Matematyka, GiK PW Semestr letni 2011/12
4. Ciągłość. Pochodne. Granice
1. Zbadać ciągłość funkcji (a, b " R  parametry):
ex-1
, x = 0

x
(a) f(x) = ,
a, x = 0
sin x
, x = 0

|x|
(b) f(x) = ,
a, x = 0
x
lim (2n - 1) sin , x " (0, Ä„) \ {1}
n
x"
(c) f(x) = ,
a, x = 1
Å„Å‚
1
x
ôÅ‚ - e , x < 0
òÅ‚1
(d) f(x) = a, x = 0
,
ôÅ‚
ółx arctg 2 , x > 0
x
Å„Å‚
1
ôÅ‚
òÅ‚a + arctg , x < -1
x+1
Ä„
(e) f(x) = , -1 d" x d" 2
.
2
ôÅ‚
ółb + ln(x - 1), x > 2
2. Obliczyć pierwsze pochodne funkcji:
"
3
(a) f(x) = x2 x2 + e2,
(b) f(x) = ex arcsin x - ctg(Ä„x),
arcsin x
"
(c) f(x) = ,
1-x2
"
(d) f(x) = ln(x + a2 + x2),
x2
a2
(e) f(x) = e- ,
(f) f(x) = 3x logx 2,
3
2
(g) f(x) = sinh 1 + ln ,
x
(h) f(x) = (cos x)sin x + ln 2,
"
(i) f(x) = arcsin x - 1 - x2,
x cos x
(j) f(x) = ln(tg ) - ,
2 sin2 x
"
"
1+ x2+1
(k) f(x) = ln - x2 + 1.
x
Matematyka, GiK PW Semestr letni 2011/12
3. Stosując regułę de l Hospitala, obliczyć granice (jeżeli istnieją):
tg(x2+5x)
(a) lim ,
6x3+3x
x0
2
ex -1
(b) lim ,
sin x
x0
tg x-sin x
(c) lim ,
x-sin x
x0
(d) lim (arcsin x · ctg x),
x0+
1
(e) lim (ctg x - ),
x
x0
(f) lim xsin x,
x0+
1
x
(g) lim (1 + x2) ,
x0
tg x
1
(h) lim ,
x0+ x
x
(i) lim (tgh x)e ,
x"
1
x2 sin
x
(j) lim ,
sin x
x0
1 1
(k) lim (x-1 - ),
ln x
x1+
2
(l) lim (Ä„ arctg x)x.
x"
4. Wykazać, że do liczenia poniższych granic nie można stosować reguły de
l Hospitala:
2x+sin x
(a) lim ,
2x-sin x
x"
e2x+sin x
(b) lim ,
ex-cos x
x"
1
x2 sin
x
(c) lim .
x
x0
5. Wykorzystując własność Darboux odpowiedniej funkcji, wykazać, że rów-
nanie ex - x2 = 0 ma rozwiÄ…zanie w przedziale [-1, 0].