V. ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ  ALGEBRA MACIERZY
5.1 Definicja macierzy.
Macierzą prostokątną m x n, gdzie m,n"N i oznaczają odpowiednio liczbę wierszy i kolumn,
nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j),
gdzie i = 1, 2, 3& m; j = 1, 2, 3,& n, liczbę aij. Zatem macierz jest funkcją:
A : (i, j) aij
Macierz zapisujemy w postaci:
a11 a12 ... a1n
�ł łł
�ła a22 ... a2n śł
21
�ł śł
bądz
krócej [aij]
�ł śł
... ... ... ...
�ł śł
am2 am3 amn �ł
�łam1
5.2 Rodzaje macierzy.
1 2 3
�ł łł
�ł4
A. Macierz nazywamy kwadratową gdy m = n; np.: 5 6śł
�ł śł
�ł śł
�ł7 8 9�ł
B. Macierz, której wszystkie elementy są zerami, nazywamy macierzą zerową, np.:
0 0 0
�ł łł
0 0 0
�ł łł
�ł0 0 0śł
lub
�ł0 0 0śł
�ł śł
�ł �ł
�ł śł
�ł0 0 0�ł
C. Macierz nazywamy diagonalną, jeżeli wszystkie elementy poza główną przekątną (tzn.
1 0 0
�ł łł
�ł0
gdy i `" j) są równe zero, np.: 2 0śł
�ł śł
�ł śł
�ł0 0 3�ł
D. Macierz diagonalną, która na głównej przekątnej ma elementy równe 0, nazywamy
1 0 0
�ł łł
�ł0
macierzą jednostkową, np.: 1 0śł
�ł śł
�ł śł
�ł0 0 1�ł
E. Macierz kwadratową, dla której spełniony jest warunek: aij = aji, nazywamy macierzą
1 4 3
�ł łł
�ł4
symetryczną, np.: 6 8śł
�ł śł
�ł śł
�ł3 8 7�ł
32
F. Macierz, którą otrzymujemy z danej macierzy A, poprzez zamianę wierszy na
kolumny, z zachowaniem ich kolejności, nazywamy macierzą transponowaną i
oznaczamy symbolem AT, np.: macierz transponowana powstała z macierzy
2 5
�ł łł
2 4 6
�ł łł
�ł4
A = wygląda nst.: AT = 3śł
�ł5 3 1 śł
�ł śł
�ł �ł
�ł śł
�ł6 1�ł
5.3 Działania na macierzach oraz ich własności.
" Sumą (różnicą) macierzy A + B (A  B) tego samego wymiaru m x n nazywamy
macierz, której elementy równe są sumom (różnicom) odpowiednich elementów
1 2 3 4 5 6
�ł łł �ł łł
�ł4 �ł3
macierzy A i B, np.: jeżeli A = 5 6śł B = 4 5śł to
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł7 8 9�ł �ł7 8 9�ł
1+ 4 2 + 5 3 + 6 5 7 9
�ł łł �ł łł
�ł4 �ł
A + B = + 3 5 + 4 6 + 5śł = 7 9 11śł
�ł śł �ł śł
�ł śł śł
�ł7 + 7 8 + 8 9 + 9�ł �ł 16 18�ł
�ł14
1- 4 2 - 5 3 - 6 3 - 3 - 3
�ł łł �ł-
łł
�ł4 �ł śł
A - B = - 3 5 - 4 6 - 5śł = 1 1 1
�ł śł �ł śł
�ł - 7 8 - 8 9 - 9�ł �ł 0 0 0
śł �ł śł
�ł7 �ł
" Iloczynem macierzy A przez liczbę k, nazywamy macierz, której elementami są
1 3 4
�ł łł
�ł5
elementy macierzy A pomnożone przez liczbę k, np.: A = 6 8śł , a k = 3, to
�ł śł
�ł śł
�ł9 5 1�ł
3�1 3� 3 3� 4 3 9 12
�ł łł �ł łł
�ł3� �ł15
A� k = 5 3� 6 3� 8śł = 18 24śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł3� 9 3� 5 3�1�ł �ł 15 3 śł
�ł27 �ł
" Iloczynem macierzy A przez macierz B nazywamy macierz, której elementami są
sumy iloczynów kolejnych elementów i  tego wiersza macierzy A przez kolejne
1 2 3 4 5 6
�ł łł �ł łł
�ł4 �ł3
elementy j  tej kolumny macierzy B, np.: A = 5 6śł B = 4 5śł to
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł7 8 9�ł �ł 8 9�ł
�ł7 śł
1� 4 + 2 � 3 + 3� 7 1� 5 + 2 � 4 + 3� 8 1� 6 + 2 � 5 + 3� 9 31 37 43
�ł łł �ł łł
�ł4 �ł
A� B = � 4 + 5� 3 + 6 � 7 4 � 5 + 5� 4 + 6 � 8 4 � 6 + 5� 5 + 6 � 9śł = 73 88 103śł
�ł śł �ł śł
�ł śł śł
�ł7 � 4 + 8� 3 + 9 � 7 7 � 5 + 8� 4 + 8� 8 7 � 6 + 8� 5 + 9 � 9�ł �ł 131 163�ł
�ł115
" Mnożenie macierzy (o ile istnieje) jest rozdzielne względem dodawania
(odejmowania):
A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC
33
Ćwiczenia:
2 1
�ł łł
�ł3 4śł
3 1 2 4
�ł łł
1) Napisać macierz transponowaną macierzy: A =
�ł5 6 7 8śł ; B = �ł śł ;
�ł śł
5 6
�ł �ł
�ł6 7śł
�ł �ł
1
�ł łł
�ł3śł
�ł śł
C = ; E = [1 5 6 7]
�ł śł
5
�ł6śł
�ł �ł
1 2 1 5 6 7 2 4 6
�ł łł �ł łł �ł łł
2) Dane są macierze: A = ; C =
�ł3 2 0śł ; B = �ł8 9 1 śł �ł2 5 7śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Obliczyć: A + B; B  A; A + 3B  4C; BT  AT
3) Obliczyć iloczyny AB i BA, jeżeli:
3 2
�ł łł
1 3 6
�ł łł
�ł1
A =
�ł7 2 1śł ; B = �ł 6śł
śł
�ł �ł
�ł śł
�ł9 1�ł
2 9 2
�ł łł �ł łł
1 2 1
�ł łł
�ł1 �ł4 6 7łł �ł5śł
4) Wykonać mnożenie macierzy: ; �
�ł3 2 0śł � �ł 2śł �ł9 2 1 śł
śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
�ł śł �ł
�ł7 3�ł �ł6śł
�ł
5.4 Wyznaczniki  metody obliczania.
Metoda wg twierdzenia Laplace a.
a11 a12 ... a1n
�ł łł
�ła a22 ... a2n śł
21
�ł śł
Niech dana będzie macierz kwadratowa Anxn = ; wyznacznikiem
�ł śł
... ... ... ...
�ł śł
an2 an3 ann �ł
�łan1
macierzy A nazywamy liczbę:
det A = ai1x Di1 + ai2 x Di2 + ai3 x Di3 + & + ain x Din
lub
det A = a1jx D1j + a2j x D2j + a3j x D3j + & + anj x Dnj
gdzie Dij = (-1)i+j x Mij
a11 a12 a13
�ł łł
�ła
np.: A = a22 a23 śł
21
�ł śł
�ł
31 �ł
�ła a32 a33 śł
a22 a23 a21 a23 a21 a22
1+1 1+2 1+3
det A = a11 �(-1) � + a12 �(-1) � + a13 �(-1) � =
a32 a33 a31 a33 a31 a32
a11 �(a22 � a33 - a23 � a32 )- a12 �(a21 � a33 - a23 � a31)+ a13 �(a21 � a32 - a22 � a31)
34
a11 a12 a13
�ł łł
�ła
Dla macierzy stopnia trzeciego można stosować metodę Sarrusa: A = a22 a23 śł ;
21
�ł śł
�ł
31 �ł
�ła a32 a33 śł
a11 a12 a13 a11 a12
det A = a21 a22 a23 a21 a22 = (a11 � a22 � a33)+ (a12 � a23 � a31)+ (a13 � a21 � a32 )- (a12 � a21 � a33)-
a31 a32 a33 a31 a32
- (a11 � a23 � a32 )- (a13 � a22 � a31)
Ćwiczenia:
2 1 1 1 2 2
�ł łł �ł łł
�ł0 �ł
1) Obliczyć wyznaczniki: A = 1 2śł ; B = 5 2 7śł ;
�ł śł �ł- śł
�ł śł śł
�ł3 4 5�ł �ł 3 6 6�ł
�ł
3 1 1 1
�ł łł
2 3 0 4 0 0
�ł łł �ł łł
�ł1 3 1 1śł
�ł �ł3 śł
�ł śł
C = 4 1 - 2śł ; D = - 3 0 ; E = ;
�ł- śł �ł śł
�ł śł
1 1 3 1
�ł śł �ł śł
1 4 - 2�ł
�ł1 1 1 3śł
�ł �ł2 0 - 2�ł
�ł �ł
1 5 7 - 2 7 3 2 1 7 3 7 - 2
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł4 3 1 2 śł �ł4 5 -1 4śł �ł0 5 1 2 śł
�ł śł �ł śł �ł śł
F = ; G = ; H =
�ł śł �ł śł �ł - 2 1
śł
2 3 - 2 1 3 2 1 1 0 0
�ł4 -1 2 - 3śł �ł0 5 3 2śł �ł0 0 2 - 3śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
5.5 Macierz odwrotna  metody wyznaczania.
1. Przy pomocy definicji:
A*A-1 =A-1*A= I
gdzie: A  macierz dana (kwadratowa stopnia  n )
A-1  szukana macierz odwrotna (kwadratowa stopnia  n )
I  macierz jednostkowa
2 5 a11 a12
�ł łł �ł łł
np.: A =
�ł1 3śł A-1 = �ła a22 śł
�ł �ł �ł 21 �ł
2 5 a11 a12 1 0
�ł łł �ł łł �ł łł
=
�ł1 3śł � �ła a22 śł �ł0 1śł
�ł �ł �ł 21 �ł �ł �ł
2a11 + 5a21 = 1
2a11 + 5a21 = 1 ńł
ńł
�ła + 3a21 = 0
�ła + 3a21 = 0
�ł ół 11
11
�! �! a11 = 3 a12 = -5 a21 = -1 a22 = 2
�ł
2a12 + 5a22 = 0
ńł
�ł2a12 + 5a22 = 0
�ła + 3a22 = 1
�ła12 + 3a22 = 1
ół
ół 12
3
�ł - 5
łł
A-1 =
�ł śł
�ł-1 2 �ł
35
2. Zgodnie z twierdzeniem:
1
A-1 = * Ad
det A
gdzie: Ad  jest macierzą dołączoną macierzy A
Ad = DT
gdzie: D jest macierzą wyznaczników dopełnień algebraicznych poszczególnych elementów
macierzy A
1 0 2
�ł łł
�ł2
np.: wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 0 1śł
�ł śł
�ł śł
�ł3 1 1�ł
1 0 2
1 2
1 1
det A = 2 0 1 = 1* (-1)5 * = (-1) *(1- 4) = 3 ; �! =
2 1 det A 3
3 1 1
D11 D12 D13
�ł łł
�łD D22 D23 śł
D = , gdzie D11 jest dopełnieniem algebraicznym elementu a11 macierzy A,
21
�ł śł
�ł
31 �ł
�łD D32 D33 śł
D12 jest dopełnieniem algebraicznym elementu a12 macierzy A
itd.
0 1 2 1 2 0
2 3 4
D11 = (-1) * = -1 D12 = (-1) * = (-1)*(2 - 3) = 1 D13 = (-1) * = 2
1 1 3 1 3 1
0 2 1 2 1 0
3 4 5
D21 = (-1) * = (-1)*(- 2) = 2 D22 = (-1) * = -5 D23 = (-1) * = (-1)*1 = -1
1 1 3 1 3 1
0 2 1 2 1 0
4 5 6
D31 = (-1) * = 0 D32 = (-1) * = (-1)*(1- 4) = 3 D33 = (-1) * = 0
0 1 2 1 2 0
D11 D12 D13
�ł łł �ł-1 1 2
łł �ł-1 2 0
łł
�łD D22 D23 śł �ł �ł
D = = 2 - 5 -1śł DT = Ad = 1 - 5 3śł
21
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł -1 0�ł
śł
2
31 �ł �ł �ł
�łD D32 D33 śł �ł 0 3 0 śł �ł
1 2
�ł
0łł
�ł- śł
3 3
�ł śł
1 1 5
A-1 = * Ad = �ł - 1śł
det A 3 3
�ł śł
2 1
�ł
- 0śł
�ł śł
3 3
�ł �ł
36
3. Za pomocą przekształceń elementarnych.
Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy nst. działania:
pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez liczbę
różna od zera
zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy (kolumn) macierzy
dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny)
odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez
dowolną liczbę różną od zera
Jeżeli dokonujemy identycznych przekształceń elementarnych na wierszach nieosobliwej
macierzy kwadratowej A i macierzy jednostkowej I tego samego stopnia co macierz A, to po
przekształceniu macierzy A do macierzy jednostkowej I, macierz jednostkowa (pierwotna)
będzie przekształcona do macierzy odwrotnej A-1.
Przykład:
*(-3)
7 0 -2
2 1 -1
2 1 -1 1 0 0 1 0 0 + 0 1-11
2 1 -1 1 0 0
2 1 -1
A|J= 0 2-21
15 1 -5
A|J= 0 2-21 15 1 -5
A|J= 5 2 4 0 1 0 +
A|J= 5 2 4 0 1 0
A= 5 2 4
1 0 5 -3 0 1
1 0 5 -3 0 1 *(-2)
1 0 5 -3 0 1
7 3 2 0 0 1 +
7 3 2
*(-5)
1 0 5 -3 0 1 +
1 0 5 -3 0 1 1 0 5 -3 0 1 1 0 0 -8 -5 6
A|J= 0 1-11 7 0 -2 +
A|J= 0 2-21 15 1 -5 + A|J= 0 0 1 1 1 -1 A|J= 0 1 0 18 11-13
*(-5)
0 0 1
1 1 -1 *(11)
0 1-11 7 0 -2 0 1-11 7 0 -2 0 0 1
1 1 -1
*(-2)
�ł- 8 - 5 6
łł
�ł18 11 -13śł
A-1 =
Zatem macierz odwrotna ma postać:
�ł śł
�ł śł
1 1 -1
�ł �ł
Ćwiczenia:
1 2 1 2
�ł łł �ł łł
wyznacz macierz odwrotną do macierzy: A =
�ł2 5śł ; B = �ł3 - 7śł ;
�ł �ł �ł �ł
1 2
�ł - 3 4 2 3 2 2 3 3 2 1
łł �ł łł �ł łł �ł łł
�ł0 śł �ł2 �ł �ł2 śł
C = 1 2 ; D = 1 2śł ; E = 1 -1 0śł ; F = -1 2
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł śł śł śł
�ł0 0 1 śł �ł5 2 4�ł �ł-1 2 1�ł �ł 4 - 3�ł
�ł �ł �ł1
1 1 1 1 2 1 0 0
�ł łł �ł łł
2 7 3 1 2 3
�ł łł �ł łł
�ł1 1 -1 -1śł �ł3 2 0 0śł
�ł3 �ł0
�ł śł �ł śł
G = 9 4śł ; H = 1 2śł ; K = ; L =
�ł śł �ł śł
�ł -1 1 -1 1 1 3 4
śł �ł śł
1
�ł śł �ł śł
�ł1 -1 -1 1 śł �ł2 -1 2 3śł
�ł1 5 3�ł �ł2 1 1�ł
�ł �ł �ł �ł
2 5 4
�ł łł �ł - 6 1 2
łł �ł łł
rozwiąż równania macierzowe, gdy: A = ; C =
�ł1 3śł ; B = �ł2 1 śł �ł3 4śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
A * X + C = B
BT  X * AT = C
BT * X  A * X = C
37
5.6 Rząd macierzy  metody wyznaczania.
1. Zgodnie z definicją rzędem macierzy A (symbolicznie rz A) nazywamy maksymalną
liczbę liniowo niezależnych kolumn tej macierzy.
Np.:
1 0 1
�ł łł
�ł2
A = 2 4śł ; w podanej macierzy trzecia kolumna jest sumą dwóch pierwszych, zatem jest
�ł śł
�ł śł
�ł3 1 4�ł
od nich liniowo zależna  po dodaniu do kolumny 2 kolumny 1 otrzymujemy:
1 0 1 1 1 1
�ł łł �ł łł
�ł2 �ł2
A = 2 4śł 4 4śł , stąd widać, że tylko dwie pierwsze kolumny są liniowo
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł3 1 4�ł �ł 4 4�ł
�ł3 śł
niezależne, więc rz A = 2.
Dla ułatwienia można stwierdzić, że maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn jest
równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy, a do przekształcania ich w postać
 widocznej zależności służą poznane wcześniej przekształcenia elementarne.
2. Mając daną macierz A,  szukamy możliwie największej macierzy kwadratowej A ,
która jest podmacierzą macierzy A (pamiętając, że sama macierz A, również może być
traktowana jak podmacierz), takiej, że wyznacznik podmacierz A jest różny od zera.
Stopień takiej nieosobliwej podmacierzy A jest równy rzędowi macierzy A.
Np.:
1 2 3
�ł łł
�ł0
A = 1 1śł , łatwo zauważyć, że rząd macierzy A może być równy co najwyżej 3.
�ł śł
�ł śł
�ł2 1 3�ł
1 2 3 1 2
det A = 0 1 1 0 1 = (3 + 4 + 0)- (0 +1+ 6) = 7 - 7 = 0 , zatem rząd macierzy A może być
2 1 3 2 1
1 2
�ł łł
już co najwyżej równy 2. Przykładową podmacierzą A , może być podmacierz: A' =
�ł0 1śł ;
�ł �ł
1 2
det A' = = 1- 0 = 1 `" 0 , więc rząd macierzy A jest równy 2, bo największą podmacierzą
0 1
macierzy A, której wyznacznik jest różny od zera, jest podmacierz stopnia n = 2.
3. Za pomocą przekształceń elementarnych. Dla przypomnienia: przekształceniami
elementarnymi macierzy nazywamy nst. działania:
a. pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez liczbę
różna od zera
b. zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy (kolumn) macierzy
38
c. dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny)
odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez
dowolną liczbę różną od zera
Przy ich pomocy, każdą macierz m x n, możemy przekształcić w nst. postać:
�łIk R łł
�ł śł
�ł
1
�ł0 02 śł
�ł
którą nazywamy postacią kanoniczną macierzy.
Ik  macierz jednostkowa stopnia k, gdzie k równe jest rzędowi macierzy m x n
R  macierz resztowa
01 i 02  macierze zerowe
Uwaga: jeżeli k = m to w postaci kanonicznej nie występują macierze zerowe, gdy k = n to w
postaci kanonicznej nie występuje macierz resztowa.
Np.:
1
�ł -1 2 -1 1 1 0 3 1 0 0 3
łł �ł łł �ł łł
�ł śł �ł �ł
0 2 - 2 4 0 2 - 2 4śł 0 2 - 2 4śł
�ł śł �ł śł �ł śł
A = {w2 + w1} {k1* (-1) + k2}
�ł-1 2 1 7
śł �ł-1 2 1 7
śł �ł-1 3 1 7
śł
�ł śł �ł śł �ł śł
2 0 3 3 2 0 3 3�ł 2 - 2 3 3�ł
�ł �ł �ł �ł
1 0 0 3 1 0 0 3 1 0 0 3
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł �ł0 2 0 4 śł �ł0 2 0 4 śł
0 2 0 4śł
�ł śł �ł śł �ł śł
{k2 + k3} {w1 + w3} {w1* (-2) + w4}
�ł-1 3 4 7 0 3 4 10 0 3 4 10
śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
2 - 2 1 3�ł
�ł �ł2 - 2 1 3 �ł �ł0 - 2 1 - 3�ł
1 0 0 3 1 0 0 3 1 0 0 3
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł0 0 2 4 śł �ł0 1 0 1 śł �ł0 1 0 1 śł

ńł �ł
śł �ł śł �ł śł
{w4 + w2} {w4 + w3}
�łk2 k3żł �ł
�ł śł �ł śł �ł śł
�! 0 4 3 10 0 4 3 10 0 5 1 7
ół �ł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł0 1 - 2 - 3�ł �ł0 1 - 2 - 3�ł �ł0 1 - 2 - 3�ł
1 0 0 3 1 0 0 3 1 0 0 3
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł0 1 0 1 śł �ł0 1 0 1 śł �ł0 1 0 1śł
�ł śł �ł śł �ł śł
{k3* (-5) + k2} {w2 * (-11) + w4} {w3* 2 + w4}
�ł śł �ł śł �ł śł
0 0 1 7 0 0 1 7 0 0 1 7
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł0 11 - 2 - 3�ł �ł0 0 - 2 -14�ł �ł0 0 0 0�ł
3
�ł łł
�ł1śł
Zatem: k = 3 = rz A, R = , 01 = [0 0 0], 02 = [0]
�ł śł
�ł
�ł7śł
�ł
39
Ćwiczenia:
0 1 1 1 2 1 3
�ł łł �ł łł
2 1 3
�ł łł
�ł1 0 1 1śł �ł2 1 4śł
�ł1
�ł śł �ł śł
wyznaczyć rząd macierzy: A = 2 -1śł ; B = ; C = ;
�ł śł
�ł śł �ł śł
1 1 0 1 2 1 3
�ł
�ł1 1 1 0śł �ł3 3 3śł
�ł3 3 2 śł
�ł
�ł �ł �ł �ł
3 1 - 2 0
�ł łł
�ł śł
2 3 0
�ł łł
�ł- 9 -1 - 2 0 śł
E = ; F =
�ł
�ł śł
1 1 2 -1
�ł- 4 1 - 2śł
�ł
�ł śł
�ł-1 0 0 1 �ł
1
�ł -1 0 2 3
łł
�ł
�ł-1 2 1 0 2śł
śł
wyznaczyć rząd macierzy za pomocą postaci kanonicznej: D =
�ł śł
0 1 1 2 5
�ł
1 0 1 4 8śł
�ł �ł
1 2 3
�ł łł
�ł4
dla jakich wartości x rząd macierzy A jest równy 3? A = 8 1śł
�ł śł
�ł śł
�ł2 x 3�ł
5.7 Układy równań liniowych.
Niech dany będzie nst. układ m równań z n niewiadomymi:
a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
ńł
�ła x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
�ł
21
�ł
�ł..............................................
�łam1x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
ół
Macierzowy zapis powyższego układu przedstawia się jak poniżej:
a11 a12 ... a1n x1 b1
�ł łł �ł łł �ł łł
�ła a22 ... a2n śł �łx śł �łb śł
21 2 2
�ł śł �ł śł �ł śł
" =
�ł śł �ł śł �ł śł
... ... ... ... ... ...
�ł śł �ł śł �ł śł
am2 ... amn �ł �łxn �ł �łbm �ł
�łam1
lub krócej: A " x = b
Rozwiązaniem tego układu są x1; x2;...xn " R spełniające wszystkie równania układu
jednocześnie.
Przedstawiony układ może być układem:
sprzecznym  tzn. nie posiada rozwiązania, nie ma takich x1; x2;...xn " R , które
spełniłyby wszystkie równania układu jednocześnie
40
 oznaczonym  tzn. posiada dokładnie jeden wektor x1; x2;...xn " R , który spełnia
wszystkie równania układu jednocześnie
nieoznaczonym  tzn. posiada nieskończenie wiele wektorów x1; x2;...xn " R , które w
zależności od wartości parametru t, od którego są zależne, spełniają wszystkie
równania układu
Rozwiązywanie układów równań:
1. Układ n równań z n niewiadomymi: A " x = b , w którym det A `" 0 nazywamy
układem Cramera i możemy go rozwiązać za pomocą równania:
x = A-1b �! A-1 " A " x = A-1 " b
2x1 + x2 = 1
ńł
Np.: rozwiązać układ równań:
�ł
+ 3x2 = 0
ółx1
3 1
�ł łł
-
2 1 x1 1 �ł
�ł łł �ł łł �ł łł
5 2śł
A = b = A-1 =
�ł śł
�ł1 3śł x = �łx śł �ł0śł
1 1
�ł �ł �ł 2 �ł �ł �ł
�ł- śł
�ł 5 2 �ł
3 1 3
�ł
3 1
�ł łł
x1 = + " 0�ł =
�ł- �ł
-
x1 �ł
�ł łł 5 2 5
�ł łł
5 2śł �ł1łł
= " �!
�ł śł
�łx śł �ł0śł
1 1
1 1 1
�ł �ł �ł �ł
�ł 2 �ł �ł �ł
�ł- śł
x2 = + " 0 =
�ł- �ł �ł- �ł
�ł 5 2 �ł
5 2 5
�ł łł �ł łł
2. Jeżeli dany układ jest układem Cramera, to ma dokładnie jedno rozwiązanie
określone wzorami:
det A1 det A2 det An
x1 = x2 = ...xn =
det A det A det A
gdzie Aj ( j = 1,2,3,...n) jest macierzą powstałą w wyniku zastąpienia j  tej kolumny, kolumną
wyrazów wolnych.
x1 + x2 + x3 = 0
ńł
�ł
Np.: rozwiązać układ równań: - x2 - x3 = -3
�ł2x
1
�ł4x - 5x2 - 3x3 = -7
ół 1
1 1 1 1 1
det A = 2 -1 -1 2 -1 = 3 - 4 -10 + 6 - 5 + 4 = -6 `" 0
4 - 5 - 3 4 - 5
0 1 1 0 1
det A1 = - 3 -1 -1 - 3 -1 = 0 + 7 +15 - 9 + 0 - 7 = 6
- 7 - 5 - 3 - 7 - 5
1 0 1 1 0
det A2 = 2 - 3 -1 2 - 3 = 9 + 0 -14 + 0 - 7 +12 = 0
4 - 7 - 3 4 - 7
41
1 1 0 1 1
det A3 = 2 -1 - 3 2 -1 = 7 -12 + 0 +14 -15 + 0 = -6
4 - 5 - 7 4 - 5
6 0 - 6
x1 = = -1 x2 = = 0 x3 = = 1
- 6 - 6 - 6
3. Układy m równań z n niewiadomymi.
Niech dany będzie układ równań: (*) A " x = b , w którym i = 1,2,...m oraz j = 1,2,...n ;
macierz postaci U = [Ab] nazywamy macierzą uzupełnioną macierzy A, powstałą poprzez
dołączenie do macierzy A kolumny wyrazów wolnych b.
Twierdzenie Kroneckera  Capelli ego: układ równań (*) ma rozwiązanie wtedy i tylko
wtedy, gdy rzA = rzU , przy czym gdy rzA = rzU = r = n to układ (*) ma dokładnie jedno
rozwiązanie (układ oznaczony), jeżeli zaś rzA = rzU = r < n , to układ (*) jest układem
nieoznaczonym, czyli posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n  r parametrów.
Gdy dla układu A " x = b , rzA = rzU = r = n , to rozpatrujemy (liczymy) układ zredukowany
postaci A'" x = b' z zastosowaniem wzorów Cramera (det A'`" 0).
Gdy dla układu A " x = b , rzA = rzU = r < n , to rozpatrujemy (liczymy) układ postaci
A'" x'= b' (wszystkie zmienne zależne przenosimy na stronę wyrazów wolnych) również z
zastosowaniem wzorów Cramera, ponieważ det A'`" 0 .
Jeżeli rzA `" rzU to układ jest układem sprzecznym, czyli nie posiada żadnego rozwiązania.
x1 + x2 = 1
ńł
�ł2x
Np.: rozwiązać układ równań: + x2 = 0
�ł
1
�ł2x + 2x2 = 2
ół 1
1 1 1 1 1 1
�ł łł �ł łł �ł łł
x1
�ł łł
�ł2 �ł0śł �ł2
A = 1śł x = b = U = 1 0śł
�łx śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł 2 �ł
�ł śł �ł
�ł2 2�ł �ł2śł �ł 2 2�ł
�ł �ł2 śł
rzA = rzU = 2 = n , zatem układ A " x = b przyjmuje postać A'" x = b' , czyli:
1 1 x1 1
�ł łł �ł łł �ł łł
= , stosując wzory Cramera otrzymujemy:
�ł2 1śł " �łx śł �ł0śł
�ł �ł �ł 2 �ł �ł �ł
1
x1 = = -1
-1
det A = 1- 2 = -1 det A1 = 1- 0 = 1 det A2 = 0 - 2 = -2 , zatem
- 2
x2 = = 2
-1
x1 + x2 + x3 = 1
ńł
Rozwiązać układ równań:
�ł
+ 3x2 - x3 = 1
ół2x1
42
x1
�ł łł
1 1 1 1 1 1 1 1
�ł łł �ł łł �ł łł
�łx śł
A = U =
2
�ł2 3 -1śł x = �ł śł b = �ł1śł �ł2 3 -1 1śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł śł
3
�łx �ł
rzA = rzU = 2 < n , zatem układ A " x = b przyjmuje postać A'" x'= b' , czyli:
1 1 x1 1- x3
�ł łł �ł łł �ł łł
= , stosując wzory Cramera otrzymujemy:
�ł2 3śł " �łx śł �ł1+ x3 śł
�ł �ł �ł 2 �ł �ł �ł
det A'= 3 - 2 = 1 det A'1 = (1- x3)" 3 - (1+ x3) = 3 - 3x3 -1- x3 = 2 - 4x3
det A'2 = 1+ x3 - 2 " (1- x3) = 1+ x3 - 2 + 2x3 = 3x3 -1
2
ńłx = - 4x3
= 2 - 4x3
1
�ł
1
�ł
3x3 -1
�łx
Zatem: = = 3x3 -1
�ł
2
1
�ł
x3 " R
�ł
�ł
ół
Ćwiczenia:
A. Podane układy równań rozwiązać przy pomocy macierzy odwrotnej:
x1 + 2x2 + 3x3 = 2 3x1 + 2x2 + x3 = 17
ńł ńł
�ł �ł
�ł2x - 3x2 + x3 = -5 �ł2x - x2 + 2x3 = 8
1 1
�ł2x + x2 - x3 = 5 �łx + 4x2 - 3x3 = 9
ół 1 ół 1
B. Rozwiązać układy równań:
x1 + 2x2 - x3 - x4 = -2 x1 + x2 + x3 - x4 = 0
ńł ńł
x1 + x2 + x3 = 0
ńł
�ł2x - 3x2 - x3 + 2x4 = 1 �ł
�ł2x - x2 - x3 = -3 �ł �ł- x1 + 2x2 - 2x3 + 3x4 = 0
1
�ł �ł4x - 5x2 + 2x3 + 3x4 = 5 �ł2x + 3x2 + 3x3 + x4 = 0
1
1 1
�ł4x _ 5x2 - 3x3 �ł �ł
ół 1
�łx1 - x2 - x3 - x4 = -2 �ł3x2 - x3 + 4x4 = 1
ół ół
2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 1 x1 + x2 + x3 = 2
ńł ńł
�łx + x2 + x3 + x4 = 0 �ł2x + 3x2 - x3 = 1
�ł �ł
1 1
�ł �ł4x - x2 - x3 = 3
1
�ł- x1 + 2x3 + 3x4 = 1 �ł
�łx1 + 3x2 + 6x3 + 4x4 = 2 �łx1 - 3x2 + 5x3 = 0
ół ół
C. Dla jakiej liczby a " R następujące układy nie są sprzeczne:
3x1 + 2x2 - 2x3 = 1
ńł
x1 + x2 = a
ńł
�łx + x2 + x3 = a
�ł �ł
1
�ł2x - x2 = 1 �ł
1
�łx + 3x2 = 0 �łx1 + x2 + 4x3 = 0
ół 1
�ł2x1 + 2x2 + 5x3 = 1
ół
43
PLAN ROZWI
ZYWANIA UKA
ADÓW RÓWNAC
(m x n):
1) Układ n równań z n niewiadomymi A " x = b :
liczymy wyznacznik macierzy A, jeżeli:
a. det A `" 0 , to mamy układ Cramera i obliczamy wartości poszczególnych niewiadomych
zgodnie ze wzorami
b. det A = 0
I. obliczamy rząd macierzy A, szukając nieosobliwej podmacierzy A (obliczamy
wyznaczniki wszystkich możliwych podmacierzy A , aż do momentu otrzymania
wartości wyznacznika różnej od zera) lub za pomocą przekształceń elementarnych
doprowadzamy do wykreślenia danego wiersza (kolumny) i przeprowadzamy
obliczenia jak wyżej  mniej możliwych podmacierzy A
II. obliczamy rząd macierzy uzupełnionej U postępując jak wyżej
III. jeżeli rzA = rzU to doprowadzamy układ do postaci A'" x'= b' i za pomocą
wzorów Cramera obliczamy wartości zmiennych
IV. jeżeli rzA `" rzU to układ jest sprzeczny
2) Układ m równań z n niewiadomymi A " x = b , przy czym n > m:
obliczamy rząd macierzy A, szukając nieosobliwej podmacierzy A (obliczamy
wyznaczniki wszystkich możliwych podmacierzy A , aż do momentu otrzymania
wartości wyznacznika różnej od zera) lub za pomocą przekształceń elementarnych
doprowadzamy do wykreślenia danego wiersza (kolumny) i przeprowadzamy
obliczenia jak wyżej  mniej możliwych podmacierzy A , jeżeli:
a. rzA = m , to układ sprowadzamy do postaci A'" x'= b' i za pomocą wzorów Cramera
obliczamy wartości zmiennych
b. rzA < m
I. obliczamy rząd macierzy uzupełnionej U postępując jak wyżej
II. jeżeli rzA = rzU to układ sprowadzamy do postaci A'" x'= b' i za pomocą wzorów
Cramera obliczamy wartości zmiennych
III. jeżeli rzA `" rzU to układ jest sprzeczny
3) Układ m równań z n niewiadomymi A " x = b , przy czym n < m:
I. obliczamy rząd macierzy A, szukając nieosobliwej podmacierzy A (obliczamy
wyznaczniki wszystkich możliwych podmacierzy A , aż do momentu otrzymania
wartości wyznacznika różnej od zera) lub za pomocą przekształceń elementarnych
doprowadzamy do wykreślenia danego wiersza (kolumny) i przeprowadzamy
obliczenia jak wyżej  mniej możliwych podmacierzy A
II. obliczamy rząd macierzy uzupełnionej U postępując jak wyżej; jeżeli:
a. rzA = rzU = n , to układ sprowadzamy do postaci A'" x = b' i za pomocą wzorów
Cramera obliczamy wartości zmiennych
b. rzA = rzU < n , to układ sprowadzamy do postaci A'" x'= b' i za pomocą wzorów
Cramera obliczamy wartości zmiennych
c. rzA `" rzU to układ jest sprzeczny
44