OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6. OBWODY LINIOWE PR
DU SINUSOIDALNEGO
6.1. SYGNAA
Y HARMONICZNE
W grupie przebiegów okresowych szczególne znaczenie mają sygnały
harmoniczne, tzn. cosinusoidalne i sinusoidalne. Ponieważ jednak
sin(�t + Ą 2)= cos �t ,
nazwiemy je ogólnie sinusoidalnymi (sinusoidalnie-zmiennymi).
Sygnałami harmonicznymi nazywamy sygnały, których przebieg
jest sinusoidalną funkcją czasu
Załóżmy, że rozpatrujemy sygnał sinusoidalny w postaci napięcia:
u(t) = Um sin(� t +�u ) (6.1)
u(t)
W czasie odpowia-
T
dającym jednemu
okresowi faza na-
U
m
pięcia zmienia się o
t
T/2
2Ą, tzn. �T = 2Ą .
Na rys. na osi od-
Ą 2Ą
�t
�u 0
ciętych oznaczono
skalę czasu i skalę
kątową.
gdzie: u(t) - wartość chwilowa napięcia;
Um - wartość maksymalna napięcia (nazywana amplitudą);
�u - początkowy kąt fazowy, faza początkowa napięcia w
chwili t = 0;
� t +�u - kąt fazowy, faza napięcia w chwili t;
� =2Ą f - pulsacja (częstotliwość kątowa) mierzona w rad/s;
f =1/T - częstotliwość mierzona w Hz, będąca odwrotnością
okresu.
dr inż. Marek Szulim
1 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
Wartość średnia półokresowa napięcia sinusoidalnego wynosi
zgodnie ze wzorem (1.6)
T / 2 T / 2
2 2 2
Uśr =
m
+"u(t)dt = +"U sin� t dt = Um H" 0,637 Um (6.2)
T T Ą
0 0
Wartość skuteczna napięcia sinusoidalnego jest równa wg. (1.8)
T T
1 1 Um
2 2
U =
m
+"u (t) dt = +"U sin2 � t dt = H" 0,707Um (6.3)
T T 2
0 0
Oznacza to, że równanie opisujące napięcie harmoniczne możemy przed-
stawić jako
u(t) = Um sin(� t +�u )= U 2 sin(� t +�u )
(6.4)
dr inż. Marek Szulim
2 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6.2. SYGNAA
WYKA
ADNICZY
Funkcja wykładnicza pełni wyjątkową rolę, ponieważ
" każdy sygnał występujący w praktyce może być zawsze wyrażo-
ny w postaci sumy funkcji wykładniczych;
" w przypadku obwodów liniowych odpowiedz
obwodu na wymu-
szenie wykładnicze jest także wykładnicza.
Przyjmijmy, że sygnał wykładniczy ma postać:
s t
x(t) = Ae dla t "(- ",+") (6.5)
Współczynnik s występujący w wykładniku jest zespolony
s = � + j� (6.6)
(� + j� )t � t j� t
a zatem x(t) = Ae = Ae e (6.7)
Rozpatrzmy szczególne przypadki w zależności od wartości s.
1. Jeżeli s jest liczbą rzeczywistą (tzn. � = 0) wtedy
� t
x(t) = Ae
i ma charakter zależny od wartości �
a) gdy � < 0, sygnał x(t) ma charak-
x(t)
ter monotonicznie malejącej funk-
� > 0
cji czasu;
A � = 0
b) gdy � = 0, sygnał x(t) jest sygna-
łem stałym o wartości A;
� < 0
c) gdy � > 0, sygnał x(t) ma charak-
t
ter monotonicznie rosnącej funkcji
0
czasu.
dr inż. Marek Szulim
3 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
2. Jeżeli s jest liczbą urojoną (tzn. � = 0) wtedy
j� t
x(t) = Ae
sygnał x(t) może być interpretowany na płaszczyz
nie zmiennej ze-
spolonej za pomocą tzw. wektora wirującego
obracającego się z prędkością kątową �
Im
w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara. Położenie tego
�
wektora na płaszczyz
nie w danej chwili
t określone jest za pomocą kąta �t.
Re
�t
0
t =0
A
j� t
Czynnik e spełnia rolę operatora
obrotu,
natomiast A jest modułem wektora.
Uwzględniając wzór Eulera
j�
e = cos�t + j sin�t (6.8)
można wektor wirujący wyrazić za pomocą dwóch składowych
j�
x(t) = Ae = Acos�t + j Asin�t (6.9)
Część rzeczywista wektora wirującego przed-
Wynika stąd, że naj-
stawia sygnał o charakterze cosinusoidalnym
częściej spotykane
j� t
przebiegi wielkości
Re[Ae ] = Acos�t (6.10)
elektrycznych
Część urojona wektora wirującego przed- stanowią szczególne
stawia sygnał o charakterze sinusoidalnym
przypadki sygnału
o charakterze
j� t
Im[Ae ] = Asin�t (6.11)
wykładniczym.
dr inż. Marek Szulim
4 /27
e-mail: [e-mail]
�
j
t
e
A
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6.3. OPIS SYMBOLICZNY SYGNAA
U HARMONICZNEGO
Rozpatrzmy ponownie sygnał sinusoidalny w postaci napięcia (6.1):
u(t) = Um sin(� t +�u )
Związek pomiędzy wektorem wirującym na płaszczyz
nie zmiennej
zespolonej a rozpatrywanym sygnałem sinusoidalnym można następująco
interpretować graficznie
Im u(t)
�
u(0)
U
m
u(0)
t
Re
�u
0
�t
�u 0
U
m
T
Wartość chwilowa napięcia w chwili t = 0 wynosi
u(0) = Um sin�u (6.12)
W chwili tej wektor wirujący o amplitudzie Um jest nachylony względem
osi liczb rzeczywistych pod kątem �u . Rzut tego wektora na oś liczb uro-
jonych wynosi u(0), czyli wartość chwilowa sygnału sinusoidalnego jest
równa rzutowi wektora wirującego na oś liczb urojonych.
Analitycznie można to ująć, zgodnie z zależnością (6.11), następująco:
dla każdej chwili t
j (� t +�u )
u(t)= Um sin(� t +�u )= Im[Um e ] = Im[u(t)]
(6.13)
dr inż. Marek Szulim
5 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
Sygnał sinusoidalny:
u(t) = Um sin(�t +�u ) = 2 U sin(�t +�u )
amplituda
(rzeczywista) wartość skuteczna
(wartość max.)
wartość chwilowa
posiada następującą POSTAĆ SYMBOLICZN

(symboliczną wartość chwilową)
j(�t+�u ) j�u j�t j�u j�t
u(t) = Um e = Um e e = 2 U (6.14)
1 3 1e e
424 23
Um
U
symboliczna wartość skuteczna
symboliczna amplituda
/wskaz wartości skutecznej/
/postać zespolona amplitudy/
/wskaz amplitudy/
j(�t +�u ) j�t j�t
Czyli: u(t) = Um e = U e = 2U e (6.15)
m
UWAGI:
" nie zachodzi równość u(t) `" u(t) tylko odpowiedniość u(t)= u(t)
Ć
u(t)- u*(t)
" natomiast: u(t)= = Im[u(t)] (6.16)
2 j
" Metoda symboliczna zapisu przebiegów sinusoidalnych pozwala
traktować je jako przebiegi wykładnicze.
dr inż. Marek Szulim
6 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
PRZYKA
AD 6.1
Dla (RZECZYWISTEJ) wartości chwilowej napięcia
u(t)= 282 sin(314t + 30o)V
Amplituda: Um = 282V
Wartość skuteczna:
Um 282
U = = = 200V
2 1,41
rad
Pulsacja � = 314
s
ponieważ � = 2Ą f
� 314
stąd częstotliwość f = = = 50 [Hz]
2Ą 2 �"3,14
1 1 1
Jeśli f = zatem okres T = = = 0,02 [s]
T f 50
Faza początkowa �u = 30o
Ą
inaczej �u = 30o = 0,524 rad
180o
Jej SYMBOLICZNA wartość chwilowa wynosi:
j (�t +�u ) j(314t +30o)V
u(t) = Um e = 282e
j�u j 30o
Symboliczna amplituda: U = Um e = 282e V
m
Um j�u
j�u j 30o
Symboliczna wartość skuteczna: U = e = U e = 200e V
2
dr inż. Marek Szulim
7 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6.4. ZWI
ZKI POMI
DZY NAPI
CIEM I PR
DEM
DLA ELEMENTÓW R, L, C
REZYSTOR
Przy występowaniu prądu harmonicznego
i(t) = Im sin(� t +�i ) (6.17)
w rezystorze o rezystancji R, na jego zaciskach pojawi się napięcie
u(t) = Ri(t) = R Im sin(� t +�i )= Um sin(� t +�u ) (6.18)
przy czym amplituda przebiegu napięcia
Um = R Im (6.19)
a faza początkowa
�u =�i (6.20)
Czyli przesunięcie fazowe � między przebiegami u(t) i i(t) wynosi zero.
� =�u -�i = 0 (6.21)
i(t),u(t)
Napięcie na zaciskach
idealnego rezystora
U
m
jest w fazie z prądem
I
m
�t
�i 0
�u
dr inż. Marek Szulim
8 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
W POSTACI SYMBOLICZNEJ
Symboliczna wartość chwilowa prądu
j�t j�i
i(t) = I e gdzie I = Im e (6.22)
m m
napięcia
j�t j�t
u(t) = R i(t) = R I e = U e (6.23)
m m
Zatem
U = R I (6.24)
m m
co oznacza, że zgodnie z (6.15)
U = R I I = GU
(6.25)
Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładni-
czej, otrzymujemy
j�u j�i
U e = R I e (6.26)
Z przyrównania modułów w wyrażeniu (6.26) znajdujemy
U = R I I = G U
(6.27)
�u =�i
a z przyrównania argumentów (6.28)
U
Pomnożenie wskazu I przez R po-
woduje wydłużenie/skrócenie tego
wskazu R razy. Wobec tego wskaz
I
napięcia U = R I znajduje się na tej
�u=�i
samej prostej co wskaz I
dr inż. Marek Szulim
9 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
CEWKA INDUKCYJNA
Przy przepływie prądu w cewce idealnej o indukcyjności L napięcie na
jej zaciskach wyraża zależność (2.17)
di(t)
u(t) = L
dt
Przyjmując, że w cewce występuje prąd harmoniczny
i(t) = Im sin(� t +�i ) (6.29)
napięcie na cewce wynosi
Ą
ś#
u(t) = � L Im sin�#� t +�i + = Um sin(� t +�u )(6.30)
ś# ź#
2
�# #
Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu napięcia
Um = � L Im (6.31)
Ą
natomiast faza początkowa �u =�i + (6.32)
2
Czyli przesunięcie fazowe � między przebiegami u(t) i i(t) cewki in-
dukcyjnej wynosi:
Ą
� =�u -�i = (6.33)
2
u(t),i(t)
Napięcie na zaciskach
idealnej cewki
wyprzedza prąd
o 90o
0
�t
�u �i
Ą/2
dr inż. Marek Szulim
10 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
Dla cewki indukcyjnej - symboliczna wartość chwilowa prądu
j�t j�i
i(t) = I e gdzie I = Im e (6.34)
m m
napięcia
di(t)= j� L I e = U e j�t
j�t
u(t) = L (6.35)
m m
dt
Zatem
U = j� L I (6.36)
m m
co oznacza, że
1
U = j�L I I = U
lub (6.37)
j�L
Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładni-
czej, otrzymujemy
Ą
�#� ś#
j +
ś# ź#
i
j�u
2
�# #
U e = � L I e (6.38)
Z przyrównania modułów w wyrażeniu (6.38) znajdujemy
1
U = � L I = X I I = U = BLU
(6.39)
L
� L
reaktancja indukcyjna susceptancja indukcyjna
Ą
�u =�i +
a z przyrównania argumentów (6.40)
2
Pomnożenie wskazu I przez j�L
U
powoduje wydłużenie/skrócenie
�=Ą/2
wskazu I i jego obrót o 90o  w
przód
Ą
I
�
� =�u -�i =
u
2
�
i
dr inż. Marek Szulim
11 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
PRZYKA
AD 6.2
L
Obliczyć rzeczywistą wartość chwilową
i (t)
L
prądu płynącego przez cewkę o indukcyjności
L=0,2H, gdy
u (t)
L
uL(t)= 141sin(100t + 40o)V
j 40o
Symboliczna amplituda napięcia: U = 141e V
Lm
141
j 40o j 40o
Symboliczna wartość skuteczna napięcia: U = e = 100 e [V ]
L
2
Reaktancja indukcyjna: X = �L = 100 �" 0,2 = 20[�]
L
1 1 1
Susceptancja indukcyjna: BL = = = = 0,05[S]
�L X 20
L
Zgodnie z (6.37)
j 40o j 40o
1 U 100 e 100 e 100
j(40o -90o)
L
I = U = = = = e = 5e- j 50o
L L
j 90o
j�L jX j20 20
L 20 e
inaczej
1 1
I = U = - j U = - jBLU =
L L L L
j�L �L
j 40o j 40o j(-90o +40o)
= - j0,05�"100 e = 0,05 e- j 90o �"100 e = 5 e = 5e- j 50o
Czyli symboliczna amplituda prądu: I = 5 2 e- j 50o [A]
Lm
Stąd rzeczywista wartość chwilową prądu
iL(t) = 5 2 sin(100t - 50o)A
dr inż. Marek Szulim
12 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
KONDENSATOR
Gdy istnieje napięcie u(t) na zaciskach idealnego kondensatora o po-
jemności C, to prąd płynący przez kondensator opisuje zależność (2.13)
du(t)
i(t) = C
dt
Przyjmując, że na zaciskach kondensatora występuje napięcie
u(t)= Um sin(� t +�u ) (6.41)
prąd płynący przez kondensator wynosi
Ą
ś#
i(t) = �CUm sin�#� t +�u + = Im sin(� t +�i )(6.42)
ś# ź#
2
�# #
Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu prądu
Im = �CUm (6.43)
Ą
natomiast faza początkowa �i =�u + (6.44)
2
Zatem przesunięcie fazowe � między przebiegami u(t) i i(t) kondensa-
tora wynosi:
Ą
� =�u -�i = - (6.45)
2
Prąd płynący przez
u(t),i(t)
idealny kondensator
wyprzedza napięcie
o 90o
0
�t
�i �u
Ą/2
dr inż. Marek Szulim
13 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
Dla kondensatora - symboliczna wartość chwilowa napięcia
j�t j�i
u(t) = U e gdzie U = Um e (6.46)
m m
prądu
du(t)= j�CU e = I e j�t
j�t
i(t)= C (6.47)
m m
dt
Zatem
I = j�CU (6.48)
m m
co oznacza, że
1
I = j�CU U = I
lub (6.49)
j�C
Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładni-
czej, otrzymujemy
Ą
�#� ś#
j +
ś# ź#
u
j�i
2
�# #
I e = �C U e (6.50)
Z przyrównania modułów, znajdujemy
1
I = �C U = BCU U = I = XC I
(6.51)
�C
susceptancja pojemnościowa reaktancja pojemnościowa
Ą
�i =�u +
a z przyrównania argumentów (6.52)
2
I
Pomnożenie wskazu I przez
�=-Ą/2
1/j�C powoduje wydłuże-
nie/skrócenie wskazu I i jego
obrót o 90o  wstecz
U
�i
Ą
� =�u -�i = -
�u
2
dr inż. Marek Szulim
14 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6.5. PODSTAWOWE PRAWA W POSTACI ZESPOLONEJ
Prawo Ohma
Symboliczna wartość skuteczna napięcia U dwójnika
równa się iloczynowi impedancji dwójnika Z i wartości
skutecznej prądu I w nim płynącego:
U = Z I
(6.53)
Impedancja (opór zespolony) Z charakteryzuje przewodnictwo elek-
tryczne dwójnika przy przepływie prądu sinusoidalnego.
Podstawiając w (6.53) symboliczne wartości skuteczne w postaci wy-
kładniczej, otrzymujemy
j�u
U U e U
j (�u -�i )
Z = = = e (6.54)
j�i
I I
I e
U
czyli: Z = , arg Z = (�u -�i )= � (6.55)
I
j�
Z = Z e Z = R + j X
Zatem (6.56)
rezystancja reaktancja
Im
Impedancję Z można przedsta-
Z
wić geometrycznie na płasz-
X
czyz
nie zmiennej zespolonej za
pomocą trójkąta impedancji.
�
Re
R
dr inż. Marek Szulim
15 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
Prawo Ohma można także przedstawić następująco:
Symboliczna wartość skuteczna prądu I płynącego przez
dwójnik równa się iloczynowi admitancji dwójnika Y
i wartości skutecznej napięcia U na jego zaciskach:
I = Y U
(6.57)
Admitancja (przewodność zespolona  jej jednostką jest simens S) dwój-
nika równa się odwrotności jego impedancji:
1
Y = (6.58)
Z
co oznacza, że
1 1
Y = = e- j� (6.59)
j�
Z
Z e
1 I
czyli: Y = = , argY = -� (6.60)
Z U
Y = Y e- j� Y = G + j B
Zatem (6.61)
konduktancja susceptancja
Im
Admitancję Y można przedsta-
Y
wić geometrycznie na płasz-
B
czyz
nie zmiennej zespolonej za
pomocą trójkąta admitancji.
-�
Re
G
dr inż. Marek Szulim
16 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa (PPK)
Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych
prądów in(t) we wszystkich gałęziach dołączonych do jed-
nego, dowolnie wybranego węzła obwodu jest w każdej
chwili czasu równa zeru:
n
� k ik (t) = 0
(6.62)
"
t
k =1
gdzie: k = ą1 ( + jeśli prąd elektryczny ma zwrot do węzła;  - jeśli zwrot
jest przeciwny, od węzła)
Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (6.62a) oraz sym-
bolicznych wartości skutecznych (6.62b) odpowiednich prądów:
n n
k I = 0 (6.62a) k I = 0 (6.62b)
m k k
" "
k =1 k =1
PRZYKA
AD 6.3
Znane są symboliczne wartości skuteczne
prądów
j 0o
I 2
I1 = 1 e
I 1
j 90o
I = 3 e
2
I 3
I 4
- j 45o
I = 2 2 e
3
Obliczyć prąd I
4
Zgodnie z (6.62b) : I1 - I - I - I = 0
2 3 4
j 0o j 90o - j 45o
zatem I = I1 - I - I = 1 e - 3 e - 2 2 e
4 2 3
= 1 - j 3 - (2 - j 2) = 1 - j 3 - 2 + j 2 = -1- j1
- j135o
= 2 e
dr inż. Marek Szulim
17 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK)
Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych
napięć un(t) na wszystkich elementach, tworzących dowol-
nie wybrane oczko obwodu jest w każdej chwili czasu rów-
na zeru:
n
� �k uk (t) = 0
(6.63)
"
t
k =1
gdzie: �k = ą1 ( + jeśli zwrot napicia jest zgodny z przyjętym za dodatni kie-
runkiem obiegu oczka;  - jeśli jest przeciwny)
Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (6.63a) oraz sym-
bolicznych wartości skutecznych (6.63b) odpowiednich napięć
n n
�kU = 0 (6.63a) �kU = 0 (6.63b)
m k k
" "
k =1 k =1
PRZYKA
AD 6.4
Dla (6.63) u1(t)- u2(t)+ u3(t)+ u4(t)- u5(t)= 0
Dla (6.63a) U -U +U +U -U = 0
m1 m2 m3 m4 m5
Dla (6.63b) U1 -U +U +U -U = 0
2 3 4 5
dr inż. Marek Szulim
18 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6.6. POA

CZENIA DWÓJNIKÓW
Połączenie SZEREGOWE n dwójników
n
U = U1 +U +K+U = Z1 I + Z I +K+ Z I =
2 n 2 n k
"Z I = Z I (6.64)
k =1
n
Z = (6.65)
k
"Z
k =1
Połączenie RÓWNOLEGA
E n dwójników
n
I = I1 + I +K+ I = Y1U + Y U +K+ Y U =
2 n 2 n k
"Y U = Y U (6.66)
k =1
n n
1
Y = (6.67)
k
"Y lub Z = "Z1
k
k =1 k =1
dr inż. Marek Szulim
19 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6.7. POA

CZENIA ELEMENTÓW R, L C
Obwód SZEREGOWY RLC
RLC
Wartość
impedancji elementu napięcia na elemencie
Z = R U = R I
R
R R
Z = j� L = j X U = j� L I = jX I
L
L L L L
1 1 1
Z = - j = - j XC U = I = - j I = - jXC I
C
C C
�C j�C �C
Ponieważ
Ą# ń#
�# 1 ś#
U = Z I = + jś#� L - ź#Ą# I = [R + j(X - XC )]I = (R + jX )I (6.68)
ó#R L
ś# ź#
�C
�# #
Ł# Ś#
Zatem:
2
�# 1 ś#
2
Z = R2 + ś#�L - ź# = R2 + (X - XC )2 = R2 + X (6.69)
L
ś# ź#
�C
�# #
1
�#�L - ś#
ś# ź#
�C X - XC X
ś#
ź#
arg Z = � = arctgś# = arctg�# L = arctg�# ś# (6.70)
ś# ź# ś# ź#
ś# ź#
R R R
�# # �# #
ś# ź#
�# #
dr inż. Marek Szulim
20 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
W zależności od parametrów L i C oraz częstotliwości, reaktancja X
we wzorze (6.68) X = X - XC może być:
L
a) X > 0 gdy X > XC
L
wówczas � > 0, napięcie wyprzedza prąd
obwód ma charakter indukcyjny
b) X = 0 gdy X = XC
L
wówczas � = 0, napięcie i prąd są w fazie
obwód ma charakter rezystancyjny
c) X < 0 gdy X < XC
L
wówczas � < 0 , napięcie opóz
nia się względem prądu
obwód ma charakter pojemnościowy
a) b) c)
U U U
L C L
U UC
L
U
�>0
I I I
U
U=
U
R
R
U
R
�<0
U
C
U
Z
jX
�>0
R
R
�<0
jX
Z
dr inż. Marek Szulim
21 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
Obwód RÓWNOLEGA
Y RLC
RL C
Wartość
admitancji elementu prądu w elemencie
Y = G I = GU
R
R R
1 1 1 1
Y = - j = - jBL = - j I = U = - j U = - jBL U
L
L L
� L X j� L � L
L
1
Y = j�C = jBC = j
I = j�CU = jBC U
C
C
C
XC
Ponieważ
Ą# ń#
�# 1 ś#
I = Y U = + jś#�C - ź#Ą#U = [G + j(BC - BL )]U = (G + jB)U (6.71)
ó#G
ś# ź#
� L
�# #
Ł# Ś#
Zatem:
2
�# 1 ś#
Y = G2 + ś#�C - ź# = G2 + (BC - BL)2 = G2 + B2 (6.72)
ś# ź#
� L
�# #
1
�#�C - ś#
ś# ź#
�L BC - BL B
ś#
ź#
argY = arctgś# = arctg�# = arctg�# ś# (6.73)
ś# ź# ś# ź#
ś# ź#
G G G
�# # �# #
ś# ź#
�# #
dr inż. Marek Szulim
22 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
W zależności od parametrów L i C oraz częstotliwości, susceptancja B
we wzorze (6.71) B = BC - BL może być:
a) B > 0 gdy BC > BL
wówczas � < 0 , prąd wyprzedza napięcie
obwód ma charakter pojemnościowy
b) B = 0 gdy BC = BL
wówczas � = 0, prąd i napięcie są w fazie
obwód ma charakter rezystancyjny
c) B < 0 gdy BC < BL
wówczas � > 0, prąd opóz
nia się względem napięcia
obwód ma charakter indukcyjny
a) b) c)
I IL
C
IC IL IC
I
�<0
U U U
I=
I
I
R
R
IR
�>0
I
L
I
Y
jB
�<0
G
G
�>0
jB
Y
dr inż. Marek Szulim
23 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
PRZYKA
AD 6.5
Obliczyć symboliczną
wartość skuteczną prądu i
napięcia każdego elementu
obwodu  sporządzić wykres
wskazowy  dane:
u(t) = 75 2 sin�t C
u(t) L
R1= R2= XL= 1 �,
XC= 2 �.
j 0o
0) Napięcie na zaciskach obwodu U = 75e V
1) Aby obliczyć prąd I1
Wyznacza się impedancję obwodu
Z1 = R1 - j XC = 1- j 2 [�]
R2 j X
L
L
Z = = 0,5 + j 0,5[�]
2
C
R2 + j X
L
Z = Z1 + Z = 1,5 - j1,5[�]
2
j 0o
U 75e
oraz korzysta z prawa Ohma: I = = = 25 + j 25[A]
Z 1,5 - j1,5
2) Oblicza się napięcia na
a) rezystorze R1 : U = R1 I1 = 25 + j 25[V ]
R1
b) kondensatorze: U = - j XC I1 = 50 - j 50[V ]
C
c) impedancji Z1 : jako U1 = U +U
R1 C
lub = Z1 I1 = 75 - j 25[V ]
3) Oblicza się napięcie na impedancji Z2 : U = Z I1 = j 25[V ]
2 2
dr inż. Marek Szulim
24 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
C
u(t) L
4) Oblicza się prądy w
U
2
a) rezystorze R2 : I = = j 25[A]
2
R2
U
2
b) cewce: I = = 25 [A]
3
jX
L
5) Wykres wskazowy tworzy się przyjmując następującą kolejność ryso-
wania:
1. U
2
2. I (w fazie z U )
2 2
3. I (opóz
niony względem U o 90o)
3 2
4. I1 (równy I + I )
2 3
5. U (w fazie z I1)
R1
6. U (opóz
nione względem I1 o 90o)
C
7. U1 (równe U +U )
R1 C
8. U (równe U1+U )
2
dr inż. Marek Szulim
25 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6.8. TWIERDZENIA THEVENINA I NORTONA
W POSTACI SYMBOLICZNEJ
Twierdzenie Thevenina
(o zastępczym z
ródle/generatorze napięciowym)
Dowolny aktywny dwójnik klasy SLS można zastąpić ob-
wodem równoważnym, złożonym z szeregowego połącze-
nia idealnego z
ródła napięcia o napięciu z
ródłowym U0 i
impedancji wewnętrznej ZW, przy czym:
- napięcie z
ródłowe U0 jest równe napięciu na rozwartych
zaciskach dwójnika (napięciu stanu jałowego USJ)
- impedancja wewnętrzna ZW, jest równa impedancji za-
stępczej (impedancji wejściowej ZAB) dwójnika pasywne-
go (bezz
ródłowego) otrzymanego po wyzerowaniu w
wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich
autonomicznych z
ródeł energii.
Wyznaczenie: oraz
A
A A
DA
B
DA
A
DP
B B
B
dr inż. Marek Szulim
26 /27
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 1 Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
Twierdzenie Nortona
(o zastępczym z
ródle/generatorze prądowym)
Dowolny aktywny dwójnik klasy SLS można zastąpić ob-
wodem równoważnym, złożonym z równoległego połącze-
nia idealnego z
ródła prądu o prądzie z
ródłowym IZ i admi-
tancji wewnętrznej YW, przy czym:
- prąd z
ródłowy IZ jest równy prądowi płynącemu przez
zwarte zaciski dwójnika (prądowi stanu zwarcia ISZ)
- admitancja wewnętrzna YW, jest równa admitancji za-
stępczej (admitancji wejściowej YAB) dwójnika pasywne-
go (bezz
ródłowego) otrzymanego po wyzerowaniu w
wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich
autonomicznych z
ródeł energii.
Wyznaczenie: oraz
A
A
A
DA
B
DA
A
DP
B
B
B
dr inż. Marek Szulim
27 /27
e-mail: [e-mail]