Plan wykładu
Algebra
Przestrzenie liniowe (wektorowe) 1 Definicja przestrzeni liniowej (wektorowej)
2 Liniowa zależność i niezależność wektorów
Adam Dąbrowski
3 Baza przestrzeni liniowej
4
Politechnika Poznańska Czym są wektory?
Wydział Informatyki i Zarządzania
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
5 Graficzne wyobrażenie wektorów
Pracownia Układów Elektronicznych i Przetwarzania Sygnałów
6 Wektory w przyrodzie i w technice
31 stycznia 2009
7 Podstawowe działania na wektorach
8 Wymiar przestrzeni liniowej
9 Suma i część wspólna podprzestrzeni
10 Liniowe przekształcenia przestrzeni liniowych
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 1 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 2 / 47
Przestrzeń liniowa (wektorowa) Podprzestrzeń liniowa (wektorowa)
Definicja przestrzeni liniowej (wektorowej)
Definicja podprzestrzeni
Zestaw (V, F , +, �) złożony ze zbioru V (wektorów), ciała F (skalarów), Niepusty podzbiór W przestrzeni liniowej V nad ciałem F , który jest
z dodawania wewnętrznego w zbiorze V i mnożenia zewnętrznego nazywa przestrzenią liniową względem działań w przestrzeni V, jest nazywany
się przestrzenią liniową (wektorową) V nad ciałem F o ile: podprzestrzenią liniową (wektorową) przestrzeni V.
zbiór V (w uproszczeniu nazywany właśnie przestrzenią liniową lub
Uwagi
wektorową nad ciałem F ) jest grupą abelową względem dodawania,
Definicja podprzestrzeni liniowej (wektorowej) może wydawać się
mnożenie wektorów przez skalar jest rozdzielne względem dodawań
banalna. Może z przestrzeni można usunać kilka elementów, aby
"x"F "u,v"V x(u + v) =xu + xv , "x,y"F "u"V (x + y)u = xu + yu ,
powstała podprzestrzeń? Tak nie jest jak się niebawem przekonamy.
"x,y"F "u"V x(yu) =(xy)u ,
Wybierając z dwóch określeń:  liniowy i  wektorowy jedno z nich,
"u"V1u = u .
w dalszych rozważaniach będziemy posługiwali się nazwami:
przestrzeń i podprzestrzeń liniowa (znaczenie określenia  liniowy
Uwaga
w nazwie  przestrzeń liniowa zostanie wyjaśnione niebawem).
Na pierwszy rzut oka wydaje się, że grupę abelową V można dobrać
Ponadto będziemy zajmowali się przede wszystkim przestrzeniami
niezależnie od ciała F . Tak jednak, jak niebawem zauważymy, nie jest.
liniowymi nad ciałem liczb rzeczywistych R (rzadziej  nad ciałem
Właściwości elementów grupy V zależą od ciała F , dlatego wprowadzamy
liczb zespolonych C).
dla jej elementów specjalną nazwę  wektory nad ciałem F .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 3 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 4 / 47
Liniowa niezależność wektorów Wektory liniowo zależne
Jeśli zestaw (układ) wektorów f1, f2, . . . , fn przestrzeni liniowej V nad
Definicja
ciałem F nie jest liniowo niezależny, to mówimy, że wektory te są liniowo
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F . Wybierzmy dowolnie n
zależne lub, że tworzą układ liniowo zależny.
wektorów f1, f2, . . . , fn z przestrzeni V oraz n skalarów 1, 2, . . . , n
Twierdzenie
z ciała F .
Układ wektorów f1, f2, . . . , fn przestrzeni liniowej V nad ciałem F jest
Wyrażenie postaci
liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy w ciele F wśród skalarów
1f1 + 2f2 + � � � + nfn 1, 2, . . . , n takich, że
nazywa się kombinacją liniową wektorów f1, f2, . . . , fn. 1f1 + 2f2 + � � � + nfn = 0
Układ tych wektorównazywa się liniowo niezależnym lub też układem
istnieje choć jeden skalar k różny od zera, k = 1, 2, . . . , n.
liniowo niezależnych wektorów, jeśli z równości
Twierdzenie
1f1 + 2f2 + � � � + nfn = 0
Układ wektorów f1, f2, . . . , fn przestrzeni liniowej V nad ciałem F jest
wynika, że liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest kombinacją
1 = 2 = � � � = n = 0 . liniową pozostałych.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 5 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 6 / 47
Wektory liniowo zależne Wyjaśnienie nazwy  liniowa zależność wektorów
Jeśli jeden wektor, np. f zależy od innych, np. f1, f2, . . . , fn zgodnie
Twierdzenie
z wyrażeniem
Układ wektorów f1, f2, . . . , fn przestrzeni liniowej V nad ciałem F jest
liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy w ciele F wśród skalarów
f = 1f1 + 2f2 + � � � + lfl + � � � + nfn ,
1, 2, . . . , n takich, że
przy czym skalary 1, 2, . . . , n są np. liczbami rzeczywistymi, to wektor f
1f1 + 2f2 + � � � + nfn = 0
zmienia się proporcjonalnie do zmian wektorów f1, f2, . . . , fn.
istnieje choć jeden różny od zera skalar k, k = 1, 2, . . . , n.
Niech np. zmienia się jedynie wektor fl. Jeśli jeszcze do tego wroli
wektorów wyobrazimy sobie po prostu liczby rzeczywiste, to otrzymamy
Twierdzenie
zależność
Układ wektorów f1, f2, . . . , fn przestrzeni V liniowej nad ciałem F jest
f = lfl + const ,
liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest kombinacją
liniową pozostałych. która jest równaniem linii prostej na płaszczyz
nie.
Wniosek
Dowód
To spostrzeżenie tłumaczy nazwę  liniowa zależność wektorów
Istotnie
1 2 k-1
k+1 n i w konsekwencji także nazwę  przestrzeń liniowa a także dziedziny
fk = - f1 - f2 -� � � - fk-1 - fk+1 -� � � - fn
nazywanej  algebrą liniową .
k k k k k
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 7 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 8 / 47
Twierdzenia o układach wektorów liniowo niezależnych Baza przestrzeni liniowej
Dowolny podukład układu wektorów liniowo niezależnych jest liniowo Definicja bazy
niezależny.
Układ liniowo niezależnych wektorów przestrzeni liniowej nazywamy bazą
Dowolny wektor niezerowy stanowi układ wektorów liniowo tej przestrzeni, jeśli dołączenie jakiegokolwiek wektora tej przestrzeni do
niezależnych. tego układu przekształca go w układ wektorów liniowo zależnych.
Wektor zerowy stanowi układ wektorów liniowo zależnych.
Twierdzenie
Dowolny układ wektorów liniowo niezależnych nie zawiera wektora
Każda przestrzeń liniowa ma bazę, przy czym baza może mieć skończoną,
zerowego.
a nawet nieskończoną liczbę elementów.
Wniosek
Wniosek
Uzupełnianie układu wektorów liniowo niezależnych o kolejne wektory
(nawet wzajemnie liniowo niezależne) może doprowadzić do powstania Każdy wektor przestrzeni liniowej można przedstawić za pomocą
układu wektorów liniowo zależnych. kombinacji liniowej wektorów bazy tej przestrzeni.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 9 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 10 / 47
Czym są wektory? Czym są wektory?
Ponieważ przy stałej bazie e1, e2, . . . , en w zapisie
Najprostsza odpowiedz
, która jednak niczego nowego nie wyjaśnia, to taka,
Ą# ń# Ą# ń#
że wektory są elementami grupy abelowej V, która nieprecyzyjnie bywa f1 e1
ó# Ą# ó# Ą#

nazywana przestrzenią liniową nad ciałem F , choć naprawdę przestrzenią f2 e2
ó# Ą# ó# Ą#
f = e1 e1 � � � en ó# . Ą# = f1 f2 � � � fn ó# . Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
liniową nad ciałem F jest zestaw (V, F , +, �).
. .
Ł# . Ś# Ł# . Ś#
Wez
my więc pod uwagę bazę e1, e2, . . . , en pewnej przestrzeni liniowej V
fn en
nad ciałem liczb rzeczywistych R. Każdy wektor f tej przestrzeni można
wektor f jest jednoznacznie określony przez zestaw liczb rzeczywistych
wyrazić jako
f1, f2, . . . , fn, nazywanych składowymi (lub elementami) wektora f, to
f = f1e1 + f2e2 + � � � + fnen ,
często (choć nie ściśle) wektory utożsamiamy z zestawami ich składowych
co symbolicznie zapisujemy także w następujący sposób
i zapisujemy
Ą# ń#
Ą# ń# Ą# ń#
f1
f1 e1 ó# Ą#

f2
ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
f2 e2
ó# Ą# ó# Ą# f = lub f = f1 f2 � � � fn
.
ó# Ą#
.
f = e1 e1 � � � en ó# . Ą# = f1 f2 � � � fn ó# . Ą#
Ł# . Ś#
ó# Ą# ó# Ą#
. .
Ł# . Ś# Ł# . Ś#
fn
fn en
Mówimy o wektorze kolumnowym i o wektorze wierszowym
odpowiednio w pierwszym i w drugim przypadku.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 11 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 12 / 47
Wektory na prostej, na płaszczyz
nie i w przestrzeni Graficzne wyobrażenie wektorów
Rozważmy kartezjańskie układy współrzędnych na prostej (oś liczbową),
Diabeł jest pojęciem abstrakcyjnym, ale na co dzień wygodnie jest
na płaszczyz
nie i w otaczającej nas przestrzeni. Jako bazy przyjmijmy
używać jakiegoś jego wyobrażenia, np.
odpowiednio
e =[1]
na osi liczbowej

1 0
e1 = oraz e2 =
0 1
Podobnie jest z wektorami. Wyobrażamy je sobie jako strzałki.
na płaszczyz
nie i
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
1 0 0
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
e1 = 0 , e2 = 1 oraz e3 = 0
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
0 0 1
w otaczającej nas przestrzeni.
Wniosek
Wektory to punkty odpowiednio prostej, płaszczyzny i przestrzeni.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 13 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 14 / 47
Graficzne wyobrażenie wektorów Graficzne wyobrażenie wektorów
Diabeł jest pojęciem abstrakcyjnym, ale na co dzień wygodnie jest Diabeł jest pojęciem abstrakcyjnym, ale na co dzień wygodnie jest
używać jakiegoś jego wyobrażenia, np. używać jakiegoś jego wyobrażenia, np.
Podobnie jest z wektorami. Wyobrażamy je sobie jako strzałki. Podobnie jest z wektorami. Wyobrażamy je sobie jako strzałki.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 15 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 16 / 47
Graficzne wyobrażenie wektorów Graficzne wyobrażenie wektorów
Diabeł jest pojęciem abstrakcyjnym, ale na co dzień wygodnie jest Diabeł jest pojęciem abstrakcyjnym, ale na co dzień wygodnie jest
używać jakiegoś jego wyobrażenia, np. używać jakiegoś jego wyobrażenia, np.
Podobnie jest z wektorami. Wyobrażamy je sobie jako strzałki. Podobnie jest z wektorami. Wyobrażamy je sobie jako strzałki.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 17 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 18 / 47
Graficzne wyobrażenie wektorów Graficzne wyobrażenie wektorów
Diabeł jest pojęciem abstrakcyjnym, ale na co dzień wygodnie jest Diabeł jest pojęciem abstrakcyjnym, ale na co dzień wygodnie jest
używać jakiegoś jego wyobrażenia, np. używać jakiegoś jego wyobrażenia, np.
Podobnie jest z wektorami. Wyobrażamy je sobie jako strzałki. Podobnie jest z wektorami. Wyobrażamy je sobie jako strzałki.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 19 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 20 / 47
Wektory w przyrodzie i w technice Kody kreskowe i ich odczytywanie
Popularne kody kreskowe
W przyrodzie wiele zjawisk wymaga opisu za pomocą wielkości
wektorowych. Wektorami są np.:
prędkość
przyspieszenie
natężenie pola elektrycznego
natężenie pola magnetycznego
można odczytywać za pomocą kamer skanujących linie
indukcja magnetyczna
i wiele innych
W technice szereg zagadnień rozwiązuje się stosując wektory:
wektorami są np. kody kreskowe złożone z liczb (cyfr dziesiętnych)
wektorami są sygnały tworzone przez kamery skanujące linie  takie
kamery mogą służyć do odczytywania kodów kreskowych
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 21 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 22 / 47
Kamery skanujące linie Kolor jako wektor
Kamera skanująca linie Kolorowa kamera skanująca linie może mieć trzy czujniki liniowe
rejestrujące trzy składowe koloru: R  składową czerwoną,
zawiera liniowy czujnik CMOS lub CCD, który rejestruje wektor
G  składową zieloną i B  składową niebieską. Kolor jest wektorem!
jaskrawości obserwowanej powierzchni wzdłuż określonej linii
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 23 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 24 / 47
Kolor jako wektor Podstawowe działania na wektorach
Kolor (barwa) jest punktem (wektorem) w trójwymiarowej przestrzeni
Rozważmy stałą  oraz wektory
barw. Na przykład, stosując współrzędne (R, G , B) i związaną z nimi bazę
Ą# ń# Ą# ń#
r, g, b, kolor c jest określony zależnością
v1 w1
Ą# ń#
ó# Ą# ó# Ą#
v2 w2
ó# Ą# ó# Ą#
R
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# v = i w =
. .
ó# Ą# ó# Ą#
. .
c = Rr + G g + Bb =[ r g b ] G
Ł# Ś#
Ł# . Ś# Ł# . Ś#
B
vm wm
Iloczynem wektora przez stałą i sumą obu wektorów są odpowiednio
wektory
Ą# ń# Ą# ń#
v1 v1 + w1
ó# Ą# ó# Ą#
v2 v2 + w2
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
v = i v + w =
. .
ó# Ą# ó# Ą#
. .
Ł# . Ś# Ł# . Ś#
vm vm + wm
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 25 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 26 / 47
Równoważne własności bazy Przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach
Definicja
Twierdzenie
Niech f1, f2, . . . , fm będą wektorami przestrzeni liniowej V. Przez
Niech e1, e2, . . . , en będzie układem wektorów przestrzeni liniowej V nad
ciałem F . Wówczas następujące warunki są równoważne:
span{f1, f2, . . . , fm}
układ wektorów e1, e2, . . . , en jest bazą przestrzeni V
oznacza się najmniejszą przestrzeń liniową zawierającą te wektory i nazywa
wektory e1, e2, . . . , en są liniowo niezależne a dowolny wektor f " V
się przestrzenią liniową rozpiętą na wektorach
jest ich kombinacją liniową
dowolny wektor f " V można jednoznacznie przedstawić w postaci
f1, f2, . . . , fm
kombinacji liniowej wektorów e1, e2, . . . , en
zbiór e1, e2, . . . , en jest minimalnym (co do liczby wektorów) układem
wektorów przestrzeni V takim, że każdy wektor f " V jest ich
Wniosek
kombinacją liniową.
Przestrzeń span{f1, f2, . . . , fm} jest podprzestrzenią przestrzeni V.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 27 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 28 / 47
Dalsze twierdzenia o bazach  wymiar przestrzeni liniowej Ernst Steinitz
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F i niech układ wektorów
a1, a2, . . . , an będzie jej bazą. Jeśli wektory b1, b2, . . . , bm tej przestrzeni
są niezależne, to m n.
Twierdzenie Steinitza o wymianie
Istnieje n - m wektorów ak, które łacznie z wektorami b1, b2, . . . , bm
tworzą bazę przestrzeni V.
Wniosek
Ernst Steinitz urodził się 13. czerwca 1871 r. w Siemianowicach Śląskich,
Jeśli n-elementowy układ wektorów jest bazą przestrzeni V, to każda jej
a zmarł 29. września 1928 r. w Kilonii. Studiował matematykę w Berlinie
baza ma n elementów (wektorów).
i we Wrocławiu, gdzie pracował od 1910 r. W roku 1920 przeniósł się do
Kilonii. Znana jest jego praca z 1910 r. zatytułowana  Algebraische
Definicja wymiaru przestrzeni
Theorie der K�rper (Algebraiczna teoria ciał), w której podał
Liczbę elementów skończonej bazy przestrzeni liniowej V nazywamy jej
abstrakcyjną definicję ciała. Steinitz był także autorem konstrukcji liczb
wymiarem i oznaczamy symbolem dim V. Jeśli przestrzeń ma bazę
wymiernych jako klasy równoważności względem relacji określonej na
nieskończoną to piszemy dim V = ". Jeśli przestrzeń zawiera tylko wektor
zbiorze par liczb całkowitych. Sformułował też twierdzenie, zwane dziś od
zerowy, V = {0}, to dim V = 0.
jego nazwiska twierdzeniem Steinitza o wymianie.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 29 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 30 / 47
Przestrzenie skończenie- i nieskończenie wymiarowe Warunki Dirichleta
Przykłady
Rozważmy funkcję okresową x(t) o okresie Ts. Definiuje się trzy
wektor zerowy tworzy 0-wymiarową przestrzeń {0}
następujące tzw. warunki Dirichleta:
prosta jest przestrzenią jednowymiarową
funkcja x(t) w przedziale równym okresowi jest bezwzględnie
płaszczyzna jest przestrzenią dwuwymiarową całkowalna, tzn.

-T /2
przestrzeń, w której jesteśmy znurzeni jest trójwymiarowa
|x(t)|dt < "
-T /2
funkcje okresowe x(t) o okresie Ts spełniające tzw. warunki Dirichleta
można rozłożyć na następujące szeregi Fouriera funkcja x(t) ma w przedziale jednego okresu skończoną liczbę
maksimów i minimów lokalnych,
"
a0
funkcja x(t) w przedziale jednego okresu ma skończoną liczbę
x(t) = + (ak cos k�st + bk sin k�st) ,
2
k=1 punktów nieciągłości pierwszego rodzaju1. Przyjmuje się, że w
punktach nieciągłości wartości funkcji są średnimi arytmetycznymi
przy czym
granic: lewo- i prawostronnej.
2Ą
�s = ,
Ts
1
O punkcie nieciągłości mówi się, że jest pierwszego rodzaju, jeżeli obie granice:
zatem tworzą one przestrzeń nieskończenie wymiarową.
lewostronna i prawostronna funkcji w tym punkcie są skończone.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 31 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 32 / 47
Jean Baptiste Joseph Fourier Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Jean Baptiste Joseph Fourier urodził się w marcu 1768 r. w Auxerre w
Departamencie Yonne we Francji. Jego ojciec był krawcem. W wieku
ośmiu lat został sierotą. Wychowywany był przez Benedyktynów, u których
pobierał nauki. Jako młodzieniec wziął czynny udział w rewolucji
francuskiej. Został wojskowym wykładowcą matematyki. W uznaniu zasług
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet urodził się 13. lutego 1805 r.
w 1795 r. otrzymał stanowisko w �cole Normale Sup�rieure a następnie w
wD�ren, a zmarł 5. maja 1859 r. w Getyndze. Był niemieckim
�cole Polytechnique. Jako żołnież armii Napoleona walczył na Bliskim
matematykiem francuskiego pochodzenia. Był wykładowcą uniwersytetów
Wschodzie. Fourier zmarł 16. maja 1830 r. Odkrycie szeregów Fouriera
we Wrocławiu, Berlinie i Getyndze. Jego prace dotyczą teorii liczb,
jest jednym z największych osiągnięć ludzkości!, choć ówcześni
szeregów liczbowych, analizy matematycznej, rachunku wariacyjnego
matematycy, włączając Laplace a i Lagrange a, uważali je za absurd, co
i fizyki teoretycznej. Udowodnił zbieżność szeregu Fouriera, wprowadzając
wyrażali, używając nawet niedyplomatycznych określeń.
tzw. warunki Dirichleta.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 33 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 34 / 47
Twierdzenia o podprzestrzeniach Suma i część wspólna podprzestrzeni
Jeśli przestrzeń liniowa V ma wymiar n, to każda jej podprzestrzeń Vs
Dalsze twierdzenia o podprzestrzeniach
ma wymiar nie większy niż n.
Jeśli V1 i V2 są podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V, to:
Jeśli dim Vs = dim V, to Vs = V.
podprzestrzenią jest również zbiór V1 + V2 złożony z wektorów v1 i
Jeśli Vs = V, to dim Vs = dim V.
v2, przy czym v1 " V1 i v2 " V2  jest to najmniejsza podprzestrzeń
przestrzeni V zawierająca podprzestrzenie V1 i V2.
Przykłady
podprzestrzenią jest również zbiór V1 )" V2 złożony z wektorów
Wektor zerowy jest 0-wymiarową podprzestrzenią 1-wymiarowej
należących jednocześnie do obu podprzestrzeni  jest to największa
przestrzeni wektorów leżących na prostej.
podprzestrzeń przestrzeni V zawarta jednocześnie w obu
podprzestrzeniach V1 i V2.
Obie są podprzestrzeniami płaszczyzny (przestrzeni 2-wymiarowej), na
której leżą.
jeśli podprzestrzenie V1 i V2 mają skończone wymiary, to
Wszystkie są zaś podprzestrzeniami przestrzeni 3-wymiarowej, w
dim V1 + dim V2 = dim (V1 + V2) +dim (V1 )" V2)
której są zanurzone.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 35 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 36 / 47
Suma prosta podprzestrzeni Liniowe przekształcenie przestrzeni liniowych
Niech układ wektorów
Definicja
e1, e2, . . . , en
Niech V1 i V2 będą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Jeżeli
V = V1 + V2 i V1 )" V2 = {0}, to mówimy, że przestrzeń V1 jest sumą będzie bazą n-wymiarowej przestrzeni liniowej V, a układ wektorów
prostą podprzestrzeni V1 i V2, co zapisujemy jako V = V1 �" V2 Każdy ze
f1, f2, . . . , fm
składników nazywamy dopełnieniem drugiego.
bazą m-wymiarowej przestrzeni liniowej W nad tym samym ciałem F .
Twierdzenie
Rozważmy przekształcenie przestrzeni V na przestrzeń W
Jeśli wymiary V1 i V2 są skończone, to poniższe warunki są równoważne:
V = V1 �" V2
T : V W
każdy wektor v " V ma jednoznaczne przedstawienie jako
Zakładamy, że jest to przekształcenie liniowe tzn.
v = v1 + v2, przy czym v1 " V1 i v2 " V2
jeśli układ wektorów f1, f2, . . . , fk jest bazą przestrzeni V1, a układ
"x"V T (ąx) =ąT (x)
wektorów g1, g2, . . . , gl jest bazą przestrzeni V2, to układ wektorów
f1, f2, . . . , fk, g1, g2, . . . , gl tworzy bazę przestrzeni V oraz
"x,y"V T (x + y) =T (x) +T (y)
V = V1 + V2 i dim V = dim V1 + dim V2
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 37 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 38 / 47
Przekształcenie przestrzeni w siebie i na siebie Przekształcenie wektora
W szczególnym przypadku przekształcenia przestrzeni V wsiebie m n, Niech
Ą# ń#
zaś przy przekształceniu jej na siebie
�1
ó# Ą#
�2
T : V V ó# Ą#
ó# Ą#
x = �1e1 + �2e2 + � � � + �nen =[ e1 e2 � � � en ]
.
ó# Ą#
.
m = n. Jeszcze bardziej szczególny przypadek to przekształcenie Ł# . Ś#
tożsamościowe T (�), tj. takie, które spełnia warunek "x"VT (x) =x. �n
Wówczas bazę
będzie dowolnym wektorem przestrzeni V. Obraz T (x) wektora x
e1, e2, . . . , en
w przestrzeni W to
nazywamy starą bazą, a bazę Ą# ń#
ś1
f1, f2, . . . , fm , m = n ó# Ą#
ś2
ó# Ą#
ó# Ą#
T (x) =ś1f1 + ś2f2 + � � � + śmfm =[ f1 f2 � � � fm ]
.
ó# Ą#
nową bazą. Przekształcenie tożsamościowe polega więc jedynie na zmianie
.
Ł# . Ś#
bazy ze starej na nową.
śm
Uwaga
Ponadto z liniowości przekształcenia T (�) wynika, że
Dla wygody, choć nie jest to w pełni ścisłe (bo nowa baza może być starą),
T (x) =�1T (e1) +�2T (e2) +� � � + �nT (en)
pojęcia starej i nowej bazy będziemy używali także w przypadku ogólnym.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 39 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 40 / 47
Obraz bazy przy przekształceniu przestrzeni Obraz wektora przy przekształceniu przestrzeni
Oznaczmy przez ą1i ą2i ąmi
, , . . . , współczynniki obrazów T (ei) wektorów
starej bazy ei, i = 1, 2, . . . , n, wnowej bazie. Wracając do zapisu wynikającego z liniowości przekształcenia
Ą# ń#
ą1i
T (x) =�1T (e1) +�2T (e2) +� � � + �nT (en)
ó# Ą#
ó# ą2i
Ą#
Ą# ń#
ó# Ą#
T (ei) =ą1i ą2i ąmi .
f1 + f2 + � � � + fm =[ f1 f2 � � � fm ]
ó# Ą#
. �1
Ł# . Ś#
ó# Ą#
�2
ó# Ą#
ąmi
ó# Ą#
=[ T (e1) T (e2) � � � T (en) ]
.
ó# Ą#
.
Ł# . Ś#
Wprowadzając tzw. macierz przekształcenia
�n
Ą# ń#
ą11 ą12 ą1n
� � �
ó# Ą# otrzymuje się
Ą# ń#
� � �
ó# ą21 ą22 ą2n
Ą#
ó# Ą#
�1
A =
. . .
.
ó# Ą#
. . . .
ó# Ą#
.
Ł# . . . Ś#
�2
ó# Ą#
ó# Ą#
T (x) =[ f1 f2 � � � fm ] A
ąm1 ąm2 ąmn ó# Ą#
� � � .
.
Ł# . Ś#
obraz starej bazy w nowej bazie możemy zapisać w zwartej formie
�n
[ T (e1) T (e2) � � � T (en) ] =[ f1 f2 � � � fm ] A
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 41 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 42 / 47
Macierz przekształcenia Interpretacja przekształcenia przestrzeni na siebie
Porównując wyrażenia W szczególnym przypadku przekształcenia tożsamościowego otrzymujemy
Ą# ń#
�1
[ e1 e2 � � � en ] =[ f1 f2 � � � fn ] A
ó# Ą#
�2
ó# Ą#
ó# Ą#
Wniosek
T (x) =[ f1 f2 � � � fm ] A
.
ó# Ą#
.
Ł# . Ś#
Kolumny macierzy przekształcenia A to współrzedne wektorów starej bazy
�n
wyrażone w nowej bazie.
Ą# ń#
ś1
ó# Ą#
Ponadto współrzędne wektora x wnowej bazie to
ś2
ó# Ą#
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó# Ą#
T (x) =ś1f1 + ś2f2 + � � � + śmfm =[ f1 f2 � � � fm ]
.
ó# Ą#
ś1 �1 ą11 ą12 ą1n
� � � �1
.
Ł# . Ś#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ś2 �2 � � � �2
ó# Ą# ó# Ą# ó# ą21 ą22 ą2n
Ą# ó# Ą#
śm
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
= A =
. . . . . .
.
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
. . . . . . .
.
Ł# . Ś# Ł# . Ś# Ł# . . . Ś# Ł# . Ś#
wnioskujemy, że
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
śn �n ąn1 ąn2 ąnn
� � � �n
ś1 �1 ą11 ą12 ą1n
� � � �1
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ś2 �2 � � � �2
ó# Ą# ó# Ą# ó# ą21 ą22 ą2n
Ą# ó# Ą# Wniosek
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
= A =
. . . . . .
.
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
. . . . . . .
Kolumna współrzędnych wektora w nowej bazie to macierz przekształcenia
.
Ł# . Ś# Ł# . Ś# Ł# . . . Ś# Ł# . Ś#
pomnożona przez kolumnę współrzędnych tego wektora w starej bazie.
śm �n ąm1 ąm2 ąmn
� � � �n
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 43 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 44 / 47
Macierz odwrotna do macierzy przekształcenia Rzutowanie przestrzeni
Definicja
W przypadku przekształcenia tożsamościowego istnieje macierz odwrotna
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem F i niech
A-1 do macierzy przekształcenia A. Ponadto ze wzoru
T : V W będzie przekształceniem liniowym.
Obrazem przekształcenia T nazywamy przestrzeń liniową
[ e1 e2 � � � en ] =[ f1 f2 � � � fn ] A
img T = {w " W : w = T (v), v " V}
wynika, że
Jądrem przekształcenia T nazywamy przestrzeń liniową
[ f1 f2 � � � fn ] =[ e1 e2 � � � en ] A-1
ker T = {v " V : T (v) =0}
Wniosek
Twierdzenie
Kolumny macierzy A-1 odwrotnej do macierzy przekształcenia A to
Niech wymiar przestrzeni V będzie skończony. Jeśli T : V W jest
współrzedne wektorów nowej bazy wyrażone w starej bazie.
przekształceniem liniowym, to
dim V = dim img T + dim ker T
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 45 / 47 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 46 / 47
Zmiany bazy przestrzeni barw
5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0 50 100 150 200 250 300
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0 50 100 150 200 250 300
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0 50 100 150 200 250 300
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 47 / 47