III. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ.
3.1 Pochodna funkcji w punkcie.
Jeśli funkcja y = f(x) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0 i istnieje skończona
f (x0 + "x)- f (x0 )
lim
granica , to tÄ™ granicÄ™ nazywamy pochodnÄ… funkcji y = f(x) w
"x0
"x
punkcie x0 i oznaczamy symbolem f  (x0).
Interpretacja geometryczna.
f (x0 + "x)- f (x0 ) dla dowolnego punktu x = x (w którym funkcja f(x)
tgÄ… = f '(x0 ) = lim
0
"x0
"x
f (x + " x )- f (x )
jest różniczkowalna), możemy zapisać: tg ą = f '(x ) = lim
" x 0
" x
3.2 Na podstawie definicji wyznaczyć pochodne nst. funkcji:
14
Ä… + ² - ²
f (x) = sin x pomoc do rozw. : sinÄ… - sin ² = 2cosëÅ‚ öÅ‚sinëÅ‚Ä… öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
x + "x + x x + "x - x
öÅ‚sinëÅ‚ öÅ‚
2cosëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
f (x + "x)- f (x) sin(x + "x)- sin(x) 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
f '(x) = lim = lim = lim =
"x0 "x0 "x0
"x "x "x
"x "x "x "x
öÅ‚sinëÅ‚ öÅ‚
2cosëÅ‚ x + sinëÅ‚ öÅ‚ sinëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 "x 2 "x 2
öÅ‚ öÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
= lim = lim 2cosëÅ‚ x + = lim cosëÅ‚ x + = cos x
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"x0 "x0 "x0
"x
"x 2 "x 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
f (x) = x
f (x + "x)- f (x) x + "x - x 1 1
f '(x) = lim = lim = lim =
"x0 "x0 "x0
"x "x
x + "x + x 2 x
x
ëÅ‚ -1÷Å‚
öÅ‚
a
x
ìÅ‚
f (x) = a pomoc do rozw. : limìÅ‚ ÷Å‚ = ln a
x0
x
íÅ‚ Å‚Å‚
x+"x x
f (x + "x)- f (x) a - a a"x -1
x x
f '(x) = lim = lim = lim a = a ln a
"x0 "x0 "x0
"x "x "x
'
f (x) = 2x3 - 5x +1 odp. : f (x) = 6x2 - 5
'
f (x) = 3x5 - 2 odp. : f (x) = 15x4
1 1
'
f (x) = ; x `" 0 odp. : f (x) = -
x x2
'
f (x) = cos x odp. : f (x) = -sin x
1 Ä„
'
f (x) = tgx odp. : f (x) = gdzie x `" + kĄ ; k " C
cos2 x 2
1
'
f (x) = ctgx odp. : f (x) = - gdzie x `" kĄ ; k " C
sin2 x
1
'
3
f (x) = x odp. : f (x) = gdzie x `" 0
33 x2
3
'
f (x) = 2x + 3 x odp. : f (x) = 2 + gdzie x > 0
2 x
1
'
3
f (x) = x - 3x odp. : f (x) = - 3 gdzie x `" 0
33 x2
3.3 Własności pochodnych.
' ' '
[f (x)Ä… g(x)] = f (x) Ä… g(x)
' ' '
[f (x)" g(x)] = f (x) " g(x)+ f (x)" g(x)
'
' '
îÅ‚ Å‚Å‚
f (x) f (x) " g(x)- f (x)" g(x)
ïÅ‚
2
g(x)śł =
[g(x)]
ðÅ‚ ûÅ‚
15
3.4 Pochodna funkcji odwrotnej.
' 1 ' 1
-1 -1
(f )(y) = *" (f )(x) =
' '
f (x) f (y)
Wyznaczyć pochodną funkcji y = loga x , dla x " R+
y
FunkcjÄ… odwrotnÄ… jest funkcja: x = a , gdzie y " R , zatem:
1 '
'
y y
(loga x) = ; korzystajÄ…c ze wzoru: (a ) = a ln a , otrzymujemy:
'
y
(a )
1 1 1
'
(loga x) = = = , dla x " R+
' y
y
a ln a x ln a
(a )
3.5 Pochodna funkcji złożonej.
'
' '
[f (g(x))] = f (g(x))" g (x)
;
gdzie f (g(x)) jest tzw. funkcją zewnętrzną, a g(x) funkcją wewnętrzną funkcji złożonej
df (x) dy(x)
Pochodną funkcji oznaczamy często symbolem: lub , albo w skrócie
dx dx
df dy
odpowiednio: lub , wówczas wzór na pochodną funkcji złożonej f (g(x))
dx dx
przyjmuje bardziej zrozumiałą postać; wystarczy dokonać podstawienia za funkcję
df df dz
wewnętrzną g(x) = z , a otrzymamy: = "
dx dz dx
Przykłady:
5
f (x) = 2x2 + 3
g(x) = 2x2 + 3 = z
1
5
f (z) = z
4
-
df df dz 1 1 4x
5
= " = z " 4x = " 4x =
4
dx dz dx 5
55 z4
55 (2x2 + 3)
(x2
f (x) = 5ln +1)
g(x) = ln(x2 +1)= z
f (z) = 5z
należy zauważyć, że funkcja wewnętrzna g(x) jest również funkcją złożoną z funkcji:
g1(x) = x2 +1 = u oraz funkcji zewnętrznej g(u) = ln u , zatem jej pochodna
dz dg du 1 2x df df dz 2x 2x
(x2
= " = " 2x = , zatem = " = 5z ln 5 " = 5ln +1) ln 5 "
dx du dx u x2 +1 dx dz dx x2 +1 x2 +1
wzory pochodnych funkcji złożonych z trzech lub czterech funkcji:
16
df df dz du
= * *
dx dz du dx
df df dz du dv
= * * *
dx dz du dv dx
7
'
f (x) = (3x2 + 5) odp. : f (x) = 126x3 + 210x
2x
7 '
f (x) = x2 + 5 odp. : f (x) =
6
77 (x2 + 5)
2 2
'
f (x) = 3x +x+2 odp. : f (x) = 3x + x+2 ln 3*(2x +1)
'
f (x) = sin3(2x5 -1) odp. : f (x) = 3sin2(2x5 -1)* cos(2x5 -1)*10x4
1
'
f (x) = eln x odp. : f (x) = eln x * ; gdzie x > 0
x
3
8tg 2x Ä„ Ä„
4 '
f (x) = tg 2x odp. : f (x) = ; gdzie x `" + k ; k " C
cos2 2x 4 2
x * arccos x
'
f (x) = x - 1- x2 * arccos x odp. : f (x) = 2 + ; gdzie x "(-1;1)
1- x2
sin(2 2x +1); x > - 1
'
f (x) = sin2 2x +1 odp. : f (x) =
2
2x +1
2x
(x2 ' (x2
f (x) = 3ln +2) odp. : f (x) = 3ln +2) ln 3*
x2 + 2
2 2
'
f (x) = esin x odp. : f (x) = esin x *sin 2x
g(x)
y = f (x)
3.6 Pochodna funkcji .
17
g(x)
y = f (x) / ln
g(x)
ln y = ln f (x)
ln y = g(x)ln f (x)
' '
(ln y) = [g(x)ln f (x)]
y'
' '
= [g(x)] * ln f (x)+ g(x)*[ln f (x)]
y
'
y' [f (x)]
'
= [g(x)] * ln f (x)+ g(x)*
y f (x)
'
Å„Å‚ üÅ‚
[f (x)]
'
y' = [g(x)] * ln f (x)+ g(x)*
òÅ‚
f (x)żł* y
ół þÅ‚
'
Å„Å‚ üÅ‚
[f (x)]
' g(x)
y' = [g(x)] * ln f (x)+ g(x)* (x)
òÅ‚
f (x)żł* f
ół þÅ‚
'
Å„Å‚ üÅ‚
[f (x)]
g(x) '
y' = f (x) * [g(x)] * ln f (x)+ g(x)*
òÅ‚
f (x)żł
ół þÅ‚
Przykłady:
1
öÅ‚
y = xsin x odp. : y' = xsin x ëÅ‚cos x * ln x + sin x *
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
y = xx odp. : y' = xx(ln x +1)
2 2
1
öÅ‚
2
y = xsin x odp. : y' = xsin x ëÅ‚sin 2x * ln x + sin x *
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
2 2
sin 2 x +1 1
÷Å‚
y = xsin x+1 odp. : y' = xsin x+1 ìÅ‚ *ln x + sin2 x +1 *
ìÅ‚ ÷Å‚
x
2 x +1
íÅ‚ Å‚Å‚
3.7 Pochodna wyższych rzędów.
'
(n) (n-1)
f (x) = [f ](x) gdzie n " N
Wyznaczyć drugą pochodną funkcji f (x) = ln(x + 1+ x2 ).
18
1 x 1+ x2 + x
' ' 1+ * 2x 1+
'
df [x + 1+ x2] (x) +( 1+ x2 )
2 1+ x2 1+ x2 1+ x2
'
f (x) = = = = = = =
dx
x + 1+ x2 x + 1+ x2 x + 1+ x2 x + 1+ x2 x + 1+ x2
1+ x2 + x 1 1
= * =
x + 1+ x2 1+ x2 1+ x2
x
'
'
df 1' * 1+ x2 -1*( 1+ x2 ) x
1+ x2
''
f (x) = = = =
dx 1+ x2 1+ x2
(1+ x2)* 1+ x2
3.8 Zastosowanie pochodnej do obliczania granic funkcji  reguła de l Hospitala.
Jeżeli:
'
f (x) f (x) są określone w pewnym sąsiedztwie punktu x0
1. funkcje i
'
g(x) g (x)
0
îÅ‚ Å‚Å‚
lim f (x) = lim g(x) = 0 Ò! lub
ïÅ‚0śł
xx0 xx0
ðÅ‚ ûÅ‚
2.
"
îÅ‚ Å‚Å‚
lim f (x) = lim g(x) = Ä…" Ò!
ïÅ‚"śł
xx0 xx0
ðÅ‚ ûÅ‚
3. istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa):
'
f (x) f (x)
'
f (x)
lim
lim to zachodzi równość:
xx0 xx0 '
xx0 ' g(x)= lim g (x)
g (x)
Uwaga !!!  regułę de l Hospitala stosujemy bezpośrednio do nst. symboli
0 "
i
nieoznaczonych: ; w pozostałych przypadkach, tzn.:
0 "
[" - "];[0 * "];[00];[1"];["0] stosujemy przekształcenia.
0 "
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Wzory przekształcające symbole [" - "];[0*"];[00];[1"];["0] na oraz :
ïÅ‚0śł ïÅ‚"śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 1
-
g(x) f (x)
dla [" - "]Ò! f (x)- g(x) =
1
f (x)* g(x)
f (x)
dla [0 * "]Ò! f (x)* g(x) =
1
g(x)
lim g(x)ln f (x)
g(x) g(x) x x0
dla [00];[1"];["0]Ò! f (x) = eg(x)ln f (x) przy czym lim f (x) = e
xx0
Oblicz nst. granice funkcji:
19
x2 - 3x -10 7
lim odp. :
x5
x3 -125 75
x + ln x
lim odp. :1
x"
x
x 1 1
öÅ‚
limëÅ‚ - ÷Å‚
odp. :
ìÅ‚
x1
x -1 ln x 2
íÅ‚ Å‚Å‚
lim x ln x odp. : 0
x0+
lim xx odp. :1
x0+
1
x-1
lim x odp. : e
x1
x-2
lim(x2 - 4) odp.:1
x2
3.9 Zastosowanie pochodnej w badaniu niektórych własności funkcji.
1. monotoniczność funkcji
funkcja f (x) jest rosnÄ…ca (malejÄ…ca) na X wtedy i tylko wtedy gdy:
' ' '
" f (x) e" 0 (" f (x) d" 0) i f (x) nie równa się tożsamościowo zero, na żadnym
x"X x"X
podprzedziale przedziału X (są to warunki konieczne i wystarczające); w praktyce często
korzystamy tylko z warunków wystarczających:
20
'
jeżeli " f (x) > 0 to funkcja f (x) jest rosnąca na X, czyli
x"X
" (x1 > x2 Ò! f (x1) > f (x2 ))- definicja
x1,x2"X
'
jeżeli " f (x) < 0 to funkcja f (x) jest malejąca na X, czyli
x"X
" (x1 > x2 Ò! f (x1) < f (x2 ))- definicja
x1,x2"X
2. ekstrema lokalne funkcji
' '
jeżeli f (x0 ) = 0 lub f (x0 ) nie istnieje, to funkcja f (x) może mieć w punkcie x0
ekstremum lokalne:
' '
" jeżeli " f (x) < 0 oraz " f (x) > 0 to funkcja f (x) ma w punkcie
x"(x0 ;x0 -´ ) x"(x0 ;x0 +´ )
'
x0 minimum lokalne właściwe, czyli występuje zmiana znaku funkcji f (x) z
 -  na  + i zachodzi nierówność: " f (x) > f (x0 )- def.
x"(x0 ;x0 Ä…´ )
' '
" jeżeli " f (x) > 0 oraz " f (x) < 0 to funkcja f (x) ma w punkcie
x"(x0 ;x0 -´ ) x"(x0 ;x0 +´ )
'
x0 maksimum lokalne właściwe, czyli występuje zmiana znaku funkcji f (x)
z  +  na  - i zachodzi nierówność: " f (x) < f (x0 )- def.
x"(x0 Ä…´ )
' ' '
" jeżeli " f (x) < 0 oraz " f (x) > 0 lub " f (x) > 0 oraz
x"(x0 ;x0 -´ ) x"(x0 ;x0 +´ ) x"(x0 ;x0 -´ )
'
" f (x) > 0 to funkcja f (x) nie posiada w punkcie x0 ekstremum
x"(x0 ;x0 +´ )
'
lokalnego, czyli po obu stronach x0 funkcja f (x) ma taki sam znak
Przykład:
zbadać monotoniczność i ekstremum funkcji:
f (x) = x4 odp. : f (x)Ä™! dla x "(0;+"); f (x)“! dla x "(- ";0); f (min) = 0 dla x=0
f (x) = 3x5 - 5x3 +10 odp. : f (x)Ä™! dla x "(- ";-1)*" (1;+"); f (x)“! dla x "(-1;1);
f (max) = 12 dla x= -1; f (min) = 8 dla x= 1;
3. wypukłość i wklęsłość funkcji  warunek wystarczający:
''
jeżeli " f (x) > 0 to funkcja f (x) jest wypukła na przedziale X, czyli dla każdego
x"X
x0 " X wykres funkcji f (x) leży powyżej stycznej w punkcie P0(x0; f (x0 ))
''
jeżeli " f (x) < 0 to funkcja f (x) jest wklęsła na przedziale X, czyli dla każdego
x"X
x0 " X wykres funkcji f (x) leży poniżej stycznej w punkcie P0(x0; f (x0 ))
4. punkt przegięcia funkcji  warunek wystarczający:
" "
jeżeli f (x0 ) = 0 lub f (x0 ) nie istnieje, to funkcja f (x) może mieć w punkcie x0 punkt
przegięcia:
" " "
" jeżeli " f (x) > 0 oraz " f (x) < 0 lub " f (x) < 0 oraz
x"(x0 ;x0 -´ ) x"(x0 ;x0 +´ ) x"(x0 ;x0 -´ )
"
" f (x) > 0 , to w punkcie P0(x0; f (x0 )), funkcja f (x) ma punkt przegięcia,
x"(x0 ;x0 +´ )
21
czyli wykres funkcji f (x) jest wypukÅ‚y (wklÄ™sÅ‚y) na przedziale (x0; x0 - ´ ) i
wklÄ™sÅ‚y (wypukÅ‚y) na przedziale (x0; x0 + ´ )
5. asymptoty funkcji:
" asymptota pionowa  asymptotÄ… pionowÄ… wykresu funkcji f (x) nazywamy
prostÄ… x = x0, wtedy i tylko wtedy gdy przynajmniej jedna z granic: lim f (x)
xx0-
- asymptota lewostronna, lim f (x)- asymptota prawostronna, jest
xx0 +
niewłaściwa;
" asymptota ukośna  asymptotą ukośną funkcji f (x) nazywamy prostą
y = mx+n, wtedy i tylko wtedy, gdy: lim ( f (x)- mx + n) = 0 ; stÄ…d
xÄ…"
otrzymujemy wzory na wielkości:  m oraz  n :
f (x)÷Å‚ oraz n = lim ( f (x)- mx)- asymptota prawostronna
ëÅ‚ öÅ‚
m = lim
ìÅ‚
x+" x+"
x
íÅ‚ Å‚Å‚
f (x)÷Å‚ oraz n = lim ( f (x)- mx)- asymptota lewostronna
ëÅ‚ öÅ‚
m = lim
ìÅ‚
x-" x-"
x
íÅ‚ Å‚Å‚
Uwaga:
a) jeżeli m = 0, to asymptotę ukośną nazywamy poziomą
b) jeżeli chociaż jedna wielkość  m lub  n w jednej z powyższych
par równa się nieskończoności, wówczas asymptota ukośna (lewo
lub/i prawostronna) nie istnieje
Przebieg zmienności funkcji można badać wg poniższych punktów:
1. wyznaczenie dziedziny funkcji
2. znalezienie miejsc zerowych funkcji
3. wyznaczeni granice funkcji w krańcach dziedziny
4. zbadanie istnienia asymptot funkcji
5. wyznaczenie monotoniczności funkcji oraz ekstremów lokalnych (obliczenie wartości tych
ekstremów)
6. wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz punktów przegięcia
(obliczenie wartości punktów przegięcia)
7. sporządzenie tabelki zmienności funkcji
8. sporzÄ…dzenie wykresu funkcji
Przykłady:
3
f (x) = (x + 4)
1. D: x " R
2. miejsca zerowe: x = -4 (jest to potrójny pierwiastek)
3
3. lim (x + 4) = -"
x-"
22
3
lim (x + 4) = +"
x+"
4. asymptoty pionowe nie istniejÄ…;
3
ëÅ‚ (x + 4) öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
asymptoty ukośne: lim = +" =m
ìÅ‚ ÷Å‚
x-"
x
íÅ‚ Å‚Å‚
3
ëÅ‚ öÅ‚
(x + 4)
lim ìÅ‚ ÷Å‚ = +" =m
ìÅ‚ ÷Å‚
x+"
x
íÅ‚ Å‚Å‚
zatem asymptoty ukośne również nie występują
2
'
5. f (x) = 3(x + 4) - D : x " R ; pierwsza pochodna jest dodatnia dla x " R \{-4},
dla x = -4 ma wartość 0, ale nie zmienia w tym punkcie znaku, zatem funkcja f (x)
jest rosnąca dla x " R i nie posiada ekstremów lokalnych
6. f "(x) = 6(x + 4) - D : x " R ; f "(x) = 0 dla x = -4; f "(x) jest dodatnia dla
x "(- 4;+"); f "(x) jest ujemna dla x "(- ";-4), zatem funkcja f (x) ma w punkcie
x = -4 punkt przegięcia, którego wartość wynosi f (- 4) = 0 ; funkcja f (x) jest
wypukła w przedziale x "(- 4;+") oraz wklęsła dla x "(- ";-4)
7.
(- ";-4) (- 4;+")
x -4
"
f (x) - 0 +
f '(x)
+ 0 +
p.p.
f (x) - " Ä™! )" *" Ä™! + "
f (- 4) = 0
8. wykres funkcji f (x)
2x -1
f (x) =
2
(x -1)
1) D: x "(- ";1)*" (1;+")
1
2) miejsca zerowe: x =
2
2x -1 2x -1
3) lim = 0 lim = +"
2
x-"
x1- 2
(x -1) (x -1)
2x -1 2x -1
lim = 0 lim = +"
2
x+"
x1+ 2
(x -1) (x -1)
4) asymptota pionowa: x = 1 (obustronna)
asymptoty ukośne:
f (x)÷Å‚ = lim 2x -1 f (x)÷Å‚ = lim 2x -1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
lim = 0 = m1 lim = 0 = m2
ìÅ‚ ìÅ‚
2 2
x-" x-" x+" x+"
x x
íÅ‚ Å‚Å‚ x(x -1) íÅ‚ Å‚Å‚ x(x -1)
2x -1 2x -1
lim ( f (x)- m1x) = lim = 0 = n1 x+"( f (x)- m2 x) = lim = 0 = n2
lim
2 2
x-" x-" x+"
(x -1) (x -1)
23
zatem prosta y = 0 jest asymptotÄ… poziomÄ… obustronnÄ…
2
2(x -1) - 2(2x -1)(x -1)
'
5. f (x) = - D : x "(- ";1)*" (1;+"); pierwsza pochodna jest
4
(x -1)
równa zero dla x1 = 0 oraz x2 = 1 " D'; pierwsza pochodna jest dodatnia dla x "(0;1)
a ujemna dla x "(- ";0)*" (1;+"), zatem funkcja f (x) jest rosnÄ…ca dla x "(0;1) oraz
malejÄ…ca dla x "(- ";0)*" (1;+") i posiada minimum lokalne: f (0) = -1
3
(x -1) [(- 4x + 2)(x -1)- 4(- 2x2 + 2x)]
"
6. f (x) = - D : x "(- ";1)*" (1;+");
8
(x -1)
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
f "(x) = 0 dla x1 = 1 " D" i x2 = - ; f "(x) jest ujemna dla x " ";- ÷Å‚
ìÅ‚- ; f "(x)
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1
ëÅ‚
jest dodatnia dla x " ;1öÅ‚ *" (1;+"), zatem funkcja f (x) ma w punkcie x = -
ìÅ‚- ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1 8
ëÅ‚ öÅ‚
punkt przegięcia, którego wartość wynosi f = - ; funkcja f (x) jest wypukła
ìÅ‚- ÷Å‚
2 9
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
w przedziale x " ";- ÷Å‚ ìÅ‚- ÷Å‚
ìÅ‚- oraz wklÄ™sÅ‚a dla x " ;1öÅ‚ *" (1;+")
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
7.
1 1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ 1 ëÅ‚ ëÅ‚0; öÅ‚ 1 ëÅ‚
;1öÅ‚
÷Å‚ 0 ìÅ‚ ÷Å‚ (1;+")
x ìÅ‚- ";- ÷Å‚ - ìÅ‚- ;0öÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ 1
2 2 2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
"
f (x) - 0 + + + + + x +
f '(x) - - - 0 + + + x -
p.p.
min.
x
1 8
f (x) ëÅ‚ öÅ‚
0 “! )" “! *" *" Ä™! *" Ä™! *" Ä™! *" “! 0
f = -
ìÅ‚- ÷Å‚ f (0) = -1 *"
+ " + "
2 9
íÅ‚ Å‚Å‚
8. wykres funkcji
POZOSTAA
E PRZYKA
ADY (WRAZ Z ODPOWIEDZIAMI) ZNAJDUJ
SI
W
PODANEJ LITERATURZE NA STRONIE 92.
24