I. LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW.
1.1 p i q elementy zdania logicznego
zdanie logiczne: jeżeli 0 to jest fałszywe
jeżeli 1 to prawdziwe
alternatywa  p (" q koniunkcja  p '" q"
p q
p '" q
p q
p (" q
1 1 1
1 1 1
1 0 0
1 0 1
0 1 0
0 1 1
0 0 0
0 0 0
implikacja  p Ò! q równoważność  p Ô! q negacja  ~ p
p q
p Ò! q
p q p
p Ô! q ~ p
1 1 1
1 1 1 1 0
1 0 0
1 0 0 0 1
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 1
1.2 Wartość logiczna zdania:
Ä„ 3 Ä„
sin = Ò! cos = 1
odp.: 1
6 2 2
4 7
ëÅ‚ öÅ‚
> *" (cos1000 > 0) odp.: 0
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚11 18 Å‚Å‚
(log3 9 = 2) Ô! (log1 5 > 0) odp.: 0
3
1.3 Tautologia:
a) sprawdz
, czy podane zdanie logiczne jest tautologią  obliczenia wykonać tabelarycznie:
( p Ò! q) Ô! [ p (" (Źq)] odp.: nie
Ź( p Ò! q) Ô! [ p '" (Źq)] odp. : tak
( p (" q) Ô! (Źp Ò! q) odp. : tak
p '" q Ô! Ź( p Ò! Źq) odp. : tak
p '" ( p Ò! q ) Ò! q pokazać dowód nie wprost odp.: tak
[( p Ò! q ) (" ( ~ p (" q )] Ò! q odp.: tak
[( p Ô! q ) '" ( p (" ~ q )] Ò! p '" q odp.: nie
1.4 Kwantyfikatory:
"x"A
- istnieje takie x należące do zbioru A, że&
("x"A
1
"x"A
- dla każdego x należącego do zbioru A& .
'"x"A
Jaka jest wartość logiczna zdania:
"x"R (x < 1) odp. : 0
"x"R (sin 2x = 2sin x) odp. :1
"x"R ( x2 = x) odp.:1
"x"R ( x2 = x) odp. : 0
["x"R (x2 + 5 < 0)] Ò! ["x"R (x2 + x +1 = 0)] odp. :1
1.5 Zaprzeczenia zdaniom:
Zaprzeczenie koniunkcji:
- jest to pierwsze prawo De Morgana
Zaprzeczenie alternatywie:
- jest to drugie prawo De Morgana
Zaprzeczenie implikacji:
Zaprzeczenie równoważności:
przykład:
zaprzeczmy zdaniu: uczeń je lody wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciepło
odp: uczeń je lody i nie jest ciepło lub jest ciepło i uczeń nie je lodów
Powyższe przedstawić za pomocą p i q.
p Ô! q
negacja :
p '" Źq (" q '" Źp
1.6 Prawa De Morgana dla kwantyfikatorów
Ź["x"A p(x)] Ô! "x"A[Źp(x)]
Ź["x"A p(x)] Ô! "x"A[Źp(x)]
2
1.7 Proszę określić wartość logiczną zdań oraz zapisać ich negację; prawidłowa negacja daje
dla tych samych argumentów przeciwny wynik do zdania pierwotnego:
"x"R x = 5x odp. : 0 " x `" 5x
x"R
"x"R x2 + 3x + 3 > 0 odp.:1 " x2 + 3x + 3 < 0
x"R
2x -1 2x -1
"x"R d" 3 odp. :1 " e" 3y
x"R
x + 2 x + 2
"x"R y = 3x '" x = 3y odp. : 0 " y `" 3x (" x `" 3y
x"R
"x"R (y = 2x '" x = 2y) Ò! x = y = 0 odp. :1 " (y = 2x '" x = 2y)'" x `" y `" 0
x"R
"x"C x2 + 3x +1 = 0 odp. : 0 " x2 + 3x +1 `" 0
x"C
1.8 Znalez
ć taką liczbę M, aby zdanie:
n!
"n"N an = Ò! "n>M an+1 > an wskazówka: (n+1)! = n!*(n+1) odp.: M = 9
10n
1.9 Algebra zbiorów.
A *" B = { x: x"A *" x"B }
A )" B = { x: x"A )" x"B }
A \ B = { x: x"A )" x "B }
B \ A = { x: x"B )" x "A }
A = { x: x"X )" x "A }
A \ B `" B \ A !!!
1.10 Definicja wartości bezwzględnej:
dla x e" 0
x
Å„Å‚
x =
òÅ‚
dla x < 0
ół- x
3
1.11 Zapisać zbiór w innej postaci:
{x : x " R '" x - 7 < 2} odp. :x "(5;9)
{x : x " C '" x - 3 > 2} odp. : x "[(1;3)*" (5;+")])" x " C
{x : x " R '" x -1 < 3} odp. : x "(- 2;4)
x + 2 1
ëÅ‚8
{x : x " R '" < 3} odp. : x " ;+"öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
x - 5 2
íÅ‚ Å‚Å‚
3
ëÅ‚ öÅ‚
{x : x " R '" 4x2 + 7x + 3 < 0} odp. : x "
ìÅ‚-1;- ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
1.12 Wyznaczyć nst. relacje zbiorów A i B:
A *" B
A )" B
A \ B
B \ A
A
przy czym zbiory określono jak poniżej:
A = { x: ôÅ‚xôÅ‚> 4 }
B = { x: ôÅ‚x-2ôÅ‚ < 3 }
odp. : A *" B x "[(- ";-4)*" (-1;+")] A )" B x "(4;5) A \ B x "[(- ";-4)*" 5;+")]
B \ A x " (-1;4 A' x " - 4;4
A = { x: ôÅ‚x+3ôÅ‚d" 4 }
B = { x: ôÅ‚x-1ôÅ‚ e" 3 }
odp. : A *" B x "[(-";1 *" 4;+"] A )" B x " - 7;-2 A \ B x " (-2;1
B \ A x "[(-";-7) *" 4;+")] A' x "[(- ";-7)*" (1;+")]
A = { (x,y): ôÅ‚x-yôÅ‚ d" 4 }
B = { (x,y): x"R '" ôÅ‚yôÅ‚ < 3 }
odp. : A *" B x "(- ";+"))" y "[ x - 4; x + 4 *" (- 3;3)] A )" B y "(- 3;3))" x " y - 4; y + 4
A \ B y "[(- ";-3 *" 3;+")])" x " y - 4; y + 4 B \ A y "(- 3;3))" x "[(- "; y - 4)*"(y + 4;+")]
A' x "(- ";+"))" y "[(- "; x - 4)*" (x + 4;+")]
1.13 Niech A={x: x -1 e" 3}, B = {x : x - 5 < 2 } proszę wyznaczyć:
A *" B odp.: x " (-";- 2 *" (3;+")
A )" B odp.: x " 4;7)
A )" B odp.: x " (-";- 2 *" 7;+")
A \ B odp.: x " (-";- 2 *" 7;+")
B \ A odp.: x "(3;4)
A *" B odp.: x "(- 2;7)
4
1.14 Wyznaczyć iloczyn zbiorów:
A = {x : x " R '" x2 + 3x - 4 d" 0} B = {x : x " R '" x2 - 4 < 0} C = {-3,0,4} odp.: x "Ć
1.15 Wyznaczyć graficznie: A *" B, A )" B, A \ B
A = {(x, y) : x " R '" y " R '" x2 + y2 d" 16} B = {(x, y) : x " R '" y " R '" x2 + y2 e" 9}
1.16 Zaznaczyć na płaszczyz
nie zbiory (produkty) AxB oraz BxA
A = {x " R : x -1 d" 3}, B = {1,2,3}
A = {x " N : x - 3 d" 6}, B = {x " R : x -1 d" 7}
A = {x " R : x e" 2}, B = {x " R : x < 3}
A = {-1,1,3}, B = {x " R : 0 d" x < 3}
5