Matematyka, GiK PW Semestr zimowy 2011/12
Elementy algebry liniowej: macierze i wyznaczniki
1. Rozwiązać równanie:
1 3 1 3
(a) X + = X,
2 0 2 0
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 1 2
1 -3 2
ðÅ‚ ûÅ‚
(b) X 1 1 0 = .
0 1 2
0 1 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
Ä… 0 1
ðÅ‚1
2. Znalez
ć wszystkie Ä… " R, dla których macierz A = Ä… - 1 0ûÅ‚ jest
1 1 1
nieosobliwa. Dla Ä… = 1 znalez
ć A-1 (dwiema metodami).
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
ïÅ‚-1 i 1 2śł
ïÅ‚ śł.
3. Obliczyć det AT , gdy A =
ðÅ‚
1 -1 1 4ûÅ‚
-1 -i 1 8
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 . . . 1
.
ïÅ‚1 0 . 1śł
.
ïÅ‚ śł
4. Obliczyć wyznacznik |Bn|, gdzie Bn = .
ïÅ‚. . . śł
ðÅ‚. . .
. .
. 1ûÅ‚
1 . . . 1 0
n×n
5. Obliczyć wyznaczniki:
5 3 4 -2 0
3 -1 2 -5 1
(a) 7 2 8 3 1 ,
4 -5 4 -7 2
2 2 3 0 3
cos Õ sin ¸ sin Õ sin ¸ cos ¸
(b) -r sin Õ sin ¸ r cos Õ sin ¸ 0 .
r cos Õ cos ¸ r sin Õ cos ¸ -r sin ¸
6. Zbadać rząd macierzy:
îÅ‚ Å‚Å‚T
1 1 -1 2 0 -1
ðÅ‚2
(a) 4 2 2 2 -4ûÅ‚ ,
4 5 -2 7 4 4
1
Matematyka, GiK PW Semestr zimowy 2011/12
îÅ‚ Å‚Å‚
1 - Ä… 2 1 Ä…
ðÅ‚
(b) 1 2 - Ä… 1 0ûÅ‚, Ä… " R  parametr.
1 2 1 - Ä… Ä…
7. Sprawdzić, że układ równań jest układem Cramera.
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚2x + 3y = 2
ôÅ‚
òÅ‚x + y + 5z + 2t = 1
(a)
ôÅ‚2x + y + 3t = -3
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x + y + 3z = -3
Wyznaczyć x i t.
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚3x + y + z + t = 0
ôÅ‚
òÅ‚3x + 3y + z + t = 0
(b)
ôÅ‚3x + 3y + 3z + t = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3x + 3y + 3z + 3t = 3
Wyznaczyć y i z.
8. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układy równań:
Å„Å‚
ôÅ‚ Å„Å‚
ôÅ‚x + 2y + z = 1
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚3x + 7y + 6z = 3 ôÅ‚5y + z = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚3x - y + 2z + 2w = -7
(a) x + 3y + 4z = 1 , (b) .
ôÅ‚ ôÅ‚y + w = -2
ôÅ‚2x + 3y - z = 2 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ół
ôÅ‚
ôÅ‚
-x - 2z = 1
ółx + 4y + 7z = 1
Å„Å‚
ôÅ‚ - a)x + y + 2z = 0
òÅ‚(2
9. Dla jakich wartości parametru a układ równań 2x + (1 - a)y + 2z = 0
ôÅ‚
ół2x + y + (2 - a)z = 0
ma niezerowe rozwiÄ…zania? Znalez
ć te rozwiązania.
10. Zbadać rozwiązywalność układu równań. Znalez
ć rozwiązania, gdy istnieją.
(a  parametr).
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + y = 1
(a) 2x + 3y = 5
ôÅ‚
ół4x + 5y = 7
2
Matematyka, GiK PW Semestr zimowy 2011/12
Å„Å‚
ôÅ‚ - 2y + z + w = 1
òÅ‚x
(b) - 2y + z - w = -1
x
ôÅ‚
ółx - 2y + z + 5w = 5
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚ax + ay + 2az = 5
(c) x + 3y + az = 5
ôÅ‚
ółx + y + 2z = 3
Å„Å‚
ôÅ‚ - 4y = 0
òÅ‚ax
(d) x + 3y = 2a + 1
ôÅ‚
ół5x - y = 9
Å„Å‚
ôÅ‚ - z + 4t = 2
òÅ‚x + 2y
(e) - y + z + t = 1
2x
ôÅ‚
ółx + 7y - 4z + 11t = a
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
ïÅ‚1 1 1 2śł 1 0 0 1 T
ïÅ‚ śł
11. Rozwiązać równianie macierzowe
ðÅ‚0 2 0 0ûÅ‚ X = 3 -1 1 2 . Macierz
1 1 2 3
odwrotną wyznaczyć, stosując operacje elementarne (eliminację Gaussa).
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚mx + y + z = 4
12. Dany jest układ równań x + my + z = 4m , gdzie parametr m " R.
ôÅ‚
ółx + y + mz = 4m2
Sprawdzić, dla jakich wartości m układ jest układem Cramera. Dla m = 2
rozwiązać ten układ, stosując
(a) wzory Cramera,
(b) metodÄ™ macierzy odwrotnej,
(c) metodÄ™ eliminacji Gaussa.
13. Wyznaczyć, jeśli istnieje, macierz X spełniającą równanie
îÅ‚ Å‚Å‚-1 îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 1
ðÅ‚0 1 2ûÅ‚ X = X + ðÅ‚1ûÅ‚
.
1 0 1 1
3
Matematyka, GiK PW Semestr zimowy 2011/12
14. Zbadać, czy poniższy układ równań z niewiadomą [x, y, z, u, v]T ma rozwiązanie.
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚y + 2z + u + 3v = -1
ôÅ‚
òÅ‚x + 2y + 3z + v = 1
ôÅ‚-x + z + 2u + 5v = -5
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
-2x - 2y - 2z + 2u + 4v = -4
4