Matematyka, GiK PW Semestr letni 2011/12
3. CiÄ…gi c.d.
1. Obliczyć granice lim an (jeśli istnieją):
n"
" " "
4 2n
(a) an = 2 2 · . . . · 2,
(-1)n2n
(b) an = ,
2n+5
(-1)n+3n
(c) an = ,
5n+2
n
5
(d) an = 1 - ,
3n
7n+1
4+n
(e) an = ,
2+n
3n2
n2
(f) an = ,
n2+5
n
1
(g) an = - 1 (-1)n,
3n
n2
n2+3n+7
(h) an = .
n2+2n+1
2. Badając granice części rzeczywistej i urojonej, obliczyć granice lim zn (o ile
n"
istniejÄ…):
2n+1+ni
(a) zn = ,
n-1
n
i
(b) zn = ,
1-i
in+1
(c) zn = .
n+i
3. Sprawdzić, że dla funkcji hiperbolicznych prawdziwe są wzory:
(a) cosh2 x - sinh2 x = 1,
(b) cosh2 x + sinh2 x = cosh 2x,
(c) cos(2 arccos x) = 2x2 - 1.
4. Naszkicować wykresy (ustalić dziedzinę naturalną):
(a) f(x) = arctg(tg x),
(b) f(x) = arcsin(sin x),
(c) f(x) = sin(arcsin x),
(d) f(x) = sinh(arsinh x).
5. Wykazać, stosując definicję Heinego, że nie istnieją granice:
Matematyka, GiK PW Semestr letni 2011/12
1
(a) lim sin ,
x0+ x
(b) lim cos x.
x"
6. Obliczyć granice (nie stosując reguły de l Hospitala):
1-cos x
(a) lim ,
x2
x0
x+sin 2x
(b) lim ,
x+sin 3x
x"
" "
1+x- 1-x
(c) lim ,
x
x0
"
x2+1
(d) lim ,
x
x-"
"
3
8+x-2
(e) lim ,
x
x0
2
(f) lim (1 + x2)ctg x,
x0
1
"
x-1
(g) lim (2 - x)
x1+
1
(h) lim
x0- 1+e1/x
2x
(i) lim (tgh x)3e .
x"