VI. FUNKCJA WIELU ZMIENNYCH
6.1 Pochodna czÄ…stkowa.
Niech dana będzie funkcja f (x1, x2 ,..., xn ) = z ; wówczas symbolami:
"f "f "f
'
a" fx' (x, y) a" fx' (x, y) ... a" f (x, y) określamy tzw. pochodne cząstkowe
1 2
"x1 "x2 "xn xn
funkcji  f względem odpowiedniej zmiennej x1, x2,& ,xn.
Sposób obliczania funkcji pochodnych jest analogiczny do przypadku funkcji jednej
zmiennej; chcąc wyznaczyć funkcję pochodną do danej funkcji względem i  tej zmiennej,
pozostałe zmienne traktujemy jako  stałe .
x2 y2
Rozpatrzmy funkcję dwóch zmiennych: f (x, y) = z ; np. f (x, y) = + (poniższy
4 4
wykres)
x1 a" x; x2 a" y :
Rozpatrzmy pochodne czÄ…stkowe tej funkcji:
"f 1
= x , np. wybierzmy y0 = 1 (tutaj można wybrać dowolną wartość), wówczas
"x 2
otrzymamy wzór funkcji jednej zmiennej  x  jest to krawędz
powstała przez
przecięcie naszej funkcji f (x, y) = z płaszczyzną równoległą do płaszczyzny XZ w
y0 = 1 (wykres poniżej)
45
1 1
wykres f (x, y = 1) = x2 +
4 4
f (x; y = 1)
Ä…
X
df 1
tgÄ… = = x
dx 2
"f 1
interpretacja geometryczna jest analogiczna jak dla funkcji jednej zmiennej; tzn. = x
"x 2
jest  przepisem na tangens kąta zawartego pomiędzy styczną do krzywej
y0
x2 2
 f (x, y0 ) = +  (krzywą wyznaczamy poprzez ustalenie - wybranie wartości  y0 , np.
4 4
tutaj y0 = 1) w punkcie (x0; z0 ), a dodatnią półosią osi X;
"f 1
= y np. wybierzmy x0 = 1 (tutaj można wybrać dowolną wartość), wówczas
"y 2
otrzymamy wzór funkcji jednej zmiennej  y  jest to krawędz
powstała przez
przecięcie naszej funkcji f (x, y) = z płaszczyzną równoległą do płaszczyzny YZ w
x0 = 1 (wykres poniżej)
1 1
wykres f (x = 1, y) = + y2
4 4
f (x = 1; y)
²
Y
df 1
tg² = = y
dy 2
46
"f 1
interpretacja geometryczna jest analogiczna jak dla funkcji jednej zmiennej; tzn. = y
"y 2
jest  przepisem na tangens kąta zawartego pomiędzy styczną do krzywej
2
x0 y2
 f (x0 , y) = +  ( krzywą wyznaczamy poprzez ustalenie - wybranie wartości  x0 , np.
4 4
tutaj x0 = 1) w punkcie (y0; z0 ), a dodatnią półosią osi Y;
Ćwiczenia:
Określ wzór pochodnych cząstkowych do poniższych funkcji:
xy
f (x; y) = f (x; y) = x Å" cos y - y Å" sin x f (x; y) = sin x Å" cos y f (x; y) = exy Å" x2 y2
x + y
6.2 Pochodna cząstkowa wyższych rzędów.
Pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji f (x, y) = z nazywamy funkcje określone
"2 f "2 f "2 f "2 f
nst.: ; ; ; ; dwie ostatnie nazywa się również pochodnymi
"x2 "y2 "x"y "y"x
mieszanymi.
2
Np.: f (x; y) = exy
2 2 2 2
"f "2 f " "f
= exy Å" y2 Ò! = = exy Å" y2 Å" y2 + exy Å" 0 = exy Å" y4
"x "x2 "x "x
2 2 2 2 2
"f "2 f " "f
= exy Å" 2xy Ò! = = exy Å" 2xy Å" 2xy + exy Å" 2x = exy Å" 4x2 y2 + 2x Å" exy
"y "y2 "y "y
2 2 2 2
"f " "f
= = exy Å" 2xy Å" y2 + exy Å" 2y = exy Å" 2xy3 + exy Å" 2y
"x"y "y "x
2 2 2 2
"f " "f
= = exy Å" y2 Å" 2xy + exy Å" 2y = exy Å" 2xy3 + exy Å" 2y
"y"x "x "y
Ćwiczenia:
Oblicz pochodne drugiego rzędu (wszystkie) nst. funkcji:
3
f (x; y) = (x2 + y2) ; f (x; y) = sin xy
6.3 Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Warunek konieczny:
Jeżeli funkcja f (x; y) = z ma w punkcie P0 = (x0; y0 ) ekstremum lokalne i istnieją w tym
punkcie obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, to:
"f "f
; przy czym punkt P0 = (x0; y0 ) nazywamy punktem stacjonarnym.
= = 0
"x(P ) "y(P )
0 0
47
Warunek dostateczny (wystarczajÄ…cy):
"2 f "2 f
"x"y
"x2
P0
P0
Jeżeli istnieją drugie pochodne funkcji f (x; y) = z oraz W(P0 ) = > 0 , to
"2 f "2 f
"y"x
"y2
P0
P0
funkcja f (x; y) = z ma w punkcie P0 = (x0; y0 ) ekstremum lokalne.
"2 f
Jeżeli < 0 , to funkcja f (x; y) = z ma w punkcie P0 = (x0; y0 ) maksimum
"x2
"2 f
Jeżeli > 0 , to funkcja f (x; y) = z ma w punkcie P0 = (x0; y0 ) minimum
"x2
Jeżeli W(P0 ) < 0, to ekstremum nie istnieje
Jeżeli W(P0 ) = 0 , to sytuacja jest nierozstrzygnięta
Przykład: zbadać ekstremum lokalne funkcji f (x; y) = x4 + y2 - 4x
1. stosujemy warunek konieczny istnienia ekstremum:
Å„Å‚ - 4 = 0
"f "f 4x3
= 4x3 - 4 = 0 i = 2y = 0 Ò! Ò! P0 = (x0; y0 ) = (1;0)
òÅ‚
"x "y
ół2y = 0
2. stosujemy warunek dostateczny istnienia ekstremum:
"2 f "2 f "2 f "2 f
= 12x2 = 12 = 2 = 2 = 0 = 0 = 0 = 0
(1;0) (1;0) (1;0)
(1;0)
"x"y "y"x
"x2 "y2
(P0 ) (P0 )
(P0 ) (P0 )
12 0
W(P0 ) = W(1;0) = = 24 > 0 , zatem w punkcie P0 = (1;0) istnieje ekstremum lokalne.
0 2
"2 f
= 12x2 = 12 >0, czyli jest to minimum lokalne.
(1;0)
"x2
(P0 )
Ćwiczenia:
Zbadaj czy istniejÄ… ekstrema lokalne oraz podaj ich charakter nst. funkcji:
f (x; y) = x4 + y4 - 2x2 + 4xy - 2y2
f (x; y) = e- x(x + y2)
f (x; y) = x3 + y2 - 6xy - 48x
50 20
f (x; y) = xy + +
x y
f (x; y) = x3 + 3xy2 -15x -12y
48