Wydział Zarządzania  Matematyka  Ćwiczenia
Zestaw 1. Granice funkcji. Pochodna funkcji.
Zadanie 1.1. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją):
sin3x
x2+4 27-x3
h) lim
a) lim d) lim
4x
x+2 x-3
x0
x2 x3
x2-4x+3
e) lim
2x-6
4x2-1 x3
4x
b) lim
i) lim
2x+1
1 3sin2x
x- x0
2 3x2+5x-2
f) lim
4x2+9x+2
x-2
tgx
x3-8
x2-2x-8
c) lim j) lim
g) lim
x-2 4x
x2-9x+20
x2 x0
x4
Zadanie 1.2. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją):
"

(x - 1) 2 - x 8x3 - 1 1 3
a) lim b) lim c) lim -
1
x1 x1 - x 1 - x3
x2 - 1 6x2 1
x - 5x + 1
2
" " "
1 + 2x - 3 x + 13 - 2 x + 1 sin 5x
d) lim " e) lim f) lim
x4 - 2 x2 - 9 sin 3x
x3 x0
x
2
x
cos x 1 - cos x x2 + 1
g) lim h) lim i) lim
Ä„
x0 x" - 2
x - 2x x2 x2
Ä„
2
" " " "
1
j) lim 1 + x + x2 - 1 - x + x2 k) lim x + 3 - x + 1 l) lim x sin
x
x" x" x"
x+1 2x-5
2x + 3 3x - 1
m) lim x ctg 3x, n) lim o) lim
x0 x" x"
2x + 1 3x + 1
"
cos x - 1 cos x - sin x sin 5x - sin 3x
p) lim q) lim r) lim
Ä„
x0 x0
x2 x cos 2x sin x
4
Zadanie 1.3. Obliczyć granice jednostronne funkcji f w punkcie x0, jeśli:
1 1 1
a) f (x) = , x0 = 3 b) f (x) = , x0 = 3 c) f (x) = , x0 = 3
x - 3 3 - x
(3 - x)2
x + 1 1 1
x-1
d) f (x) = , x0 = 1 e) f (x) = , x0 = 2 f) f (x) = 2 , x0 = 1
x - 1 x2 - 4
1 1
x
x2-4 4-x2
g) f (x) = 4 , x0 = 2 h) f (x) = e , x0 = -2 i) f (x) = , x0 = 0
1
x
1 + e
Zadanie 1.4. Obliczając granice jednostronne zbadać, czy istnieją granice:
1
x + 1 |x - 1|3
1-x2
a) lim b) lim x [x] c) lim d) lim e
x1 - 1 x3
x0 x1 - x2
x1
x
Wydział Zarządzania  Matematyka  Ćwiczenia
Zadanie 1.5. Zbadać ciągłość funkcji f jeżeli:

x
1-x
2x + 3 dla x d" 0 x - 1 dla x < 0 e dla x = 1

a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) =
(x - 2)2 dla x > 0 3x dla x e" 0 0 dla x = 1

sin x 1 1
dla x = 0 cos dla x = 0 arctg dla x = 0

x x x
d) f (x) = e) f (x) = f) f (x) =
0 dla x = 0 0 dla x = 0 0 dla x = 0
Zadanie 1.6. Sprawdzić, czy można dobrać wartości parametrów a i b tak, aby funkcja f : R R
była ciągła, jeżeli:

Ä„x
2x + 8 dla x d" 0 cos dla x d" 1
2
a) f (x) = b) f (x) =
(x - a)2 dla x > 0 a |x - 1| dla x > 1
Å„Å‚ Å„Å‚
1
-a
x
ôÅ‚ dla x d" -1 ôÅ‚ 2 + e dla x < 0
òÅ‚ x òÅ‚
sin ax
c) f (x) = d) f (x) =
2x + 3 dla -1 < x d" 1 dla x > 0
3x
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
b (x - 2)2 + 3 dla x > 1 b dla x = 0
2
Wydział Zarządzania  Matematyka  Ćwiczenia
Zadanie 1.7. Obliczyć pochodne następujących funkcji:
"
1
1) f(x) = 3 2) f(x) = x4 + 3x2 - + x 3) f(x) = 2x3 - x2
x
5x - 1 x2 - 1 2
4) f(x) = 5) f(x) = 6) f(x) =
3 - 2x x2 + 1 x3 - 1
"
"
1
"
7) f(x) = x 1 + x2 8) f(x) = ( x + 1)( - 1) 9) f(x) = x2ex
x

1 x
10) f(x) = x3 + ex 11) f(x) = 10x 12) f(x) =
x2 4x
"
ln x
13) f(x) = 2 x - 3 ln x + 1 14) f(x) = x ln x 15) f(x) =
1 + x2
16) f(x) = log3 x 17) f(x) = sin x + cos x 18) f(x) = x3 sin x
"
sin x sin x - cos x
19) f(x) = x cos x 20) f(x) = 21) f(x) =
x4 + 4 sin x + cos x
22) f(x) = arc sin x + arc cos x 23) f(x) = x arc sin x 24) f(x) = x + arctg x

"
2
1-x
25) f(x) = 26) f(x) = ln(ex + 1 + ex) 27) f(x) = e(x -3x-4)
1+x
" 5
1 - x 1 + x2
28) f(x) = cos " 29) f(x) = (2x3 - 1)5 30) f(x) =
1 + x 1 + x
"
3
sin x 4x2 + 2
31) f(x) = 32) f(x) = cos3 4x 33) f(x) =
1 + cos x 3x4
" "
34) f(x) = (2x + 1) 22x+1 35) f(x) = (1 + x) tg ( x) 36) f(x) = sin 2x cos2 x
"
2x
x
37) f(x) = arc sin 38) f(x) = arc sin 1 - 5x 39) f(x) = arctg
2
1 - x2
3