . 8 . 1 . )
k
( 1 ) x = A c o s ( É0 t ) + B s i n ( É0 t ) , É0 = .
m
W p r z y j t y m n a r y s u n k u 8 . 1 . u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h w a r u n k i p o c z t k o w e t e g o r u c h m o |n a
z a p i s a x 0 = 0 i v 0 = - v . W y k o r z y s t u j c r ó w n a n i e ( 1 ) i w a r u n k i p o c z t k o w e o t r z y m u j e m y s t a Be
A i B
0 = A c o s ( É0 0 ) + B s i n ( É0 0 ) , Ò! A = 0 ,
v
- v = - A É0 s i n ( É0 0 ) + B É0 c o s ( É0 0 ) , Ò! B = - ,
É0
c z y l i
v
x = - s i n ( É0 t ) .
É0
R u c h m a s y z a m o c o w a n e j d o s p r |y n y n i e b d z i e r u c h e m o k r e s o w y m i b d z i e t r w a B d o c h w i l i
j e j p o w r o t u d o p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i . C z a s t r w a n i a t e g o r u c h u t 1 m o |n a o b l i c z y z r ó w n a n i a
À m
É0 t 1 = À Ò! t 1 = = À .
É0 k
W c h w i l i t 1 m a s a z a m o c o w a n a d o s p r |y n y z a t r z y m a s i p r z e k a z u j c s w ó j p d d o d r u g i e j
m a s y , k t ó r a z a c z n i e o d d a l a s i o d n i e j z p r d k o [c i v .
b ) Z d e r z e n i e n i e s p r |y s t e
W t y m p r z y p a d k u m a s a u d e r z a j c a p r z y l g n i e d o m a s y z a m o c o w a n e j d o s p r |y n y . W s p ó l n
p r d k o [ m a s v 0 m o |n a o b l i c z y z z a s a d y z a c h o w a n i a p d u . W p r z y j t y m u k Ba d z i e
w s p ó Br z d n y c h
v
- m v = 2 m v 0 , Ò! v 0 = - .
2
R o z p o c z n i e s i r u c h h a r m o n i c z n y p r o s t y z w a r u n k a m i p o c z t k o w y m i x 0 = 0 , v 0 = - v / 2 i z
c z s t o [c i É0 = ( k / 2 m ) 1 / 2 . R u c h t e n b d z i e t r w a B n i e s k o Dc z e n i e d Bu g o ( z a n i e d b a l i [m y t a r c i e ) ,
a j e g o o k r e s w y r a |a s i w z o r e m :
2 À 2 m
T = = 2 À .
É0 k
8 . 3 . R .
2 2 2
v 1 x 2 - v 2 x 1 v 1 - v 2
2 2 2
A = , É0 = .
2 2
v 1 - v 2 x 2 - x 1
2 2
8 . 4 . R . W c i g u o k r e s u d r g a D T c z s t k a p r z e b y w a w p r z e d z i a l e o d A d o A . W p r z e d z i a l e o d
½ A d o A c z s t k a p r z e b y w a w c i g u c z a s u "t = 2 ( t A - t ( 1 / 2 ) A ) , g d z i e t ( 1 / 2 ) A i t A w y z n a c z y m y z
r ó w n a n i a r u c h u c z s t k i
1 a r c s i n ( 1 / 2 )
A = A s i n ( É0 t ( 1 / 2 ) A ) , Ò! t ( 1 / 2 ) A = ,
2 É0
a r c s i n ( 1 )
A = A s i n ( É0 t A ) , Ò! t A = ,
É0
2 [ a r c s i n ( 1 ) - a r c s i n ( 1 / 2 ) ]
( 1 ) "t = .
É0
S z u k a n e p r a w d o p o d o b i e Ds t w o p o k r e [l i m o |n a z r e l a c j i
"t É0 "t a r c s i n ( 1 ) - a r c s i n ( 1 / 2 ) 1
( 2 ) p = = = = .
T 2 À À 3
G s t o [ p r a w d o p o d o b i e Ds t w a Á = d p / d x m o |n a o b l i c z y k o r z y s t a j c z r ó w n a n i a ( 2 )
x + "x x x + "x x
a r c s i n ( ) - a r c s i n ( ) a r c s i n ( ) - a r c s i n ( )
"x
A A A A
"p = = , Ò!
"x
À ÀA
A
x + "x x
a r c s i n ( ) - a r c s i n ( )
"p 1
A A
( 3 ) = ,
"x
"x ÀA
A
p r z e c h o d z c w r ó w n a n i u ( 3 ) d o g r a n i c y "x ’!0 o t r z y m a m y :
d p 1
Á( x ) = = .
d x
À A 2 - x 2
P o l e c a s i c z y t e l n i k o w i n a s z k i c o w a w y k r e s t e j f u n k c j i .
8 . 5 . R . P r z y j m u j c p o c z t e k o s i x w p u n k c i e z a m o c o w a n i a s p r |y n y d o [c i a n y o t r z y m a m y
x
"x = "x k .
d
8 . 6 * . R . W s k a z ó w k a . K a |d y e l e m e n t d M s p r |y n y o d Bu g o [c i d w y k o n u j e r u c h h a r m o n i c z n y z
c z s t o [c i É0 . E n e r g i k i n e t y c z n t a k i e g o f r a g m e n t u m o |n a z a p i s a
1 M x
d E k = d M v 2 , d M = d x , v = - ( "x k ) É0 s i n ( É0 t ) ( p a t r z z a d . 8 . 5 . ) .
2 d d
m + M / 3
T = 2 À .
k
8 . 7 . R .
T 1 T 2
T = .
2
T 1 2 + T 2
8 . 8 . R . D l a m a By c h k t ó w s u m a m o m e n t ó w s i By c i |k o [c i i s i By s p r |y s t o [c i w z g l d e m o s i
o b r o t u d l a l e w e g o w a h a d Ba w y n o s i ( p a t r z r y s . 8 . 8 . R . ) :
±1
k d [ s i n ( ±1 ) - s i n ( ±2 ) ]
m g
R y s . 8 . 8 . R .
M 1 = - m g d s i n ( ±1 ) - k [ d s i n ( ±1 ) - d s i n ( ±2 ) ] d c o s ( ±1 ) E" - m g d ±1 - k d 2 ( ±1 - ±2 ) .
S t d r ó w n a n i e r u c h u o b r o t o w e g o t e g o w a h a d Ba m a p o s t a
g k
& & & &
I µ1 = M 1 , Ò! m d 2 ±1 = - m g d ±1 - k d 2 ( ±1 - ±2 ) Ò! ±1 + ±1 + ( ±1 - ±2 ) = 0 .
d m
P o d o b n i e o t r z y m a m y d l a d r u g i e g o w a h a d Ba i b d z i e m y m i e l i u k Ba d r ó w n a D
g k
& &
( 1 ) ±1 + ±1 + ( ±1 - ±2 ) = 0 ,
d m
g k
& &
( 2 ) ±2 + ±2 + ( ±2 - ±1 ) = 0 .
d m
O z n a c z a j c ±1 + ±2 = ² i ±1 - ±2 = ³ o r a z d o d a j c l u b o d e j m u j c s t r o n a m i r ó w n a n i a ( 1 ) i ( 2 )
d o s t a n i e m y
g
& &
( 3 ) ² + É2 ² = 0 , É2 = ,
m m
d
g 2 k
2 2
& &
( 4 ) ³ + És ³ = 0 , És = + .
d m
W i d z i m y w i c , |e ² i ³ s p e Bn i a j r ó w n a n i e r u c h u h a r m o n i c z n e g o p r o s t e g o . O g ó l n e
r o z w i z a n i a d l a ² i ³ m o |n a p r z e d s t a w i w p o s t a c i t r y g o n o m e t r y c z n e j ( p a t r z z a d . 8 . 1 . )
( 5 ) ±1 + ±2 = A c o s ( Ém t ) + B s i n ( Ém t ) ,
( 6 ) ±1 - ±2 = C c o s ( És t ) + D s i n ( És t ) .
Z a Bo |e n i a z a d a n i a s u g e r u j n a s t p u j c e w a r u n k i p o c z t k o w e : ±1 ( t = 0 ) = ±1 0 , ±2 ( t = 0 ) = ±2 0 ,
. .
± ( t = 0 ) = 0 i ± ( t = 0 ) = 0 . Z r ó w n a D ( 5 ) , ( 6 ) i w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h m a m y
1 2
( 7 ) ±1 + ±2 = ( ±1 0 + ±2 0 ) c o s ( Ém t ) ,
( 8 ) ±1 - ±2 = ( ±1 0 - ±2 0 ) c o s ( És t ) .
U k Ba d r ó w n a D ( 7 ) i ( 8 ) p o z w a l a o b l i c z y ±1 i ±2
±1 0 + ±2 0 ±1 0 - ±2 0
( 9 ) ±1 = c o s ( Ém t ) + c o s ( És t ) ,
2 2
±1 0 + ±2 0 ±1 0 - ±2 0
( 1 0 ) ±2 = c o s ( Ém t ) - c o s ( És t ) .
2 2
M o |e m y p r z e d y s k u t o w a t e r a z p o s z c z e g ó l n e p r z y p a d k i .
a ) T u ±1 0 = ±0 i ±2 0 = ±0 , w i c z ( 9 ) i ( 1 0 ) m a m y
±1 = ±2 = ±0 c o s ( Ém t ) .
S p r |y n a n i e w p By w a n a r u c h w a h a d e B m a t e m a t y c z n y c h .
b ) T u ±1 0 = ±0 i ±2 0 = - ±0 , w i c z ( 9 ) i ( 1 0 ) m a m y
±1 = ±0 c o s ( És t ) ,
±2 = - ±0 c o s ( És t ) .
S p r |y n a j e s t o d k s z t a Bc o n a , w i c w p By w a n a r u c h w a h a d e B, k t ó r e d r g a j w p r z e c i w f a z i e z
c z s t o [c i
g 2 k
És = + ,
d m
j e d n a k w p By w t e n j e s t n i e w i e l k i , p o n i e w a | s p r |y n a j e s t s Ba b a i c z s t o [ d r g a D w a h a d e B j e s t
b l i s k a Ém .
c ) ±1 0 = ±0 i ±2 0 = 0 , w i c z ( 9 ) i ( 1 0 ) o t r z y m a m y
±0 ±0
( 1 1 ) ±1 = c o s ( Ém t ) + c o s ( És t ) ,
2 2
±0 ±0
( 1 2 ) ±2 = c o s ( Ém t ) - c o s ( És t ) .
2 2
M a m y t u d o c z y n i e n i a z e z j a w i s k i e m d u d n i e D, g d y | c z s t o [c i Ém i És n i e w i e l e s i r ó |n i o d
s i e b i e ( s p r |y n a j e s t s Ba b a ) , a b y t o u w i d o c z n i w y g o d n i e j e s t p r z e d s t a w i r ó w n a n i a ( 1 1 ) i ( 1 2 )
w p o s t a c i
És - Ém És + Ém
( 1 3 ) ±1 = ±0 c o s ( t ) c o s ( t ) ,
2 2
És - Ém És + Ém
( 1 4 ) ±2 = ±0 s i n ( t ) s i n ( t ) .
2 2
C z s t o [ És ( r ó w n a n i e ( 4 ) ) m o |n a p r z e d s t a w i w f o r m i e
g 2 k 2 k k
És = + = Ém 1 + E" Ém + ,
d m m Ém
m É2
m
2 k
p o n i e w a | < < 1 ( s p r |y n a j e s t s Ba b a ) , w t e d y r ó w n a n i a ( 1 3 ) i ( 1 4 ) p r z y j m p o s t a
m É2
m
k k
±1 E" ±0 c o s ( t ) c o s ( Ém t ) = A 1 ( t ) c o s ( Ém t ) , A 1 ( t ) = ±0 c o s ( t ) ,
2 m Ém 2 m Ém
k k
±2 E" ±0 s i n ( t ) s i n ( Ém t ) = A 2 ( t ) s i n ( Ém t ) , A 2 ( t ) = ±0 s i n ( t ) .
2 m Ém 2 m Ém
M o d u By A 1 ( t ) i A 2 ( t ) s w o l n o z m i e n n y m i w c z a s i e a m p l i t u d a m i k t o w y m i o d c h y l e D w a h a d e B
o d p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i . O k r e s d u d n i e D T d o k r e [l i m y z r ó w n a n i a
k k 2 Àm Ém 2 Àm g
( t + T d ) - t = À, Ò! T d = = ,
2 m Ém 2 m Ém k k d
g d y | o k r e s f u n k c j i | c o s ( x ) | w y n o s i À. O d s t p c z a s u T 1 2 p o m i d z y m a k s y m a l n y m i d r g a n i a m i
p o s z c z e g ó l n y c h w a h a d e B w y n o s i
T d Àm g
T 1 2 = = .
2 k d
8 . 9 . R .
2
T = .
3 f
8 . 1 0 . R . W s k a z ó w k a : u d o w o d n i , |e r u c h k a |d e g o z c i a B j e s t r u c h e m h a r m o n i c z n y m .
O t r z y m a m o |n a w t e d y o d p o w i e d z:
À R Z
t = E" 2 1 m i n u t ,
2 g
a m i e j s c e m s p o t k a n i a j e s t [r o d e k Z i e m i .
8 . 1 1 . R .
b
T = 2 À .
3 g
8 . 1 2 . R .
a ) R ó w n a n i e o p i s u j c e r u c h o b r o t o w y w a h a d Ba w z g l d e m p o z i o m e j o s i o b r o t u O O
( p a t r z r y s . 8 . 1 2 . R . ) m a p o s t a :
r
r
( 1 ) I µ = M ,
r
n
O
O
±
r
d
S
r
m g
R y s . 8 . 1 2 . R .
r
g d z i e : I m o m e n t b e z w Ba d n o [c i b r y By w z g l d e m o s i O O , µ - w e k t o r p r z y s p i e s z e n i a
r
k t o w e g o , M - w e k t o r m o m e n t u s i By c i |k o [c i w z g l d e m o s i O O . R o z p i s u j c
r r . .
r r r r r
M = d × m g = - m g d s i n ( ±) n , µ = ± n , n = 1 ,
g d z i e d j e s t o d l e g Bo [c i [r o d k a m a s y o d o s i o b r o t u . N a p o d s t a w i e r ó w n a n i a ( 1 ) m a m y
. .
r r
I ± n = - m g d s i n ( ±) n .
P o r z d k u j c t o r ó w n a n i e i s t o s u j c p r z y b l i |e n i e s i n ( ±) E" ± d o s t a n i e m y
. .
m g d
( 2 ) ±+ ± = 0 .
I
R ó w n a n i e ( 2 ) j e s t r ó w n a n i e m r u c h u h a r m o n i c z n e g o p r o s t e g o o k o Bo w e j c z s t o [c i d r g a D
m g d 2 À I
( 3 ) É0 = Ò! T = = 2 À .
I É0 m g d
b ) Z z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i m e c h a n i c z n e j m a m y
1
I É2 + m g d [ 1 - c o s ( ±) ] = c o n s t . .
2
R ó |n i c z k u j c p o w y |s z e r ó w n a n i e w z g l d e m c z a s u i p o r z d k u j c o t r z y m a m y r ó w n a n i e ( 2 ) i
( 3 ) .
8 . 1 3 . R .
b m + 3 m 1 + 3 m 2
T = 2 À E" 1 , 9 s , ( p a t r z z a d . 8 . 1 2 . ) .
6 g m 2 - m 1
8 . 1 4 . R . W s k a z ó w k a : w y k o r z y s t u j c w z ó r n a o k r e s d r g a D w a h a d Ba f i z y c z n e g o i t w i e r d z e n i e
S t e i n e r a o t r z y m u j e s i d = b / ( 2 3 ) .
8 . 1 5 . R . D e k r e m e n t l o g a r y t m i c z n y d r g a D w y r a |a s i w z o r e m
²
2 À
2 À² 2 À² É0
( 1 ) › = ²T t = = = ,
2
Ét É0 - ²2
²
1 - ( ) 2
É0
g d z i e : ² - w s p ó Bc z y n n i k t Bu m i e n i a , T t o k r e s d r g a D t Bu m i o n y c h , Ét c z s t o [ d r g a D
g d z i e : ² - w s p ó Bc z y n n i k t Bu m i e n i a , T t o k r e s d r g a D t Bu m i o n y c h , Ét c z s t o [ d r g a D
t Bu m i o n y c h , É0 - c z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h . K i e d y s p r |y n a z o s t a n i e s k r ó c o n a d o d Bu g o [c i x t o
t Bu m i o n y c h , É0 - c z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h . K i e d y s p r |y n a z o s t a n i e s k r ó c o n a d o d Bu g o [c i x t o
j e j c z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h z m i e n i s i , p o n i e w a | z m i e n i s i j e j w s p ó Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i d o
j e j c z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h z m i e n i s i , p o n i e w a | z m i e n i s i j e j w s p ó Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i d o
w i e l k o [c i k 1 = k d / x , g d z i e k j e s t w s p ó Bc z y n n i k i e m s p r |y s t o [c i c a Be j s p r |y n y , a d d Bu g o [c i
w i e l k o [c i k 1 = k d / x , g d z i e k j e s t w s p ó Bc z y n n i k i e m s p r |y s t o [c i c a Be j s p r |y n y , a d d Bu g o [c i
c a Be j s p r |y n y . W o b e c t e g o z m i e n i s i c z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h É1
c a Be j s p r |y n y . W o b e c t e g o z m i e n i s i c z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h É1
k 1 k d d
É1 = = = É0 .
m m x x
D e k r e m e n t l o g a r y t m i c z n y d r g a D s k r ó c o n e j s p r |y n y ›1 m o |n a w y r a z i w t e d y w z o r e m
² ² x
2 À 2 À
É1 É0 d
( 2 ) ›1 = = .
² ² x
1 - ( ) 2 1 - ( ) 2
É1 É0 d
D a l e j d z i e l c s t r o n a m i r ó w n a n i a ( 1 ) i ( 2 ) o r a z o b l i c z a j c ²/ É0 z r ó w n a n i a ( 1 ) o t r z y m a m y
›2 4 À2 + ›2
1
x = d = 4 c m .
›2 4 À2 + ›2
1
8 . 1 6 . R . W o d s t p i e c z a s u "t 2 a m p l i t u d a d r g a D z m a l a Ba n "t 2 / 2 "t 1 r a z y .
8 . 1 7 . R . D e k r e m e n t l o g a r y t m i c z n y d r g a D ›0 m o |n a w y r a z i w z o r e m
²
2 À
É0
( 1 ) ›0 = ,
²
1 - ( ) 2
É0
( p a t r z z a d . 8 . 1 5 . ) . K i e d y o p ó r o [r o d k a w z r o [n i e n r a z y t o w s p ó Bc z y n n i k t Bu m i e n i a t e | w z r o [n i e
n r a z y . S z u k a n y d e k r e m e n t m o |n a w o b e c t e g o z a p i s a
² ²
2 Àn 1 - ( ) 2
É0 É0
( 2 ) › = = n ›0 .
²
²
1 - ( ) 2 n 2
1 - ( ) 2 n 2
É0
É0
Z r ó w n a n i a ( 1 ) z n a j d u j e m y ²/ É0
² ›0
( 3 ) =
É0 4 À2 + ›2
0
i p o d s t a w i a j c d o r ó w n a n i a ( 2 ) o t r z y m a m y
2 Àn ›0
› = = 3 , 3 .
4 À2 - ›2 ( n 2 - 1 )
0
O s c y l a c j e t Bu m i o n e z a c h o d z p r z y s p e Bn i o n y m w a r u n k u ² < É0 . J e [l i o p ó r o [r o d k a
w z r o [n i e m r a z y , t a k , a b y b y B s p e Bn i o n y w a r u n e k m ² e" É0 t o w a h a d Bo n i e b d z i e m o g Bo
d r g a . N a p o d s t a w i e r ó w n a n i a ( 3 ) o t r z y m a m y
4 À2 + ›2
É0
0
m e" = = 4 , 3 .
² ›0
8 . 1 8 . R . L o g a r y t m i c z n y d e k r e m e n t t Bu m i e n i a w a h a d Ba w y n o s i
2 À
› = .
4 g Ä2
- 1
d l n 2 n
8 . 1 9 . R . W s k a z ó w k a . O b l i c z d r o g k u l k i s j a k o g r a n i c s u m y w a r t o [c i b e z w z g l d n y c h
e k s t r e m a l n y c h w y c h y l e D k u l k i z p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i .
1 + e - › / 2 4 d
s = d E" = 4 0 m .
›
1 - e - › / 2
8 . 2 0 . R . R ó w n a n i e d y n a m i k i d l a m a s y m m a p o s t a
. .
m x = - k x + F 0 s i n ( Ét ) .
P o u p o r z d k o w a n i u o t r z y m a m y
. .
F 0 k
2 2
( 1 ) x + É0 x = s i n ( Ét ) , É0 = .
m m
R o z w i z a n i a o g ó l n e g o r ó w n a n i a ( 1 ) s z u k a m y w p o s t a c i s u m y r o z w i z a n i a o g ó l n e g o
. .
2
r ó w n a n i a j e d n o r o d n e g o x + É0 x = 0 i o d g a d n i t e g o r o z w i z a n i a s z c z e g ó l n e g o r ó w n a n i a ( 1 ) .
R o z w i z a n i e s z c z e g ó l n e x s p o s t u l u j e m y w f o r m i e
( 2 ) x s = A s c o s ( Ét ) + B s s i n ( Ét ) ,
a r o z w i z a n i e o g ó l n e r ó w n a n i a j e d n o r o d n e g o ( p a t r z z a d . 8 . 1 . )
( 3 ) x 1 = A c o s ( É0 t ) + B s i n ( É0 t ) .
S t a Be A s i B s z n a j d z i e m y k Ba d c r ó w n a n i e ( 2 ) d o r ó w n a n i a ( 1 ) i g r u p u j c r a z e m w y r a z y z
s i n u s e m i c o s i n u s e m . O t r z y m a m y :
F 0
2 2
( 4 ) A s ( É0 - É2 ) c o s ( Ét ) + [ B s ( É0 - É2 ) - ] s i n ( Ét ) = 0 ,
m
F 0
Ò! A s = 0 i B s = ,
2
m ( É0 - É2 )
p o n i e w a | r ó w n a n i e ( 4 ) p o w i n n o b y s p e Bn i o n e w d o w o l n e j c h w i l i c z a s u t . R o z w i z a n i e
o g ó l n e p r z e d s t a w i a s i w i c n a s t p u j c o :
F 0
( 5 ) x ( t ) = A c o s ( É0 t ) + B s i n ( É0 t ) + s i n ( Ét ) .
2
m ( É0 - É2 )
S t a Be A i B z n a j d u j e m y z w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h x ( t = 0 ) = 0 i v ( t = 0 ) = 0 . K o r z y s t a j c
d w u k r o t n i e z r ó w n a n i a ( 5 ) o t r z y m a m y
F 0 É
A = 0 i B = - .
2
m É0 ( É0 - É2 )
O s t a t e c z n i e r ó w n a n i e o p i s u j c e w y c h y l e n i e m a s y m z p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i m a p o s t a
F 0 É
x ( t ) = [ s i n ( Ét ) - s i n ( É0 t ) ] .
2
É0
m ( É0 - É2 )
Z a l e c a s i c z y t e l n i k o w i p r z e p r o w a d z e n i e d y s k u s j i p o w y |s z e g o w y r a |e n i a .
8 . 2 1 . R . K o r z y s t a m y z w z o r u n a a m p l i t u d w y c h y l e n i a D d r g a D w y m u s z o n y c h o c z s t o [c i É
F 0
( 1 ) D ( É) = ,
2
m ( É0 - É2 ) 2 + 4 ²2 É2
g d z i e : F 0 a m p l i t u d a s i By w y m u s z a j c e j , m m a s a c i a Ba , É0 c z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h i ² -
w s p ó Bc z y n n i k t Bu m i e n i a . N a l e |y z n a l e z m a k s i m u m t e j w i e l k o [c i . W t y m c e l u z n a j d z i e m y
m i n i m u m f u n k c j i p o m o c n i c z e j g ( É)
2
g ( É) = ( É0 - É2 ) 2 + 4 ²2 É2 .
O b l i c z a m y p o c h o d n
d g ( É)
2
= - 4 É( É0 - É2 + 2 ²2 )
d É
i p o p r z y r ó w n a n i u j e j d o z e r a s p r a w d z a m y , |e d l a
2
É a" Ér = É0 - 2 ²2
a m p l i t u d a D m a m a k s i m u m r e z o n a n s o w e ( p o d w a r u n k i e m ² < É0 / 2 ) .
8 . 2 2 . R .
2
É1 + É2
2
Ér = .
2
8 . 2 3 . R . B i o r c p o d u w a g r ó w n a n i e n a w y c h y l e n i e n p . w p o s t a c i
.
x = D ( É) c o s ( Ét + Õ) , Ò! v a" x = - D ( É) És i n ( Ét + Õ) ,
m a m y a m p l i t u d p r d k o [c i C ( É)
F 0 É
C ( É) = D ( É) É = .
2
m ( É0 - É2 ) 2 + 4 ²2 É2
Z t r e [c i z a d a n i a w y n i k a , |e C ( É1 ) = C ( É2 ) , s k d
F 0 É1 F 0 É2
=
2 2 2 2
m ( É0 - É1 ) 2 + 4 ²2 É1 m ( É0 - É2 ) 2 + 4 ²2 É2
2 2
i p o k i l k u p r z e k s z t a Bc e n i a c h o t r z y m a m y É0 = É1 É2 .
8 . 2 4 . R . O d p o w i e d z c z [c i o w a : [r e d n i a m o c s i By o p o r u o [r o d k a w y n o s i
2
F 0 ²É2
P F t = - .
2
m [ ( É0 - É2 ) 2 + 4 ²2 É2 ]
8 . 2 5 . R . P o n i e w a |
t + T
1 1 1
2 2
E p = m É0 x 2 Ò! E p = m É0 +" x 2 d t ,
2 2 T
t
a
t + T
1 D 2 t + T D 2
x 2 d t = c o s 2 ( Ét + Õ) d t = ,
+" +"
T T 2
t t
t o
1
2
E p = m É0 D 2 .
4
P o d o b n i e
t + T
1 1 1
E k = m v 2 Ò! E k = m v 2 d t , g d z i e v = - D És i n ( Ét + Õ) .
+"
2 2 T
t
O s t a t e c z n i e o t r z y m a m y
1
E k = m É2 D 2 .
4
8 . 2 6 . R . Z a Bó |m y , |e zr ó d Bo f a l i z n a j d u j e s i w p o c z t k u u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h . R ó w n a n i e f a l i
o p i s u j c e w y c h y l e n i e s A c z s t e k n a p Ba s z c z y zn i e A z n a j d u j c e j s i w o d l e g Bo [c i y o d zr ó d Ba
m a w t e d y p o s t a :
( 1 ) s A = s 0 c o s ( Ét - k y + Õ) = s 0 c o s ( ¦A ) ,
a w y c h y l e n i e s B c z s t e k n a p Ba s z c z y zn i e B
( 2 ) s B = s 0 c o s [ Ét - k ( y + "y ) + Õ] = s 0 c o s ( ¦B ) ,
g d z i e : s 0 a m p l i t u d a f a l i , É - c z s t o [ f a l i , k w a r t o [ w e k t o r a f a l o w e g o . S z u k a n a r ó |n i c a
f a z "¦ = ¦B - ¦A w y n o s i :
2 À
"¦ = - k "y = - "y ,
»
c o o z n a c z a , |e d r g a n i a c z s t e k w p Ba s z c z y zn i e B s o p ó zn i o n e w f a z i e w z g l d e m d r g a D
c z s t e k w p Ba s z c z y zn i e A o 2 À"y / » r a d i a n ó w .
8 . 2 7 . R . O d p o w i e d z c z [c i o w a . G s t o [ o [r o d k a m o |n a o b l i c z y z d e f i n i c j i
"m "m
Á( x , t ) = E" E" Á0 [ 1 - s 0 k s i n ( Ét - k x ) ] ,
"s
A [ x + "x + s ( x + "x , t ) - x - s ( x , t ) ]
A "x ( 1 + )
"x
g d z i e s k o r z y s t a n o z s z e r e g u T a y l o r a i z a Bo |o n o m a Be o d k s z t a Bc e n i e o [r o d k a .
r
r
8 . 2 8 . R . W s k a z ó w k a : P r z e d s t a w i w e k t o r y k i r w f o r m i e
r
r r r r r r r
k = k x e x + k y e y + k z e z i r = x e x + y e y + z e z .
8 . 2 9 . R . N a s t r u n i e m u s i z n a j d o w a s i c a Bk o w i t a l i c z b a p o Bó w e k d Bu g o [c i f a l i ( s t r u n a
z a m o c o w a n a n a k o Dc a c h ) . Z t r e [c i z a d a n i a i z r y s u n k u 8 . 2 9 . R . w y n i k a , |e d 1 + d 2 = »/ 2 , s k d
» = 2 ( d 1 + d 2 ) . M a k s y m a l n a m p l i t u d A 0 o b l i c z y m y z w y r a |e n i a
A 1
A 1 = A 0 1 s i n ( k x 1 ) Ò! A 0 1 = = 3 , 8 m m
2 À d 1
s i n ( )
2 ( d 1 + d 2 ) 2
l u b
A 1
A 1 = A 0 2 s i n ( k x 2 ) Ò! A 0 2 = = 9 , 1 m m ,
2 À d 2
s i n ( )
2 ( d 1 + d 2 ) 2
d 2 d 1
d 1 d 2
R y s . 8 . 2 9 . R .
p o n i e w a | x 1 = d 1 / 2 , a x 2 = d 2 / 2 . F a l a s t o j c a o d p o w i a d a n - t e j h a r m o n i c z n e j , g d z i e n = b / ( »/ 2 )
= b / ( d 1 + d 2 ) = 6 .
8 . 3 0 . R . Zr e d n i e n e r g i k i n e t y c z n p o l i c z y m y k o r z y s t a j c z w z o r u
t + T t + T t + T
1 1 1 "s 1
2 2
µk a" µk d t = [ Á( ) 2 ] d t = 2 Ás 0 É2 c o s 2 ( k x ) s i n 2 ( Ét ) d t = Ás 0 É2 c o s 2 ( k x ) .
+" +" +"
T T 2 "t T
t t t
A n a l o g i c z n i e p o l i c z y m y [r e d n i e n e r g i p o t e n c j a l n
t + T t + T
1 1 1 É2 "s
2
µp a" µp d t = [ Á ( ) 2 ] d t = Ás 0 É2 s i n 2 ( k x ) .
+" +"
T T 2 "x
k 2
t t
W z By : w w z Ba c h k x = ( 2 m + 1 ) À/ 2 , g d z i e m j e s t l i c z b c a Bk o w i t , w i c
2
µk = 0 i µp = Ás 0 É2 .
S t r z a Bk i : w s t r z a Bk a c h k x = m À, w i c
2
µp = 0 i µk = Ás 0 É2 .
8 . 3 1 . R . Z a Bó |m y , |e zr ó d Bo Z 1 j e s t u m i e s z c z o n e w p o c z t k u u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h , a p u n k t P
w o d l e g Bo [c i x o d p o c z t k u o s i x . F a l e d o c i e r a j c e d o p u n k t u P m a j w t e d y p o s t a :
( 1 ) s 1 = s 0 1 c o s ( É1 t - k 1 x + Õ1 ) = s 0 1 c o s ( ¦1 ) ,
( 2 ) s 2 = s 0 2 c o s ( É2 t - k 2 ( x - d ) + Õ2 ) = s 0 2 c o s ( ¦2 ) .
F a l a w y p a d k o w a s = s 1 + s 2 . G s t o [ e n e r g i i c a Bk o w i t e j m o |n a z n a l e z z w y r a |e n i a
1 "( s 1 + s 2 ) "( s 1 + s 2 ) "( s 1 ) "( s 2 ) "( s 1 ) "( s 2 )
2 2
( 3 ) µ = Á[ ( ) 2 + v f ( ) 2 ] = µ1 + µ2 + Á + Áv f ,
2 "t "x "t "t "x "x
g d z i e
1 "s 1 2 "s 1 1 "s 2 2 "s 2
µ1 = Á[ ( ) 2 + v f ( ) 2 ] i µ2 = Á[ ( ) 2 + v f ( ) 2 ]
2 "t "x 2 "t "x
P o o b l i c z e n i u p o c h o d n y c h c z s t k o w y c h w r ó w n a n i u ( 3 ) o t r z y m a m y
( 4 ) µ = µ1 + µ2 + 2 Ás 0 1 s 0 2 É1 É2 s i n ( ¦1 ) s i n ( ¦2 ) .
W y r a |e n i e ( 4 ) p r z e k s z t a Bc i m y d o d o g o d n i e j s z e j p o s t a c i
( 5 ) µ = µ1 + µ2 + Ás 0 1 s 0 2 É1 É2 [ c o s ( ¦1 - ¦2 ) - c o s ( ¦1 + ¦2 ) ] ,
( 6 ) µ = µ1 + µ2 + 2 µ1 µ2 [ c o s ( ¦1 - ¦2 ) - c o s ( ¦1 + ¦2 ) ] ,
1 1
2 2 2
g d z i e µ1 = Ás 0 1 É1 i µ2 = Ás 0 2 É2
2
2 2
Z r ó w n a n i a ( 6 ) o b l i c z a m y [r e d n i g s t o [ e n e r g i i
t + T 1 t + T 2
1 1
µ = µ1 + µ2 + 2 µ1 µ2 [ c o s ( ¦1 - ¦2 ) d t - c o s ( ¦1 + ¦2 ) d t ] ,
+" +"
T 1 t T 2 t
t + T 1
1
( 7 ) µ = µ1 + µ2 + 2 µ1 µ2 +" c o s ( ¦1 - ¦2 ) d t ,
T 1 t
p o n i e w a | c a Bk a z s u m f a z d a j e w a r t o [ z e r o . T r z e c i w y r a z p o p r a w e j s t r o n i e r ó w n a n i a ( 7 )
n a z y w a s i w y r a z e m i n t e r f e r e n c y j n y m .
a ) F a l e s n i e s p ó j n e . W t y m p r z y p a d k u c a Bk a w r ó w n a n i u ( 7 ) j e s t r ó w n a z e r u i
o t r z y m u j e m y w y n i k m ó w i c y o p r o s t y m s u m o w a n i u s i [r e d n i c h g s t o [c i e n e r g i i
µ = µ1 + µ2 .
b ) F a l e s s p ó j n e . R ó |n i c a f a z w r ó w n a n i u ( 7 ) n i e z a l e |y o d c z a s u ( É1 = É2 i r ó |n i c a
f a z p o c z t k o w y c h Õ1 - Õ2 n i e z a l e |y o d c z a s u ) . O t r z y m a m y w y n i k ( k 1 = k 2 = k )
( 8 ) µ = µ1 + µ2 + 2 µ1 µ2 c o s ( k d + Õ2 - Õ1 ] .
W t y m p r z y p a d k u , j a k w i d a , z a c h o d z i z j a w i s k o i n t e r f e r e n c j i f a l . Zr e d n i a
c z a s o w a g s t o [c i e n e r g i i o s c y l u j e m i d z y
µm i n = µ1 + µ2 - 2 µ1 µ2 , a µm a x = µ1 + µ2 + 2 µ1 µ2
w z a l e |n o [c i o d w a r t o [c i a r g u m e n t u f u n k c j i c o s i n u s w r ó w n a n i u ( 8 ) .
a
8 . 3 2 . R . a ) W o d l e g Bo [c i = 3 1 , 6 m o d p u n k t u [r o d k o w e g o .
p
a
b ) W o d l e g Bo [c i = 2 1 , 8 m o d p u n k t u [r o d k o w e g o .
p 2 + 2 p
8 . 3 3 . R .
P
¦ = .
2 R
1 + ( ) 2
h
8 . 3 4 . R . K o r z y s t a m y z r e l a c j i m i d z y p r d k o [c i g r u p o w v g i f a z o w v f
d v f É1 »1
v g = v f - » = v f - »d Ò! v f 1 = v g + »1 d , a l e v f 1 = , w i c
d » 2 À
v g
É1 = 2 À( + d ) .
»1
A n a l o g i c z n i e
v g
É2 = 2 À( + d ) .
»2
8 . 3 5 . R .
v f 6 5
= .
v g 6 4
8 . 3 6 . R .
S t o j c w b e z r u c h u n a w a d z e p o p e w n y m c z a s i e o t r z y m a Be m s t a b i l n e w s k a z a n i e . O z n a c z a t o ,
|e s i Ba s p r |y s t o [c i F s z r ó w n o w a |y Ba s i B c i |k o [c i Q c z y l i :
m g N
F s = k D = Q = m g d l a t e g o k = = 1 0 5 .
D m
k x 2
E p = = 5 J .
2
8 . 3 7 . R .
N
a / m g = k ( H - h - L ) Ò! k = 7 5 0 ,
m
k x 2 k ( H - D - L ) 2
E p = = = 9 3 7 5 J .
2 2
b / "E = m g ( H - D ) - E p = 1 8 7 5 J ,
c / a H" 5 g ,
d / . . .
8 . 3 8 . R .
a / p r a w o z a c h o w a n i a p d u i e n e r g i i p r z y z d e r z e n i u
s p r |y s t y m : p k + p T = p k ' + p T ' o r a z E k + E T = E k ' + E T ' .
Z p o w y |s z y c h p r a w w y n i k a , |e p o z d e r z e n i u k u l k a c h w i l o w o s i z a t r z y m a i n a s t p n i e z a c z n i e
s p a d a s w o b o d n i e n a t o m i a s t t a r c z a t u | p o u d e r z e n i u z a c z n i e p o r u s z a s i p o z i o m o z
p r d k o [c i V 0 . O d t e g o m o m e n t u t a r c z a b d z i e s i p o r u s z a r u c h e m h a r m o n i c z n y m o p i s a n y
r ó w n a n i e m : x ( t ) = A s i n ( É0 t - Õ) .
Z w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h t e g o r u c h u w y n i k a :
g
É0 = ,
l
x ( 0 ) = 0 = A s i n ( É0 0 - Õ) = A s i n ( - Õ) c z y l i Õ = 0
d x V 0
V ( t ) = = A É0 c o s ( É0 t - Õ) Ò! V ( 0 ) = A É0 c o s ( - Õ) = V 0 c z y l i A = .
d t É0
öø
V 0 ëø g
÷ø. U w a g a : p o c z t e k o s i X z n a j d u j e s i w t a r c z y a j e j
P e Bn y o p i s r u c h u : x ( t ) = s i n ìø t
÷ø
É0 ìø l
íø øø
k i e r u n e k j e s t z g o d n y z k i e r u n k i e m V 0 .
b / z a s t o s o w a p r a w o z a c h o w a n i a p d u d l a t e g o p r z y p a d k u a r e s z t a j a k w p u n k c i e a .
8 . 3 9 . R .
R u c h h a r m o n i c z n y t Bu m i o n y o p i s u j e r ó w n a n i e :
2 2
x ( t ) = A e - ²t s i n ( Ét - Õ) , g d z i e : › = ²T i É = É0 - ² .
Z w a r u n k ó w z a d a n i a w y n i k a :
g
É0 = ,
l
x ( 0 ) = 0 = A e - ² 0 s i n ( É 0 - Õ) = A s i n ( - Õ) = 0 , c z y l i Õ = 0
d x V 0
V ( t ) = = A Ée - ²t c o s ( Ét - Õ) - A ²e - ²t s i n ( Ét - Õ) Ò! V ( 0 ) = A É = V 0 c z y l i A = .
d t É
R ó w n a n i e r u c h u d l a u k Ba d u z z a d a n i a m a p o s t a :
t
V 0 - › T
x ( t ) = e s i n ( Ét ) .
É
8 . 4 0 . R .
› = ²T ,
2
2 À 4 À
2 2 2
É = É0 - ² Ò! = - ² , ,
T T 0 2
2
› › 4 À › 1
2
² = = - ² Ò! ² =
T 2 À T 0 2 T 0 ›2
1 +
2
4 À
ëø öø
›2 ›2
ìø
› = ²T 0 1 + H" ²T 0 ìø1 - ÷ø
2 2
÷ø.
4 À 8 À
íø øø
Z o s t a t n i e g o r ó w n a n i a w y n i k a , |e › = ²T 0 b d z i e d o b r y m p r z y b l i |e n i e m g d y :
›2
d" 0 , 0 1 , c z y l i › d" 0 , 9 . W t a k i m p r z y p a d k u m ó w i m y o s Ba b o t Bu m i o n y c h d r g a n i a c h .
2
8 À
8 . 4 1 . R .
N a m o c y p o p r z e d n i e g o z a d a n i a m o |e m y n a p i s a : › = ²T = ²T 0 .
P o n i e w a |
E " A 2 i A ( t ) = A 0 e - ² t t o E ( t ) = E 0 e - 2 ² t .
1 l n 2
D l a w a r u n k ó w z z a d a n i a : E ( t x ) = E 0 = E 0 e - 2 ² t x c z y l i t x = = 3 , 4 7 Å"1 0 - 5 s .
2 2 ›f 0
8 . 4 2 . R .
1 l n 8 l n 8 T
A ( t ) = A 0 e - ² t t o A ( t 8 ) = A 0 = A 0 e - ²t 8 c z y l i ² = i › = ²T = = 0 , 5 2 .
8 t 8 t 8
›2 1
2 2 2
É = É0 - ² Ò! É0 = É2 + ² = É2 + = 6 , 3 2 Ò! f 0 H" 1 H z .
2
T s
8 . 4 3 . R .
W s k a z ó w k a :
m , V = 0
1 . z a s t o s o w a p r a w o z a c h o w a n i a
e n e r g i i d l a s t a n u u k Ba d u A i B ( r y s ) ,
2 . z n a l e z p i e r w i a s t k i r ó w n a n i a
h m , V = 0
k w a d r a t o w e g o i w y b r a o d p o w i e d n i e
r o z w i z a n i e .
i e .
x m
W y n i k :
W y n i k :
M a k s y m a l n e [c i [n i c i e s p r |y n y
M a k s y m a l n e [c i [n i c i e s p r |y n y
ëø öø
2 h
÷ø
x m = D ìø1 + 1 + = 6 c m .
ìø ÷ø
D
íø øø
A B
C h w i l o w e w s k a z a n i e m m a k s . = 6 0 0 k g .
U w a g a : w r z e c z y w i s t y c h w a g a c h w i e l k o [ p r z e m i e s z c z e n i a s z a l k i j e s t o g r a n i c z o n a
k o n s t r u k c y j n i e .
8 . 4 4 . R .
W y n i k : R = 0 , 1 m .
8 . 4 5 . R .
O g ó l n y o p i s t e j f a l i b d z i e n a s t p u j c y : s ( x , t ) = A s i n ( É t - k x ) . J e s t t o r ó w n a n i e f a l i p Ba s k i e j ,
p o r u s z a j c e j s i w z d Bu | o s i X o z w r o c i e ( + " ) .
P a r a m e t r y f a l i :
a m p l i t u d a f a l i A = 1 0 - 6 m ,
c z s t o [ f a l i É= 2 0 4 0 À s - 1 ,
É
c z s t o t l i w o [ f a l i f = H" 1 0 2 0 H z ,
2 À
d Bu g o [ w e k t o r a f a l o w e g o k = 6 À m - 1 ,
2 À
d Bu g o [ f a l i » = = 0 , 3 3 m ,
k
É m
p r d k o [ f a l i ( f a z o w a ) V = = » f = 3 4 0 ,
k s
p r d k o [ d r o b i n o [r o d k a :
"s m m
V d = = A É c o s ( Ét - k x ) c z y l i V m a x . = A É = 0 , 0 2 0 4 À = 0 , 0 6 4 ,
"t s s
p r z y s p i e s z e n i e d r o b i n o [r o d k a :
"s 2 m
a d = = - A É2 s i n ( Ét - k x ) c z y l i a m a x . = A É2 = 4 1 0 ,
"2 t s 2
w z g l d n e o d k s z t a Bc e n i e o [r o d k a :
"s "s
= - A k c o s ( Ét - k x ) c z y l i = A k = 2 , 1 8 Å"1 0 - 3 .
"x "x
m a x .
8 . 4 6 . R .
M o |e t o b y r ó w n a n i e :
2 ÀV 2 À
z ( y , t ) = A s i n ëø t + y öø.
ìø ÷ø
» »
íø øø
4 7 . R .
N a j b a r d z i e j p r a w d o p o d o b n e w z b u d z e n i a f a l s t o j c y c h :
4
a / f a l a p o p r z e c z n a l u b p o d Bu |n a o d Bu g o [c i » = L g d z i e n = 1 , 2 , 3 . . . .
2 n - 1
2
b / f a l a p o p r z e c z n a l u b p o d Bu |n a o d Bu g o [c i » = L g d z i e n = 1 , 2 , 3 . . . .
n
1
c / f a l a p o p r z e c z n a l u b p o d Bu |n a o d Bu g o [c i » = L g d z i e n = 1 , 2 , 3 . . . .
2 n - 1
4
d / f a l a p o d Bu |n a o d Bu g o [c i » = H g d z i e n = 1 , 2 , 3 . . . .
2 n - 1
2
e / f a l a p o d Bu |n a o d Bu g o [c i » = L g d z i e n = 1 , 2 , 3 . . . .
n
8 . 4 8 . R .
W i c e j c i e k a w y c h i n f o r m a c j i n a t e n t e m a t m o |n a z n a l e z w s i e c i .
8 . 4 9 . R .
d V f
K o r z y s t a j c z z a l e |n o [c i V g = V f - » o t r z y m a m y :
d »
3 1
V g = V f d l a » < 2 c m o r a z V g = V f d l a » > 2 c m .
2 2
8 . 5 0 . R .
D Bu g o [c i w y g e n e r o w a n y c h w t e n s p o s ó b f a l s r z d u m e t r ó w . S t o f a l e d Bu g i e , d l a k t ó r y c h
g »
m a m y ( p a t r z z a d a n i e 8 . 4 9 . ) V f = o r a z V f = 2 V g .
2 À
m
O d p o w i e d z: V f = 2 , » = 2 , 5 m .
s
U w a g a : r e z u l t a t e m z w i z k u V f > V g j e s t z j a w i s k o p o w s t a w a n i a f a l n a k o Dc u p a c z k i f a l o w e j ,
p r z e s u w a n i a s i i c h d o p o c z t k u p a c z k i i z a n i k u w o b s z a r z e c z o Ba t e j p a c z k i .
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