Sygnały i przestrzenie w CPS
Sygnały ciągłe, dyskretne cyfrowe
Sygnały ciągłe  pospolite w przyrodzie
t"! , xśątźą"! lub !
Sygnały dyskretne
t"$!, xśąt źą"! lub !
Sygnały cyfrowe
t"$!, xśąt źą"$!
w praktyce ani t ani x(t) nie są liczbami całkowitymi, ale są dyskretne
dodatkowo zwykle czas jest wartością dyskretną próbkowaną w stałych odstępach czasu
1
n=kT , k"$! , T = , xśąnźą
F
s
Sygnały deterministyczne i losowe
xśą nźą=A"sin śą2"Ćą" f "nƒÄ…Ëąźą
- syg. deterministyczny
xśą nźą=Aśą nźą"sinśą 2"Ćą" f śąnźą"nƒÄ…Ëąśąnźąźą
- syg. losowy
Parametry sygnałów
 energia
" " N
E = x2 śątźą dt E = x2śąnźą= x2śą nźą
+" " "
x x
-" -" n =0
 moc średnia (energia w przedziale czasowym)
T
N -1
1 1
P =lim x2śątźą dt P = lim x2śąnźą
+" "
x x
2T N
T Śą " N Śą"
n=0
-T
 moc średnia sygnału okresowego o okresie T (energia pojedynczego okresu sygnału)
t0ƒÄ…T
N -1
1 1
P = x2śątźą dt & P = x2śąnźą
+" "
x x
T N
n=0
t
0
 wartość średnia
T
N -1
1 1
mx=lim xśątźą dt mx= lim x śą nźą
+" "
2T N
T Śą" N Śą"
n=0
-T
 wariancja
T
N -1
1 1
vx=lim [ xśąt źą-mx]2 dt vx= lim [ xśą nźą-mx]2
+" "
2T N
T Śą" N Śą"
n=0
-T
 wartości chwilowe
E śąnźą , P śąnźą , mxśąnźą
x x
 wartości bieżące (stała adaptacji, ograniczenia stałej adaptacji)
mxśąnźą=ÁÄ…mxśąn-1źąƒÄ…śą1-Áąźą xśą nźą , 0"Ä…ÁÄ…"Ä…1
- 1 -
przykład:
x = (-5:.1:5); y = x+randn(size(x));
m = mean(x) # m =~ 0,01
La = .6; m(1) = x(1);
for n=2:length(y)
m(n) = La*m(n-1)+(1-La)*y(n);
end
plot(x,';x(n);'); hold on; plot(y,';y(n);'); plot(m,';my(n);'); hold off;
Ilustracja 1: La=0.7
Ilustracja 2: La = 0.9
Typowe model sygnałów
 delta Diracka
" , t=0
ºÄ…śąt źą=
{
0, t`"0
"
ºÄ… śątźą dt=1
+"
-"
 impuls Kroneckera
1, n=0
ºÄ…śą nźą=
{
0, n`"0
"
ºÄ… śąnźą=1
"
-"
- 2 -
własności:
1, n=a
ºÄ…śą n-aźą=
{
0, n`"a
f śątźą ºÄ…śąt-kźą= f śą kźą
- pojedyncza próbka
 funkcja grzebieniowa (ang. comb)
"
­Ä…T śąn źą= ºÄ… śąn-kT źą gdzie k "$! - próbkowanie (pokaz)
"
k=-"
 sygnał okresowy
1
xśą nźą=xśąnƒÄ…kT źą k "$! np. jeżeli to
xśą nźą=sinśą2Ćą f nźą T =
dla
f
 sygnał zespolony
j ËÄ… śąnźą
xśą nźą=xr śąnźąƒÄ… j xiśąnźą=Aśąnźąe Aśą nźą=#"x śąnźą#", Ëąśąnźą=arg śą xśą nźąźą
gdzie
Przestrzenie sygnałów
Dziedzina czasu, dziedzina częstotliwości
W dziedzinie ciągłej
W dziedzinie dyskretnej
x śą nźą=...Śą X śą f źą , X śąÎąźą , ÎÄ…=2 Ćą f /F
s
Ilustracja 3: Sygnał x(n)
- 3 -
Ilustracja 4: Widmo amplitudowe |X(f)|
Przestrzenie
 Przestrzeń
R2 , R3, RN
"
l2
 - ciągów sumowalnych z kwadratem #" f śą kźą#"2"ą"
"
k =-"
"
L2śą-" , "źą
 - funkcji całkowalnych z kwadratem #" f śąt źą#"2 dt"ą"
+"
-"
T
L2śą0,T źą
 - funkcji całkowalnych z kwadratem w przedziale (0,T) #" f śąnźą#"2 dn"ą"
+"
0
 wymagania na przestrzeń
 iloczyn skalarny,
A=śąa0, a1,a2,... , aN -1źą, B=śąb0,b1,b2,..., bN -1źą
wymagane własności:
1) A ° B= B° A
śą AƒÄ… Bźą°C= A°CƒÄ…B °C
2)
śą x"Aźą° B= A°Å›Ä… x"Bźą= x"śą A° Bźą
3)
A ° AÄ…0 dla A`"0
4)
A ° A=0 dla A=0
 definicja iloczynu
N -1 N -1
A° B= an bn= bn an=B ° A
" "
n=0 n=0
A° B= A BT
 norma wektora (przestrzeń unormowana)
N -1
2
%"A%"= A° A= A AT= an
ćą ćą #" #"
"
ćą
n=0
 metryka indukowana z normy
%"A-B%"= śą A-Bźąśą A-BźąT= an-bn 2
ćą
"#" #"
ćą
 inne normy
N -1
%"A%"= an jaka metryka ? %"A-B%"=? ??
" #" #"
n=0
%"A%"= max an jaka metryka ?
#" #"
%"A-B%"=? ??
0 Ä…Ä…nÄ…Ä…N
 inne metryki  taksówkowa
- 4 -
W CPS - przestrzeń Hilberta
zupełna, liniowa, unitarna/unormowana
Liniowa  tzn.:
 dodawanie wektorów
 mnożenie przez skalar
 iloczyn skalarny
 norma
Zupełna  wynik operacji liniowej należy do tej samej przestrzeni liniowej
Unitarna  norma wektorów bazowych =1
- 5 -