Podstawy Elektrotechniki,
Elektroniki i Miernictwa
Prowadzący wykład:
dr inż. Krzysztof Madziar
W03B: Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego
2
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Plan wykładu
" Elementy R, L, C
" Metoda symboliczna liczb zespolonych analizy obwodów RLC
" Prawa Kirchhoffa dla wartości symbolicznych
" Wykres wektorowy obwodu
" Moce w obwodach RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym
" Energia magazynowana w cewce i kondensatorze
" Dopasowanie odbiornika do z
ródła
3
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Elementy RLC
" Elementy rzeczywiste i idealne
" Elementy aktywne i pasywne (R, L, C)
" Elementy są charakteryzowane przez dominujący parametr.
" Pozostałe parametry w rzeczywistych układach nie są do
pominięcia, np.:
�% Rezystor o uzwojeniu spiralnym  L oraz C
�% Rezystor o uzwojeniu bifilarnym  C >> L
�% Cewka nawinięta z drutu  L, R
�% Kondensator - dielektryk częściowo przewodzący (rezystancja upływu)
" Elementy R, L, C  dla celów dalszej analizy  elementy idealne
" Elementy dwuzaciskowe  dwójniki.
4
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Elementy RLC
" Dwójnik o rezystancji R
" Rezystor idealny R włączono do układu z pobudzeniem
sinusoidalnym:
uR Um sin(�0t)
uR = Um sin(�0t) iR = = = Im sin(�0t)
R R
" Z powyższej zależności wynika spełnienie prawa Ohma
Um
Im =
R
" W obwodzie z rezystorem idealnym fazy napięcia
i prądu są zgodne (są ze sobą w fazie).
5
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Elementy RLC
" Dwójnik o indukcyjności L
iL = Im sin(�0t)
" Przez idealną cewkę o indukcyjności L płynie prąd:
" Zmienność prądu w czasie siła elektromotoryczna indukcji
diL diL
własnej:
eL = -L �ł �ł uL = L
�ł uL = -eL �ł
dt dt
" Napięcie jest proporcjonalne do prędkości zmian prądu w czasie.
d Ą
�ł
uL = L [Im sin(� t)]�ł
�łuL = � LIm cos(� t)= � LIm sin�ł� t +
�ł �ł
dt 2
�ł łł
" W obwodzie z idealną cewką fazy napięcia i prądu są przesunięte
względem siebie o 90�. Napięcie wyprzedza prąd.
Um = �LIm
6
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Elementy RLC
" Dwójnik o indukcyjności L
" Możemy oznaczyć:
X = �L = 2Ą �" f �" L
L
" XL [�] nazywamy reaktancją indukcyjną lub biernym oporem
indukcyjnym.
U
" Prawo Ohma dla wartości skutecznych cewki idealnej: I =
X
L
" Odwrotność reaktancji indukcyjnej nazywamy susceptancją
indukcyjną lub przewodnością bierną indukcyjną i oznaczamy
symbolem B [S].
1 1
BL = =
X �L
L
7
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Elementy RLC
" Dwójnik o pojemności C
" Kondensator idealny o pojemności C włączono do obwodu z
pobudzeniem sinusoidalnym:
uC = Um sin(�0t)
"Q = C �" "u
" Każda zmiana napięcia powoduje zmianę ładunku:
"Q
iC =
" Zmiana ładunku powoduje przepływ prądu:
"t
" Prąd ic nazywa się prądem ładowania kondensatora.
" Prąd w kondensatorze można opisać zatem jako:
duC d
iC = C = C [Um sin(�t)]
dt dt
8
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Elementy RLC
iC = �C �"Um cos(�t)=
" Dwójnik o pojemności C
Ą
�ł
" Po zróżniczkowaniu otrzymamy:
Im cos(�t)= Im sin�ł�t +
�ł �ł
2
�ł łł
U
I =
1
Im = �C �"Um
" oraz:
�C
1 1
" Można wprowadzić oznaczenie:
XC = =
�C 2Ą �" f �"C
" Wartość XC [�] nazywamy reaktancją pojemnościową lub oporem
biernym pojemnościowym.
U
" Prawo Ohma dla wartości skutecznych
I =
kondensatora idealnego:
XC
9
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Elementy RLC
" Dwójnik o pojemności C
" Odwrotność reaktancji indukcyjnej nazywamy susceptancją
pojemnościową lub przewodnością bierną pojemnościową i
oznaczamy symbolem B [S].
1
BC = = �C
XC
" W obwodzie z idealnym kondensatorem fazy napięcia i prądu są
przesunięte względem siebie o 90�. Prąd wyprzedza napięcie.
10
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Elementy RLC
" Elementy idealne
11
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Metoda symboliczna liczb zespolonych
analizy obwodów RLC
" Stan ustalony  charakter odpowiedzi jest identyczny
jak charakter wymuszenia.
" Metoda liczb zespolonych (lub metoda symboliczna)
obliczania obwodu  sprowadza wszystkie operacje
różniczkowe i całkowe do działań algebraicznych na
liczbach zespolonych.
" Przykład:
" Pobudzenie:
u(t) = Umsin(�t+Ć)
12
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Metoda symboliczna liczb zespolonych
analizy obwodów RLC
" Związek między napięciami elementów tego obwodu
(z napięciowego prawa Kirchhoffa):
u(t)= uR + uL + uC
" Składowe mają postać:
uR = R �"i
1
uC =
C
+"idt
di
uL = L
dt
" Sumarycznie otrzymujemy:
1 di
Um sin(�t +�)= R �"i +
+"idt + L dt
C
13
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Metoda symboliczna liczb zespolonych
analizy obwodów RLC
" Rozwiązanie równania  sumarycznego zawiera dwie
składowe prądu (w stanie ustalonym i przejściowym):
" Składowa ustalona  charakter zmian w czasie jest taki
sam jak sygnału wymuszającego (teoretycznie po t = ").
" Składowa przejściowa  różnica między rozwiązaniem
rzeczywistym równania różniczkowego, a składową
ustaloną (składowa znika szybko w czasie).
" Stan po zaniknięciu składowej przejściowej nazywamy
stanem ustalonym obwodu.
14
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Metoda symboliczna liczb zespolonych
analizy obwodów RLC
j�U j�t
U(t)= Ume e
" Zastosujmy zapis prądów i napięć: j�I j�t
I(t)= Ime e
" Po podstawieniu do równania  sumarycznego
dI(t) 1
otrzymamy:
U(t)= RI(t)+ L +
+"I(t)dt
dt C
" A po dalszych przekształceniach:
Im j�I
Um j�U Im j�I Im j�I 1
e = R e + j�L e + e
j�C
2 2 2 2
15
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Metoda symboliczna liczb zespolonych
analizy obwodów RLC
1
U = RI + j�L + I
" Dla wartości skutecznych mamy:
j�C
U = R �" I
R
" Składnik:
odpowiada napięciu skutecznemu zespolonemu na rezystorze.
U = j�L �" I
" Składnik: L
odpowiada napięciu skutecznemu zespolonemu na cewce.
UC = (j�C)-1 �" I
" Składnik:
odpowiada napięciu skutecznemu zespolonemu na kondensatorze.
" Powyższe składowe reprezentują sobą analogię do prawa Ohma.
" Można na tej podstawie sformułować pojęcie
impedancji zespolonej.
16
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Metoda symboliczna liczb zespolonych
analizy obwodów RLC
" Impedancja zespolona:
ZR = R
ZL = j�L ZC = jX
L
ZC = (j�C)-1 = - j(�C)-1 ZC = - jXC
" Dla obwodu wypadkowego w którym Z = ZR+ZL+ZC,
mamy: U = Z�I.
17
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Metoda symboliczna liczb zespolonych
analizy obwodów RLC
" Dla obwodu wypadkowego w którym Z = ZR+ZL+ZC,
U
mamy także:
j�I
I = = I e
Z
U U
" Gdzie moduł prądu:
I = =
2
Z
R2 +(�L -(�C)-1)
" A jego kąt fazowy:
�ł
�L -(�C)-1 �ł
�ł
�I = �U - arctg�ł
�ł �ł
R
�ł łł
" Można zdefiniować wielkość Ć=ĆU-ĆI, nazwaną
przesunięciem fazowym prądu względem napięcia.
" Ć jest dodatnie dla obwodów o charakterze
indukcyjnym, ujemne pojemnościowym.
18
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Metoda symboliczna liczb zespolonych
analizy obwodów RLC
" Wartościom skutecznym zespolonym prądu oraz
napięcia można przyporządkować funkcję czasu.
Um j�U
�ł
u(t)= Um sin(�t +�U )�! e
2
" Admitancja  odwrotność impedancji. Y = 1/Z.
" Dla kondensatora YC = j�C
1
" Dla cewki YL = - j
�L
1
" Dla rezystora
YR = G =
R
19
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Prawa Kirchhoffa dla wartości
symbolicznych
" Dla pobudzeń sinusoidalnych elementy RLC są
traktowane jako komponenty impedancyjne i traktowane
w sposób analogiczny jak w przypadku pobudzeń
prądem stałym.
" Przez analogię opisywane są prawa Kirchhoffa prądowe
i napięciowe. Prądy i napięcia są zespolone.
20
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Wykres wektorowy obwodu
" Wykres wektorowy (wskazowy) obwodu 
przedstawia w sposób graficzny zależności między
wektorami prądu i napięcia w obwodzie.
" Własności:
" Pomnożenie wektora przez operator j jest równoważne obrotowi
tego wektora o kąt 90 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek
zegara. j = ej90�.
" Pomnożenie wektora przez operator -j jest równoważne obrotowi
tego wektora o kąt 90 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
-j = e-j90�.
" Pomnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą nie zmienia pozycji
wektora w przestrzeni o ile jest to liczba dodatnia lub zmienia zwrot
wektora o 180 stopni jeśli liczba ta jest ujemna.
21
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Wykres wektorowy obwodu
" Z zależności prądowo-napięciowych mamy:
1
j90o
U = j�L �" IL = �L �" Ie UC = (j�C)-1 �" I = ICe- j90o
L
U = R �" IR
R
�C
22
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Wykres wektorowy obwodu
" Wykres wektorowy rozpoczyna się zwykle od końca
obwodu (gałęzi położonej najdalej od z
ródła).
" Jeśli gałąz
jest połączeniem szeregowym elementów,
rozpoczynamy od prądu tej gałęzi.
" Jeśli gałąz
jest połączeniem równoległym  od napięcia.
" Następnie rysuje się na wykresie na przemian prądy i
napięcia kolejnych gałęzi dochodząc do z
ródła.
" Budowa wykresu kończy się w momencie dojścia do
prądu i napięcia z
ródłowego obwodu.
23
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Wykres wektorowy obwodu
" Przykład
Narysować wykres wektorowy prądów i napięć dla obwodu RLC o
strukturze przedstawionej na rysunku:
24
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Wykres wektorowy obwodu
" Rozwiązanie
Przygotowanie wykresu rozpoczyna się od prądu I3, a następnie
UR3, UI3, UR2, I2, I1, UC1, E.
" Przy założonych wielkościach
wektorów, obwód ma charakter
pojemnościowy, gdyż napięcie
wypadkowe C opóz
nia się
względem prądu I
25
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Moce w obwodach RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
" Moc chwilowa p(t)
" Moc czynna P
" Moc bierna Q
" Moc pozornie zespolona S
26
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Moce w obwodach RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
" Moc chwilowa
" Chwilowa wartość prądu i napięcia są zdefiniowane
jako:
u(t) = Um sin(�t)
i(t) = Im sin(�t -�)
" Moc chwilową definiujemy jako p(t) = u(t)�i(t).
" Przy wymuszeniu sinusoidalnym opisuje się ją wzorem:
UmIm
p(t) = [cos(�)- cos(2�t -�)]= U I [cos(�)- cos(2�t -�)]
2
27
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Moce w obwodach RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
" Moc czynna  wartość średnia za okres mocy
t0 +T
chwilowej.
1
P = p(t)dt
+"
T
t0
" Po wstawieniu zależności na moc chwilową i scałkowaniu
otrzymujemy:
P = U I cos(�)
" Współczynnik cos(Ć) nosi nazwę współczynnika mocy.
" Moc czynna jest nieujemna dla elementu RLC.
" Przypadki graniczne:
" Ś = ąĄ/2  PL=PC = 0 (cewka lub kondensator idealny)
" Ś = 0  P = max. (obciążenie czysto rezystancyjne)
28
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Moce w obwodach RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
" Moc czynna wydzielona w rezystorze ma postać:
2 2
P = U I cos(�)= R I = GU
" Jednostką mocy jest Wat [W]. Często stosuje się
jednostki wielokrotne lub podwielokrotne.
" Do pomiaru mocy czynnej służy watomierz.
" Watomierz posiada cewkę prądową (Zwew = 0)  do pomiaru prądu
gałęziowego obwodu.
" Watomierz posiada cewkę napięciową (Zwew = ")  do pomiaru
napięcia między punkami obwodu, dla którego mierzymy P.
29
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Moce w obwodach RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
" Moc bierna  iloczyn prądu i napięcia oraz
sinusa kąta między nimi
Q = U I sin(�)
" Jednostką mocy biernej jest war [var] (woltamper reaktywny).
" Moc bierna dla rezystora wynosi 0.
" Moc bierna może wydzielać się jedynie na elementach
reaktancyjnych .
" Przypadki graniczne:
" Ś = Ą/2 - dla cewki (moc bierna dodatnia)
" Ś = -Ą/2 - dla kondensatora (moc bierna ujemna)
30
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Moce w obwodach RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
" Moc bierna  iloczyn prądu i napięcia oraz
sinusa kąta między nimi.
" Wartość mocy biernej można zapisać także
jako:
1
2 2
Q = ąU I sin(�)= ą X I = ą U
X
31
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Moce w obwodach RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
" Moc pozorna zespolona  proporcjonalna do
iloczynu wartości skutecznych prądu i napięcia.
" Wartość mocy pozornej zespolonej można zapisać także
jako:
"
S = UI = P + jQ
Trójkąt mocy
32
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Moce w obwodach RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
" Moc pozorna zespolona
j�
S = S e
" Przedstawienie w postaci wykładniczej:
" |S| - moduł mocy pozornej zespolonej  moc pozorna.
S = U I = P2 + Q2
33
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Moce w obwodach RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
" Bilans mocy
" Całkowita moc pozorna wytworzona przez z
ródło  Sg
" Sumaryczna moc pozorna wydzielona w elementach odbiornika 
So
" Obowiązuje prawo zachowania energii  prawo bilansu mocy.
Sg = So.
" Zwroty prądów i napięć w elementach odbiornikowych są przeciwne
sobie, a w elementach z
ródłowych takie same.
" Suma mocy pozornej zespolonej, liczonej po wszystkich elementach
w obwodzie elektrycznym jest równa zeru, Sg + So = 0.
34
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Moce w obwodach RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
" Przykład 1
" Niech dany będzie obwód RLC o strukturze przedstawionej na
poniższym rysunku, zasilany z sinusoidalnego z
ródła napięcia:
e(t) = 100 2 sin(�t + 45o�)V
" Wartości obliczeniowe są następujące: � = 1 rad/s, R = 1 &!,
C = 0.5 F, L = 1H.
" Wyznaczyć wartości skuteczne
zespolone prądów i napięć elementów
oraz moce w obwodzie.
35
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Moce w obwodach RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
" Przykład 1 - rozwiązanie
" Wartości zespolone impedancji i napięcia wymuszającego w
obwodzie przy danych wartościach elementów są równe:
ZL=j�L = j1, ZC=-j1/ �C = -j2, E=100ej45.
" ZL||R = R�ZL/(R+ZL) = 0.707ej45.
" ZC(R||L) = ZC + ZR||L = 0.5 + j0.5 - j2 = 1.58e71.6.
" Zgodnie z prawem Ohma, prąd I w obwodzie jest równy:
j45o�
E 100e
j116.6o�
IC = = = 63.3e
Z
1.58e- j71.6o�
UR||L
" Napięcia i prądy na elementach obwodu j71.6o�
IL = = 44.72e
j26.6o�
są dane w postaci: ZL
UC = ZCIC = 126.6e
UR||L
j161.6o�
j161.6o�
IR = = 44.72e
UR||L = ZR||LIC = 44.72e
R
36
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Moce w obwodach RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
" Przykład 1 - rozwiązanie
" Wykres wektorowy prądów i napięć w obwodzie
37
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Moce w obwodach RLC przy
wymuszeniu sinusoidalnym
" Przykład 1 - rozwiązanie
" Poszczególne rodzaje mocy wydzielonej w obwodzie równają się:
" Moc pozorna zespolona wydawana przez z
ródło:
S = E�IC = (2000  j6000) V�A
" Moc czynna rezystora:
PR = |IR|2R = 2000 W
" Moc bierna cewki i kondensatora:
QL = Im(UR||LIL*) = 2000 var
QC = Im(UCIC*) = -8000 var
" Całkowita moc bierna na cewce i kondensatorze:
Q = QL + QC = -6000 var
" Moc wydzielona na rezystorze, cewce i kondensatorze równa się
mocy dostarczonej przez z
ródło  bilans mocy jest równy zero.
38
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Energia magazynowana w cewce i
kondensatorze
" Energia magazynowana w idealnym kondensatorze
" Mamy kondensator o pojemności C, zasilany ze z
ródła
napięciowego u(t). Energia dostarczona w czacie od t0 do t może
t
być zapisana jako:
W(t0,t) = p(� )d�
+"
t0
" Po odpowiednich podstawieniach uzyskujemy:
u(t)
t t
du(� )d� = C
W(t0,t) =
+"u(� )i(� )d� = +"u(� )C d� +"udu
t0 t0 u(t0 )
" Przy założeniu u(t0)= 0 mamy:
u(t)
1 1
2
W(t0,t) = C
+"udu = 2 Cu2(t) = 2 CU
0
39
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Energia magazynowana w cewce i
kondensatorze
" Energia magazynowana w idealnej cewce
" Mamy cewkę o indukcyjności L, zasilaną ze z
ródła napięciowego
u(t). Energia dostarczona w czacie od t0 do t może być zapisana
t
jako:
W(t0,t) = p(� )d�
+"
t0
" Po odpowiednich podstawieniach uzyskujemy:
i(t)
t t
di(� )d� = L
W(t0,t) =
+"u(� )i(� )d� = +"i(� )L d� +"idi
t0 t0 i(t0 )
" Przy założeniu i(t0)= 0 mamy:
i(t)
1 1
2
W(t0,t) = L
+"idi = 2 Li2(t) = 2 LI
0
40
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Dopasowanie odbiornika do z
ródła
" Schemat rzeczywistego z
ródła energii:
" Niech analizowany przez nas układ ma
postać:
" Zapiszmy:
�% Zg = Rg ą jXg
�% oraz Z = R ą jX
" Dopasowanie odbiornika do
generatora, to dobór takiej
impedancji odbiornika, że ze
z
ródła pobierana jest maksymalna
moc czynna.
41
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Dopasowanie odbiornika do z
ródła
" Moc czynna jest opisana zależnością:
2 2
E E R
2
P = I R = R =
2 2 2
(Rg + R) + (ą X ą X )
Zg + Z
g
" Dla ustalonej wartości R, moc czynna osiąga maksimum
gdy: X = -Xg.
2
E R
P =
" Tym samym:
2
(Rg + R)
" Wydzielenie maksymalnej mocy na rezystorze wymaga,
2
(Rg + R) - 2R(Rg + R)
aby:
dP(R)
= 0 �ł E = 0
�ł
4
dR
(Rg + R)
42
dr inż. Krzysztof Madziar - Podstawy Elektrotechniki, Elektroniki i Miernictwa
Dopasowanie odbiornika do z
ródła
" Równanie na maksymalną moc jest prawdziwe, gdy
spełniony jest warunek R = Rg.
" Warunek dopasowanie odbiornika do generatora:
Z = Zg*=Rg  jXg.
" Po spełnienie powyższego warunku, na impedancji odbiornika
wydzieli się maksymalna moc czynna Pmax:
2
E
Pmax =
4Rg