Przestrzenie wektorowe Kn. ALzG1. Rok akademicki 2013/2014. Wydział MiNI PW
Zadanie 4.1. Niech n " N. W przestrzeni wektorowej Cn nad ciałem C przeprowadzić następujące działa-
nia
(1, 2, 3, . . . , n) + (2i, 4i, . . . , 2n · i) i · (1 + i, 1 - i, . . . , 1 + (-1)n+1 · i)
Zadanie 4.2. Rozstrzygnąć, który z podanych zbiorów wektorów jest podprzestrzenią odpowiedniej prze-
strzeni wektorowej:
(a) wektory płaszczyzny o początku w punkcie (0, 0), których końce leżą na jednej z dwóch prostych
przecinajÄ…cych siÄ™ w (0, 0),
(b) wektory płaszczyzny o początku w punkcie (0, 0), których końce leżą na danej prostej,
(c) wektory płaszczyzny o początku w punkcie (0, 0), których końce nie leżą na danej prostej,
(d) wektory płaszczyzny o początku w punkcie (0, 0), których końce leżą w pierwszej ćwiartce,
(e) wektory przestrzeni Rn nad R, których współrzędne są liczbami całkowitymi,
(f) wektory przestrzeni Kn nad ciałem K, które są rozwiązaniami ustalonego układu równań liniowych o
n niewiadomych i współczynnikach z ciała K.
Zadanie 4.3. Wykazać, że podane zbiory wektorów przestrzeni Kn nad ciałem K są podprzestrzeniami:
(a) wektory, których pierwsza i ostatnia współrzędne są sobie równe,
(b) wektory, których współrzędne o parzystych wskaz
nikach są równe 0,
(c) wektory, których współrzędne o parzystych wskaz
nikach są sobie równe,
(d) wektory postaci (x, y, x, y, . . .),
(e) wektory będące rozwiązaniami jednorodnego układu równań.
Zadanie 4.4. Wyznaczyć bazę i wymiar powłoki liniowej następującego układu wektorów S:
(a) S = ((1, 0, 0, 1), (2, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3)) w R4 nad R,
(b) S = ((1, 1, 1, 1, 0), (1, 1, -1, -1, -1), (2, 2, 0, 0, -1), (1, 1, 5, 5, 2), (1, -1, -1, 0, 0)) w R5 nad R.
Zadanie 4.5. Wyznaczyć bazę i wymiar wszystkich podprzestrzeni rozważanych w Zadaniu 4.3.
Zadanie 4.6. Niech V będzie przestrzenią wektorową Kn nad ciałem K oraz niech W1 i W2 będą jej pod-
przestrzeniami. Zdefiniujmy zbiór W1 + W2 = {w1 + w2 | w1 " W1, w2 " W2}. Udowodnić, że:
(a) zbiór W1 + W2 jest podprzestrzenią przestrzeni V ,
(b) jeśli W1 ą" W2, to dim W1 d" dim W2, przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy W1 = W2,
(c) jeśli dim(W1 + W2) = 1 + dim(W1 )" W2), to suma W1 + W2 jest równa jednej z tych podprzestrzeni a
przecięcie W1 )" W2 - drugiej,
(d) jeśli dim W1 + dim W2 > dim V = n, to W1 )" W2 = {0}.

Zadanie 4.7. Niech U, V, W będą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej Kn nad K.
(a) Czy jest prawdą, że U )" (V + W ) = (U )" V ) + (U )" W )?
(b) Udowodnić, że powyższa równość jest spełniona jeśli V ą" U.
Zadanie 4.8. Niech V będzie przestrzenią liniową Rn nad ciałem R oraz niech V1, V2, . . . , Vk będą jej pod-
przestrzeniami takimi, że
V = V1 *" V2 *" . . . *" Vk.
Pokazać, że V = Vi dla pewnego i = 1, . . . , k.
1