plik


ÿþWykBad 2 Niech V bdzie przestrzeni liniow i niech U, W bd podprzestrzeniami V wtedy bdziemy mówi, |e V jest sum prost przestrzeni U i V je[li: 1. V = U + W , 2. U )" W = {0}, i bdziemy u|ywa zapisu: V = U •" W . PrzykBad PrzestrzeD R2 jest sum prost podprzestrzeni U = {(x, 0); x " R} i W = {(0, y); y " R}. Niech v1, v2, . . . , vn bd wektorami w przestrzeni V i niech k1, k2, . . . , kn " K bd skalarami wtedy wektor: k1v1 + k2v2 + · · · + knvn nazywamy liniow kombinacj wektorów v1, v2, . . . , vn o wspóBczynnikach k1, k2, . . . , kn. Niech A †" V bdzie niepustym podzbiorem w V . Wtedy przez Lin(A) ozna- cza bdziemy zbiór wszystkich mo|liwych skoDczonych kombinacji liniowych wektorów ze zbioru A, czyli: Lin(A) = {k1a1 + · · · + knan; ai " A, ki " K, n " N} Lin(A) nazywa bdziemy domkniciem liniowym zbioru A. Twierdzenie 1 Zbiór Lin(A) jest podprzestrzeni przestrzeni V . Jest to najmniejsza podprzestrzeD przestrzeni V zawierajca zbiór A. WBasno[ci funkcji Lin(): 1. Lin(Lin(A)) = Lin(A), 2. Lin(A )" B) †" Lin(A) )" Lin(B). Je[li dla pewnego A ‚" V mamy Lin(A) = V to bdziemy mówi, |e zbiór A generuje V lub, |e A jest zbiorem generatorów przestrzeni V . Mówimy, |e ukBad wektorów v1, v2, . . . , vn " V jest liniowo niezale|ny je[li: k1v1 + k2v1 + · · · + knvn = 0 Ò! k1 = k2 = . . . = kn = 0 Je[li ukBad wektorów nie jest liniowo niezale|ny to mówimy, |e jest to ukBad liniowo zale|ny. PrzykBady 1. Wektory (1, 2, 3, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0) s liniowo niezale|ne w przestrzeni R4. 2. Wektory (1, 1, 1, 1), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6) s liniowo zale|ne bo: (1, 1, 1, 1) + (2, 3, 4, 5) - (3, 4, 5, 6) = (0, 0, 0, 0). 1 3. Wektory 1, x, . . . , xn s liniowo niezale|ne w przestrzeni R[x]. 4. Funkcje sin x, cos x s liniowo niezale|ne w przestrzeni C. 5. Je[li w[ród wektorów v1, v2, . . . , vn jest wektor zerowy to ukBad ten jest liniowo zale|ny. Je[li w ukBadzie tym dwa wektory si powtarzaj to te| s liniowo zale|ne. 6. Mo|na te| mówi o liniowej niezale|no[ci jednego wektora v, a mianowicie: wektor v jest liniowo niezale|ny wtedy i tylko wtedy gdy v = 0. Rozpatrzmy jeszcze jeden przykBad: Sprawdzimy, czy wektory (1, 1, 1, 1), (2, 1, 2, 1), (2, 3, 4, 1), (1, 2, 3, 4) s linio- wo niezale|ne w przestrzeni R4. Musimy sprawdzi dla jakich x, y, z, t liniowa kombinacja: x(1, 1, 1, 1)+y(2, 1, 2, 1)+z(2, 3, 4, 1)+t(1, 2, 3, 4) jest równa ze- ro, czyli badamy rozwizania równania: x(1, 1, 1, 1) + y(2, 1, 2, 1) + z(2, 3, 4, 1) + t(1, 2, 3, 4) = (0, 0, 0, 0). Zadanie to sprowadza si do badania rozwizalno[ci ukBadu równaD: ñø x + 2y + 2z + t = 0 ôø ôø ôø òø x + y + 3z + 2t = 0 ôø x + 2y + 4z + 3t = 0 ôø ôø óø x + y + z + 4t = 0 ukBad ten mo|na zapisa w postaci macierzowej: îø ùø îø ùø îø ùø 1 2 2 1 x 0 ïø úø ïø úø ïø úø 1 1 3 2 y 0 ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø = ïø úø ðø ûø ðø ûø ðø ûø 1 2 4 3 z 0 1 1 1 4 t 0 Zauwa|my, |e kolumnami macierzy wspóBczynników s po prostu wyj[ciowe wektory. Wiemy z teorii równaD jednorodnych, |e nasz ukBad równaD ma dokBadnie jedno rozwizanie wtedy i tylko wtedy gdy îø ùø 1 2 2 1 ïø úø 1 1 3 2 ïø úø det ïø úø = 0 ðø ûø 1 2 4 3 1 1 1 4 A to oznacza, |e wektory (1, 1, 1, 1), (2, 1, 2, 1), (2, 3, 4, 1), (1, 2, 3, 4) s liniowo niezale|ne wtedy i tylko tedy gdy îø ùø 1 2 2 1 ïø úø 1 1 3 2 ïø úø det ïø úø = 0 ðø ûø 1 2 4 3 1 1 1 4 2 Ogólnie rozpatrzmy m wektorów v1, v2, . . . , vm w przestrzeni Kn. Niech A bdzie macierz, której kolumnami s wspóBrzdne wektorów v1, v2, . . . , vm. Wtedy mamy: 1. Je[li n = m to wektory v1, v2, . . . , vn s liniowo niezale|ne wtedy i tylko wtedy gdy det A = 0. 2. Wektory v1, v2, . . . , vm s liniowo niezale|ne wtedy i tylko wtedy gdy r(A) = m. Pojcie liniowej niezale|no[ci mo|na uogólni na nieskoDczone zbiory wek- torów. Niech A ‚" V bdzie podzbiorem w przestrzeni V . Bdziemy mówi, |e zbiór ten jest liniowo niezale|ny je[li ka|dy skoDczony ukBad a1, a2, . . . , an ró|nych wektorów ze zbioru A jest liniowo niezale|ny. PrzykBad Zbiór A = {(1, 0, 0, . . .), (0, 1, 0, . . .), . . .} jest zbiorem liniowo nie- zale|nym w przestrzeni RN. Baza przestrzeni liniowej Zbiór B †" V nazywamy baz przestrzeni liniowej V je[li 1. V = Lin(B). 2. Zbiór B jest liniowo niezale|ny. Twierdzenie 2 Je[li B jest baz przestrzeni liniowej V to ka|dy wektor ma jednoznaczne przedstawienie w postaci liniowej kombinacji elementów zbioru B. Bdziemy mówi, |e zbiór B jest maksymalnym zbiorem liniowo nie- zale|nym w przestrzeni V , je[li B jest liniowo niezale|ny i ka|dy zbiór za- wierajcy B jest liniowo zale|ny. Bdziemy mówi, |e zbiór B jest minimalnym zbiorem generatorów przestrzeni V , je[li V = Lin(B) i dla ka|dego podzbioru B1 B mamy V = Lin(B1). Te dwa pojcia daj równowa|ne definicje bazy przestrzeni liniowej. Twierdzenie 3 Nastpujce warunki s równowa|ne: (i) zbiór B jest baz przestrzeni V , (ii) zbiór B jest minimalnym zbiorem generatorów przestrzeni V , (iii) zbiór B jest maksymalnym zbiorem liniowo niezale|nym przestrzeni V . Dowód (i) Ò! (ii) Niech b " B. Poniewa| B jest zbiorem liniowo niezale|nym to wektora b nie da si wyrazi przy pomocy innych wektorów ze zbioru B. Za- tem je[li B1 jest wBa[ciwym podzbiorem zbioru B to B1 nie mo|e generowa przestrzeni V bo wektory nale|ce do B \ B1 nie nale| do Lin(B1). 3 (ii) Ò! (iii) Zbiór B musi by liniowo niezale|ny (gdyby byB liniowo zale|ny to mo|na by go byBo zmniejszy otrzymujc mniejszy zbiór generatorów). Poniewa| B jest zbiorem generatorów to ka|dy wektor z V da si wyrazi jako liniowa kombinacja wektorów z B, a wic zwikszenie zbioru B spowoduje  utrat liniowej niezale|no[ci. (iii) Ò! (i) Zbiór B jest liniowo niezale|ny i je[li v " V \ Bto zbiór B *" {v} jest liniowo zale|ny (wynika to z maksymalno[ci B), a wic v mo|na wyrazi jako liniow kombinacj elementów zbioru B. To oznacza, |e B jest równie| zbiorem generatorów, a wic jest baz. PrzykBady 1. UkBad (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) jest baz przestrzeni R4. 2. UkBad wektorów e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . ., en = (0, 0, . . . , 1) jest baz przestrzeni Kn. Baz t bdziemy nazywa baz kanoniczn (albo standardow) przestrzeni Kn. 3. UkBad (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0) równie| jest baz prze- strzeni R4 4. PrzestrzeD R[x] ma baz: 1, x, x2, x3, . . .. 5. UkBad A = {(1, 0, 0, . . .), (0, 1, 0, . . .), . . .} jest zbiorem liniowo niezale|nym w przestrzeni RN ale nie jest baz bo na przykBad wektora (1, 1, 1, . . .) nie da si zapisa w postaci liniowej kombinacji wektorów ze zbioru A (gdy| w Lin(A) znajduj si tylko skoDczone liniowe kombinacje!!!). 6. PrzestrzeD C nad ciaBem C posiada baz, która skBada si z wektora 1. 7. PrzestrzeD C nad ciaBem R posiada baz, która skBada si z wektorów 1, i. 4

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Algebra 1 01 przestrzenie liniowe
Algebra2p Przestrzeń Liniowa, Macierz
przestrzenie liniowe 1
Algebra 2 02 arytmetyka liczb całkowitych
przestrzenie liniowe 2
02 Przestrzeganie zasad higieny w procesie produkcyjnym
Przestrzenie liniowe, wielomiany, liczby zespolone
4 Przestrzenie liniowe
02 Przestrzeganie zasad higieny podczas produkcji
Przestrzenie liniowe(2)
Wykład 6 przestrzenie liniowe II
06 przestrzenie liniowe www
Wykład 5 przestrzenie liniowe
Algebra Liniowa – Przestrzenie metryczne

więcej podobnych podstron