IV. RACHUNEK CAA
KOWY
4.1 Całka nieoznaczona.
FunkcjÄ™ F(x) nazywamy funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f(x) na przedziale X wtedy i tylko wtedy,
'
gdy dla każdego x " X jest F (x) = f (x).
Z powyższego wynika, że ogólną postać funkcji pierwotnej funkcji f(x) można zapisać nst.:
F(x) + C, gdzie  C jest dowolną stałą.
Całką nieoznaczoną nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) i
oznaczamy symbolem: f (x)dx , zatem f (x)dx = F(x)+ C , przy czym dowolną stałą  C
+" +"
będziemy nazywali stałą całkowania.
4.2 Całka oznaczona.
Jeżeli z przedziału X wydzielimy podprzedział a;b " X , przy czym funkcja f(x) jest ciągła,
określona i monotoniczna na a;b " X , to całka funkcji f(x) na podprzedziale a;b " X
b
będzie nosić nazwę całki oznaczonej, a jej symbolem jest nst. zapis: f (x)dx , zatem
+"
a
b
f (x)dx = F(b)- F(a), przy czym F(a) oraz F(b) są wartościami funkcji pierwotnej F(x)
+"
a
odpowiednio w punktach  a i  b .
4.3 Interpretacja geometryczna całki.
b= xN +1
N
1
îÅ‚
f (x)dx = limx )0 f (xi + xi+1)Å‚Å‚ *(xi+1 - xi)
"
+"
ïÅ‚2 śł
´ =(xi+1 -
N i
ðÅ‚ ûÅ‚
i=1
a= x1
25
4.4 Własności całek
f (x)dx Ä… g(x)dx
+"[f (x)Ä… g(x)]dx = +"+"
f (x)dx
+"k * f (x)dx = k *+"
b b b
f (x)dx Ä… g(x)dx
+"[f (x)Ä… g(x)]dx = +" +"
a a a
b b
f (x)dx
+"k * f (x)dx = k *+"
a a
4.5 Obliczanie całek  metody.
1. wykorzystując przekształcenia funkcji, własności całek oraz wzorów na całki funkcji
podstawowych
2. przez części
'
+"u(x)* v'(x)dx = u(x)* v(x)- +"u (x)* v(x) dla całki nieoznaczonej
b b
b b
'
+"u(x)* v'(x)dx = (u(x)* v(x)) - +"u (x)* v(x)dx przy czym wyrażenie (u(x)*v(x))
a a
a a
oznacza nst. różnicę: u(b)* v(b)- u(a)* v(a)
3. przez podstawienie
'
f (g(x))* g (x)dx = f (t)dt przy czym w całce nieoznaczonej po prawej stronie
+"+"
równania obowiązuje podstawienie g(x) = t
b ²
'
f (g(x))* g (x)dx = f (t)dt przy czym Ä… = g(a); ² = g(b)
+"+"
a Ä…
Przykłady:
ad. 1
całka nieoznaczona
3
(1- x) 1- 3x + 3x2 - x3 1 3x 3x2 x3
dx = dx = dx - dx + dx - dx =
+"+" 1 +" 1 +" 1 +" 1 +" 1
x
2 2 2 2 2
x x x x x
1 1 3 5 1 3 5 7
-
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
= x dx - 3 x dx + 3 x dx - x dx =2x - 3* x + 3* x - x + C =
+"+"+" +"
3 5 7
6 2
= 2 x - 2 x3 + x5 - x7 + C
5 7
całka oznaczona
1 3 1 1 1
(1- x) 1- 3x + 3x2 - x3 1 1 3x 3x2 1 x3
dx = dx = dx - dx + dx - dx =
1
+" +"+" 1 +" 1 +" 1 +" 1
x
0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2
x x x x x
1 1 1 1
1 1 1 1 1 3 1 5 1 3 5 7
-
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
= x dx - 3 x dx + 3 x dx - x dx =2x - 3* x + 3* x - x =
+"+"+" +"
3 5 7
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1
1
1
6 2 6 2 6 2 32
ëÅ‚ ëÅ‚
= 2 x - 2 x3 + x5 - x7 = (2 - 0)- (2 - 0)+ - 0öÅ‚ - ìÅ‚ - 0öÅ‚ = - =
ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
0
0
5 7 5 7 5 7 35
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
26
całka nieoznaczona
2 1
3 4
ëÅ‚ öÅ‚
23 x2 + 34 x 23 x2 34 x 23 x2 34 x x x
dx = dx + dx = 2 dx + 3 dx =
+"+"ìÅ‚ + x ÷Å‚dx = +"+"+" 1 +" 1
ìÅ‚ ÷Å‚
x x x x
íÅ‚ Å‚Å‚ 2 2
x x
1 1 7 3
-
6 4 12
6
6 4 6 4
= 2 x dx + 3 x dx = 2 * x + 3* x + C = x7 + 44 x3 + C
+"+"
7 3 7
całka oznaczona
2 1
b b b b b
3 4
ëÅ‚ öÅ‚
23 x2 + 34 x 23 x2 34 x 23 x2 b 34 x x x
dx = dx + dx = 2 dx + 3 dx =
+"+"ìÅ‚ + x ÷Å‚dx = +" +" 1 +" 1
+"
ìÅ‚ ÷Å‚
x x x x
a a a a a a
íÅ‚ Å‚Å‚ 2 2
x x
b b
b 1 b 1 7 3
-
6 4 12 12
ëÅ‚
6 6
6 4 6 4
= 2 x dx + 3 x dx =2 * x + 3* x = b7 - a7 öÅ‚ +(44 b3 - 44 a3)
ìÅ‚ ÷Å‚
+"+"
7 3 7 7
íÅ‚ Å‚Å‚
a a
a a
całka nieoznaczona
2
ëÅ‚ öÅ‚
cos 2x cos2 x - sin2 x cos2 x sin x
÷Å‚
dx = dx =
+"+"+"ìÅ‚ cos2 x *sin2 x - 2 ÷Å‚dx =
ìÅ‚
cos2 x *sin2 x cos2 x *sin2 x cos2 x *sin x
íÅ‚ Å‚Å‚
cos2 x sin2 x 1 1
= dx - dx = dx - dx = -ctgx - tgx + C
+" 2 +"+" 2 +"
cos2 x *sin x cos2 x *sin2 x sin x cos2 x
całka oznaczona
Ä„ Ä„ Ä„
3 3 3
ëÅ‚ öÅ‚
cos 2x cos2 x - sin2 x cos2 x sin2 x
dx = dx = - ÷Å‚
2 ìÅ‚
+"+"+"ìÅ‚ cos2 x *sin 2 ÷Å‚dx =
cos2 x *sin2 x cos2 x *sin x x cos2 x *sin2 x
Ä„ Ä„ Ä„ íÅ‚ Å‚Å‚
4 4 4
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
Ä„ Ä„
3 3 2 3 3
cos2 x sin x 1 1
3 3
= dx - dx = dx -
Ä„ Ä„
2 +"
+" 2 +"+"dx = - ctgx - tgx =
cos2 x *sin x cos2 x *sin x sin2 x cos2 x
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
4 4
4 4 4 4
ëÅ‚ 1 1 1
= ìÅ‚- - (-1)öÅ‚ -( 3 -1)= 1- - 3 +1 = 2 - - 3
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
ad. 2
całka nieoznaczona
Å„Å‚ üÅ‚
u = x +1 v' = cos x
+"(x +1)cos xdx = òÅ‚ u' = 1 v = sin x żł = (x +1)*sin x - +"1*sin xdx = (x +1)*sin x - (- cos x)+ C =
ół þÅ‚
= (x +1)*sin x + cos x + C
całka oznaczona
Ä„ Ä„
Ä„ Ä„ Ä„
2 2
Å„Å‚ üÅ‚
u = x + 1 v' = cos x
2 2 2
+"(x + 1)cos xdx = òÅ‚ u' =1 v = sin x żł = (x + 1)* sin x -+"1* sin xdx =(x + 1)* sin x - (- cos x) =
0 0 0
0 ół þÅ‚ 0
îÅ‚
ëÅ‚ Ä„ Ä„ öÅ‚ Ä„ Ä„ Ä„
ëÅ‚ ëÅ‚cos ëÅ‚
= + 1öÅ‚ * sin ÷Å‚ - ((0 + 1)* sin 0)Å‚Å‚ + - cos 0öÅ‚ = + 1öÅ‚ * sin -1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ìÅ‚ìÅ‚ 2 ÷Å‚ 2 ÷Å‚ śł
ìÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
27
całka nieoznaczona
Å„Å‚ üÅ‚
u = x * cos x v' = cos x
x * cos2 xdx = = x * cos x *sin x - x - x *sin x)*sin xdx =
òÅ‚ żł
+" ' +"(cos
ółu = cos x - x *sin x v = sin x þÅ‚
2 2
= x *sin x * cos x - (cos x *sin x - x *sin x)dx =x *sin x * cos x - x * cos xdx + x *sin xdx =
+" +"sin +"
1 1
= x *sin x * cos x - x *(1- cos2 x)dx =x *sin x * cos x - 2xdx + xdx - x *cos2 xdx =
+"2sin x * cos xdx + +" +"sin +" +"
2 2
1 1 1 1 1
= x *sin x * cos x - * (- cos 2x)+ x2 - x *cos2 xdx = x *sin x * cos x + cos 2x + x2 - x *cos2 xdx Ò!
+" +"
2 2 2 4 2
1 1 1 1
Ò! x * cos2 xdx = x *sin x * cos x + cos 2x + x2 - x *cos2 xdx Ò! 2 x * cos2 xdx = x *sin x * cos x + cos 2x + x2
+" +" +"
4 2 4 2
1 1 1 1 1 1
Ò! x * cos2 xdx = *ëÅ‚ x *sin x * cos x + cos 2x + x2 öÅ‚ = x *sin 2x + cos 2x + x2 = F(x)
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
2 4 2 4 8 4
íÅ‚ Å‚Å‚
całka oznaczona
b
x * cos2 xdx = {przy tak długich obliczeniach, całkę oznaczoną można policzyć jako
+"
a
nieoznaczoną (obliczona powyżej), a granice całkowania wstawić do ostatecznej
b
1 1 1
ëÅ‚
postaci funkcji scaÅ‚kowanej F(x)} = x *sin 2x + cos 2x + x2 öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
4 8 4
íÅ‚ Å‚Å‚
a
1 1 1 1 1 1
ëÅ‚ ëÅ‚
= b *sin 2b + cos 2b + b2 öÅ‚ - ìÅ‚ ÷Å‚
a *sin 2a + cos 2a + a2 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4 8 4 4 8 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
całka nieoznaczona
2
Å„Å‚
u = (ln x) v' = x3 üÅ‚
1 1 1
ôÅ‚ ôÅ‚
2 2
x3 *(ln x) dx = =(ln x) * x4 - x * * x4dx =
1 1
òÅ‚u = 2ln x * v = x4 żł
'
+" +"2ln x 4
4
ôÅ‚ ôÅ‚
ół x 4 þÅ‚
Å„Å‚
1 1 1 1 1
ôÅ‚u = ln1x v' = x3 üÅ‚
ôÅ‚
2 2
1
(ln x) * x4 - x * *x4dx = (ln x) * x4 - x *x3dx =
òÅ‚
+"ln x +"ln
u' = v = x4 żł =
4 2 4 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ół x 4 þÅ‚
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 ëÅ‚ln x * x4 * x4dxöÅ‚ x) * x4 ëÅ‚ln x * x4 x3dxöÅ‚
2
= (ln x) * x4 - ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
- = (ln - ìÅ‚
- =
+" +"
4 2 4 x 4 4 2 4 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1 1 1 1 1
2 ëÅ‚ln x * x4 * x4 öÅ‚ 2 öÅ‚
= (ln x) * x4 - ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
- + C = x4 ëÅ‚(ln x) - ln x + + C = F(x)
4 2 4 4 4 4 2 8
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
28
całka oznaczona
b
2
x3 *(ln x) dx = {zamiana całki oznaczonej na nieoznaczoną}
+"
a
2
Å„Å‚
u = (ln x) v' = x3 üÅ‚
1 1 1
ôÅ‚ ôÅ‚
2 2
x3 *(ln x) dx = =(ln x) * x4 - x * * x4dx =
1 1
òÅ‚u = 2ln x * v = x4 żł
'
+" +"2ln x 4
4
ôÅ‚ ôÅ‚
ół x 4 þÅ‚
Å„Å‚
1 1 1 1 1
ôÅ‚u = ln1x v' = x3 üÅ‚
ôÅ‚
2 2
1
(ln x) * x4 - x * *x4dx = (ln x) * x4 - x *x3dx =
òÅ‚
+"ln x +"ln
u' = v = x4 żł =
4 2 4 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ół x 4 þÅ‚
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 ëÅ‚ln x * x4 * x4dxöÅ‚ x) * x4 ëÅ‚ln x * x4 x3dxöÅ‚
2
= (ln x) * x4 - ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
- = (ln - ìÅ‚
- =
+" +"
4 2 4 x 4 4 2 4 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1 1 1 1 1
2 ëÅ‚ln x * x4 * x4 öÅ‚ 2 öÅ‚
= (ln x) * x4 - ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
- + C = x4 ëÅ‚(ln x) - ln x + + C = F(x)
4 2 4 4 4 4 2 8
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zatem
b
b
îÅ‚1 1 1 Å‚Å‚ îÅ‚1 1 1 Å‚Å‚ îÅ‚1 1 1 Å‚Å‚
2 2 öÅ‚ 2 öÅ‚ 2 öÅ‚
x3 *(ln x) dx =ïÅ‚ x4ëÅ‚(ln x) - ln x + = b4 ëÅ‚(ln b) - ln b + - a4 ëÅ‚(ln a) - ln a +
ìÅ‚ ÷łśł ïÅ‚4 ìÅ‚ ÷łśł ïÅ‚4 ìÅ‚ ÷łśł
+"
2 8 2 8 2 8
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚4 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
a
a
ad. 3
całka nieoznaczona
5x = t
Å„Å‚ üÅ‚ 1 1 1
+"sin 5xdx = òÅ‚5dx = dtżł = +"sin tdt = (- cost)+ C = - cos5x + C
5 5 5
ół þÅ‚
całka oznaczona
5Ä„
Ä„ ² 5Ä„
5x = t
Å„Å‚ üÅ‚ 1 Å„Å‚ Ä… = 0
üÅ‚ 1 1
îÅ‚
=
+"sin5xdx = òÅ‚5dx = dtżł = +"sintdt = òÅ‚² = 5Ä„ żł = +"sintdt = *(- cost)Å‚Å‚
ïÅ‚5 śł
5 5
ðÅ‚ ûÅ‚
ół þÅ‚ Ä…
ół þÅ‚
0 0
0
1 1 1 1 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
= cos5Ä„ - ìÅ‚- cos0öÅ‚ = + =
ìÅ‚-
÷Å‚ ÷Å‚
5 5 5 5 5
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Uwaga:
stosując metodę zamiany całki oznaczonej na  roboczą całkę nieoznaczoną i powrót do całki
oznaczonej z policzoną funkcją F(x); nie zmieniamy granic całkowania!
Ä„
+"sin 5xdx = {przejście z całki oznaczonej na nieoznaczoną}
0
5x = t
Å„Å‚ üÅ‚ 1 1 1
+"sin 5xdx = òÅ‚5dx = dtżł = +"sin tdt = (- cost)+ C = - cos5x + C = F(x)
5 5 5
ół þÅ‚
Zatem
Ä„
Ä„
1 1 1 1 1 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
=
÷Å‚
+"sin 5xdx = - cos5x = ìÅ‚- cos5Ä„ ÷Å‚ - ìÅ‚- cos0öÅ‚ + 5 =
5 5 5 5 5
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0
0
całka nieoznaczona
4x + 5 = t
Å„Å‚ üÅ‚ 1 1 1
+"cos(4x + 5)dx = òÅ‚ 4dx = dt żł = +"costdt = sin t + C = sin(4x + 5)+ C
4 4 4
ół þÅ‚
29
całka oznaczona
4x + 5 = t
Å„Å‚ üÅ‚ 1 1 1
+"cos(4x + 5)dx = òÅ‚ 4dx = dt żł = +"costdt = sin t + C = sin(4x + 5)+ C
4 4 4
ół þÅ‚
Ä„ ² 4Ä„ +5
4x + 5 = t
Å„Å‚ üÅ‚ 1 Å„Å‚Ä… = 2Ä„ + 5
üÅ‚ 1
+"cos(4x + 5)dx = òÅ‚ 4dx = dt żł = +"costdt =òÅ‚ 4Ä„ + 5żł = +"costdt =
4Ä… 4
Ä„ ół þÅ‚ ół² = þÅ‚
2Ä„ +5
2
4Ä„ +5
1 1 1 1 1
îÅ‚ îÅ‚
= sin t = sin(4Ä„ + 5)Å‚Å‚ - sin(2Ä„ + 5)Å‚Å‚ = sin17,57 - sin11,28 = -0,24 + 0,24 E" 0
ïÅ‚4 śł ïÅ‚4 śł
4 4 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2Ä„ +5
POZOSTAA
E PRZYKA
ADY (WRAZ Z ODPOWIEDZIAMI) ZNAJDUJ
SI
W
PODANEJ LITERATURZE NA STRONACH 104  107 (całka nieoznaczona) ORAZ
114  115 (całka oznaczona).
4.6 Całka oznaczona  obliczanie pól powierzchni.
Całkę oznaczoną możemy wykorzystywać do obliczania pól powierzchni ograniczonych
krzywymi (funkcjami); w szczególnych przypadkach możemy policzyć pole zawarte
pomiędzy krzywą (funkcją) a osią OX.
Przykład 1: obliczyć pole powierzchni zawarte pomiędzy krzywą f (x) = x2 (poniższy
wykres), a osiÄ… OX, w granicach od 3 do 5.
W celu obliczenia wartości pola, należy skorzystać własności całki oznaczonej, przy czym
5
funkcją podcałkową f(x) będzie funkcja f (x) = x2 ; stąd mamy: x2 dx ; całkę tę
+"
3
rozwiązujemy zgodnie z poznanymi wcześniej metodami oraz wykorzystując definicję
wartości bezwzględnej; tutaj x2 > 0 dla x " 3;5 , zatem:
5
5 5
1 1 1 125 27 98
x2 dx = x2dx = x3 = Å" 53 - Å" 33 = - = j2 pole zakreskowane poniżej
+" +"
3 3 3 3 3 3
3 3
3
Y
X
0
-1 1 2 3 4 5 6
Created with a trial version of Advanced Grapher - http:/ / www.alentum.com/ agra
30
Przykład 2: obliczyć pole powierzchni zawarte pomiędzy krzywą f (x) = x2 -1 (poniższy
wykres), a osiÄ… OX, w granicach od -2 do 2.
W celu obliczenia wartości pola, należy skorzystać własności całki oznaczonej, przy czym
2
funkcją podcałkową f(x) będzie funkcja f (x) = x2 -1 ; stąd mamy: x2 -1dx ; całkę tę
+"
-2
rozwiązujemy zgodnie z poznanymi wcześniej metodami oraz wykorzystując definicję
wartości bezwzględnej, która w tym przykładzie  rozbije naszą funkcję podcałkową na sumę
trzech funkcji w odpowiednich granicach całkowania;
2 -1 1 2 -1 1 2
x2 -1dx = (x2 -1)dx + (x2 -1)dx + (x2 -1)dx = (x2 -1)dx - (x2 -1)dx + (x2 -1)dx =
+" +"+"- +"+"+"+"
-2 -2 -1 1 -2 -1 1
= {każdą całkę rozwiązujemy zgodnie z poznanymi metodami}= 4j2 (zakreskowane pole
poniżej)
Y
X
0
-3 -2 -1 1 2 3
Created with a trial version of Advanced Grapher - http:/ / w
31