ÿþP r z e s t r z e n i e w e k t o r o w e
m g r Z o f i a M a k a r a
1 1 s t y c z n i a 2 0 0 4
1 P r z e s t r z e n i e w e k t o r o w e ( l i n i o w e )
D e f i n i c j a 1 P r z e s t r z e n i w e k t o r o w , z w a n r ó w n i e | p r z e s t r z e n i l i n i o w
n a d c i a Be m ( K , + , · ) n a z y w a m y s t r u k t u r a l g e b r a i c z n ( V , K , æ%, ") , k t ó r a s p e B-
n i a n a s t p u j c e w a r u n k i :
1 . ( V , æ%) j e s t g r u p p r z e m i e n n ( a b e l o w ) ;
2 .
"a "K "x , y "V a " ( x æ% y ) = ( a " x ) æ% ( a " y ) ;
3 .
"a , b "K "x "V ( a + b ) " c = ( a " x ) æ% ( b " x ) ;
4 .
"a , b "K "x "V a " ( b " x ) = ( a · b ) " x ;
5 .
"x "V 1 " x = x
N a p o d s t a w i e d e f i n i c j i p r z e s t r z e n i w e k t o r o w e j m o |n a z a u w a |y n a s t p u j c e
w Ba s n o [c i :
W Ba s n o [ 1
"x "V 0 " x = ˜.
W Ba s n o [ 2
"a "K a " ˜ = ˜.
W Ba s n o [ 3
"a "K "x "V ( ( a " x = ˜) Ò! ( ( a = 0 ) (" ( x = ˜) ) ) .
g d z i e z e r o - 0 " K , z a [ z e r o - ˜ " V
W c e l u u p r o s z c z e n i a z a p i s u w d a l s z e j c z [c i d z i a Ba n i a æ%, o r a z " r ó w n i e | b d
o z n a c z a n e j a k o + o r a z · .
S k a l a r a m i n a z y w a s i e l e m e n t y z b i o r u K , z a [ e l e m e n t y z b i o r u V - w e k t o r a m i .
1
2 Z a d a n i a
1 . N i e c h V b d z i e z b i o r e m l i c z b r z e c z y w i s t y c h d o d a t n i c h . D l a o k r e [l o -
n y c h d z i a Ba D æ% i " z b a d a , c z y d a n a ( V , R , æ%, ") j e s t p r z e s t r z e n i w e k -
t o r o w :
( a )
"x , y "V ( x æ% y ) = x y ;
"a "R "x "V ( a " x ) = x a ;
( b )
"x , y "V ( x æ% y ) = x + y ;
"a "R "x "V ( a " x ) = a · x ;
( c )
"x , y "V ( x æ% y ) = x 2 - x y + y 2 ;
"a "R "x "V ( a " x ) = a x 2 + a 2 x ;
2 . N i e c h d a n a b d z i e p r z e s t r z e D ( R 2 , R , æ%, ") , g d z i e :
( a )
"x = ( x 1 , x 2 ) , y = ( y 1 , y 2 ) "R 2 ( x æ% y ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ;
"a "R "x = ( x 1 , x 2 ) "R 2 ( a " x ) = ( a · x 1 , x 2 ) ;
( b )
"x = ( x 1 , x 2 ) , y = ( y 1 , y 2 ) "R 2 ( x æ% y ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ;
"a "R "x = ( x 1 , x 2 ) "R 2 ( a " x ) = ( a · x 1 , a · x 2 ) ;
3 . W y k a z a , |e ( C , I , + , · ) j e s t p r z e s t r z e n i w e k t o r o w , g d z i e L - j e s t
z b i o r e m f u n k c j i c i g By c h o k r e [l o n y c h n a p r z e d z i a l e I ‚" R ,
L ( I ) = { f : x ’! f ( x ) " R , f f u n k c j a c i g a }
U w z g l d n i a j c d z i a Ba n i a :
d o d a w a n i e f u n k c j i :
+ : C ( I ) × C ( I ) ( f , g ) ’! ( f + g ) " C ( I )
( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , d l a k a d e g o x " I
m n o |e n i e f u n k c j i p r z e z s k a l a r
· : R × C ( I ) ( », g ) ’! ( » · f ) " C ( I )
( » · f ) ( x ) = » · f ( x ) , d l a k a d e g o x " I
2
4 . W y k a z a , |e d a n a s t r u k t u r a j e s t p r z e s t r z e n i l i n i o w :
( a ) ( R 2 , R , + , · ) ;
( b ) ( R 3 , R , + , · ) ;
( c ) ( R n , R , + , · ) ;
5 . W y k a z a , |e ( F , R , + , · ) j e s t p r z e s t r z e n i w e k t o r o w , g d z i e F - j e s t
z b i o r e m f u n k c j i :
( a ) F - f u n k c j i l i n i o w y c h F = { f : R x ’!= f ( x ) = a x } ;
( b ) F - f u n k c j i a f i n i c z n y c h F = { f : R x ’!= f ( x ) = a x + b , b " R } ;
6 . W y k a z a , |e z b i ó r w i e l o m i a n ó w z m i e n n e j x " R - R [ x ] w r a z z d z i a Ba -
n i a m i d o d a w a n i a i w i e l o m i a n ó w i m n o |e n i a i c h p r z e z s k a l a r j e s t p r z e -
s t r z e n i l i n i o w .
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Algebra2p Przestrzeń Liniowa, MacierzAlgebra 1 02 przestrzenie liniowe, wektoryAlgebra 1 01 przestrzenie linioweAlgebra Liniowa – Przestrzenie metrycznePlanowanie przestrzenne a politykaPrzestrzeganie przepisów BHP nauczycielCzłowiek wobec przestrzeni Omów na przykładzie Sonetó~4DBWstęp do pakietu algebry komputerowej Maplepodejmowanie przeds przestrzen publiczkoszałka,teoria sygnałów, Sygnały i przestrzenie w CPSAlgebra Iklwięcej podobnych podstron