ÿþW y k Ba d 2
N i e c h V b d z i e p r z e s t r z e n i l i n i o w i n i e c h U , W b d p o d p r z e s t r z e n i a m i V
w t e d y b d z i e m y m ó w i , |e V j e s t s u m p r o s t p r z e s t r z e n i U i V j e [l i :
1 . V = U + W ,
2 . U )" W = { 0 } ,
i b d z i e m y u |y w a z a p i s u : V = U •" W .
P r z y k Ba d P r z e s t r z e D R 2 j e s t s u m p r o s t p o d p r z e s t r z e n i U = { ( x , 0 ) ; x "
R } i W = { ( 0 , y ) ; y " R } .
N i e c h v 1 , v 2 , . . . , v n b d w e k t o r a m i w p r z e s t r z e n i V i n i e c h k 1 , k 2 , . . . , k n " K
b d s k a l a r a m i w t e d y w e k t o r :
k 1 v 1 + k 2 v 2 + · · · + k n v n
n a z y w a m y l i n i o w k o m b i n a c j w e k t o r ó w v 1 , v 2 , . . . , v n o w s p ó Bc z y n n i k a c h
k 1 , k 2 , . . . , k n .
N i e c h A †" V b d z i e n i e p u s t y m p o d z b i o r e m w V . W t e d y p r z e z L i n ( A ) o z n a -
c z a b d z i e m y z b i ó r w s z y s t k i c h m o |l i w y c h s k o Dc z o n y c h k o m b i n a c j i l i n i o w y c h
w e k t o r ó w z e z b i o r u A , c z y l i :
L i n ( A ) = { k 1 a 1 + · · · + k n a n ; a i " A , k i " K , n " N }
L i n ( A ) n a z y w a b d z i e m y d o m k n i c i e m l i n i o w y m z b i o r u A .
T w i e r d z e n i e 1 Z b i ó r L i n ( A ) j e s t p o d p r z e s t r z e n i p r z e s t r z e n i V . J e s t t o
n a j m n i e j s z a p o d p r z e s t r z e D p r z e s t r z e n i V z a w i e r a j c a z b i ó r A .
W Ba s n o [c i f u n k c j i L i n ( ) :
1 . L i n ( L i n ( A ) ) = L i n ( A ) ,
2 . L i n ( A )" B ) †" L i n ( A ) )" L i n ( B ) .
J e [l i d l a p e w n e g o A ‚" V m a m y L i n ( A ) = V t o b d z i e m y m ó w i , |e z b i ó r A
g e n e r u j e V l u b , |e A j e s t z b i o r e m g e n e r a t o r ó w p r z e s t r z e n i V .
M ó w i m y , |e u k Ba d w e k t o r ó w v 1 , v 2 , . . . , v n " V j e s t l i n i o w o n i e z a l e |n y j e [l i :
k 1 v 1 + k 2 v 1 + · · · + k n v n = 0 Ò! k 1 = k 2 = . . . = k n = 0
J e [l i u k Ba d w e k t o r ó w n i e j e s t l i n i o w o n i e z a l e |n y t o m ó w i m y , |e j e s t t o u k Ba d
l i n i o w o z a l e |n y .
P r z y k Ba d y
1 . W e k t o r y ( 1 , 2 , 3 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 0 , 0 ) s l i n i o w o n i e z a l e |n e w p r z e s t r z e n i
R 4 .
2 . W e k t o r y ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 3 , 4 , 5 ) , ( 3 , 4 , 5 , 6 ) s l i n i o w o z a l e |n e b o :
( 1 , 1 , 1 , 1 ) + ( 2 , 3 , 4 , 5 ) - ( 3 , 4 , 5 , 6 ) = ( 0 , 0 , 0 , 0 ) .
1
3 . W e k t o r y 1 , x , . . . , x n s l i n i o w o n i e z a l e |n e w p r z e s t r z e n i R [ x ] .
4 . F u n k c j e s i n x , c o s x s l i n i o w o n i e z a l e |n e w p r z e s t r z e n i C .
5 . J e [l i w [r ó d w e k t o r ó w v 1 , v 2 , . . . , v n j e s t w e k t o r z e r o w y t o u k Ba d t e n j e s t
l i n i o w o z a l e |n y . J e [l i w u k Ba d z i e t y m d w a w e k t o r y s i p o w t a r z a j t o t e | s
l i n i o w o z a l e |n e .
6 . M o |n a t e | m ó w i o l i n i o w e j n i e z a l e |n o [c i j e d n e g o w e k t o r a v , a m i a n o w i c i e :
w e k t o r v j e s t l i n i o w o n i e z a l e |n y w t e d y i t y l k o w t e d y g d y v = 0 .
R o z p a t r z m y j e s z c z e j e d e n p r z y k Ba d :
S p r a w d z i m y , c z y w e k t o r y ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , 2 , 1 ) , ( 2 , 3 , 4 , 1 ) , ( 1 , 2 , 3 , 4 ) s l i n i o -
w o n i e z a l e |n e w p r z e s t r z e n i R 4 . M u s i m y s p r a w d z i d l a j a k i c h x , y , z , t l i n i o w a
k o m b i n a c j a : x ( 1 , 1 , 1 , 1 ) + y ( 2 , 1 , 2 , 1 ) + z ( 2 , 3 , 4 , 1 ) + t ( 1 , 2 , 3 , 4 ) j e s t r ó w n a z e -
r o , c z y l i b a d a m y r o z w i z a n i a r ó w n a n i a :
x ( 1 , 1 , 1 , 1 ) + y ( 2 , 1 , 2 , 1 ) + z ( 2 , 3 , 4 , 1 ) + t ( 1 , 2 , 3 , 4 ) = ( 0 , 0 , 0 , 0 ) .
Z a d a n i e t o s p r o w a d z a s i d o b a d a n i a r o z w i z a l n o [c i u k Ba d u r ó w n a D:
ñø
x + 2 y + 2 z + t = 0
ôø
ôø
ôø
òø
x + y + 3 z + 2 t = 0
ôø
x + 2 y + 4 z + 3 t = 0
ôø
ôø
óø
x + y + z + 4 t = 0
u k Ba d t e n m o |n a z a p i s a w p o s t a c i m a c i e r z o w e j :
îø ùø îø ùø îø ùø
1 2 2 1 x 0
ïø úø ïø úø ïø úø
1 1 3 2 y 0
ïø úø ïø úø ïø úø
ïø úø ïø úø = ïø úø
ðø ûø ðø ûø ðø ûø
1 2 4 3 z 0
1 1 1 4 t 0
Z a u w a |m y , |e k o l u m n a m i m a c i e r z y w s p ó Bc z y n n i k ó w s p o p r o s t u w y j [c i o w e
w e k t o r y . W i e m y z t e o r i i r ó w n a D j e d n o r o d n y c h , |e n a s z u k Ba d r ó w n a D m a
d o k Ba d n i e j e d n o r o z w i z a n i e w t e d y i t y l k o w t e d y g d y
îø ùø
1 2 2 1
ïø úø
1 1 3 2
ïø úø
d e t ïø úø = 0
ðø ûø
1 2 4 3
1 1 1 4
A t o o z n a c z a , |e w e k t o r y ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , 2 , 1 ) , ( 2 , 3 , 4 , 1 ) , ( 1 , 2 , 3 , 4 ) s l i n i o w o
n i e z a l e |n e w t e d y i t y l k o t e d y g d y
îø ùø
1 2 2 1
ïø úø
1 1 3 2
ïø úø
d e t ïø úø = 0
ðø ûø
1 2 4 3
1 1 1 4
2
O g ó l n i e r o z p a t r z m y m w e k t o r ó w v 1 , v 2 , . . . , v m w p r z e s t r z e n i K n . N i e c h A
b d z i e m a c i e r z , k t ó r e j k o l u m n a m i s w s p ó Br z d n e w e k t o r ó w v 1 , v 2 , . . . , v m .
W t e d y m a m y :
1 . J e [l i n = m t o w e k t o r y v 1 , v 2 , . . . , v n s l i n i o w o n i e z a l e |n e w t e d y i t y l k o
w t e d y g d y d e t A = 0 .
2 . W e k t o r y v 1 , v 2 , . . . , v m s l i n i o w o n i e z a l e |n e w t e d y i t y l k o w t e d y g d y
r ( A ) = m .
P o j c i e l i n i o w e j n i e z a l e |n o [c i m o |n a u o g ó l n i n a n i e s k o Dc z o n e z b i o r y w e k -
t o r ó w . N i e c h A ‚" V b d z i e p o d z b i o r e m w p r z e s t r z e n i V . B d z i e m y m ó w i ,
|e z b i ó r t e n j e s t l i n i o w o n i e z a l e |n y j e [l i k a |d y s k o Dc z o n y u k Ba d a 1 , a 2 , . . . , a n
r ó |n y c h w e k t o r ó w z e z b i o r u A j e s t l i n i o w o n i e z a l e |n y .
P r z y k Ba d Z b i ó r A = { ( 1 , 0 , 0 , . . . ) , ( 0 , 1 , 0 , . . . ) , . . . } j e s t z b i o r e m l i n i o w o n i e -
z a l e |n y m w p r z e s t r z e n i R N .
B a z a p r z e s t r z e n i l i n i o w e j
Z b i ó r B †" V n a z y w a m y b a z p r z e s t r z e n i l i n i o w e j V j e [l i
1 . V = L i n ( B ) .
2 . Z b i ó r B j e s t l i n i o w o n i e z a l e |n y .
T w i e r d z e n i e 2 J e [l i B j e s t b a z p r z e s t r z e n i l i n i o w e j V t o k a |d y w e k t o r m a
j e d n o z n a c z n e p r z e d s t a w i e n i e w p o s t a c i l i n i o w e j k o m b i n a c j i e l e m e n t ó w z b i o r u
B .
B d z i e m y m ó w i , |e z b i ó r B j e s t m a k s y m a l n y m z b i o r e m l i n i o w o n i e -
z a l e |n y m w p r z e s t r z e n i V , j e [l i B j e s t l i n i o w o n i e z a l e |n y i k a |d y z b i ó r z a -
w i e r a j c y B j e s t l i n i o w o z a l e |n y .
B d z i e m y m ó w i , |e z b i ó r B j e s t m i n i m a l n y m z b i o r e m g e n e r a t o r ó w
p r z e s t r z e n i V , j e [l i V = L i n ( B ) i d l a k a |d e g o p o d z b i o r u B 1 B m a m y
V = L i n ( B 1 ) .
T e d w a p o j c i a d a j r ó w n o w a |n e d e f i n i c j e b a z y p r z e s t r z e n i l i n i o w e j .
T w i e r d z e n i e 3 N a s t p u j c e w a r u n k i s r ó w n o w a |n e :
( i ) z b i ó r B j e s t b a z p r z e s t r z e n i V ,
( i i ) z b i ó r B j e s t m i n i m a l n y m z b i o r e m g e n e r a t o r ó w p r z e s t r z e n i V ,
( i i i ) z b i ó r B j e s t m a k s y m a l n y m z b i o r e m l i n i o w o n i e z a l e |n y m p r z e s t r z e n i V .
D o w ó d
( i ) Ò! ( i i ) N i e c h b " B . P o n i e w a | B j e s t z b i o r e m l i n i o w o n i e z a l e |n y m t o
w e k t o r a b n i e d a s i w y r a z i p r z y p o m o c y i n n y c h w e k t o r ó w z e z b i o r u B . Z a -
t e m j e [l i B 1 j e s t w Ba [c i w y m p o d z b i o r e m z b i o r u B t o B 1 n i e m o |e g e n e r o w a
p r z e s t r z e n i V b o w e k t o r y n a l e |c e d o B \ B 1 n i e n a l e | d o L i n ( B 1 ) .
3
( i i ) Ò! ( i i i ) Z b i ó r B m u s i b y l i n i o w o n i e z a l e |n y ( g d y b y b y B l i n i o w o z a l e |n y
t o m o |n a b y g o b y Bo z m n i e j s z y o t r z y m u j c m n i e j s z y z b i ó r g e n e r a t o r ó w ) .
P o n i e w a | B j e s t z b i o r e m g e n e r a t o r ó w t o k a |d y w e k t o r z V d a s i w y r a z i j a k o
l i n i o w a k o m b i n a c j a w e k t o r ó w z B , a w i c z w i k s z e n i e z b i o r u B s p o w o d u j e
u t r a t l i n i o w e j n i e z a l e |n o [c i .
( i i i ) Ò! ( i ) Z b i ó r B j e s t l i n i o w o n i e z a l e |n y i j e [l i v " V \ B t o z b i ó r B *" { v }
j e s t l i n i o w o z a l e |n y ( w y n i k a t o z m a k s y m a l n o [c i B ) , a w i c v m o |n a w y r a z i
j a k o l i n i o w k o m b i n a c j e l e m e n t ó w z b i o r u B . T o o z n a c z a , |e B j e s t r ó w n i e |
z b i o r e m g e n e r a t o r ó w , a w i c j e s t b a z .
P r z y k Ba d y
1 . U k Ba d ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 , 1 ) j e s t b a z p r z e s t r z e n i R 4 .
2 . U k Ba d w e k t o r ó w e 1 = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) , e 2 = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) , . . . , e n = ( 0 , 0 , . . . , 1 )
j e s t b a z p r z e s t r z e n i K n . B a z t b d z i e m y n a z y w a b a z k a n o n i c z n ( a l b o
s t a n d a r d o w ) p r z e s t r z e n i K n .
3 . U k Ba d ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 , 0 ) r ó w n i e | j e s t b a z p r z e -
s t r z e n i R 4
4 . P r z e s t r z e D R [ x ] m a b a z : 1 , x , x 2 , x 3 , . . . .
5 . U k Ba d A = { ( 1 , 0 , 0 , . . . ) , ( 0 , 1 , 0 , . . . ) , . . . } j e s t z b i o r e m l i n i o w o n i e z a l e |n y m
w p r z e s t r z e n i R N a l e n i e j e s t b a z b o n a p r z y k Ba d w e k t o r a ( 1 , 1 , 1 , . . . ) n i e
d a s i z a p i s a w p o s t a c i l i n i o w e j k o m b i n a c j i w e k t o r ó w z e z b i o r u A ( g d y | w
L i n ( A ) z n a j d u j s i t y l k o s k o Dc z o n e l i n i o w e k o m b i n a c j e ! ! ! ) .
6 . P r z e s t r z e D C n a d c i a Be m C p o s i a d a b a z , k t ó r a s k Ba d a s i z w e k t o r a 1 .
7 . P r z e s t r z e D C n a d c i a Be m R p o s i a d a b a z , k t ó r a s k Ba d a s i z w e k t o r ó w 1 , i .
4
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