Drugie kolokwium przykładowe
Matematyka 2, semestr letni 2010/2011
Zadanie 1. Obliczyć
dz d2z
(1) i (1)
dx dx2
jeśli
z(x) = x2 + y2(x),
a funkcja x - y(x) zadana jest niejawnie w otoczeniu (1, 1) równaniem
x2 - xy + y3 = 1.
`&
Zadanie 2. Znalez
ć wszystkie punkty krytyczne funkcji
f(x, y) = (1 + ey) cos(x) - yey
i używając drugiej pochodnej zbadać typ jednego z nich. `&
Zadanie 3. Niech f : R2 - R będzie funkcją różniczkowalną przynajmniej dwa razy w sposób
ciągły. Zapisać wyrażenie

"f "f "2f "2f "2f
x - y + xy - + (x2 - y2)
"y "x "y2 "x2 "x"y
we współrzÄ™dnych biegunowych (r, Õ) danych wzorami
x = r cos(Õ) y = r sin(Õ).
`&
Zadanie 4. Wśród prostopadłościanów, których całkowita powierzchnia jest równa 24, znalez
ć
prostopadłościan o największej objętości. Podać długość jego krawędzi.`&
1