II. GRANICE FUNKCJI, PODSTAWOWE WIADOMOÅšCI O WYBRANYCH
FUNKCJACH.
2.1 Granica funkcji.
Definicja:
Mówimy, że granicą funkcji y = f(x) w punkcie  x0 jest liczba  g , wtedy i tylko wtedy gdy
dla każdego ciągu {xn}argumentów funkcji f(x) zbieżnego do  x0 , o wyrazach różnych od
 x0 , ciąg {f(xn)} wartości funkcji jest zbieżny do  g .
Działania arytmetyczne na granicach funkcji:
jeżeli lim f (x) = g oraz lim h(x) = p , to:
xx0 xx0
1. lim( f (x) Ä… h(x)) = g Ä… p
xx0
2. lim( f (x) * h(x)) = g * p
xx0
ëÅ‚ öÅ‚
f (x) g
3. limìÅ‚ ÷Å‚ = przy dodatkowym zaÅ‚ożeniu, że p `" 0
ìÅ‚ ÷Å‚
xx0
h(x) p
íÅ‚ Å‚Å‚
Symbole nieoznaczone:
" 0
; ; " - "; 0 * "
" 0
Niektóre granice wyrażeń nieoznaczonych: plik PDF GRANICE WYRAŻEC

NIEOZNACZONYCH.pdf
Jeżeli ciąg {f(xn)} będzie rozbieżny do ą " , to mówimy, że funkcja y = f(x) ma w punkcie
 x0 granicę niewłaściwą.
Jeżeli ciąg {xn} jest rozbieżny do ą " , to mówimy o granicy funkcji y = f(x) w
nieskończoności.
2.2 Funkcja wykładnicza.
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję:
x
y = a
gdzie x " R i  a jest ustalonÄ… liczbÄ… dodatniÄ…
Gdy 0 < a < 1 to funkcja jest malejÄ…ca
6
Gdy a = 1 to funkcja jest stała
Gdy a > 1 to funkcja jest rosnÄ…ca
Gdy a > 0 i a `" 1 to funkcja jest różnowartościowa
Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych, dodatnich  R+
Dla każdego a " R+ funkcja wykładnicza jest funkcją ciągłą na zborze x " R .
Funkcja wykładnicza nie posiada ani ekstremum, ani miejsc zerowych.
Granice funkcji wykładniczej:
x
üÅ‚
lim a = 0
ôÅ‚
x+"
dla 0 < a <1
żł
x
lim a = +"ôÅ‚
x-" þÅ‚
x
üÅ‚
lim a = +"ôÅ‚
x+"
dla a > 1
żł
x
lim a = 0
ôÅ‚
x-" þÅ‚
2.3 Funkcja logarytmiczna.
FunkcjÄ… logarytmicznÄ… nazywamy funkjÄ™:
y = loga x
gdzie x " R+ i  a jest ustaloną liczbą dodatnią różną od 1.
Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej.
Gdy 0 < a < 1 to funkcja jest malejÄ…ca
Gdy a > 1 to funkcja jest rosnÄ…ca
Gdy a > 0 i a `" 1 to funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa
Granice funkcji logarytmicznej:
lim loga x = +"ôÅ‚
üÅ‚
x+"
dla a > 1
żł
limloga x = -"
ôÅ‚
x0 þÅ‚
lim loga x = -"ôÅ‚
üÅ‚
x+"
dla 0 < a < 1
żł
limloga x = +"
ôÅ‚
x0 þÅ‚
7
y
y = loga x Ô! a = x
Pozostałe własności funkcji logarytmicznej:
Dla każdego a " R+ \ {1} zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór y " R
Dla każdego a " R+ \ {1}funkcja logarytmiczna jest ciągła na zbiorze x " R+
Funkcja logarytmiczna nie posiada ekstremum, a jej miejscem zerowym jest punkt (1,0).
2.4 Funkcja wymierna.
FunkcjÄ… wymiernÄ… nazywamy funkcjÄ™:
W (x)
f (x) =
gdzie x " R \ {P},  P to pierwiastki (miejsca zerowe) wielomianu G(x).
G(x)
FunkcjÄ™ wymiernÄ… postaci:
ax + b
f (x) =
gdzie a " d `" b " c i c `" 0
cx + d
nazywamy funkcjÄ… homograficznÄ….
Wykresy funkcji homograficznej:
ax + b
f (x) =
gdzie a " d - b " c < 0 i c `" 0
cx + d
8
ax + b
f (x) =
gdzie a " d - b " c > 0 i c `" 0
cx + d
Granice funkcji homograficznej:
ax + b a
üÅ‚
lim =
ôÅ‚
x-"
cx + d c
ôÅ‚
ax + b
lim = -"ôÅ‚
-
ôÅ‚
ëÅ‚ -d
öÅ‚ cx + d
x
ìÅ‚ ÷Å‚
c ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
dla a " d - b " c < 0 i c `" 0
żł
ax + b
lim = +"ôÅ‚
+
ôÅ‚
ëÅ‚ -d öÅ‚ cx + d
x
ìÅ‚ ÷Å‚
c
íÅ‚ Å‚Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚
ax + b a
lim = ôÅ‚
x+"
cx + d c þÅ‚
ax + b a
üÅ‚
lim =
ôÅ‚
x-"
cx + d c
ôÅ‚
ax + b
lim = +"ôÅ‚
-
ôÅ‚
ëÅ‚ -d öÅ‚ cx + d
x
ìÅ‚ ÷Å‚
c ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
dla a " d - b " c > 0 i c `" 0
żł
ax + b
lim = -"ôÅ‚
+
ëÅ‚ -d ôÅ‚
öÅ‚ cx + d
x
ìÅ‚ ÷Å‚
c
íÅ‚ Å‚Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚
ax + b a
lim = ôÅ‚
x+"
cx + d c þÅ‚
- d
W punkcie x = funkcja homograficzna ma granice niewłaściwe ą " .
c
9
2.5 Funkcja wielomianowa.
Funkcją wielomianową nazywamy wyrażenie postaci:
x-1
f (x) = an xn + an-1x + ... + a2 x2 + a1x + a0 gdzie:
ai  są to współczynnikami wielomianu f(x), a i = 0, 1, 2, 3, & n
a0 , a1, a2,...an " R
n  stopień wielomianu
Wykres funkcji wielomianowej:
Liczba x0 jest pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu f(x), wtedy i tylko wtedy, gdy
f(x0) = 0, i wówczas wielomian f(x) dzieli się przez dwumian (x  x0).
Jeżeli wielomian f(x) stopnia n-tego ma n pierwiastków, wówczas możemy go przedstawić w
postaci:
f(x) = an(x  x1)(x  x2)(x  x3)& (x  xn)
Pierwiastków całkowitych wielomianu f(x) o współczynnikach całkowitych, należy szukać
wyłącznie wśród podzielników wyrazu wolnego a0.
p
Jeżeli liczba wymierna (ułamek nieskracalny), różna od zera, jest pierwiastkiem
q
wielomianu f(x) o współczynnikach całkowitych, przy czym a * a0 `" 0 , to  p jest
n
podzielnikiem wyrazu wolnego a0, natomiast  q jest podzielnikiem wyrazu an.
Granice funkcji wielomianowej:
x-1
f (x) = an xn + an-1x + ... + a2 x2 + a1x + a0 można zapisać w postaci:
ëÅ‚ öÅ‚
an-1 a2 a1 a0 ÷Å‚
ìÅ‚
f (x) = anxnìÅ‚1+ + ... + + +
anx anxn-2 anxn-1 anxn ÷Å‚ wtedy Å‚atwo
íÅ‚ Å‚Å‚
zauważamy, że:
+ " gdy an > 0
Å„Å‚
lim f (x) =
òÅ‚
x+"
ół- " gdy an < 0
+ " gdy an > 0 i n" N parzystych lub
Å„Å‚
ôÅ‚
gdy an < 0 i n " N nieparzystych
ôÅ‚
lim f (x) =
òÅ‚
x-"
ôÅ‚- " gdy an > 0 i n " N nieparzystych lub
ôÅ‚
gdy an < 0 i n " N parzystych
ół
10
2.6 Obliczanie granic funkcji.
Oblicz nst. granice funkcji:
x4 - 3x + 2
lim odp. :1 lim ( x2 - 5x - x) odp. : +"
x1 x-"
x5 - 4x + 3
27 - x3 27 5
lim odp. : - lim ( x2 - 5x - x) odp. : -
x3 x+"
x2 + x -12 7 2
1 1 cos x - cos5x
öÅ‚
limëÅ‚ + odp. :1 lim odp. :12 sin 2x = 2sin x cos x cos 2x = 1- 2sin2 x
ìÅ‚ ÷Å‚
x-1 x0
1- x3 x2
íÅ‚1- x Å‚Å‚
sin 3x = sin x(3 - 4sin2 x) cos3x = cos x(4cos2 x - 3)
cos(x + y) = cos x * cos y - sin x *sin y
ëÅ‚ öÅ‚
x3 x2 ÷Å‚ 1 1
ìÅ‚
limìÅ‚ - odp. : lim xctg7x odp. :
x" x0
2x2 -1 2x +1÷Å‚ 4 7
íÅ‚ Å‚Å‚
3 x2 +1 + x 3 tgx - sin x
lim odp. : - lim odp. : 0
x+" 4 x0
2 x
x3 + x - 2x
2x3 + 8x + 2 2
lim(x2 + x +1) odp. : " lim odp. :
x" x"
3x3 + x2 -1 3
x2 +2
9 - x2 6 2
öÅ‚
lim odp. : - limëÅ‚1+ odp. : e2
ìÅ‚ ÷Å‚
x3 x"
x2 + x -12 7 x2
íÅ‚ Å‚Å‚
x x
x -1 x + 3
limëÅ‚ öÅ‚ odp. : e-1 limëÅ‚ öÅ‚ odp. : e2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x" x"
x x +1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
x2 + 3 7 x2 - 4
ìÅ‚ ÷Å‚
limìÅ‚ ÷Å‚ odp. : - lim odp. : -4
x-2 x-2
x -1 3 x + 2
íÅ‚ Å‚Å‚
x+2
x -1
limëÅ‚ öÅ‚ odp. : e-4
ìÅ‚ ÷Å‚
x"
x + 3
íÅ‚ Å‚Å‚
11
2.7 Obliczanie granic ciągów:
Ciągiem nazywamy funkcję  f , która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych {N} w pewien
zbiór niepusty:
n2 - 2
y(n) = n " N
n4 + n2 +1
Do powyższej funkcji przyjęto nst. zapis:
n2 - 2
an = n " N
n4 + n2 +1
Niektóre wyrażenia ciągów:
an
n
ëÅ‚ öÅ‚
1 k
öÅ‚
n n
ìÅ‚ ÷Å‚
limëÅ‚1+ = e limìÅ‚1+ = ek lim n = 1 lim a = 1
ìÅ‚ ÷Å‚
n" n" n" n"
n an ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
n
3
öÅ‚
lim(2n2 - n +1) odp. : " limëÅ‚1+ odp. : e3
ìÅ‚ ÷Å‚
n" n"
n
íÅ‚ Å‚Å‚
n
n5 + 3n2 -11 n + 2
lim odp. : " limëÅ‚ öÅ‚ odp. : e2
ìÅ‚ ÷Å‚
n" n"
2n3 - n + 2 n
íÅ‚ Å‚Å‚
3n2 +20
ëÅ‚ öÅ‚
5n2 + 7
ìÅ‚ ÷Å‚
lim( n - n) odp. : -" limìÅ‚ odp. : e6
÷Å‚
n" n"
5n2 - 3
íÅ‚ Å‚Å‚
n
1 n +1
lim( 4n2 - n - 2n) odp. : - limëÅ‚ öÅ‚ odp. : 0
ìÅ‚ ÷Å‚
n" n"
4 2n
íÅ‚ Å‚Å‚
n
1+ 2 + 3 + ... + n 1 2n + 5
öÅ‚
limëÅ‚ odp. : limëÅ‚ öÅ‚ odp. : "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
n" n"
2n2 + 3 4 n + 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
n
n
n + 2 n
limëÅ‚ öÅ‚ odp. : e-1 lim odp. :1
ìÅ‚ ÷Å‚
n
n" n"
n + 3
íÅ‚ Å‚Å‚ 2
Twierdzenie o trzech ciÄ…gach:
jeżeli bn < an < cn oraz limbn = g i lim cn = g to lim an = g
n" n" n"
n n n
lim 3n + 5n + 7n bn = 7n cn = 3* 7n odp. : 7
n"
n n n n
2 3 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
n n n
lim + bn = cn = 2 *ëÅ‚ öÅ‚ odp. :
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
n"
3 5 3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
n n
n
lim 13n + n201 *9n bn = 13n cn = n201(13n +13n) odp.:13
n"
n
lim n20 + n odp. :1
n"
12
2.8 Ciągłość funkcji.
Definicja:
Funkcję  f określoną w otoczeniu x0 nazywamy ciągłą w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy,
gdy:
lim f (x) = f (x0 ).
xx0
Twierdzenie:
(o granicy funkcji złożonej) Jeżeli istnieje granica właściwa lim g(x) = g i funkcja f(t) jest
xx0
ciągła w punkcie t0 = g, to lim f (g(x)) = f (g).
xx0
Zbadać ciągłość poniższych funkcji oraz określić dla jakich wartości parametru  a funkcje 3
i 4 są ciągłe:
1
Å„Å‚
ôÅ‚e- x2
dla x `" 0 ciągła
1. f (x) = odp. :
òÅ‚
ôÅ‚
0 dla x = 0
ół
2
Å„Å‚
(x +1) dla x d" -1
ciągła lewostronnie
2. f (x) = odp. :
òÅ‚
2x+2 dla x > -1
ół
Å„Å‚
2x + 8 dla x d" 0
3. f (x) = odp. : a = 3 *" a = -3
òÅ‚
ół(x - a)2 dla x > 0
x
Å„Å‚ - a dla x < 10
4. f (x) = odp. : a = 9
òÅ‚
ółlog x dla x e" 10
sin 5x
Å„Å‚
dla x `" 0
ôÅ‚
x
5. f (x) = odp. :
òÅ‚
nieciągła
1
ôÅ‚
dla x = 0
ół 5
2.9 Funkcja odwrotna.
1-1
Niech dana jest funkcja f (x) = y , przy czym X çÅ‚çÅ‚Y , wynika stÄ…d, że dla każdego
na
elementu zbioru Y (zbiór wartości funkcji f ) istnieje dokładnie jeden element zbioru X
(dziedzina funkcji f ), taki, że: f (x) = y .
-1 1-1
FunkcjÄ… odwrotnÄ… do danej funkcji f (x) = y nazywamy funkcjÄ™ f , przy czym Y çÅ‚çÅ‚ X
na
-1
wynika stąd, że dla każdego elementu zbioru Y (dziedzina funkcji f ) istnieje dokładnie
-1
jeden element zbioru X (zbiór wartości funkcji f ).
-1
Aby otrzymać wykres funkcji odwrotnej f = f (y) = x , gdzie X ‚" R '" Y ‚" R , należy
funkcję f (x) = y odbić symetrycznie względem prostej y = x.
13