Podobieństwo sygnałów  korelacja
Iloczyn skalarny wektorów/sygnałów
L2śą!źą
W przestrzeni
)# x , y*#= x śąt źą y śątźądt
+"
W przestrzeni !N
N -1
1
)# x , y*#= xśąnźą y śąnźą
"
N
n=0
)# x , y *#=0
Jeżeli to x Ą" y
)# x , y*#`"0 #")# x , y *##"Ä…0
a co jeżeli lub inaczej ?
Korelacja
L2śą!źą
Korelacja w przestrzeni w przypadku stacjonarnym
RśąÉąźą= xśątźą xśąt-Éąźą dt
+"
po dyskretyzacji w przestrzeni
!N
N -1
1
Rśąl źą=lim xśąnźą xśąn-lźą
"
N
nŚą"
n=0
Korelacja w przestrzeni !N
Z teorii procesów stochastycznych
1
Rxśąk , mźą= E[śą x śą k źą-Âąźąśą x śąmźą-Âąźą]
ÈÄ…2
gdzie E [.] oznacza operator wartości oczekiwanej (w dużym uproszczeniu jest to wartość
średnia)
ÂÄ… wartość Å›rednia procesu losowego
ÈÄ… wariancja procesu losowego
Konsekwentnie
1
Rxyśą k , mźą= E [śą xśąkźą-ÂÄ…xźąśą yśą mźą-ÂÄ…yźą]
ÈÄ…xÈÄ…
y
Zwykle zakładamy że:
ÂÄ…=0
ÈÄ…=1
proces losowy (sygnał) jest stacjonarny wtedy
xśą nźą , xśąn-lźą xśą nźą , y śąn-lźą
lub
- 1 -
Użyteczne definicje
Rxśąlźą= E [x śąnźą xśąn-lźą]
- autokorelacja
Rxyśąl źą=E [ xśąnźą y śąn-lźą]
- korelacja wzajemna (kroskorelacja)
W praktyce można różnie liczyć estymator wartości oczekiwanej
1
Rxśąlźą= xśąnźą xśąn-l źą
" - estymator obciążony
N
n
N -l -1
1
Rxśąlźą= xśąnźą xśąn-l źą - estymator nieobciążony
"
N -l
n=0
Wyjaśnić pojęcia:
współczynnik korelacji
unormowany współczynnik korelacji ( 1/ÈÄ…2 )
x
funkcja korelacji
unormowana funkcja korelacji
miara podobieństwa sygnałów (dla l=0 otrzymujemy iloczyn skalarny !!!)
Przykład:
N=1000;n=(0:N-1);x=sin(2*pi*5/N*n+.3*pi)+randn(1,N);plot(n,x);
s1=sin(2*pi*5/N*n);s2=sin(2*pi*4/N*n);s3=sin(2*pi*13/N*n);s4=sin(2*pi*10/N*n)
;s5=sin(2*pi*4.8/N*n);
max(abs(xcorr(x,s1)))
max(abs(xcorr(x,s2)))
max(abs(xcorr(x,s3)))
max(abs(xcorr(x,s4)))
max(abs(xcorr(x,s5)))
Własności funkcji autokorelacji
Rxśąlźą= Rxśą-lźą
1. funkcja parzysta
Rxśą0źąe"Rxśąlźą
2. wartość maksymalna dla zerowego przesunięcia
- 2 -
Transformacje czasowo-częstotliwościowe
Krótkoterminowa transformata Fouriera (ang. STFT)
N -1 2 Ćą
- j k n
N
STFT {xśąnźą}a" X śąk , l źą= xśąnźą wśą n-lźą e
"
n =0
gdzie l  dyskretny czas, k  dyskretna częstotliwość
spektrogram to:
S śąk ,lźą=#"X śąk , lźą#"2
Przykład:
N=64;n=(0:N-1);
x=1.2*sin(2*pi*.13*n);y=2*sin(2*pi*.07*n);z=.8*sin(2*pi*.27*n);s=[x,y,z];
s=s+.1*randn(size(s));plot(s);
S=fft(s); M=size(S,2); f=(0:M-1)./M; plot(f,abs(S));
w=gausswin(N,3)';plot(w);
okno1=[w,zeros(1,N),zeros(1,N)];
okno2=[zeros(1,N),w,zeros(1,N)];
okno3=[zeros(1,N),zeros(1,N),w];
plot(okno1);hold on;plot(okno2);plot(okno3);hold off;
plot(s.*okno1);hold on;plot(s.*okno2);plot(s.*okno3);hold off;
S1=fft(s.*okno1); S2=fft(s.*okno2); S3=fft(s.*okno3);
M=size(S1,2); f=(0:M-1)./M;
plot(f,abs(S1),f,abs(S2),f,abs(S3));
N=256;n=(0:N-1);
x=sin(2*pi*.13*n);y=sin(2*pi*.07*n);z=sin(2*pi*.27*n);s=[x,y,z];
s=s+.7*randn(size(s));plot(s);
M=128; w=gausswin(M,3)'; plot(w);
tmp=[zeros(1,M/2),s,zeros(1,M/2)];plot(tmp);
L=3*N;S=zeros(L,M);
for l=(1:L), v=tmp(l:l+M-1).*w;V = fft(v);S(l,:)=abs(V).^2;end;
l=(0:L-1);f=(0:M-1)./M;imagesc(l,f,S');
Transformata Wignera-Villa
N -1 2 Ćą
- j k n
N
X śąk ,lźą= xśąlźą xśąl-nźąe
"
WV
n=0
!!! Problemy z częstotliwością Nquista !!!
N=100;n=(0:N-1);x=sin(2*pi*.13*n);y=zeros(1,N);z=sin(2*pi*.28*n);s=[x,y,z];
plot(s);
L= 3*N; l=(0:L-1); M=256; [TFR,nt,nf]=tfrwv(s',n,M);imagesc(nt,nf,TFR);
N=500;n=(0:N-1);f=linspace(.1,.3,N);x=sin(2*pi*f.*n);
M=128;[TFR,nt,nf]=tfrwv(x',n,M);imagesc(nt,nf,TFR);
- 3 -
M=128;[TFR,nt,nf]=tfrwv(hilbert(x'),n,M);imagesc(nt,nf,TFR);
Dyskretna transformata falkowa (ang. wavelet)
Wavelet/Falka  (mała fala) sygnał okresowy szybko zanikający do zera
Falka ciągła:
1 t-b
ÍÄ…a , bśątźą= ÍÄ…
śą źą
a
ćąa
gdzie
Íąśąt źą"L2śą!źą , a , b"! , aÄ…0
Íąśąt źą
prototyp falki, falka matka
 b przesunięcie w czasie
 a skalowanie w częstotliwości
Stąd nazwa transformacja  częstotliwość-skala (skalogram)
Transformata falkowa to iloczyn skalarny badanego sygnału
z prototypami falek
L2śą!źą
Reprezentacja w przestrzeni
1 t-b
W śąa ,b źą= xśątźą , ÍÄ…a , bśątźą = śątźąÍÄ…a ,bśąt źądt= xśątźąÍąśą źą dt
)# *#
+"x +"
!
a
śą aźą
ćą
przesunięcie w czasie:
yśątźą= xśąt-u źą , W śąa ,bźą=W śąa ,b-u źą
y x
przesunięcie w częstotliwości
1
yśątźą= xśą stźą , W śąa , bźą= W śą sa ,sbźą
y x
śą sźą
ćą
Transformata odwrotna:
xśąt źą= W śąa , bźąÍÄ…a ,bśąt źą da db
+" +"
! !
Mamy bazę ortonormalną  rodzina falek, mamy współczynniki reprezentacji, mamy też
transformatę odwrotną ... piękne wzory tylko nie da się tego policzyć !!! ;)
- 4 -
Reprezentacja w przestrzeni !N
N
W śąa ,b źą= xśąnźą , ÍÄ…a , bśąnźą = xśąn źąÍÄ…a , bśąnźą
)# *# "
n=0
Ważne definicje:
 położenie i rozciągłość w czasie
Ä…= t#"ÍÄ…a ,bśąt źą#"dt
t
+"
!
­Ä…2= śąt-ąźą2#"ÍÄ…a , bśątźą#"dt
t
+"
t
!
 położenie i rozciągłość w częstotliwości
ÎÄ…= ÎÄ…#"µÄ…a ,bśąÎąźą#"d ÎÄ…
Ä…
+"
!
­Ä…2 = śąÎÄ…-Îąźą2#"µÄ…a ,bśąÎąźą#"d ÎÄ…
Ä…
+"
ÎÄ…
!
­Ä…t ­Ä…ÎÄ…
(rysunek z i )
Zasada nieoznaczoności Heisenberga:
1
­Ä…t ­Ä…ÎÄ…e"
2
Przypadek dyskretny
Dwa rozwiÄ…zania:
1) nowe współrzędne skali
gdzie l , k "$!
śąak , l ak bźą
n-l b
ÍÄ…k , lśą nźą=a-k / 2ÍÄ…
śą źą
am
2) współrzędne skali z podziałem przez 2
ak=ak , a0=2 Śą ak=2k
0
bl=l b0 ak , b0=1 Śą bl=l2k
0
- 5 -
n-bl /2
1
ÍÄ…k , lśą nźą= ÍÄ… =2-k Íąśą2-k n-l źą
śą źą
ak
ak
ćą
Zatem w przestrzeni
!N
N -1
W śąk , lźą= xśą nźą ,ÍÄ…k ,l śąnźą = xśąn źąÍÄ…k , lśą nźą
)# *# "
n=0
i konsekwentnie transformata odwrotna:
xśą nźą= W śą k , lźąÍÄ…k ,l śąnźą
" "
k l
Falka Morleta
Prototyp
2
1 1
Íąśą nźą= e- j ÎÄ…0n e-n / 2= e-śą j ÎÄ…0 n ƒÄ…n2/ 2źą
2 Ćą 2 Ćą
ćą ćą
2
µÄ…śąÎąźą=e-2Ćą śąÎÄ…-ÎÄ…0źą2
zwykle
2
ÎÄ…0=Ćą =5.336
lnśą 2źą
ćą
Meksykański kapelusz
2
Íąśąnźą=śą1-n2źąe-n /2
N=4;n=(-N:.1:N);
psi=(1-n.^2).*exp(-(n.^2)./2);
psi_1_0=sqrt(2)*(1-(n/2).^2).*exp(-((n/2).^2)./2);
- 6 -
plot(n,real(psi),';Re;',n,imag(psi),';Im;');
- 7 -