Sygnały i ich podziały
Definicja sygnału
Sygnał to abstrakcyjny model dowolnej mierzalnej
wielkości zmieniającej się w czasie, generowanej
przez zjawiska fizyczne lub systemy. Tak jak wszystkie
zjawiska może być opisany za pomocą aparatu
matematycznego np. poprzez podanie pewnej funkcji
zależnej od czasu. Ponieważ sygnał niesie informację
o naturze badanych zjawisk lub systemów,
w niektórych dziedzinach nauk jest on traktowany jak
nośnik informacji. Sygnał oznacza zatem przepływ
strumienia informacji, przy czym przepływ może
odbywać się w jednym lub w wielu wymiarach.
2
 Pojęcie model matematyczny sugeruje pojęcie ścisły, a studenci
często mają mylny pogląd, że ścisłość zapewnia prawdziwość od strony
fizycznej. A co gorzej, mogą oni uwierzyć, że zwykłe przekształcenia
algebraicznych symboli wykonywane ściśle zapewniają poprawność
wyników. Wiara w takie przekształcenia i operacje może być tak duża,
że student gotów jest uznać za prawdziwe takie wyniki, których
oczywista niezgodność z fizycznym punktem widzenia jest widoczna
bez poszukiwania błędu w rozwiązaniach.
 Studenci powinni być przyzwyczajeni do zasad
zdrowego rozsądku
jeszcze bardziej niż do ścisłego myślenia.
Prof. Sergei Alexander Schelkunoff,
Electromagnetic Fields, New York 1963
3
Sygnały przedstawić możemy w postaci:
" funkcji w dziedzinie czasu, częstotliwości, przestrzeni
" w postaci graficznej
" w postaci tabeli, ciągu wartości
Sygnał opisują takie wielkości, jak:
" czas trwania
" wartość chwilowa
" okresowość, częstotliwość
" wartość średnia, skuteczna, maksymalna
" energia, moc
" rozkład gęstości prawdopodobieństwa
" itd.
4
Rys. 1. Podział sygnałów
5
x(t) x " R xi " Dx
dyskretny w amplitudzie
analogowy
t " R
(skwantowany)
dyskretny w czasie
Cyfrowy
ti " Dt
(spróbkowany)
CI
GA
Y DYSKRETNY
D: skończony lub przeliczalny zbiór liczb rzeczywistych, wybranych z
R(- ",")
Rys. 2. Różne klasyfikacje sygnałów ze względu na dziedziny
argumentu i obrazu
6
Sygnałem ciągłym w czasie jest funkcja x(t), której dziedziną
jest każdy punkt przedziału osi czasu
Sygnałem dyskretnym w czasie jest funkcja x[n], której
dziedziną jest zbiór liczb całkowitych
Sygnał ciągły Sygnał spróbkowany
(dyskretny w czasie)
Sygnał cyfrowy
Sygnał skwantowany
(dyskretny w czasie i w wartościach)
(dyskretny w wartościach, czasowo ciągły)
7
Definicja sygnału deterministycznego
Sygnałem deterministycznym jest dowolna rzeczywista
lub zespolona funkcja czasu lub dystrybucja czasu.
Nie wszystkie funkcje i dystrybucje są odpowiednimi
i sensownymi modelami sygnałów fizycznych.
Stosunkowo najlepiej opisują rzeczywistość fizyczną
następując klasy sygnałów:
" klasa sygnałów o ograniczonej energii (sygnały energii),
" klasa sygnałów o ograniczonej mocy (sygnały mocy),
" klasa sygnałów o nieskończonym czasie trwania (sygnały ciągłe),
" klasa sygnałów o skończonym czasie trwania (sygnały impulsowe).
8
Elementarne sygnały ciągłe
Funkcja skokowa Heaviside'a (skok jednostkowy)
dla przypadku założenia "
Funkcja 1(t) jest różniczkowalna
tylko w sensie dystrybucyjnym:
9
Delta Diraca
(funkcjonał, pseudofunkcja, dystrybucja, funkcja impulsowa)
Definicja:
"
0 dla t `" 0
ńł
� (t) =
oraz
�ł
+"� (t) dt =1
dla t = 0
ół"
-"
"
+"� (t - t0) f (t) dt = f (t0)
-"
Delty Diraca tworzą tzw.
funkcją próbkującą �T(t)
"
�Ts(t) =
"� (t - nTs )
n=-"
próbka  ang. sample (jako próbka a" wzorzec  ang. pattern)
a"
a"
a"
próbkowanie  ang. sampling
10
Konstrukcja impulsu Diraca
Sygnał �(t) jest sygnałem
o nieograniczonej mocy !
11
Oliver Heaviside
Angielski matematyk, fizyk
i elektrotechnik.
Rozwinął teorię pola
elektromagnetycznego Maxwella,
Ponadto rozwinął i zastosował
rachunek wektorowy i operatorowy.
1850 - 1925
12
Paul Adrien Maurice Dirac
Angielski fizyk-teoretyk, twórca
mechaniki i elektrodynamiki
kwantowej.
Laureat Nagrody Nobla
w dziedzinie fizyki w 1933 roku.
1902 - 1984
13
Sygnał harmoniczny
2Ą
x(t) = X cos�ł t +�0 �ł = X cos(�t +�0)
�ł �ł
m m
T
�ł łł
okres [s]
T lub T0
faza początkowa [rad]
�0 "[-Ą ,Ą ]
1
f =
częstotliwość [Hz]
T
pulsacja [rad/s], dla ciągłych też jako &!
� = 2Ą f
� = 2Ą f
wartość szczytowa (amplituda)
Xm e" 0
wartość międzyszczytowa
X = 2Xm
MM
14
Dudnienie
W przypadku złożenia dwóch drgań harmonicznych o jednakowych
amplitudach efekt można przedstawić w formie matematycznej.
Dla przypadku dwóch drgań o jednakowych amplitudach i częstościach
�1=2Ąf1, �2=2Ąf2 przebieg drgań opisany jest funkcjami:
Przyjmuje się oznaczenia:
2Ą f1 + 2Ą f2 2Ą f1 - 2Ą f2 2Ą
�w = , �m = = Ą "f =
2 2 Td
(pulsacja wypadkowa) (pulsacja modulacji)
Tw to średnia harmoniczna okresów T1 i T2
3 i 6 4 ( arytmetyczna 4.50; geometryczna 4.24)
12 i 20 15 (arytmetyczna16; geometryczna 15.49)
15
Dudnienie cdn.
Powstające w wyniku złożenia drganie można traktować jako drganie
o częstości równej średniej arytmetycznej częstości drgań składowych
oraz powoli zmiennej amplitudzie, z częstością równą połowie różnicy
częstości drgań składowych. Zależność tą można przedstawić za
pomocą równania:
� = A(t)sin(�w t)
Efektem fizycznym takiego sumowania jest to, że drgania zachowują
swój szybkooscylacyjny charakter (tu funkcja sinus), zachodzi
jednocześnie powolna zmiana amplitudy (tu funkcja cosinus) sygnału,
co dla dz
więku powoduje słyszalną zmianę głośności w czasie.
16
Efekt dudnienia na przykładzie strojenia dz
więku  a  suma funkcji
sin(2Ąf1 t) i sin(2Ą f2 t) wraz z obwiednią cos(�m t):
Amplituda
t [s]
gdzie: f1 = 440 Hz , f2 = 435 Hz, �m = Ą "f = 5Ą rad/s
�m = 2Ą fd �! okres dudnień Td = Tm = 2Ą /�m= 2Ą / 5Ą = 0.4 sekundy
17
Sygnał poliharmoniczny
Ogólnie sygnał poliharmoniczny można opisać funkcją czasu:
"
x(t) = X0 + X sin(2Ąn f1 t +�0)
" n
n=1
Sygnały poliharmoniczny składają się ze składowej X0 i nieskończonej
liczby składowych sinusoidalnych, nazywanych harmonicznymi,
o amplitudach Xn i fazach początkowych �0. Częstotliwości wszystkich
składowych harmonicznych stanowią całkowite wielokrotności
częstotliwości podstawowej f1.
Są to sygnały
o skończonym
widmie
częstotliwościowym.
(Zapamiętać!)
f1 = 1 Hz, f2 = 2 Hz
18
Sygnały okresowe a harmoniczne
Sygnał okresowy: x(t+T) = x(t)
Suma dwóch sygnałów harmonicznych: T1 = 2, T2 = 3, A1 = A2 = 1.
Okres T to NWW okresów T1 i T2 równa 6 sekund; fm = "f/2 = (1/2  1/3)/2 �! Tm = 12 sekund.
19
Sygnał okresowy i prawie okresowy
Sygnał, który powstał z sumowania dwóch lub więcej fal sinusoidalnych
o dowolnych częstotliwościach nie musi być sygnałem okresowym.
Suma dwóch lub więcej fal sinusoidalnych tworzy sygnał okresowy tylko
w tym przypadku, gdy stosunki wszystkich możliwych par częstotliwości
wyrażają się liczbami wymiernymi. Na przykład sygnał:
x(t)= X1 sin(2Ą 5t) + X2 sin(2Ą 3t) + X3 sin(2Ą 7t)
jest okresowy, ponieważ wszystkie stosunki częstotliwości są liczbami
wymiernymi. Natomiast sygnał:
x(t) = X1 sin(2Ą 5t) + X sin(2Ą 3t) + X3 sin(2Ą 30 t)
2
nie jest okresowy, ponieważ liczby np. są niewymierne.
5/ 30 ,3/ 30
W takich przypadkach sygnał określa się jako sygnał prawie okresowy.
20
Sygnał prawie okresowy
, T2 =
T1 = 3 , T1 T2 H" 2,45 , A1 = A2 = 1
2
21
Który z poniższych sygnałów dyskretnych (n całkowite)
jest sygnałem okresowym?
1. sin (2n)
2. sin (n/2)
3. sin ( " 2 n)
Definicja funkcji okresowej, w szczególnym wypadku funkcji dyskretnej,
o okresie N próbek ma postać
f(n) = f(n+N).
Dla żadnej z funkcji 1,2,3 nie istnieje N całkowite spełniające powyższy warunek.
Dyskretne funkcje harmoniczne mają postać sin(2Ąn/N)
i wtedy N nazywamy okresem funkcji.
22
Sygnały wykładnicze
Rzeczywista:
f(t) = eat = exp(at)
gdzie e (liczba Eulera) jest równa granicy
n
1
�ł
e = lim�ł1+
�ł �ł
n"
n
�ł łł
2,718 .
i w przybliżeniu wynosi e H"
H"
H"
H"
Całka i pochodna z exp(t) po dt jest równa exp(t) .
23
Zespolona funkcja wykładnicza
f(t) = e st
gdzie:
s = ą + j� jest częstotliwością zespoloną,
ą  tłumienie (lub często �, nie mylić z odchyleniem standardowym! ) ,
�  rzeczywista pulsacja, a stanowi część urojoną pulsacji zespolonej s.
Wzory Eulera dla � = �t
j�
j�
e - e-j�
e + e-j�
sin� =
cos� =
2j
2
j�
e = cos� + jsin�
24
Przykłady zespolonych funkcji wykładniczych
25
Przykłady zespolonych funkcji wykładniczych
e(a + j�) t - e(a - j�) t
= eat sin(�t)
2 j
26
Płaszczyzna zmiennej zespolonej
Jeśli można interpretować liczby jako leżące na osi liczbowej, to dlaczego nie na płaszczyz
nie?
27
 Najpiękniejszy wzór matematyki
łączący pięć najważniejszych stałych
1, 0, j
Ą , e,
n
1
�ł
e = lim�ł1+ H" 2,718281 ...
�ł �ł
n"
n
�ł łł
"
1 1 1 1 1 1
e = = + + + + + L
"
n! 0! 1! 2! 3! 4!
n=0
Ą
Ą
Ą
e jĄ + 1 = 0
28
W 1706 roku Sir William Jones prowadził symbol Ą,
od pierwszej litery greckiego słowa Ą��Ż����ż� -
perimetron, czyli obwód. Jako pierwszy dokładniej tę stałą
badał Archimedes (a Ą znane jest od starożytnego
Sir William Jones
Babilonu 2000 lat p.n.e.) i w III w. p.n.e. oszacował ją z
1675 - 1749
dokładnością do dwóch liczb po przecinku jako:
22/7 H" 3,1428.
Leonhard Euler - szwajcarski matematyk i fizyk. Prace
z zakresu równań różniczkowych i całkowych, teorii grafów
mechaniki, optyki, astronomii.
Rozpropagował oznaczenie symbolu Ą, był autorem
oznaczenia e jako podstawy logarytmu naturalnego (liczba
Eulera), zastosowania greckiej litery Ł do oznaczenie sumy
oraz litery i do wyrażenia liczby urojonej, wprowadził
Leonhard Euler
pojęcie i oznaczenie funkcji f(x).
1707-1783
29
Sygnały stochastyczne
Sygnał stochastyczny to sygnał, którego wartości w każdej
chwili są zmiennymi losowymi.
Na podstawie ważnego dla obliczeń praktycznych twierdzenia
o sygnałach ergodycznych, uśrednianie po nieskończonym zbiorze
wartości zmiennej losowej w danej chwili czasowej, można zastąpić
uśrednianiem po nieskończonym zbiorze realizacji zmiennych
losowych w kolejnych chwilach czasowych. Występujące w praktyce
stochastyczne sygnały stacjonarne (o niezmiennych w czasie
parametrach losowych) to sygnały ergodyczne.
30
Sygnały losowe są to takie, które opisujemy za pomocą
procesu stochastycznego  każda funkcja traktowana jest
jako jedna z wielu możliwych realizacji procesu
stochastycznego.
Sygnały losowe dzielimy na:
- sygnały stacjonarne, których charakterystyki statystyczne
(np. wartość średnia, wartość średnia kwadratowa, funkcja
korelacji) nie są funkcjami czasu
- sygnały niestacjonarne.
Sygnały stacjonarne dzielimy na:
- ergodyczne
- nieergodyczne.
Ergodycznym jest proces, którego dowolna statystyczna
charakterystyka, otrzymana ze zbioru realizacji w dowolnej chwili jest
równa podobnej charakterystyce otrzymanej z jednej realizacji procesu
obliczonej jako średnia w dostatecznie długim czasie
31
f�1(xi,t1)  rozkład gęstości
prawdopodobieństwa
zmiennej losowej �1
w chwili t1
x1(t), x2(t), ... xn(t) 
poszczególne realizacje
procesu stochastycznego
� (t1),... � (tj)  przekrój
przez proces stochastyczny
w dowolnej chwili czasu jest
zmienną losową
32