PRÓBKOWANIE SYGNAA
ÓW
Teoretyczny model operacji próbkowania  próbkowanie idealne
"

´T (t) = ´(t - nTs)
s
n=-"
"

xs(t) = x(t)´T (t) = x(nTs)´(t - nTs)
s
n=-"
Twierdzenie o próbkowaniu (Kotielnikowa-Shannona)
Niech x(t) bÄ™dzie sygnaÅ‚em, którego widmo X(É) speÅ‚nia warunek
X(É) = 0 dla É Ém. SygnaÅ‚ x(t) jest równoważny zbiorowi swoich
Ä„
próbek odległych od siebie o stały przedział Ts , tzn.
Ém

Ä„
x(t) a" x(nTs) : n = 0, Ä…1, Ä…2 . . . '" Ts
Ém
TSIM W5: Próbkowanie sygnałów 1 1/14
Widmo impulsowego sygnału spróbkowanego
1
Xs(É) = F[xs(t)] = F[x(t)´T (t)] = F[x(t)] " F[´T (t)]
s s
2Ä„
"

F[´T (t)] = És ´(É - kÉs) = És´É (É)
s s
k=-"
" "

1 2Ä„ 1
Xs(É) = X(É) " ´(É - kÉs) = X(É - kÉs)
2Ä„ Ts k=-" Ts k=-"
TSIM W5: Próbkowanie sygnałów 1 2/14
TSIM W5: Próbkowanie sygnałów 1 3/14
Widmo sygnału dyskretnego


"
" "

Xs(É) = xs(t)e-jÉtdt = x(nTs)´(t - nTs) e-jÉtdt
-" -"
n=-"

" "
"

s
= x(nTs) ´(t - nTs)e-jÉtdt = x(nTs)e-jÉnT
-"
n=-" n=-"

És/2
1
s
x(nTs) = Xs(É)ejnT ÉdÉ
És -És/2
"

É
X(ej¸) = x(n)e-jn¸, ¸ = = ÉTs
fs
n=-"
TSIM W5: Próbkowanie sygnałów 1 4/14
Warunek Nyquista  zjawisko aliasingu
Ä„ 1
Ts , Ts
Ém 2fm
És 2Ém, fs 2fm
Częstotliwość Nyquista:
fs
fN
2
TSIM W5: Próbkowanie sygnałów 1 5/14
TSIM W5: Próbkowanie sygnałów 1 6/14
Teoretyczny model odtwarzania sygnału analogowego
na podstawie jego próbek


É
H(jÉ) = Ts
2Égr
Ém < Égr < És - Ém
TSIM W5: Próbkowanie sygnałów 1 7/14


É
Y (É) = H(jÉ)Xs(É) = Ts Xs(É)
2Égr

"

É 1
Y (É) = Ts X(É - kÉs) = X(É)
2Égr Ts k=-"
Ä„
Dla Ts = otrzymujemy:
Ém


Ä„ É
x(t) = F-1 " F-1[Xs(É)]
Ém 2Ém
h(t) = Sa(Émt)
"

Ä„
x(t) = Sa(Émt) " x(nTs)´(t - nTs), Ts =
Ém
n=-"
TSIM W5: Próbkowanie sygnałów 1 8/14
Szereg (interpolacyjny) Kotielnikowa-Shannona
"

Ä„
x(t) = x(nTs)Sa [Ém(t - nTs)] , Ts =
Ém
n=-"
Praktyczna realizacja operacji odtwarzania sygnału
analogowego z jego próbek
"

x(t) = v(t) " xs(t) = x(nTs)v(t - nTs)
Å»
n=-"
Å„Å‚

òÅ‚

1 dla 0 < t < Ts
t - Ts/2
v(t) = =
ół
Ts
0 dla pozostałych t
TSIM W5: Próbkowanie sygnałów 1 9/14
Å»
X(É) = V (É)Xs(É)
TSIM W5: Próbkowanie sygnałów 1 10/14

ÉTs
ÉTs
2
V (É) = TsSa e-j
2

"

ÉTs
ÉTs 2Ä„
Å»
2
X(É) = Sa e-j X(É - nÉs), És =
2 Ts
n=-"
Twierdzenie o próbkowaniu sygnałów stochastycznych
Definicja
Powiemy, że sygnaÅ‚ stacjonarny ¾(t) jest sygnaÅ‚em o ograniczonym
pasmie, inaczej sygnałem dolnopasmowym, jeżeli istnieje skończona
liczba Ém taka, że S¾(É) = 0 dla |É| > Ém. PulsacjÄ™ Ém nazwiemy
pulsacją graniczną sygnału.
TSIM W5: Próbkowanie sygnałów 1 11/14
PróbkÄ… sygnaÅ‚u ¾(t) w punkcie t = t0 nazwiemy zmiennÄ… losowÄ… ¾(t0)
określoną w tym punkcie. Próbkę sygnału w punkcie t = t0 będziemy
reprezentować impulsem Diraca w punkcie t0 o wysokoÅ›ci ¾(t0), tzn.
dystrybucjÄ… stochastycznÄ… ¾(t0)´(t - t0).
Stochastyczny sygnał spróbkowany:
"

¾s(t) = ¾(nTs)´(t - nTs)
n=-"
Twierdzenie
Niech ¾(t) bÄ™dzie sygnaÅ‚em stacjonarnym o funkcji autokorelacji R¾(Ä)
i widmie gÄ™stoÅ›ci mocy ¾(É) speÅ‚niajÄ…cym warunek S¾(É) = 0 dla
|É| Ém. SygnaÅ‚ ¾(t) jest równoważny zbiorowi swoich próbek
Ä„
odległych od siebie o stały przedział próbkowania Ts i jest
Ém
określony przez te próbki wyrażeniem:
TSIM W5: Próbkowanie sygnałów 1 12/14
"

¾(t) = ¾(nTs)Sa[Ém(t - nTs)]
n=-"
Równoważność tę rozumiemy jako równoważność w sensie
średniokwadratowym.
"

Ü
¾(t) = ¾(nTs)Sa[Ém(t - nTs)]
n=-"

2

¾(t) - ¾(t) = 0
Ü
E

t
TSIM W5: Próbkowanie sygnałów 1 13/14
Analiza odstępstw od idealnych założeń twierdzenia
o próbkowaniu
" nierealizowalność operacji próbkowania idealnego
" skończony czas trwania sygnału  nieograniczone pasmo
" skończone okno czasowe obserwacji sygnału
" zbyt wolne próbkowanie  ograniczenia przetworników A/C
" nierealizowalność idealnej filtracji dolnoprzepustowej
" skończona dokładność reprezentacji cyfrowej próbek
" losowy rozrzut rzeczywistych chwil, w których pobierane są próbki,
wokół chwil teoretycznych nTs
TSIM W5: Próbkowanie sygnałów 1 14/14