Funkcja jednej zmiennej - przykładowe zadania na kolokwium
1. Zbadać ciągłość funkcji
5x + 2 dla x ł -1
�
f (x) =
�
x2 + 5x +1 dla x < -1
�
2. Wyznaczyć równania asymptot funkcji
x2 + 2x + 3 1- x2
a. f (x) = , b. f (x) = .
x +1 x2 - 9
3. Obliczyć granicę
2
2n-1
ex -1
n + 4
ć �
c. lxi�0 ,
m
a. lim ,
� �
x�+Ą
x2
n
Ł ł
3x
x + 8 - 3
m
d. lxi�0
b. lxi�1 ,
m
ln(2x +1).
x -1
4. Obliczyć granice jednostronne
1
x -1
-
x
b. lim .
a. lim e ,
x�-2
x + 2
x�0
5. Obliczyć pochodną funkcji
c. f (x) = xsin(x) .
a. f (x) = ln(x),
2
b. f (x) = tg (2x +1),
6. Oblicz drugą pochodną funkcji
a. f (x) = (x2 + x +1)cos(x), b. f (x) = ecos(x) .
7. Wyznaczyć równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f (x) = x3 + x + 3 w punkcie
ó
x0 = 1. Wskazówka: y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ).
x2 - 4x + 4
8. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f (x) =
x +1
9. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = 2x3 - 3x2 -12x w przedziale
x �[- 2,1].
10. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji f (x) = x4 - 6x2 - 6x
11. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżoną wartość
3
b. arctg(1.005) .
a. 63 ,
12. Wyznaczyć pochodną funkcji danej w postaci parametrycznej
� (t)
x(t) = et cos(t) �
�x = t � ln(t)
a.
�
b. ln(t)
�
y(t) = et sin(t)
� y(t) =
�
� t