Zadania  wyznacznik macierzy
Po zjez
dzie 9 do zrobienia sÄ… tylko zad. 1-2.
Zad. 1. Oblicz wyznacznik macierzy metodÄ… uproszczonÄ… (np. Sarrusa):
1 2 - 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚-1 2 3 2 0 0 0 0 - 3
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚- śł ïÅ‚ śł ïÅ‚0 śł ïÅ‚ śł
A = 2 4 0 , B = 0 3 1 , C = 3 0 , D = 0 2 0 ,
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ -1 1 2 0 0 - 2
śł ïÅ‚ śł ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚0 0 -1 śł ïÅ‚- 2 0 0 śł
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 1
îÅ‚ Å‚Å‚
2
îÅ‚ -1 0 3
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚-1 0
Å‚Å‚
ïÅ‚0 śł
E = 2 - 2 , F = .
ïÅ‚4 - 4śł , G = ïÅ‚1 0śł , H = ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 12
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚
ðÅ‚3 4 - 5 śł
ûÅ‚
Odp.: det A= 10, det B= 6, det C= -6, det D= -12, det E= -6, det F= -4, det G= -3, det H= -12.
Zad. 2*. Oblicz wyznacznik macierzy metodÄ… Laplace a.
îÅ‚-1 3 2 - 3 5 3 2 -10
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚0 1 - 2 1śł
1 1 - 2 1śł
śł śł
a) detïÅ‚ , b) detïÅ‚ ,
ïÅ‚-1 0 1 -1 0 0
śł ïÅ‚ - 2 -1
śł
ïÅ‚ ïÅ‚0 0 0 1śł
3 -1 0 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
6 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
c) dla macierzy A z zad. 1, d) detïÅ‚ 8 3 0śł .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚-1 10 2ûÅ‚
śł
ðÅ‚
Odp.: a) -4, b) -10, d) 36.
Zad. 3*. Dla macierzy z zad. 1. wyznacz macierze odwrotne. Sprawdz
poprawność wyniku.
2
Å‚Å‚ îÅ‚1 Å‚Å‚
îÅ‚- 2 -1,4 - 3 0 0
Å‚Å‚ îÅ‚-1 -11
3 6 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚0 1 0śł ,
1 1 -1
Odp.: A-1 = 0 - 0,2 0 , B-1 = 0 , C =
3 6 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1
ïÅ‚ -1 - 0,6 -1 0 0 - śł ïÅ‚ -1ûÅ‚
śł ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 2ûÅ‚ ðÅ‚0 0 śł
1 2 1
0 0 - Å‚Å‚
îÅ‚ îÅ‚1 - Å‚Å‚
2 3 3 3
1
1 0 1
îÅ‚ - Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚1 1 0śł , F -1 4
-1
1
D-1 = 0 0śł , E = = , G-1 =
2 2 ïÅ‚1 - 1 śł ïÅ‚1 0śł ,
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 2ûÅ‚ ðÅ‚3 ûÅ‚
1
ïÅ‚- 0 0ûÅ‚
śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 3 ðÅ‚1 0 0ûÅ‚
îÅ‚-1 0
Å‚Å‚
-1
H = .
ïÅ‚ śł
1
0
ðÅ‚ 12ûÅ‚
Zad. 4. Przy jakich wartościach parametrów a, b, c, d, x macierze A i B będą równe?
îÅ‚- 2 1 a c 1 0
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
A = , B =
ïÅ‚
b 3 0śł ïÅ‚- 2 d xśł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Odp.: a=0, b=-2, c=-2, d=3, x=0.
1
Zadania  wyznacznik macierzy
Zad. 5. Dla danych macierzy A, x, b:
îÅ‚-1 0 2 x1
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚-1
Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚x śł ïÅ‚
A = 0 1 - 2śł , x = , b = 1śł
2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚-1 -1 3ûÅ‚ ðÅ‚x3ûÅ‚ ðÅ‚ 0ûÅ‚
śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚
a) oblicz Ax,
b) zapisz równanie Ax=b bez u\
ycia symboliki macierzowej,
c) rozwiÄ…\
układ równań Ax=b metodą wzorów Cramera,
d) sprawdz
poprawność wyniku.
Terminologia: A - macierz układu (macierz współczynników przy niewiadomych
w równaniach), x - wektor niewiadomych, b - wektor prawych stron.
Zad. 6. Dany układ równań zapisz u\
ywając symboliki macierzowej (zapisz macierz układu,
wektor niewiadomych, wektor prawych stron). RozwiÄ…\
układ równań metodą wzorów
Cramera. Sprawdz
poprawność wyniku.
2x
Å„Å‚ - 3y - z = 1 3x + 2y + z = 5 2x1 + x2 - 3x3 = 1
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚x ôÅ‚- ôÅ‚x
a) - 2y = 4 b) x + 4y - 2z = 8 c) + x3 = 2
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
1
ôÅ‚- x + z = 2 ôÅ‚2x + 3y = 7 ôÅ‚x + x2 - 4x3 = -1
ół ół ół 1
Zad. 7. Przedstaw układ równań w postaci macierzowej (zapisz macierz układu, wektor
niewiadomych, wektor prawych stron). RozwiÄ…\
układ równań a) metodą wzorów Cramera,
b*) metodÄ… przez macierz odwrotnÄ….
2x1 + 3x2 = 2 2x1 + x2 - 3x3 = 12
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚- x1 + 3x3 = 4
ôÅ‚- ôÅ‚x ôÅ‚2x
a) x1 - 3x2 + x3 = -2 b) + 3x2 - x3 = 10 c) + x2 = -3
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
1 1
ôÅ‚x + x2 - 2x3 = 3 ôÅ‚- x1 - 2x2 + 3x3 = -12 ôÅ‚- x2 + 2x3 = 3
ół 1 ół ół
Odp.:a) x1 = 1, x2 = 0, x3 = -1, b) x1 = 2, x2 = 2, x3 = -2 , c) x1 = -1, x2 = -1, x3 = 1.
Zad. 8. Oblicz wyznacznik macierzy układu dla przykładów a), b).
(*) Podaj liczbę rozwiązań układu równań stosując operacje elementarne i wyznaczając rzędy
odpowiednich macierzy:
Å„Å‚- x1 - 2x2 + 3x3 = 1 2x1 2x1 + 3x2 = 2
Å„Å‚ - 2x2 + 4x3 = 8
Å„Å‚
ôÅ‚2x ôÅ‚2x ôÅ‚-
a) + x2 = 3 b) + x2 - 2x3 = -1 c) x1 - 3x2 + x3 = -2
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
1 1
ôÅ‚- x2 + 2x3 = 5 ôÅ‚- x1 - x2 + 2x3 = 2 ôÅ‚x + x2 - 2x3 = 3
ół ół ół 1
2x1
Å„Å‚ - x2 + 3x3 = -1
Å„Å‚- x1 + x2 = 2
ôÅ‚x
ôÅ‚x + 3x2 + 2x3 = 4
d) - x2 + 2x3 - x4 = 2
òÅ‚ ôÅ‚
1 1
ôÅ‚3x - x2 + x3 + 2x4 = 3 e) òÅ‚2x - x2 + x3 = -1
ół 1 1
ôÅ‚
ôÅ‚2x2 - x3 = -14
ół
Odp.: a) układ sprzeczny, b) układ nieoznaczony (posiada nieskończenie wiele rozwiązań),
c) układ oznaczony (posiada dokładnie jedno rozwiązanie), d) nieoznaczony, e) sprzeczny.
Anna Rajfura
2