Wzory Cramera
Układ równań liniowych (URL)
Układ m równań liniowych z n niewiadomymi jest to układ
postaci:
a11x1 +ð a12x2 +ð ... +ð a1nxn =ð b1
a21x1 +ð a22x2 +ð ... +ð a2nxn =ð b2
.......... .......... ........
.......... ..........
am1x1 +ð am2x2 +ð ... +ð amnxn =ð bm
w którym a11,a12,...,amn oraz b1,b2,...,bm to liczby dane,
zaÅ› x1, x2,...,xn- niewiadome.
Liczby a11,a12,...,amn nazywamy współczynnikami, zaś
liczby b1,b2,...,bm nazywamy wyrazami wolnymi.
Każdemu URL przyporządkujemy 3 macierze:
éða11 a12 ... a1n Å‚ð éðb1 Å‚ð
Ä™ða a22 ... a2n Å›ð Ä™ðb Å›ð
21
Ä™ð Å›ð , B =ð 2
Ä™ð Å›ð
A =ð
Ä™ð .......... Å›ð Ä™ð.... Å›ð
.......... ..
Ä™ða am2 ... amn Å›ð Ä™ðb Å›ð
ëð m1 ûð ëð ûð
m
A  macierz współczynników,
B  macierz wyrazów wolnych
éða11 a12 ... a1n b1 Å‚ð
Ä™ða a22 ... a2n b2 Å›ð
21
Ä™ð Å›ð
C =ð
Ä™ð .......... Å›ð
.......... .........
Ä™ða am2 ... amn bmÅ›ð
ëð m1 ûð
C  macierz rozszerzona
Przykład
3x1 +ð 5x2 +ð 2x3 -ð 4x4 =ð 8
6x1 -ð 7x3 +ð x4 =ð 0
Powyższy układ jest układem dwóch równań liniowych z
czterema niewiadomymi. Macierze:
éð3 5 2 -ð 4Å‚ð éð8Å‚ð éð3 5 2 -ð 4 8Å‚ð
A =ð
Ä™ð6 0 -ð 7 1 Å›ð, B =ð Ä™ð0Å›ð, C =ð Ä™ð6 0 -ð 7 1 0Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
Klasyfikacja URL ze względu na liczbę rozwiązań
URL nazywamy:
oznaczonym, gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie,
nieoznaczonym, gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań,
sprzecznym, gdy nie ma rozwiązań.
Innych możliwości nie ma tzn. każdy URL jest albo
oznaczony albo nieoznaczony albo sprzeczny.
W przypadku, gdy liczba równań jest równa liczbie
niewiadomych mamy: m =ð n. Wtedy macierz A jest
kwadratowa. Jej wyznacznik nazywamy wyznacznikiem
głównym URL. Będziemy go oznaczać literą W.
Twierdzenie Cramera
Układ n równań liniowych z n niewiadomymi jest układem
oznaczonym wtedy i tylko wtedy gdy jego wyznacznik
główny W jest różny od zera. Wtedy jego rozwiązanie
wyraża się wzorami Cramera:
Wx1 Wx2 Wxn
x1 =ð , x2 =ð ,..., xn =ð
W W W
gdzie Wxk jest wyznacznikiem otrzymanym z
wyznacznika W przez zastÄ…pienie w nim kolumny nr k
kolumną wyrazów wolnych.
Przykład. Rozwiążemy układ równań:
-ð x1 +ð x2 -ð x3 =ð 2
x1 +ð x2 +ð x3 =ð 0
2x1 +ð 5x2 +ð 3x3 =ð 0
Obliczamy:
-ð1 1 -ð1
-ð1 1 -ð1
ìðw1 +ð w2 üð
2 0
W =ð 1 1 1 =ð
0 2 0 =ð -ð1×ð =ð -ð2
íð2w +ð w3żð =ð
7 1
îð 1 þð
2 5 3 0 7 1
W Ä…ð 0, zatem ukÅ‚ad jest oznaczony.
2 1 -ð1
1 1
Wx1 =ð 0 1 1 =ð 2×ð =ð 2×ð(-ð2) =ð -ð4
5 3
0 5 3
-ð1 2 -ð1
1 1
Wx2 =ð 1 0 1 =ð -ð2×ð =ð -ð2×ð1 =ð -ð2
2 3
2 0 3
-ð1 1 2
1 1
Wx3 =ð 1 1 0 =ð 2×ð =ð 2×ð3 =ð 6
2 5
2 5 0
Stosujemy wzory Cramera:
Wx1 -ð 4
x1 =ð =ð =ð 2
W -ð 2
Wx2 -ð 2
x2 =ð =ð =ð 1
W -ð 2
Wx3 6
x3 =ð =ð =ð -ð3
W -ð 2
Uwaga. Jeżeli W =ð 0, to ukÅ‚ad jest albo sprzeczny albo
nieoznaczony.