Matematyka w Fizyce, Zadania, Zestaw 3.
1. Wyliczyć pochodne funkcji f(x) poprzez wykonanie przejścia granicznego "x 0 dla ilorazu
różnicowego:
dla następujących funkcji:
a) f(x)=ax +b, b) f(x)="x, c) f(x)=xn, d) f(x)=sin(x), g) f(x)=cos(x), h) f(x)=ax, i) f(x)=ex, j) f(x)=xx,
f(x)=ln(x)
2. Pokazać, że (f(x)+g(x)) =f (x)+g (x)
3. Pokazać, że [f(x)g(x)] =f (x)g(x)+f(x)g (x)
4. Pokazać, że
5. Obliczyć pochodnÄ… funkcji zÅ‚ożonej : = f (g(x))·g (x)=
a)
b)
c)
d)
6. Dla następujących figur płaskich, równobocznych, o ustalonym polu powierzchni P wyliczyć
długość obwodów: trójkąt, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt, etc. Przechodząc do granicy liczby
kątów ", pokazać, że figurą płaską o najmniejszym obwodzie przy ustalonym polu powierzchni
jest koło.
7. Uprawdopodobnić stwierdzenie, że spośród rozlicznych obiektów trójwymiarowych o objętości V,
kula ma najmniejszÄ… powierzchniÄ™ (energia powierzchniowa, kropla cieczy).
8. Promień światła emitowany z punktu A pada na lustro w punkcie B, odbija się i dociera do punktu
C. Pokazać, że dotrze tam najszybciej, gdy trajektoria przebiega tak, że kąt padania jest równy
kÄ…towi odbicia. (prawo Snelliusa, zasada Fermata, )
9. Z punktu A wyrusza promień światła, poruszając się z prędkością VA w ośrodku  A , następnie
w punkcie B przechodzi do ośrodka  C dążąc do punktu C z prędkością VC. Wykazać, że droga
ABC bÄ™dzie pokonana w najkrótszym czasie, gdy relacja pomiÄ™dzy kÄ…tem padania Ä…, a kÄ…tem ²
załamania spełnia warunek (prawo Snelliusa, zasada Fermata). Korzystając z
załączonego rysunku znalez
ć minimum (f (t)=0) czasu potrzebnego na przebycie drogi promienia.
10. Natężenie prądu wpływającego do elektrycznego obwodu rozgałęzionego, składającego się z
dwóch oporników RA i RB wynosi . Wykazać, że moc wydzielana w całym obwodzie
osiąga minimum wtedy, gdy prądy w gałęziach A i B są odwrotnie proporcjonalne do oporów RA i
RB : (prawa Kirchhoffa, prawo Ohma)
11. Dwie równe, połączone przepuszczalną przegrodą objętości V1 i V2 zawierają N ponumerowan-
ych (rozróżnialnych) cząstek gazu. Cząstki wędrują swobodnie, każda z cząstek może z takim
samym prawdopodobieństwem znalez
ć się w V1 lub V2. Rozważyć najpierw rozkład N=4 cząstek,
przejść następnie do większej ich liczby, np. 5. Pokazać, że najbardziej prawdopodobny jest
rozkład równomierny: N(V1)=N(V2) (ekstremum funkcji rozkładu, równowaga termodynamiczna
w ujęciu fizyki statystycznej, proszę zapoznać się z pojęciami mikrostanu i makrostanu: pomocny
podręcznik A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski  Wstęp do fizyki)
Zwiększenie liczby absolwentów innowacyjnych kierunków studiów:
Zaawansowane materiały i nanotechnologia oraz Studia matematyczno-przyrodnicze
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona
1