FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
Zad.1. Wyznaczyć dziedzinę oraz pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji:
x
y
a) f (�x, y)� =� b) f (�x, y)� =� x
y
1-� xy
c) f (�x, y)� =� xe-� y d) f (�x, y)� =� arctg
x +� y
y
sin
x
e) f (�x, y)� =� e f) f (�x, y)� =� exy ln y
Zad.2. Dla danych funkcji wyznaczyć dziedzinę oraz wskazane pochodne cząstkowe:
ś�4 f
ó�ó�ó�y
a) f x, y =� x3ex+� y2 , fx b) f (�x, y)�=� x3ex+� y ,
(� )�
2
ś�x3ś�y
ć�
y ś� ś�f ś�f ��
��
x
ó�ó�
c) f (�x, y)�=� 2cosć� x2 -� , �� -� �� d) f (�x, y)�=� e arcsin y +� y -� x2 , fxy
�� ��
�� ��
2 ś�y ś�y ś�x
Ł� ł�
Ł� ł�
Zad.3. (E, 2 pkt.) Sprawdzić, czy:
ś�2 f ś�2 f
a) f (�x, y)� =� ex(�cos y +� xsin y)� spełnia równanie =� ,
ś�xś�y ś�yś�x
x ś�3 f ś�3 f
b) f (�x, y)� =� arctg spełnia równanie =�
y ś�y2ś�x ś�xś�y2
2
ć� ��
ś�2z ś�2z ś�2z
c) z =� ln ex +� ey spełnia równanie �� =�
(� )�
��
ś�x2 ś�y2 �� ś�xś�y
Ł� ł�
y ś�z ś�z
d) z =� x sin spełnia równanie 2x +� 2y =� z
x ś�x ś�y
ś�2 f ś�2 f
e) f (x, y) =� exy spełnia równanie =�
ś�xś�y ś�yś�x
Zad.4. Wyznaczyć (o ile istnieją) ekstrema lokalne funkcji:
2
a) f (�x, y)�=� 2x2 +� 3xy +� y2 -� 2x -� y +�1 b) f (�x, y)�=� xex y +� 3
c) f (�x, y)�=� ln x +� 3ln y -� xy -� 4y2 d) f (�x, y)�=� ex-�y(�x2 -� 2y2)�
27 27
2 2
e) f (�x, y)�=� 3(�x -�1)� +� 4(�y +� 2)� f) f (�x, y)�=� +� +� xy
x y
1
g) f (�x, y)�=� y2 +� x +� +�1 h) f (�x, y)�=� xy +� x +� y -� 2ln x -� 2ln y
x