Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 1/10
Przestrzenie metryczne
w tym: pojęcie funkcji, iloczynu kartezjańskiego
Niełatwa w odbiorze dla przeciętnego, normalnego, ciężko pracującego człeka definicja
brzmi:
Jest to taka para P = (X, Á), której funkcja Á okreÅ›lona na zbiorze X speÅ‚nia jakieÅ› tam
założenia.
Już pewnego wyjaśnienia wymaga określenie  para . Po prostu jest to zbiór, rodzaj
pojemnika, w której pierwszym elementem jest dziedzina (mówiąc kolokwialnie  zbiór, z którego
sobie zapieprzamy liczby) funkcji Á, a drugim  wÅ‚aÅ›nie ta funkcja.
A, jedna uwaga  samo  mięso , czyli sposób rozwiązywania zadania, zaczyna się gdzieś w
połowie piątej stronie. Przedtem  sporo teorii, którą wydaje mi się  każdy powinien w jakimś
kawałku posiadać przed rozwiązywaniem zadań. Jednak, jeżeli zacznie was nudzić, pomyślicie  Co
on pieprzy , to przejdz
cie już do przykładu rozwiązanego zadania.
Wyjaśnienie, co to jest  funkcja . Człowiek normalny, czyli tuż po napisanej maturze, ale
jeszcze przed studiami, jest przyzwyczajony do np. takiej postaci funkcji:
f(x) = 5  x (x należy do zbioru liczb rzeczywistych)
Za  iksa coÅ› tam podstawiamy; wrzucamy jakÄ…Å› liczbÄ™, ta funkcja coÅ› z tÄ… liczbÄ… robi i coÅ›
tam wypluwa. Na przykład, w powyższym przykładzie  wrzucamy w funkcję liczbę 2, funkcja coś
tam z liczbą zrobi i wypluje 3. Czemu? Po prostu za  iksa podstawiamy 2 i wykonujemy działanie:
f(2) = 5  2 = 3
Czemu podkreśliłem dwójkę w obydwu przypadkach? Bo możemy sobie wrzucić jakąś
liczbę a , która będzie liczba rzeczywistą, na miejsce tego podkreślenia. A co, nie zawsze musimy
wstawiać konkretne liczby, bo nam się nie chce albo rzygamy na widok liczb; wynik będzie taki:
f(a) = 5  a
Pójdz
my dalej, możemy sobie zamiast  iksa podstawić jakieś tam wyrażenie, załóżmy:
Argument: c + h + u + j
f(c + h + u + j) = 5  (c + h + u + j) = 5  c  h  u  j
Jak widzimy, funkcję możemy sobie wyobrazić jako  czarną skrzynkę , w którą coś
wrzucamy, czekamy, aż skrzynka pomyśli, po czym funkcja  wypluwa coś, będącym wynikiem.
Specjalnie pogrubiłem słowo  coś , bo tak naprawdę, można funkcję określić na czymkolwiek, a w
wyniku też dostać cokolwiek.
Na przykład, chcemy sobie policzyć pole prostokąta. Wzór, znany zapewne ze szkoły
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 2/10
podstawowej, wyglÄ…da tak:
P = a * b
A ponieważ, mówiąc idiotycznie prosto, jestem pojebany, postanowiłem zapisać to jako
jakÄ…Å› funkcjÄ™:
P(a, b) = a * b
Ba, poszedłem o krok dalej, bo powiedzmy wziąłem do serca wykład z Problemów
Społecznych Informatyki, skasowałem wszystkie brutalne gry, nielegalne oprogramowanie i
nudziło mi się w domu. Postanowiłem sobie zapisać coś w tym stylu:
P: (a , b) jakaÅ› tam liczba
Symbol przed dwukropkiem oznacza po prostu jakÄ…Å› tam nazwÄ™ funkcji, potem mam
napisane argumenty, a na końcu  wynik. Faktycznie, wrzucam dwie liczby i w wyniku otrzymuję
jakÄ…Å› tam liczbÄ™.
No dobra, ale powyższy zapis jest do dupy. Nie wiemy przecież, skąd wzieliśmy liczby a i b.
Czy to są liczby naturalne? A może całkowite? Rzeczywiste? Zespolone? Niestety, będziemy się
bawić w programowanie (niestety, bo jedyne, co próbowałem programować, to pralkę, a i tak pranie
wyszło takie, że pożal się Boże), gdzie definiowanie funkcji wymaga konkretów.
By trochę uściślić, poprawię powyższy napis:
P: (liczba rzeczywista a, liczba rzeczywista b) liczba rzeczywista
No dobra, wiemy, skÄ…d zapieprzamy liczbÄ™ a, skÄ…d liczbÄ™ b, sÄ… to jakieÅ› tam dwie liczby
rzeczywiste, które się wrzuca w funkcję i wychodzi liczba rzeczywista. Dobra, ale i to nie jest
konkretne.
Bo przecież nie będziemy do końca życia ograniczać do jebanych literek a, b, x, y czy
cholera wie, jakich jeszcze. Trzeba precyzyjnie napisać zbiór, z którego czerpiemy argumenty i
zbiór, w którym znajdzie się nasz potencjalny wynik, czyli już poprawny zapis powinien wyglądać
tak:
P: R x R R
(lub, równoważne)
P: R2 R
Jest to tzw. specyfikacja funkcji
I tutaj mogę sam siebie się zapytać, a nawet powinienem:  co to jest R x R? A R2 co do
cholery oznacza ? Pojawia się pojęcie  iloczynu kartezjańskiego .
Powiedzmy, że mamy zbiór, składający się z 10 facetów i 10 dziewczyn, które mają umysły
wyjątkowo heteroseksualne. Możemy je połączyć (tak, te uśmieszki są kierowane w dobrą stronę)
w dowolne pary. Poza tym, że będziemy mieć niesamowitą orgię, zbiór takich wszystkich
możliwych  par możemy nazwać  iloczynem kartezjańskim zbiorów głupich chłopów i czasem
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 3/10
niegłupich bab (te przymiotniki to fakty, nie będziemy się nad nimi rozwodzić).
Jeżeli mamy dwa zbiory  zbiór A oraz zbiór B, to iloczyn kartezjański możemy krótko określić
jako A x B.
Przykład:
Mamy zbiór A, składający się z cyfr: 2, 3, 4
I zbiór B, składający się z cyfr: 1, 5, 6.
Trzeba dodać, że odpowiednie  pary zazwyczaj zapisuje się normalnie w nawiasach, ale gdzie
kolejność jest kurewsko ważna, więc iloczyn kartezjański będzie się składać z następujących
elementów:
(2,1),(2,5),(2,6), //to, z czym można  połączyć dwójkę ze zbioru A
(3,1),(3,5),(3,6), //to, z czym można  połączyć trójkę ze zbioru A
(4,1),(4,5),(4,6) //to, z czym można  połączyć czwórkę ze zbioru A.
Jeżeli więc mamy zapis R x R (równoważnie: R2, bo nikomu się nie chce pisać znaków
mnożenia) przy specyfikacji funkcji, to po prostu oznacza to jakąś tam parę liczb, w której
pierwszym elementem jest jakaś liczba rzeczywista, a drugim  również liczba rzeczywista.
Na przykład, zapis R3 pokazuje nam, że mamy do czynienia z trójką liczb rzeczywistych,
zapisanych na przykład tak: (a, b, c), w której a jest jakąś liczbą rzeczywistą, b też, a i c nie wyrywa
się z kanonów.
Przyszedł mi do głowy taki niebanalny przykład funkcji (uwaga, wymagana znajomość
silni):
f(a, b) = a2 + b!
I ktoś bardzo złośliwy każe nam napisać specyfikację tej funkcji. I se tak głośno myślimy:
 Hmm... za a mogę wstawić cokolwiek, co mi się tylko podoba, bo do kwadratu mogę podnieść, co
se tam zechcÄ™. Ale b... nie wiem, czy dla jakiejkolwiek liczby mogÄ™ sobie znalez
ć silnię. Dla 3 se
znajdÄ™, ale ile wynosi silnia z 5,312? Cholera wie .
Nie  cholera wie , tylko jak widzimy, liczba b w powyższej funkcji wymaga specjalnego
traktowania. Nie możemy wstawić cokolwiek. A najbliższe prawdy będzie chyba stwierdzenie, że
najlepiej będzie za b wstawiać tylko liczby naturalne.
Spójrzmy na argumenty, które mamy wstawić. Za a wstawiajmy, co chcemy, ale za b
możemy wstawić tylko liczbę naturalną. Możemy więc wstawić tylko taką parę liczb, z których
pierwsza (a) będzie rzeczywista, a druga (b) - tylko naturalna.
A, jeszcze wynik. Nie jest to specjalnie rzecz trudna, bo wynikiem może być też jakaś tam
liczba rzeczywista (jak podniesiemy jakiegoÅ›  potworka - liczbÄ™ rzeczywistÄ… do kwadratu, to
wyjdzie również jakaś odrażająca liczba rzeczywista, a jak dodamy jakąś liczbę naturalną  wynik
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 4/10
silni  to nam to specjalnie nie pomoże).
Widzimy więc, że pary argumentów  (a, b) będą iloczynem kartezjańskim zbioru liczb
rzeczywistych (bo pierwsza liczba to chuj wie, co, cokolwiek) i naturalnych (bo tylko takie możemy
 wrzucić do silni), więc nasze argumenty będziemy czerpać ze zbioru R x N.
Dla przypomnienia  wymyśliłem se taką funkcję:
f(a, b) = a2 + b!
f: R x N R
StÄ…d zapieprzamy pierwszÄ… liczbÄ™ StÄ…d drugÄ… liczbÄ™ A funkcja zwraca nam liczbÄ™ z tego
zbioru
Trochę o funkcjach napisałem, czas wrócić do przestrzeni metrycznych, gdzie jednak trochę
siÄ™ nam pomiesza zapewne dziedzina.
Ogólnie sam zapis przestrzeni metrycznej jako pary wygląda następująco:
P = (_ , _)
W to miejsce  wsadzamy dziedzinę; A w to miejsce funkcję, która ma
iloczyn kartezjański, skąd będziemy brać pojedynczy argument być metryką
Czyli na przykład zapis:
P = (R , Á)
oznacza po prostu, że w funkcjÄ™ Á wrzucimy dwie liczby.
A taki:
P = (R2 , Á)
oznacza, że w funkcjÄ™ Á wrzucimy dwie pary liczb.
Nie daj Boże, jeżeli zdarzy się kiedyś taki zapis:
P = (R3 , Á)
oznaczający, że funkcja będzie potrzebować dwóch trójek liczb.
Dlaczego tak dziwnie i czemu, kurwa mać, dwa argumenty od razu?
W przestrzeni metrycznej najważniejsza jest funkcja. Nie jest to pierwsza z brzegu wzięta z
dupy funkcja... To znaczy, najczęściej, by dręczyć studentów  właśnie taka jest, ale ma swoje
zadanie: ma policzyć odległość pomiędzy dwoma argumentami. Co oznacza  odległość ?
Przykładam linijkę i zmierzyłem, po co się tak męczyć? No niestety, ktoś se jednak pomyślał, że
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 5/10
odległoś se będzie mierzył jakimś specjalnym wzorem, czy  zapewne już ktoś pomyślał  Jeszcze
raz napisze to słowo, to rzygnę - funkcją.
By uznać taką funkcję za godną siedzenia w przestrzeni metrycznej, musi spełniać trzy
warunki (dokładne definicje  na pewno gdzieś w internecie):
1. Dla tych samych argumentów wartość musi być równa 0
Á(x, x) = 0
2. Zmienienie kolejności argumentów ma chuja dać
Á(x, y) = Á(y,x)
3. Funkcja dla dowolnych, z dupy wziętych argumentów ma spełniać taką nierówność:
Á(x, z) <= Á(x, y) + Á(y, z)
(<= oznacza  większe bądz
równe)
Dobra, więc finalnie  przykład:
1. Sprawdz
, czy para (R2 , Á), gdzie Á = ((x1, y1), (x2, y2)) = | x1  x2 | + | y1  y2| jest metrykÄ….
Brzmi złowrogo, ale  damy radę. Najpierw sprawdzimy, czy faktycznie jest metryką.
Jak widzimy (po zbiorze, z którego zapieprzamy argumenty), argumenty będą parą. Czyli
wrzucamy jakÄ…Å› pierwszÄ… parÄ™, wrzucamy drugÄ… i sprawdzamy, czy mieszczÄ… siÄ™ w naszych
surowych ramach.
Załóżmy, dla wygody zapisu, że w zapisie typu: Á ( a, b)
a będzie oznaczać parę (x1, y1), a b  parę (x2, y2) (specjalnie zmieniłem zwyczajowe x, y
na literki a i b, aby się nam nie pojebało od razu).
1) Po pierwsze, dla takich samych par - wynik musi się równać zero.
Czyli Á (a, a)  wiÄ™kszość ludzi na studiach od razu przyzna siÄ™ do przynależenia do takich
argumentów  ma nam dać 0.
Jak sobie zapisaliśmy, a oznacza (x1, y1). Patrzmy, co się stanie.
Á (a, a) = Á ((x1, y1), (x1, y1))
Dobra, już sobie  przywróciliśmy zapis do zgodnego z treścią zadania, więc policzmy:
Á ((x1, y1), (x1, y1)) = |x1  x1| + |y1  y1|
Kreskami namalowałem  miejsca , w które wsadzamy poszczególne liczby. To tak dla ułatwienia,
co gdzie powinno pójść. Mam nadzieję, że wśród braci studenckiej nie muszę się gęsto
usprawiedliwiać i znajdę wyjaśnienie dla tak krzywych kresek.
Nie ulega wątpliwościom, że w pierwszym  członie (napisałbym normalnie, ale nie chcę zbytnio
przeklinać) wyłazi ogromne zero, z drugiego  też.
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 6/10
|x1  x1| + |y1  y1| = 0 + 0 = 0
Więc:
Á (a, a) = 0
Okej, sprawdziliśmy pierwszą własność.
2) Przy sprawdzaniu drugiej własności najczęściej postępujemy tak  wychodzimy z jednej
strony, majstrujemy tak, by wyszła nam druga strona równania.
Jak sobie zapisaliśmy, a = (x1, y1), a b = (x2, y2). Jedziemy:
Á (a, b) = Á ((x1, y1), (x2, y2))
Już sobie  znormalizowaliśmy zadanie, rozpiszmy, jak to wygląda dalej:
Á ((x1, y1), (x2, y2)) = |x1  x2| + |y1  y2|
Zajmijmy się pierwszym  członem powyższej sumy:
| x1  x2|
Możemy przed nawias wyłączyć liczbę (-1)
|(-1) (- x1 + x2)|
(bo zauważmy, że jak z powrotem pomnożymy -1 przez nawias, to wyjdzie nam pierwotne
wyrażenie, więc nic złego nie robimy).
Z własności wartości bezwzględnej ( |a * b| = |a| * |b| ) i po zamianie kolejności w drugim nawiasie:
|-1| * |x2  x1|
Wartość bezwzględna z wartości ujemnej to po prostu rozwalenie minusa:
1 * |x2  x1|
co po prostu jest równe:
|x2  x1|
Więc możemy z całą pewnością zapisać:
|x1  x2| = |x2  x1|
Więc w naszej sumie możemy się tak popisać:
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 7/10
|x1  x2| + |y1  y2| = |x2  x1| + |y1  y2|
Zróbmy podobny numer w drugim  członie :
|x2  x1| + |y1  y2| = |x2  x1| + |y2  y1|
Dobra, teraz pokusimy siÄ™ o kontrowersyjne (lepiej nie piszcie tak na kolokwium, tylko gdzieÅ› z
boku, nieoficjalnie, bo nie jestem pewien całkowitej poprawności tego typu zapisu) rzeczy, czyli
hmmm... liczby z równania będziemy wsadzać do funkcji. Zauważmy, korzystając z krzywych
kresek z połowy poprzedniej kartki, że:
|x2  x1| + |y2  y1| = Á ((_, _), (_, _))
Jest to po prostu takie bezczelne odwrócenie zapisu funkcji. Czyli:
|x2  x1| + |y2  y1| = Á ((x2, y2), (x1, y1))
A to jest nic więcej, jak:
Á ((x2, y2), (x1, y1)) = Á (b, a)
A ponieważ szliśmy z jednej strony równania i doszliśmy do drugiej strony, więc zapisujemy:
Á (a, b) = Á (b, a)
Zalecam jednak pisanie całego równania w jednym ciągu, głośno myśląc nad tym, co wypisałem
powyżej. Więc dowód na to powinniśmy tak zapisać:
Á (a, b) = Á ((x1, y1), (x2, y2)) = |x1  x2| + |y1  y2| = |x2  x1| + |y2  y1| =
= Á ((x2, y2), (x1, y1)) = Á (b, a)
Koniec dowodu, ale teraz będzie najgorsze.
3) Musimy sprawdzić tzw. nierówność trójkąta. Czyli
Á(x, z) <= Á(x, y) + Á(y, z)
By się nam zbytnio nie pomyliło, zapiszmy to sobie w postaci:
Á(a, c) <= Á(a, b) + Á(b, c)
Załóżmy, że c to taka para: (x3, y3)
A
o Jezu, to wygląda okropnie... ale z dodatkową własnością, czyli znajomością takiej
 podstawowej nierówności trójkąta w wart. bezwględnej:
|a + b| <= |a| + |b|
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 8/10
damy radÄ™!
Najgorzej jest zacząć, a więc  pobadajmy lewą stronę nierówności:
Á(a, c)
To będzie równe, przy wiedzy, że a = (x1, y1), a c = (x3, y3):
Á(a, c) = Á((x1, y1), (x3, y3))
co, już bez rysowania kresek, wiemy, że jest równe:
Á((x1, y1), (x3, y3)) = |x1  x3| + |y1  y3|
Przypatrzmy się pierwszemu członowi sumy.
Załóżmy, że idziemy obrobić kiosk, a pani z kiosku wyszła na papierosa 100 metrów dalej i
nas na pewno nie złapie. Pomyślimy:  A, zwinę sobie gumki (z czego zakładam, że pojęcie
 gumki jest znane). No dobra, podchodzimy, nikt nie patrzy  i zapierdalamy tuż przy okienku
paczkę wyżej wspomnianych gumek. Jednak po kilku sekundach sobie nagle uśmiadomimy:  Po
cholerę mi te gumki, przecież nie mam nawet jak ich użyć , albo  O Matko Przenajświętsza, cóż ja
uczyniłem , więc oddajemy gumki w miejscu, w który były, odchodzimy, a pani z kiosku się nie
skapowała. Z fizycznego (i rachunkowego) punktu widzenia  nic się nie stało, gumki może i na
chwilę zabraliśmy, ale po sekundach oddaliśmy. My zrobimy podobnie, tylko będziemy obracać się
wokół bardziej przyzwoitych liczb.
Pierwszy człon jest równy:
|x1  x3|
A ja tak brutalnie zapierdolÄ™ sobie, ni stÄ…d, ni zowÄ…d, jakÄ…Å› liczbÄ™ o nazwie x2:
|x1  x3  x2 ...
... ale od razu mnie wezmą wyrzuty sumienia, więc oddam, co zabrałem. Bóg jest jednak mściwy i
zapisuje występki:
|x1  x3  x2 + x2|
No dobra, zamieszajmy sobie trochę kolejnością:
|x1  x2 + x2  x3|
Możemy sobie postawić nawiasy przy różnicach (bo tak nam się podoba.. i tak nie zmienią
wartości, bo nigdzie minus nie będzie czaić przed nawiasem):
| (x1  x2) + (x2  x3) |
I na razie zostawmy ten pierwszy człon.
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 9/10
Podobnie postępując, zrobimy w drugim członie (poćwiczcie i sprawdz
cie, czy siÄ™ nie mylÄ™):
| (y1  y2) + (y2  y3) |
Czyli całe to:
Á((x1, y1), (x3, y3)) = | (x1  x2) + (x2  x3) | + | (y1  y2) + (y2  y3) | ***
Dobra, teraz wiemy na pewno, patrząc na pierwszy człon, że będzie coś takiego następować, z
własności wartości bezwględnych:
| (x1  x2) + (x2  x3) | <= |(x1  x2)| + |(x2  x3)|
Olejmy nawiasy po prawej stronie (nic nie zmieniają) i zróbmy z tego przyzwoity zapis:
| (x1  x2) + (x2  x3) | <= |x1  x2| + |x2  x3|
Podobnie postąpimy z drugim członem:
| (y1  y2) + (y2  y3) | < = |y1  y2|+ |y2  y3|
Mamy takie coś, zwane układem dwóch nierówności:
| (x1  x2) + (x2  x3) | <= |x1  x2| + |x2  x3|
| (y1  y2) + (y2  y3) | < = |y1  y2|+ |y2  y3|
I teraz również kontrowersyjna rzecz... a, dodajmy te nierówności stronami, wszystko jest większe
od zera, więc nie powinno być nic złego:
| (x1  x2) + (x2  x3) | + | (y1  y2) + (y2  y3) | <= |x1  x2| + |x2  x3| + |y1  y2|+ |y2  y3|
Spójrzmy na tę potworną lewą stronę równania. Ale, gdzieś tu na stronie postawiłem trzy gwiazdki
przy którymś równaniu. Zauważmy, że przecież lewa strona to
Á((x1, y1), (x3, y3)) , czyli Á (a, c)
A prawa strona? Patrzmy:
|x1  x2| + |x2  x3| + |y1  y2|+ |y2  y3|
Zamieńmy se gdzieś tam kolejność i popatrzmy, co to jest:
|x1  x2| + |y1  y2| + |x2  x3| + |y2  y3|
Á((x1, y1), (x2, y2)) = Á(a, b) Á((x2, y3), (x2, y3)) = Á(b, c)
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 10/10
Czyli:
Á (a, c) <= Á(a, b) + Á(b, c)
Czyli to, co mieliśmy wykazać. Hura, otwieramy flaszkę i  najebujemy się . W najbliższym
czasie spróbuję napisać, jak rysuje się okrąg w takich przestrzeniach metrycznych. A osobiście mam
nadzieję, że w czymś pomogłem, a swoją głupotą co najwyżej poprawiłem humor, a nie do końca
zażenowałem.
pj
poap[at]interia.pl
Linki do innych pomocy (być może naukowych):
http://www.poap.yoyo.pl/matd/
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008