Próbkowanie sygnałów
Dyskretną reprezentację sygnału ciągłego uzyskuje się przez okresowe próbkowanie tj.:
x[n] = xc (nT ), - " < n < "
-idealny przetwornik A/C, (C/D)
gdzie
T
-okres próbkowania [s]
1
= fs
-częstotliwość próbkowania [Hz]
T
W celu ułatwienia analizy matematycznej próbkowanie sygnału ciągłego xc(t) przedstawia się jako
iloczyn tego sygnału z funkcją impulsów jednostkowych (impulsów Diraca), po którym następuje
zamiana ciągłego sygnału spróbkowanego xs(t) na ciąg dyskretny x[n]:
"
s(t) =
"� (t - nT)
n=-"
"
xs (t) = xc (t)s(t) = xc (t) (t - nT)
"�
n=-"
"
xs (t) =
c
"x (nT)� (t - nT)
n=-"
1
xc (t)s(t)
W dziedzinie częstotliwości iloczyn jest splotem transformat Fouriera tych sygnałów
1
X ( j&!) = X ( j&!) " S( j&!)
xc(t) �!F Xc ( j&!) s(t) �!F S( j&!)
Ż# Ż#
s c
( , ):
2Ą
"
2Ą
2Ą
S( j&!) =
&!s = = 2Ą fs
"� (&! - k&!s ),
Uwzględniając: , - częstotliwość próbkowania [rad/s]
T
T
k=-"
"
1
Xs( j&!) =
c
"X (j(&! - k&!s)).
otrzymujemy wyrażenie na widmo sygnału spróbkowanego T
k=-"
Widmo sygnału spróbkowanego składa się z okresowo powtarzanych kopii widma sygnału
Xc ( j&!)
ciągłego (próbkowanego). Kopie te są poprzesuwane o całkowite krotności częstotliwości
&!s
próbkowania . Aby sąsiednie kopie widma nie zachodziły na siebie musi być spełniony warunek:
&!s - &!N > &!N &!s > 2&!N
&!N Xc ( j&!)
lub , gdzie - największa niezerowa częstotliwość w widmie .
aliasing
2
Tw. Nyquista o próbkowaniu
xc (t) Xc ( j&!) = 0, | &! |e" &!N
Niech będzie sygnałem o ograniczonym paśmie częstotliwości . Wówczas
2Ą
&!s = e" 2&!N
x[n] = xc (nT ), n = 0, ą1, ą 2,...
xc (t)
jest jednoznacznie określony przez próbki jeżeli .
T
xc (t) = cos&!0t �!F Xc ( j&!) = Ą(� (&!0) + � (-&!0))
Ż#
xr (t) = cos&!0t xr (t) = cos(&!s - &!0 )t
- aliasing
3
aliasing
Przykłady próbkowania:
4
 5
 6
"
xs (t) =
c
"x (nT)� (t - nT)
Wyznaczając ciągłe przekształcenie Fouriera sygnału otrzymujemy
n=-"
" "
j&!Tn j� - j� n
X ( j&!) = X (e ) =
s c
"x (nT)e- x[n] = xc (nT ) "x[n]e
, ponieważ oraz można zapisać
n=-" n=-"
"
1
j� j&!T
Xs( j&!) =
X ( j&!) = X (e ) = X (e )
c
"X (j(&! - k&!s)).
s
, co po uwzględnieniu prowadzi do
T
�=&!T
k=-"
"
1
X(ej&!T ) =
c
"X (j(&!-k&!s)),
T
k=-"
2Ą
lub równoważnie (� = &!T, &!s = T )
"
�# ś#
1 � 2Ą k
ś#ź#
ś#
X(ej�) = Xcś# j�# -
ś# ź#ź#
"
.
T T T
�# #
�# #
k=-"
j�
X(e )
� = &!T
Widmo sygnału dyskretnego jest przeskalowaną w częstotliwości przez współczynnik
Xs( j&!) &! = &!s
wersją widma sygnału spróbkowanego . Częstotliwości próbkowania odpowiada
� = 2Ą
częstotliwość znormalizowana .
7
Rekonstrukcja sygnału ciągłego z reprezentacji dyskretnej
Do rekonstrukcji sygnału ciągłego z jego reprezentacji dyskretnej stosuje się analogowy filtr
dolnoprzepustowy, który wycina z okresowego widma sygnału dyskretnego fragment identyczny z
widmem sygnału analogowego.
"
xs (t) =
"x[n]� (t - nT)
Jeśli na wejście analogowego filtra rekonstrukcji hr(t) podamy sygnał to na
n=-"
jego wyjściu otrzymamy sygnał zrekonstruowany:
"
xr (t) =
r
"x[n]h (t - nT)
n=-"
Częstotliwość graniczną filtra hr(t) dobiera się jako połowę częstotliwości próbkowania.
8
Odpowiedz
impulsowa filtra hr(t) (odwrotna transformata Fouriera zadanej funkcji częstotliwości)
ma postać:
sin(Ą t /T )
hr (t) =
Ą t /T
po podstawieniu
"
sin(Ą (t - nT) /T)
xr (t) = x[n]
"
Ą (t - nT) /T
n=-"
hr (0) = 1 hr (nT ) = 0, n = ą1, ą 2,...
Z reguły d'Hospitala , dodatkowo zachodzi co oznacza, że sygnał
zrekonstruowany ma te same wartości, co sygnał dyskretny w chwilach próbkowania.
Filtr rekonstrukcji interpoluje wartości dla czasów pomiędzy próbkami sygnału dyskretnego.
9
 10
 11
Metoda niezmiennej odpowiedzi impulsowej
Hc ( j&!)
Załóżmy, że chcemy zrealizować funkcje analogowego systemu LTI w postaci dyskretnej
j� j�
H (e ) H (e ) = Hc ( j� /T ), | � |< Ą
, tzn., aby zachodziło przy takim doborze T, że
Hc ( j&!) = 0, | &! |< Ą /T
, wtedy
h[n] = Thc (nT )
(*)
Przykład:
1
H (s) =
c
Zrealizować w postaci dyskretnej transmitancję .
s2 + 2s +1
2
- t �# ś#
2
2
ź#
hc (t) = 2 e sinś# t
Odpowiedz
impulsowa wynosi: ś# ź#
2
�# #
Podstawiając do (*) otrzymujemy odpowiedz
impulsową układu dyskretnego:
2
- nT �# ś#
2
2
ź#
h[n] = Thc (nT ) = T 2 e sinś# nT
ś# ź# , z której następnie wyznaczmy transmitancję układu:
2
�# #
T 2
Ą# ń#
�# ś# -
T 2
2
Ą#
ź#
zó#T 2 sinś# e
ś# ź#
ó# Ą#
2
�# #
Ł# Ś#
H (z) =
T 2
Ą# ń#
�# ś# -
T 2
2
Ą#
ź#e 2 + e-T 2
z - zó#2 cosś#
ś# ź#
ó# Ą#
2
�# #
Ł# Ś#
12
rad 2Ą rad 2Ą
Ą# ń# Ą# ń#
&!s = 15 T = = 0.4189[s] &!s = 100 T = = 0.0628[s]
ó# Ą# ó# Ą#
s &!s s &!s
Ł# Ś# Ł# Ś#
0.12858 z 0.003775 z
H (z) = H (z) =
z2 - 1.4225 z + 0.55301 z2 - 1.9112 z + 0.91498
13
Zmiana częstotliwości próbkowania
xd [n] = x[nM ] = xc[nMT ]
Obniżenie fs o czynnik całkowity (decymacja, downsampling) .
Ze względu na aliasing fs może być obniżona M razy tylko wtedy, jeżeli najwyższa częstotliwość w
widmie sygnału jest mniejsza od fs/M. Przed decymacją stosuje się antyalisingowy, cyfrowy filtr
dolnoprzepustowy.
Widma sygnałów x[n] i xd[n] są następujące:
" "
�# ś# �# ś#
1 � 2Ą k 1 � 2Ą r
ś#ź# ś#ź#
j�
j�
ś# ś#
X(e ) = Xcś# j�# - ź#ź# ś#
Xd (e ) = Xcś# j�# - ź#ź#
ś#
" "
, ,
T T T MT MT MT
�# # �# #
�# # �# #
k=-" r=-"
r = i + kM, - " < k < ", 0 d" i d" M -1
podstawiając można zapisać
M-1 "
" "
Ą#1
ś#
�# ś# �# ś# 1
1 � 2Ą r 1 � 2Ą (i + kM) � 2Ą k 2Ą i
ś#ź# = ś#ź# =
j�
ś#
ś# ś# Xcś# j�# - - ź#ź#Ą#
Xd (e ) = Xcś# j�# - ź#ź# ś# ź#ź#
Xcś# j�# -
ś#
" " "ó#T "�# ś# MT T MT ś#ź#ń#
MT MT MT MT MT MT M
�# # �# # �# #
�# # �# # ó# �# #Ą#
r=-" i+kM=-" i=0 k=-" Ś#
Ł#
Wyrażenie w nawiasach kwadratowych można zapisać:
"
�# -2Ą i 2Ą k
ś#
1 �
ś#ź#
j(�-2Ą i)/ M
ś#
X(e )= Xcś# j�# - ź#ź#
ś#
"
T MT T
�# #
�# #
k=-"
W rezultacie zależność pomiędzy widmami sygnałów x[n] i xd[n] jest następująca:
M-1
1
j� j(�-2Ą i)/ M
Xd (e ) = (e )
"X
M
i=0
Widmo sygnału xd[n] składa się z M kopii widma sygnału x[n] przeskalowanych w częstotliwości
2Ą / M
przez M i przesuniętych o całkowite krotności .
14
1
Xd (ej�) = [X(ej�/ 2)+ X(ej(�-2Ą )/ 2)]
M = 2 &!s2 = &!s1 / 2
,
2
15
M=3 bez filtra antyaliasingowego M=3 z filtrem antaliasingowym
16
Zwiększanie częstotliwości próbkowania o czynnik całkowity (interpolacja, upsampling) polega na
określeniu wartości dodatkowych próbek pomiędzy próbkami ciągu interpolowanego:
xi[n] = x[n / L] = xc (nT / L), n = 0, ą L, ą 2L,...
Dyskretna realizacja interpolacji składa się z expandera i dolnoprzepustowego, cyfrowego filtra
Ą / L
interpolującego o częstotliwości odcięcia i wzmocnieniu L.
"
x[n / L], n = 0, ą L, ą 2L...
ż#
xe[n] =
xe[n] =
�#
"x[k]�[n - kL]
lub równoważnie
�#0,
k=-"
Widmo sygnału xe[n] jest następujące:
" " "
�# ś#
j� j� n - j�Lk j�L
ś#
X (e ) = = = X (e )
e
" "x[k]�[n - kL]ź#e- "x[k]e
ś# ź#
n=-" k=-" # k=-"
�#
17
Widmo na wyjściu expandera jest przeskalowaną przez L wersją widma na jego wejściu.
j� j2�
L = 2, Xe (e ) = X (e )
j� j�
Xi(e ) Xe (e )
Widmo sygnału po interpolacji uzyskuje się z widma sygnału na wyjściu expandera
2Ą
po usunięciu fragmentów widma, które nie są całkowitymi krotnościami oraz wzmocnieniu
amplitud widma L razy.
18
 19
 20
Zmiana częstotliwości próbkowania o czynnik niecałkowitoliczbowy
21
Multirate signal processing
Zmiana kolejności filtracji i decymacji
Widma sygnałów z rys.b są następujące
j� j�M j�
Xb (e ) = H (e )X (e )
,
M -1
1
Y(ej�) = (ej(�/ M -2Ą i / M)),
b
"X
M
i=0
podstawiając otrzymujemy
M-1
1
j� j(�/ M-2Ą i/ M) j(�-2Ą i)
Y(e ) = (e )H(e )
"X
M
i=0
j(�-2Ą i) j�
H (e ) = H (e )
ponieważ
H (z) = h0z0 + h1z1 + h2z2 + h3z3 + h4z4
M-1
1
j� j� j(�/ M-2Ą i/ M) j� j�
H (z2) = h0z0 + 0 + h1z2 + 0 + h2z4 + 0 + h3z6 + 0 + h4z8
Y(e ) = H(e ) (e )= H(e )Xa(e )
"X
M
i=0
22
Zmiana kolejności expandera i interpolatora
j� j�L j�L j�L j� j�L
Y (e ) = X (e ) = X (e )H (e ) Xb (e ) = X (e )
Z rys.a otrzymujemy , ponieważ , po
a
podstawieniu otrzymujemy:
j� j�L j�
Y (e ) = H (e )Xb (e )
23
Dekompozycja polifazowa
Dekompozycja polifazowa ciągu dyskretnego polega na przedstawieniu go jako superpozycji M
podciągów, z których każdy składa się z kolejnych M-tych wartości dekompowanego ciągu.
Dekompozycja taka zastosowana do odpowiedzi impulsowej filtra prowadzi do wydajnych
obliczeniowo implementacji.
Rozważmy odpowiedz
impulsową h[n] zdekomponowaną na M podciągów hk[n]:
h[n + k], n / M " C
ż#
hk[n] =
�#0
�#
Oryginalną odpowiedz
impulsową można zrekonstruować w sposób następujący:
M -1
h[n] =
k
"h [n - k]
k=0
W strukturach na rysunkach ciągi
ek [n] = h[nM + k] = hk [nM ]
są składowymi polifazowymi ciągu h[n].
W dziedzinie transformaty Z polifazowa reprezentacja filtra ma postać:
M -1
H (z) =
k
"E (zM )z-k
k=0
24
 25
Implementacja polifazowa filtru decymującego
Postać polifazowa filtra decymującego h[n] jest następująca:
ek [n] = h[nM + k]
W dziedzinie transformaty Z reprezentacja polifazowa filtra h[n] ma postać:
M -1
H (z) =
k
"E (zM )z-k
k=0
Układ decymatora można przedstawić w postaci polifazowej:
26
Koszt obliczeń:
1. bezpośrednio - 2 (11 'x', 11 '+') = 22 'x', 22 '+' - ogólnie 2N 'x', 2N '+'
2. polifazowo - 3 ( 4 'x', 4 '+') + 3 '+' = 12 'x', 15 '+' - ogólnie N 'x', N + M '+'
27
Implementacja polifazowa filtru interpolującego
28
Struktura układu rzeczywistego
Ze względu na koszt obliczeń (szybkość) działania pożądane jest stosowanie niskich częstotliwości
próbkowania. Wymaga to stosowania ostrych analogowych filtrów antyaliasingowych, które są
trudne w realizacji, drogie i mają niekorzystne parametry (nieliniowa faza, możliwość dostrajania).
Rozwiązaniem tego problemu może być nadpróbkowanie sygnały umożliwiające stosowania
łagodnych filtrów analogowych, a następnie decymacja sygnału z cyfrowym filtrem
antyaliasingowym (możliwa liniowa charakterystyka fazowa).
29
Twierdzenie o modulacji
30