Widmo sygnału
Przypadek ciągły  z rozwinięcia w szereg Fouriera
" "
X śąÎąźą= xśątźą e- j ÎÄ…t dt gdzie ÎÄ…= 2Ćą f a w efekcie X śą f źą= xśąt źąe- j 2 Ćą f t dt
+" +"
- " -"
transformata odwrotna
"
1
j 2 Ćą f t
xśąt źą= X śą f źą e df
+"
2Ćą
-"
Funkcje są do siebie ortogonalne więc stanowią bazę przestrzeni !!!
e- j 2 Ćą f t
Przypadek dyskretny  równanie DFT:
N -1
X śąk źą= x śąnźąe- j 2Ćą k n / N gdzie 0d"kd" N -1 (dyskretne częstotliwości)
"
n =0
k F
s
formuła wyznaczania częstotliwości dyskretnych: f = (dlaczego akurat takie? !!!)
k
N
tr. odwrotna:
N-1
1
xśą nźą= X śą kźą ej 2 Ćąk n / N gdzie 0d"nd"N -1
"
N
k=0
Jeżeli wynik DFT zapiszemy jako liczbę zespoloną
j Ëąśąk źą
X śąk źą=Aśą k źą e = X śą kźąƒÄ… j X śą k źą
r i
to:
 moduł widma
2 2
X śąk źą = Aśąkźą= śą X śąk źąƒÄ… X śąk źąźą
#" #"
ćą
r i
 faza widma
X śąk źą
i
arg śą X śąkźąźą=Ëąśąk źą=arctan
śą źą
X śąk źą
r
 widmowa gęstość mocy
2 2
P śą kźą=#"X śąk źą#"2= X śą k źą conjśą X śąk źąźą=[ X śąk źąƒÄ… j X śą k źą] [ X śą kźą- j X śą kźą]= X śą kźąƒÄ… X śą k źą
r i r i r i
Transformata DFT dla sygnałów 2D
Jeżeli mamy obraz np.
o śą x , yźą x , y"$!
N -1 N -1 N -1 N -1
x y x y
x y y x
Ośą k , lźą= e- j 2Ćą k x / N ośą x , yźą e- j 2Ćąl y/ N = ośą x , yźą e- j 2 Ćąl y / N e- j 2 Ćąk x/ N
" " " "
śą źą
x=0 y=0 x=0 y=0
Własności
Symetria
Dla sygnałów rzeczywistych ciągłych !!! i dyskretnych zachodzi:
#"X śąk źą#"=#"X śą-k źą#" Ëąśąk źą=-Ëąśą-k źą
i
X śąk źą=conj śą X śą-k źąźą, X śąkźąƒÄ… j X śą kźą= X śą-kźą- j X śą-kźą
lub inaczej (można pokazać
r i r i
przez wstawienie -k do równania DFT)
Liniowość
Zachodzi dla sygnałów ciągłych i dyskretnych:
x śą nźą=a yśąnźąƒÄ…b z śąnźą
dla mamy
X śąk źą=a Y śą kźąƒÄ…b Z śąk źą
Okresowość
Dla dyskretnych
X śąk źą=X śąm"N ƒÄ…k źą , m"$!
(pokazać)
Przesunięcie w czasie
x śą nźą= y śąnƒÄ…n0źą
dla mamy
2 ĆąśąnƒÄ…n0źą 2 Ćąn0
N -1
- j k - j k
j ËÄ…0 k
N N
X śąk źą= yśą nźąe =e Y śąk źą=e Y śąk źą
"
k =0
(przesunięcie fazy widma o stały czynnik)
Przesunięcie w częstotliwości
2ĆąśąkƒÄ…k źą
N -1
0
- j n
1
N
dla mamy
X śąk źą=Y śą k ƒÄ…k0źą= Y śą kƒÄ…k0źąe
"
N
k=0
2 Ćąk0
j n
j ÎÄ…0 n
N
x śą nźą=e y śąnźą=e y śąnźą
(przemnożenie przez stałą częstotliwość)
Istnienie FT/DFT dla sygnałów okresowych i nieokresowych
DFT istnieje tylko dla sygnałów okresowych !!!
(proszę sobie przypomnieć przykład z aproksymacją linii prostej  Notatki4 BS)
Jeżeli sygnał transformowany nie jest okresowy to konsekwencją jest przeciek widma.
N=512; Fs=512; n=(0:N-1)/Fs; x=sin(2*pi*50*n); y=sin(2*pi*50.17*n);
plot(n,x,n,y);
X = fft(x); Y = fft(y); f = ((0:N-1)/N)*Fs;
plot(f,abs(X),'b*',f,abs(Y),'r*');
Najpowszechniejsze lekarstwo  okienkowanie sygnału
xwśąnźą=w śąnźą xśąn źą
N=256; Fs=N; n=(0:N-1)./Fs;
x=sin(2*pi*20*n); y=sin(2*pi*20.17*n);
plot(n,x,';x(n);',n,y,';y(n);');
w = bartlett(N)';plot(n,w,n,y.*w); %% okienko trójkątne
w = hamming(N)';plot(n,w,n,y.*w);
w = hanning(N)';plot(n,w,n,y.*w);
w = gausswin(N,3)';plot(n,w,n,y.*w);
xw= x.*w; yw = y.*w;
X=fft(x);XW=fft(xw);Y=fft(y);YW = fft(yw);f = ((0:N-1)/N)*Fs;
plot(f,abs(Y),'ro',f,abs(YW),'b*'); %% zmniejszony przeciek, ale nic za darmo
plot(f,abs(X),'ro',f,abs(XW),'b*');
Dlaczego tak się dzieje (rozmycie głównego prążka)?
xwśąnźą=w śąnźą xśąn źą Śą X śąk źą=X śą kźą"W śąk źą
w
wb = bartlett(N);
whm = hamming (N);
whn = hanning (N);
wg3 = gausswin (N,3); wg10 = gausswin(N,10);
plot(n,wb,n,whm,n,whn,n,wg3,n,wg10);
Wb = fft(wb);
Whn = fft(whn);
Whm = fft(whm);
Wg3=fft(wg3); Wg10=fft(wg10);
f = (0:N-1)/N;
plot(f,log10(abs(Wb)),f,log10(abs(Whn)),f,log10(abs(Whm)));
plot(f,log10(abs(Wg3)),f,log10(abs(Wg10)));
Zwiększanie rozdzielczości częstotliwościowej
Zwiększenie N powoduje więcej prążków częstotliwości  skąd wziąć dodatkowe próbki ?
N=32;n=(0:N-1);Fs=1;x=sin(2*pi*.27*n);plot(n,x);
X=fft(x);f=(-N/2:N/2-1)/N;plot(f,fftshift(abs(X)));
N=32;n=(0:N-1);Fs=1;x=sin(2*pi*.27*n);
y=[x,zeros(1,N)];M=size(y,2);m=(0:M-1);plot(m,y);
X=fft(x);fx=(-N/2:N/2-1)/N; Y=fft(y);fy=(-M/2:M/2-1)/M;
plot(fx,fftshift(abs(X)),fy,fftshift(abs(Y)));
FFT
Koszt obliczeniowy
2
DFT = N
N /2 log2śą N źą
FFT =
FFT o podstawie 2
N
X śąk źą= xśą nźąe- j 2 Ćąk n/ N
"
n=1
podstawmy W =e- j2Ćą/ N
N
N
k n
X śąk źą= xśą nźąW
"
N
n=1
i podzielmy próbki na parzyste i nieparzyste:
N / 2 N / 2 N /2 N / 2
2nk śą2n ƒÄ…1 źąk 2nk k 2nk
X śąk źą= xśą 2nźąW ƒÄ… x śą2nƒÄ…1źąW = xśą2n źąW ƒÄ…W xśą 2nƒÄ…1źąW
" " " "
N N N N N
n=1 n=1 n=1 n=1
ponieważ
2
W =e- j 2 Ćą2 / N=e- j 2 Ćą /śąN /2 źą=W
N N / 2
to
N / 2 N / 2
nk k nk
X śąk źą= xśą 2nźąW ƒÄ…W xśą2n ƒÄ…1źą W
" "
N /2 N N / 2
n=1 n=1
Podzielmy teraz częstotliwości na dwie połowy l dla 1d"kd" N /2 i
lƒÄ…N /2 dla N /2ƒÄ…1d"k d"N
N /2 N / 2
n śąlƒÄ… N / 2źą śąlƒÄ… N / 2źą n śąl ƒÄ…N / 2źą
X śąlƒÄ…N /2źą= xśą2n źąW ƒÄ…W xśą2nƒÄ…1źąW
" "
N / 2 N N / 2
n=1 n=1
zobaczmy, że
n śąl ƒÄ…N / 2źą nl nN /2 nl nl nl
W =W W =W e-śą j 2Ćą n N /2 źą/ N / 2=W e- j 2 Ćąn=W
N / 2 N / 2 N / 2 N /2 N / 2 N / 2
oraz
śąl ƒÄ…N /2źą l N / 2 l l l l
W =W W =W e-śą j 2 Ćąn N / 2źą/ N=W e- j Ćąn=W śą-1źą=-W
N N N N N N N
tak więc:
N /2 N /2
nl l nl
X śąlƒÄ…N /2źą= xśą2n źąW -W xśą2nƒÄ…1źąW
" "
N / 2 N N /2
n=1 n=1
i dla dolnych częstotliwości (poniżej N/2)
N /2 N / 2
nl l nl
X śąlźą= xśą2n źąW ƒÄ…W xśą2nƒÄ…1źąW
" "
N / 2 N N / 2
n =1 n =1
czyli:
l
X śąlźą = AśąlźąƒÄ…W B śąlźą
N
l
X śąlƒÄ…N /2źą = Aśąlźą-W B śąlźą
N