42
przestrzenie zakrzywione
42-1. Przykłady dwuwymiarowych przestrzeni zakrzywionych
Newton nauczył nas, że dowolne ciało we Wszechświecie jest przyciągane przez każde
inne ciało siłą proporcjonalną do kwadratu jego odległości oraz że każde ciało doznaje
przyspieszenia wprost proporcjonalnego do sił nań działających. Taka jest właśnie treść
newtonowskiego prawa powszechnego ciążenia i newtonowskich praw ruchu. Prawa te,
jak wiemy, pozwalają nam zdać sprawę z ruchów piłek, planet, ich satelitów, galaktyk
i wielu innych obiektów.
Odmienną interpretację prawa powszechnego ciążenia podał natomiast Einstein.
Według niego przestrzeń i czas  rozpatrywane łącznie jako czasoprzestrzeń  są w po-
bliżu ciężkich mas zakrzywione. Ciała zaś wykonują obserwowane przez nas ruchy tylko
dzięki ich tendencji do poruszania się w tej zakrzywionej czasoprzestrzeni wzdłuż  linii
prostych". Jest to naprawdę niezwykle zawiła koncepcja. W bieżącym rozdziale przed-
stawimy jej najistotniejszą treść i to tylko w zarysie.
W rozważaniach naszych zwrócimy uwagę na trzy odmienne aspekty tego zagadnie-
nia. Pierwszy dotyczy samego zjawiska ciążenia, drugi zawiera omówioną już przez nas
koncepcję czasoprzestrzeni, a trzeci jest związany z problemem krzywizny czasoprze-
strzeni. We wstępnych rozważaniach uprościmy nasze podejście i nie będziemy się przej-
mować ani grawitacją, ani też pojęciem czasu  zajmiemy się po prostu przestrzenią
zakrzywioną. Pozostałe aspekty tego zagadnienia zostaną wyłożone w następnych pa-
ragrafach, teraz zaś zajmiemy się wyłącznie pojęciem krzywizny przestrzeni; spró-
bujemy wyjaśnić co się w ogóle rozumie przez przestrzeń zakrzywioną oraz co się
rozumie mówiąc o pojęciu przestrzeni krzywej w szczególnym przypadku wspomnianego
zastosowania tego pojęcia przez Einsteina. Nawet tak ograniczone zagadnienie okazuje
się jeszcze zbyt trudne w przypadku trzech wymiarów. Będziemy więc musieli zawęzić
406 42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE
nasze zagadnienie jeszcze bardziej i wyja-
śnić znaczenie słów  przestrzeń zakrzywiona"
przede wszystkim w odniesieniu do dwóch
wymiarów.
Aby zrozumieć koncepcję przestrzeni za-
krzywionej w dwóch wymiarach, musimy się
odwołać do ograniczonego punktu widzenia
42.1. Żuk na płaszczyz
nie
istot, które by taki dwuwymiarowy świat
zamieszkiwały. Wyobraz
my sobie, na przy-
kład, pozbawionego oczu żuka, który żyje
na płaszczyz
nie, i którego przedstawiliśmy na rys. 42.1. Żuk ten może poruszać się tylko
na płaszczyz
nie i nie ma żadnych możliwości dowiedzenia się, że poza jego płaszczyzną
istnieje jakikolwiek  świat zewnętrzny". (Nie ma on bowiem Twojej Czytelniku wyobraz
ni.)
Zamierzamy oczywiście oprzeć nasze rozumowanie na analogii. To właśnie my żyjemy
w trójwymiarowym świecie i to właśnie nasza wyobraz
nia nie dopuszcza możliwości
wzniesienia się z naszego trójwymiarowego świata w jakimś nowym kierunku; dlatego
też musimy przedstawić całą sprawę odwołując się do analogii. Jesteśmy w podobnej
sytuacji jak żuki żyjące na płaszczyz
nie, dla których przestrzeń w kierunkach wyprowadza-
jących poza płaszczyznę nie istnieje. Dlatego też będziemy śledzić w naszym rozumowaniu
najpierw postępowanie żuka, pamiętając, że może on żyć tylko na określonej powierzchni
i nie może tej powierzchni opuszczać.
Innym przykładem żyjącego w świecie dwuwymiarowym żuka, którego postępowanie
będziemy śledzić, będzie żuk żyjący na powierzchni kuli. Tutaj również wyobrażamy sobie,
że żuk ten może spacerować po powierzchni kuli, jak to przedstawiliśmy na rys, 42.2, lecz
nie istnieją dla niego takie pojęcia jak  góra" lub  dół", ani w ogóle pojęcie kierunku
wyprowadzającego na zewnątrz z zamieszkałej przez niego powierzchni,.
W rozważaniach naszych potrzebny nam będzie jeszcze trzeci rodzaj stworów tego
typu. Będą to też żuki, podobne do poprzednich; tak samo będą żyły na płaszczyz
nie,
lecz tym razem będzie to płaszczyzna szczególnego rodzaju. Na płaszczyz
nie tej w różnych
miejscach będzie występowała różna temperatura. Zakładamy, że zarówno sam żuk, jak
i pręty miernicze, którymi będzie się on posługiwał, są zbudowane z substancji tego sa-
mego rodzaju, o tym samym współczynniku
rozszerzalności cieplnej. Jeśli nasz żuk prze-
42.2. Żuk na powierzchni kuli
niesie pręt mierniczy w celu wykonania po-
miaru do dowolnego miejsca na płaszczyz
nie,
pręt natychmiast, na skutek rozszerzalności
cieplnej, zmieni swoją długość na taką, jaka
odpowiada temperaturze w danym miejscu.
W podobny sposób będą się zmieniały roz-
miary każdego obiektu  samego żuka,
pręta mierniczego, trójkąta czy czegokolwiek
innego  gdyż obiekt taki będzie natychmiast
zmieniał swe rozmiary na skutek rozszerzal-
42-1. PRZYKA
ADY DWUWYMIAROWYCH PRZESTRZENI
407
ności cieplnej. Każdy przedmiot będzie dłuż-
szy w miejscach gorących niż w miejscach
zimnych, a wszystko będzie miało taki sam
współczynnik rozszerzalności cieplnej. Miej-
sce zamieszkania naszego trzeciego żuka na-
zwiemy "rozgrzaną płytą". Będziemy mieli
przy tym na myśli specjalny rodzaj rozgrzanej
płyty, która będzie zimna w pewnym punkcie
42.3. Żuk na rozgrzanej płycie
środkowym i będzie się stawała coraz bardziej
gorąca w miarę posuwania się w kierunku
krawędzi (rys. 42.3).
Przypuśćmy, że nasze żuki rozpoczną
badanie podstaw geometrii. Chociaż założy-
liśmy, że żuki te są ślepe i nie mogą widzieć
niczego co się dzieje w  zewnętrznym" świecie,
mogą one jednak wykonać szereg czyn-
ności za pomocą swoich nóżek i czułków.
Mogą one rysować linie krzywe i mierzyć
ich długości za pomocą sporządzonych przez
siebie prętów mierniczych. Przypuśćmy, że
najpierw zajmą się one najbardziej podstawo-
wymi pojęciami geometrii.Nauczą się więc, jak
prowadzić linię prostą, którą będą określały
jako najkrótszą krzywą łączącą dwa dane
42.4. Konstrukcja  linii prostej" na płaszczyz
nie
punkty. Nasz pierwszy żuk (por. rys. 42.4)
nauczy się prowadzić bardzo ładne linie pro-
ste. Co natomiast uczyni żuk na powierzchni
kuli? Jego linia prosta będzie charakteryzo-
wała się najkrótszą  z jego punktu widzenia 
odległością pomiędzy dwoma punktami, jak
to widzimy na rys. 42.5. Z naszego punktu
widzenia będzie to oczywiście linia krzywa,
żuk jednak nie może opuścić powierzchni kuli
42.5. Konstrukcja  linii prostej" na powierz-
i stwierdzić, że  w rzeczywistości" istnieje
chni kuli
inna krzywa, wzdłuż której odległość między
danymi dwoma punktami jest krótsza. Zgo-
dnie z jego informacjami długość mierzona
wzdłuż dowolnej innej krzywej leżącej w jego
świecie będzie zawsze dłuższa niż wzdłuż
jego linii prostej. Pozostawmy go więc z jego
linią prostą zdefiniowaną jako łuk o naj-
krótszej długości łączący dwa punkty. (Bę-
dzie to oczywiście część łuku koła wielkiego.)
42 PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE
408
Również nasz trzeci żuk  ten z rys. 42.3 
będzie kreślił  linie proste", które my uznalibyśmy
za krzywe. Tak na przykład, najkrótszą odległoś-
cią pomiędzy punktami A i ł przedstawionymi
na rys. 42.6 będzie odległość mierzona wzdłuż
krzywej w rodzaju krzywej przedstawionej na
rysunku. Dlaczego? Otóż jego linia powinna się wy-
ginać w kierunku cieplejszych części rozgrzanej
42 6 Konstrukcja  linii prostej" na
rozgrzanej płycie
płyty, gdyż w częściach tych pręty miernicze się
wydłużą (z naszego wszechwiedzącego punktu
widzenia) i wystarczy pręty te odłożyć mniejszą
liczbę razy, by przemierzyć drogę od A do B. Dla niego więc krzywa taka będzie linią pro-
stą, me dysponuje on bowiem żadnym innym sposobem dowiedzenia się, że na zewnątrz,
w dziwnym trójwymiarowym świecie, istnieje ktoś, kto uznałby mną za krzywą linię
prostą.
W tym miejscu czytelnik może przypuszczalnie dojść do wniosku, że również dalsza
część analizy, którą żuk poprowadzi, uwieńczona zostanie wnioskami słusznymi jedynie
z punktu widzenia szczególnej powierzchni dwuwymiarowej i nie mającymi nic wspólnego
z naszym punktem widzenia. Pamiętając o tej konkluzji, zobaczmy, jakie nowe fakty po-
jawią się w geometrii naszego żuka. Przypuśćmy, że żuki nauczyły się konstruować dwie
proste prostopadłe. (Czytelnik może sam uzupełnić szczegóły tego rodzaju konstrukcji.)
Nasz pierwszy żuk (mieszkający na zwyczajnej płaszczyz
nie) dojdzie wtedy do interesują-
cego wniosku. Jeżeli on wyjdzie z ustalonego punktu A i odbędzie spacer wzdłuż odcin-
ka linii prostej o długości 250 cm, po czym wykona skręt pod kątem prostym w prawo
i odmierzy następne 250 cm wzdłuż linii prostej, wykona następny skręt w prawo i przej-
dzie następne 250 cm, i po raz trzeci zrobi skręt o 90� w prawo i po raz czwarty odmierzy
250 cm wzdłuż linii prostej, to zakończy swój spacer dokładnie w punkcie wyjścia, co po-
kazuje rys. 42.7a Jest to własność jego świata  jeden z faktów jego  geometrii".
Potem dokona on innego interesującego odkrycia. Jeżeli skonstruuje on trójkąt,
tzn. figurę, której bokami będą odcinki trzech jego linii prostych, to suma wszystkich
42. 7. Kwadrat, trójkąt i okrąg w przestrzeni płaskiej
250 cm
90� 90�
250 cm
250 cm
90�
90�
250 cm
a)
c)
42-1. PRZYKA
ADY DWUWYMIAROWYCH PRZESTRZENI
409
kątów będzie wynosiła 180�, czyli będzie równa sumie dwóch kątów prostych (por.
rys. 42.7b).
Następnym jego odkryciem będzie okrąg. Jakie jest określenie okręgu? Aby skon-
struować okrąg, należy przez ustalony punkt poprowadzić wiele linii prostych i od-
mierzyć na tych prostych odcinki o jednakowej długości, których jeden koniec umieś-
cimy w ustalonym poprzednio punkcie (patrz rys. 42.7c). (Musimy tu bardzo starannie
prześledzić określenia tych pojęć, gdyż powinniśmy umieć wykonać analogiczne konstruk-
cje środkami dostępnymi naszym żukom.) Inny, równoważny powyższemu sposób kon-
strukcji będzie polegał na zakreśleniu linii krzywej jednym końcem pręta mierniczego,
którego drugi koniec będzie umocowany w ustalonym punkcie. Tak czy inaczej, żuk
nasz nauczy się konstruować okręgi. Mając zaś okrąg, prędzej czy póz
niej pomyśli o zmie-
rzeniu jego obwodu. Wykona pomiary dla kilku różnych okręgów i znajdzie przyjemny
związek: obwód okręgu jest zawsze tą samą wielokrotnością jego promienia r (który jest
oczywiście równy odległości od środka do łuku okręgu). Stosunek obwodu i promienia
będzie więc dla każdego okręgu taki sam  w przybliżeniu równy 6,283.
Zastanówmy się teraz, do jakich wniosków o swych geometriach dojdą pozostałe
żuki. Jak więc żukowi żyjącemu na powierzchni kuli powiedzie się konstrukcja  kwadra-
tu"? Jeżeli wykona on wszystko zgodnie z podanymi przez nas poprzednio wskazówkami,
pomyśli prawdopodobnie, że dla takiego rezultatu
nie warto było zawracać sobie głowy. Przybliżo-
nym bowiem obrazem figury, jaką powinien otrzy-
mać, jest figura z rys. 42.8. Końcowy punkt B
tej figury nie pokrywa się tu z punktem wyjścia A.
Figura jego nie będzie zatem wielobokiem ogra-
niczonym krzywą zamkniętą. Czytelnik może to łat-
wo sprawdzić na modelu kuli. Podobnie poto-
czą się sprawy naszego przyjaciela na rozgrzanej
płycie. Jeżeli odłoży on cztery jednakowe odcin-
ki prostoliniowe  jednakowe w sensie pomiarów
42.8. Próba konstrukcji  kwadratu"
wykonanych za pomocą rozszerzających się prę-
na powierzchni kuli
tów  tworzące z sobą kąty proste, to otrzyma
figurę, której obraz podaliśmy na rys. 42.9.
Przypuśćmy z kolei, że każda z populacji na-
szych żuków ma swego Euklidesa, który powie
jej, jaka powinna być geometria. Wykonując nie-
42.9. Próba konstrukcji  kwadratu"
zbyt dokładne pomiary i to na małą skalę, żuki
na rozgrzanej płycie
mogą sprawdzić słuszność reguł geometrii eukli-
desowej. Wykonując natomiast precyzyjniejsze
pomiary, w dużej skali, i próbując skonstruo-
wać dokładne kwadraty dojdą one do wniosku,
że coś nie jest w porządku. Istota rzeczy polega tu
właśnie na tym, że wyłącznie za pomocą pomia-
rów geometrycznych odkryją one dziwne własności
42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE
410
swych przestrzeni. Przestrzenią zakrzywioną nazwiemy przestrzeń, której geometria różni
się od geometrii płaszczyzny. Geometria żuków żyjących na powierzchni kuli lub na gorą-
cej płycie jest właśnie geometrią przestrzeni zakrzywionej. Zawodzą w niej bowiem reguły
geometrii euklidesowej. Widzimy więc, że zdolność unoszenia się ponad płaszczyzną nie
jest wcale rzeczą konieczną, aby stwierdzić, że otaczający nas świat jest zakrzywiony. Nie
trzeba więc wcale opływać globu dookoła, aby przekonać się, że jest on kulą. O tym,
że żyjemy na kuli, możemy się przekonać za pomocą próby skonstruowania kwadratu.
Jeżeli kwadrat będzie bardzo mały, potrzebna będzie przy tym duża precyzja, w przypadku
zaś dużych kwadratów można poprzestać na mniej dokładnych pomiarach.
Przeprowadz
my na przykład porównanie własności trójkątów na różnych powierzch-
niach. W trójkącie na płaszczyz
nie suma kątów jest równa 180�. Nasz przyjaciel na po-
wierzchni kuli może natomiast otrzymać bardzo dziwne trójkąty. Może on, na przykład,
konstruować trójkąty, w których wszystkie trzy kąty będą kątami prostymi. Jest to w isto-
cie prawda! Jeden z takich trójkątów przedstawiono na rys. 42.10. Przypuśćmy bowiem,
że żuk nasz wyruszy z bieguna północnego i będzie posuwał się wzdłuż linii prostej aż do
równika. Tam wykona on zwrot pod kątem prostym i odmierzy linię prostą o tej samej co
poprzednio długości. Postępowanie to powtórzy on raz jeszcze i po przebyciu odcinka
o tej wybranej, bardzo specjalnej długości dotrze on dokładnie do swego punktu wyjścia,
przecinając swą pierwszą prostą dokładnie pod kątem prostym. Tak więc z punktu
widzenia jego geometrii trójkąt ten ma bez wątpienia dokładnie trzy kąty proste,
czyli suma jego kątów wynosi 270�. Okazuje się, że suma kątów w trójkątach, jakie mo-
że on konstruować, zawsze będzie większa niż 180�. Co więcej, nadwyżka kątowa
(która jest równa sumie kątów w trójkącie minus 180�, a więc we wspomnianym przy-
padku jest równa 90�) jest proporcjonalna do pola powierzchni trójkąta. Jeżeli więc trój-
kąt na powierzchni kuli będzie bardzo mały, suma jego kątów będzie prawie równa 180�
i nadwyżka kątowa będzie liczbą bardzo małą. Będzie ona jednak wzrastała wraz ze wzro-
stem trójkąta. Podobne własności będą wykazywały trójkąty konstruowane przez żuka
na rozgrzanej płycie.
Zwróćmy z kolei uwagę, do jakich wniosków co do swych kół dojdą pozostałe żuki.
Pozwólmy im skonstruować okręgi i zmierzyć ich obwody. Tak na przykład, żuk na po-
wierzchni kuli mógłby skonstruować taki okrąg, jaki pokazaliśmy na rys. 42.11. Odkryłby
on wtedy, że obwód jest mniejszy od iloczynu 2Ą razy promień. (Czytelnik może się łatwo
przekonać, dysponując wiedzą istot trójwymiarowych, że to co żuk nazywa  promieniem"
jest łukiem krzywej, który jest oczywiście dłuższy niż prawdziwy promień okręgu.) Jeśliby
żuk na powierzchni kuli czytał dzieła Euklidesa, mógłby spróbować obliczyć przewidy-
wany promień, dzieląc obwód C przez 2Ą; otrzymałby wtedy
C
(42.1)
przew
2Ą
Stwierdziłby więc, że mierzony przez niego promień jest większy niż przewidywany. Mógłby
on nazwać różnicę pomiędzy tymi promieniami  nadwyżką promienia" i napisać
(42.2)
= rnadwyż'
mierz przew
42-1. PRZYKA
ADY DWUWYMIAROWYCH PRZESTRZENI
411
a następnie badać jak nadwyżka promienia bę-
dzie zależała od rozmiarów okręgu.
Żuk na rozgrzanej płycie spotkałby się z po-
dobnym zjawiskiem. Przypuśćmy, że narysował
on okrąg o środku w najzimniejszym miejscu pły-
ty, jak na rys. 42.12. Gdybyśmy obserwowali jego
czynności, zauważylibyśmy, że jego pręty mier-
nicze byłyby krótkie w pobliżu środka i wydłu-
żałyby się w miarę ich przenoszenia do punktów
42.10. Na powierzchni kuli można
oddalonych od środka, chociaż żuk oczywiście
skonstruować  trójkąt", którego każ-
o tym by nie wiedział. Podczas pomiaru obwodu
dy z kątów będzie równy 90�
pręt mierniczy byłby cały czas stały i dlatego
również ten żuk stwierdziłby, że jego mierzony
promień jest dłuższy niż promień przewidywany,
równy C/2Ą. Tak więc żuk na rozgrzanej płycie
także otrzymałby  nadwyżkę promienia". Wiel-
kość tej nadwyżki znowu zależałaby od długości
promienia okręgu.
Przestrzenią zakrzywioną nazwiemy więc taką
przestrzeń, w której wystąpi jeden z następujących
rodzajów odstępstw geometrycznych: Suma ką-
tów w trójkącie różni się od 180�; stosunek ob-
wodu okręgu i liczby 2Ą nic jest równy promienio-
wi; podana przez nas reguła konstruowania kwa-
dratu nie prowadzi do krzywej zamkniętej. Czy-
telnik mógłby rozszerzyć tę listę odstępstw o jesz-
cze inne.
42.11. Konstrukcja okręgu na po-
Podaliśmy tu dwa odmienne przykłady prze-
wierzchni kuli
strzeni zakrzywionej: powierzchnię kuli i rozgrza-
ną płytę. Jest rzeczą interesującą, że przy odpowied-
nim dobraniu zmian temperatury jako funkcji odle-
głości na rozgrzanej płycie, geometrie na obu tych
powierzchniach będą dokładnie takie same. Jest to
dość zabawne. Można tak dobrać warunki, aby żuk
na rozgrzanej płycie otrzymywał we wszystkich
42.12. Konstrukcja okręgu na roz-
przypadkach dokładnie te same odpowiedzi co żuk
grzanej płycie
na powierzchni kuli. Tym z czytelników, którzy
lubią geometrię i zadania geometryczne, powiemy
jak można tego dokonać. Jeżeli się przyjmie, że dłu-
gość nieskończenie małych prętów mierniczych
pod wpływem temperatury zmienia się o czyn-
nik równy jedności plus iloczyn pewnej stałej razy
kwadrat odległości od środka, wtedy okaże się,
412 42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE
że geometria na takiej rozgrzanej płycie będzie we wszystkich szczegółach dokładnie taka
sama jak geometria na powierzchni kuli.
Istnieją oczywiście również inne rodzaje geometrii. Moglibyśmy na przykład rozważać
geometrię żuka, który żyje na powierzchni gruszki, a więc na powierzchni, która w pewnych
swych miejscach ma większą krzywiznę niż w innych, wtedy nadwyżka kątowa w trójką-
tach będzie zależała od tego, w jakich miejscach swego świata żuk będzie trójkąty te kon-
struował. Innymi słowy, krzywizna przestrzeni może zmieniać się od miejsca do miejsca.
Takie przestrzenie krzywe są prostym uogólnieniem poprzedniej definicji. Można je rów-
nież imitować za pomocą odpowiedniego rozkładu temperatury na rozgrzanej płycie.
Chcielibyśmy również zwrócić uwagę, że są możliwe przypadki, w których odstępstwa
od geometrii euklidesowej będą miały znak przeciwny
niż w powyższych przykładach. Można więc, na przy-
kład, znalez
ć powierzchnie, na których suma kątów
w dużych trójkątach będzie mniejsza niż 180�. Na pier-
wszy rzut oka może się to wydawać rzeczą niemożliwą,
ale tak nie jest. Przede wszystkim moglibyśmy mieć roz-
grzaną płytę, na której temperatura malałaby w miarę
oddalania się od środka. Wtedy wszystkie zmiany mia-
łyby kierunek przeciwny. Tego rodzaju przykład może-
my jednak otrzymać również na czysto geometrycznej
drodze, rozważając na przykład dwuwymiarową geome-
trię na powierzchni siodła. Wyobraz
my sobie siodłową
powierzchnię w rodzaju tej, którą naszkicowaliśmy na
42.13.  Okrąg" na powierzchni
rys. 42.13. Narysujmy na niej  okrąg", określony jako
siodłowej
miejsce geometryczne punktów równoodległych od pew-
nego środka. Tego rodzaju okrąg będzie oscylującą krzy-
42.14. Dwuwymiarowa przestrzeń
wą, stanowiącą brzeg powichrowanej powierzchni. Jego
o znikającej krzywiz
nie wewnętrz-
obwód będzie więc większy niż 2Ąr. Tak więc C/2Ą jest te-
nej
raz mniejsze niż r.  Nadwyżka promienia" jest tu zatem
ujemna.
Powierzchnie kul i gruszek są przykładami powierz-
chni o dodatniej krzywiz
nie: w ostatnim zaś przykładzie
spotkaliśmy się z powierzchnią o krzywiz
nie ujemnej.
W ogólnym przypadku, dwuwymiarowa przestrzeń może
mieć krzywiznę zmieniającą się od miejsca do miejsca
i może być przestrzenią o dodatniej krzywiz
nie w pew-
nych punktach, a o ujemnej w innych. Przestrzenią
zakrzywioną nazywamy ogólnie taką przestrzeń, w której
po prostu reguły geometrii Euklidesa załamują się nie-
zależnie od znaku występujących tu odstępstw od geo-
metrii euklidesowej. Wartość krzywizny przestrzeni 
określona, na przykład, za pomocą nadwyżki promie-
nia  może się zmieniać od punktu do punktu.
42-1. PRZYKA
ADY DWUWYMIAROWYCH PRZESTRZENI
413
Zwróćmy uwagę, że zgodnie z naszą definicją krzywizny powierzchnia walca, wbrew
wszelkim oczekiwaniom, nie jest przestrzenią krzywą. Żuk żyjący na powierzchni walca,
jak to przedstawiliśmy na rys. 42.14, stwierdziłby, że jego trójkąty, kwadraty i okręgi
mają wszystkie własności dokładnie takie same jak na płaszczyz
nie. Można się z tym łatwo
zgodzić, jeśli uprzytomnimy sobie, jak te wszystkie figury będą wyglądały po rozwinięciu
powierzchni walca na płaszczyznę. Wtedy wszystkie te figury geometryczne będą identyczne
z ich odpowiednikami w geometrii płaskiej. Dlatego też żuk żyjący na powierzchni walca
(przy założeniu, że nie będzie on walca obchodził dookoła, lecz wykonywał jedynie po-
miary lokalne) nie możne w żaden sposób stwierdzić, że jego przestrzeń jest zakrzywiona.
Przyjmując więc punkt widzenia oparty na podanych tu konstrukcjach, musimy przyjąć,
że jego przestrzeń nie jest przestrzenią zakrzywioną. Przedmiotem naszych rozważań bę-
dzie bowiem to, co bardziej precyzyjnie jest nazywane krzywizną wewnętrzną przestrzeni;
czyli krzywizną, której istnienie można stwierdzić jedynie za pomocą pomiarów przepro-
wadzanych w lokalnym otoczeniu danego punktu. (Powierzchnia walca nie ma więc krzy-
wizny wewnętrznej.) To właśnie znaczenie krzywizny miał na myśli Einstein twierdząc,
że przestrzeń nasza jest przestrzenią krzywą. Na razie jednak podaliśmy tylko definicję
dwuwymiarowej przestrzeni krzywej; musimy więc z kolei zastanowić się jakie znaczenie
może mieć to pojęcie w przestrzeni o trzech wymiarach.
42-2. Krzywizna w przestrzeni trójwymiarowej
Jesteśmy istotami żyjącymi w przestrzeni trójwymiarowej i zamierzamy rozważyć
możliwość, że nasza trójwymiarowa przestrzeń jest zakrzywiona. Czytelnik mógłby za-
pytać:  W jaki sposób jednak możemy sobie wyobrazić, że nasza przestrzeń jest w jakimś
kierunku wygięta?" Otóż wcale nie musimy sobie wyobrażać, że nasza przestrzeń wygina
się w jakimkolwiek kierunku, gdyż nasza wyobraz
nia do tego się nie nadaje. (Być może,
że dokładnie z takich samych powodów nie możemy wyobrażać sobie zbyt dużo, z jakich też
nie możemy za bardzo się wyzwolić od rzeczywistego świata.) Krzywiznę możemy jednak
określić bez możliwości wychodzenia z naszego trójwymiarowego świata. Wszystko to,
o czym mówiliśmy, posługując się dwuwymiarowymi przykładami, było po prostu ćwi-
czeniem, które miało doprowadzić nas do sposobu określania krzywizny, niezależnie od
możliwości uzyskania  wglądu" od zewnątrz.
Możemy więc stwierdzić czy świat nasz jest zakrzywiony, czy też nie, postępując do-
kładnie tak samo jak osobnicy, którzy żyli na powierzchni kuli lub na rozgrzanej płycie.
Nie mamy, być może, sposobu rozróżnienia pomiędzy tymi dwoma przypadkami, lecz
z pewnością możemy odróżnić oba te przypadki od przestrzeni płaskiej, od zwyczajnej
płaszczyzny. Jak możemy to uczynić? Bardzo prosto: możemy odłożyć trójkąt i zmierzyć
jego kąty. Możemy też skonstruować wielki okrąg i zmierzyć stosunek jego obwodu do
jego promienia. Możemy także próbować utworzyć dokładne kwadraty lub skonstruować
sześcian. Każdy z tych przypadków dostarczy nam sprawdzianu słuszności praw geo-
metrii. Jeżeli prawa te nie będą spełnione, mówimy, że nasza przestrzeń jest krzywa. Jeżeli
więc utworzymy duży trójkąt i stwierdzimy, że suma jego kątów przewyższa 180�, dowiemy
42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE
414
się, że nasza przestrzeń jest zakrzywiona. Tak samo to,
że zmierzony promień okręgu nie będzie równy ilorazowi
jego obwodu i liczby 2Ą, będzie dowodem, że nasza prze-
strzeń jest krzywa.
Czytelnik łatwo może zauważyć, że w trzech wymia-
rach będziemy mieli znacznie bardziej skomplikowaną sy-
tuację niż w przypadku dwuwymiarowym. W każdym
punkcie przestrzeni dwuwymiarowej występowała pewna
krzywizna. W przestrzeni trójwymiarowej natomiast mogą
42.15. Nadwyżka promie- występować różne składowe krzywizny. Jeśli skonstruujemy
nia może być różna dla
trójkąt na pewnej płaszczyz
nie, możemy otrzymywać różne
okręgów o różnej orientacji
odpowiedzi w zależności od różnych orientacji tej płasz-
w przestrzeni
czyzny. Do tego samego wniosku doprowadzą nas rozwa-
żania związane z okręgiem. Przypuśćmy więc, że narysowa-
liśmy pewien okrąg, zmierzyliśmy jego promień i otrzymaliśmy w wyniku liczbę różną od
C/2Ą, otrzymaliśmy więc pewną nadwyżkę promienia. Przypuśćmy dalej, że w płaszczyz
nie
prostopadłej do płaszczyzny pierwszego okręgu narysowaliśmy inny okrąg (por. rys. 42.15).
Nie ma żadnego powodu, aby nadwyżka promienia była dla obu okręgów taka sama. Wię-
cej nawet, jeden z tych okręgów mógłby mieć dodatnią nadwyżkę, a drugi pewien ubytek
promienia (czyli nadwyżkę ujemną).
Uważny czytelnik może w tym miejscu zaproponować lepsze wyjście z sytuacji: Czy
nie moglibyśmy uniknąć tych wszystkich składowych, posługując się kulą w trzech wymia-
rach? Możemy przecież wziąć pod uwagę powierzchnię pewnej kuli, będącą zbiorem wszyst-
kich punktów równoodległych od pewnego danego punktu w przestrzeni. Następnie może-
my przecież zmierzyć pole jej powierzchni przez utworzenie na tej powierzchni bardzo drob-
nej prostokątnej siatki i zsumowanie przyczynków pochodzących od pól poszczególnych
oczek. Zgodnie z geometrią euklidesową całkowite pole A powierzchni kuli powinno być
równe iloczynowi liczby 4Ą i kwadratu promienia kuli, możemy więc określić  przewidy-
wany promień", który powinien być równy Promień możemy jednak zmierzyć
również bezpośrednio przez wywiercenie na przykład w kuli otworu sięgającego do jej
środka i zmierzenie odpowiedniej odległości. Możemy wtedy znowu wziąć różnicę po-
między zmierzonym promieniem i przewidywanym i nazwać ją nadwyżką promienia:
1/2
mierzone pole
nadwyż mierz
4Ą
nadwyżka ta powinna być całkowicie wystarczającą miarą krzywizny. Ma ona tę wielką
zaletę, że nie zależy od orientacji trójkąta lub okręgu.
Tak określona nadwyżka promienia ma również pewną wadę; nie dostarcza ona peł-
nej charakterystyki przestrzeni. Jest ona miarą wielkości, którą zwykle nazywa się średnią
krzywizną przestrzeni trójwymiarowej, gdyż związany jest z nią pewien proces średniowania
ze względu na różne krzywizny. Ponieważ jednak jest ona pewną średnią wielkością, nie
rozwiązuje w sposób zupełny zagadnienia określenia geometrii. Jeśli jest znana tylko ta
liczba, nie można przewidzieć wszystkich własności geometrii przestrzeni, gdyż nie można
42-2. KRZYWIZNA W PRZESTRZENI TRÓJWYMIAROWEJ
415
na przykład powiedzieć, co się będzie działo z okręgami mającymi różne orientacje w prze-
strzeni. Pełna definicja krzywizny wymaga podania sześciu  współczynników krzywizny"
w każdym punkcie przestrzeni. Matematycy naturalnie wiedzą, jak wyznaczyć te wszyst-
kie współczynniki. Kiedyś w przyszłości, za pośrednictwem odpowiednich podręczników
matematycznych, czytelnik zapozna się zapewne z bardziej eleganckimi i bardziej zaawan-
sowanymi sposobami opisu krzywizny, warto jednak znać również mniej precyzyjny, ale
za to bardziej poglądowy sposób opisu tych pojęć. Dla większości naszych celów będzie
)
nam wystarczało pojęcie średniej krzywizny* .
42-3. Nasza przestrzeń jest zakrzywiona
Stajemy teraz przed podstawowym pytaniem. Czy to wszystko jest prawdą? Czy na-
prawdę rzeczywista trójwymiarowa przestrzeń fizyczna, w której żyjemy, jest przestrzenią
zakrzywioną? Skoro umysł ludzki miał już dość wyobraz
ni, aby uzmysłowić sobie możli-
wość występowania przestrzeni zakrzywionych, to musiał naturalnie zadać sobie pytanie,
czy rzeczywisty świat jest czy też nie jest zakrzywiony. Zaprojektowano wiele bezpośred-
nich pomiarów geometrycznych, które miały udzielić odpowiedzi na to pytanie i nie stwier-
dzono żadnych odchyleń od geometrii euklidesowej. Z drugiej jednak strony, w wyniku
rozważań dotyczących grawitacji, Einstein doszedł do wniosku, że przestrzeń jest zakrzy-
wiona. Chcielibyśmy podać tu einsteinowskie prawo określające wielkość tej krzywizny
oraz przedstawić w krótkim zarysie sposób, w jaki doszedł on do sformułowania tego
prawa.
Einstein orzekł, że przestrzeń jest zakrzywiona i że z
ródłem jej krzywizny jest materia.
(Materia jest również z
ródłem grawitacji, a więc grawitacja i krzywizna przestrzeni są
z sobą powiązane  do tego jednak aspektu zagadnienia dojdziemy w następnych częściach
tego rozdziału.) Aby uprościć nieco to zagadnienie, załóżmy, że materia jest rozłożona
w sposób ciągły, z pewną gęstością, która może się przy tym zmieniać od punktu do punktu
)
przestrzeni** . Einstein podał następującą regułę dotyczącą krzywizny przestrzeni: Jeśli
w przestrzeni mamy obszar wypełniony materią i wez
miemy w tym obszarze tak małą
kulę, że gęstość � materii we wnętrzu tej kuli jest praktycznie stała, wtedy nadwyżka pro-
mienia tej kuli będzie proporcjonalna do zawartej w niej masy. Korzystając z definicji
)
* Dla zupełności chcielibyśmy jeszcze zwrócić uwagę na pewien dodatkowy szczegół. Gdybyśmy
chcieli przenieść do trzech wymiarów model zakrzywionej przestrzeni jako rozgrzanej płyty, musielibyśmy
założyć, że długość pręta mierniczego zależy nie tylko od miejsca, w którym się go przykłada, lecz także
od orientacji pręta w tym miejscu. Stanowiłoby to uogólnienie prostego przypadku, w którym długość
pręta zależałaby tylko od tego, gdzie on się znajduje i byłaby taka sama dla jego wszystkich możliwych
kierunków. Tego rodzaju uogólnienie jest konieczne, jeśli chce się za pomocą takiego modelu opisać trój-
wymiarową przestrzeń o dowolnej geometrii, nie było ono natomiast potrzebne w przypadku dwuwymia-
rowym.
)
** Nikt  nawet Einstein  nie wie, jak można to zrobić, jeśli masa jest skoncentrowana w pewnych
punktach.
416 42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE
nadwyżki promienia, mamy
nadwyżka promienia = (42.3)
Współczynnik G jest tu stałą grawitacji (tą samą co w teorii Newtona), c jest prędkością
światła, a M = 4Ą�r3/3 jest masą materii znajdującej się wewnątrz kuli. Jest to einstcinow-
skie prawo określające średnią krzywiznę przestrzeni.
Dla przykładu wez
my pod uwagę Ziemią i dla uproszczenia załóżmy, że jej gęstość jest
stała, wtedy nie będziemy musieli obliczać żadnych całek. Przypuśćmy, że bardzo starannie
zmierzyliśmy pole powierzchni Ziemi, a następnie wywierciliśmy szyb sięgający do jej
środka i zmierzyliśmy promień Ziemi. Znając pole powierzchni możemy obliczyć przewi-
dywany promień Ziemi, przyjmując że pole to jest równe 4Ąr2. Gdybyśmy porównali
przewidywany promień z jej rzeczywistym promieniem, stwierdzilibyśmy, że rzeczywisty
promień jest większy od promienia przewidywanego właśnie o wielkość daną w równa-
niu (42.3). Stała G/3c2 jest w przybliżeniu równa 2,5�10-29 cm na gram, czyli nadwyżka
promienia odpowiadająca jednemu gramowi materii jest równa 2,5�10-29cm. Biorąc zaś
masę Ziemi, która jest w przybliżeniu równa 6� l027 g, możemy obliczyć, że rzeczywisty
promień Ziemi jest o 1,5 mm większy niż jej promień przewidywany*). Przeprowadzając
ten sam rachunek dla Słońca, możemy stwierdzić, że nadwyżka promienia Słońca jest
równa pół kilometra.
Należy zauważyć, że zgodnie ze wspomnianym prawem, średnia krzywizna wokół
fikcyjnej kuli ponad powierzchnią Ziemi jest równa zeru. Wcale to jednak nie oznacza, że
wszystkie składowe krzywizny są tam równe zeru. Również w obszarach ponad powierzch-
nią Ziemi może występować  i w rzeczywistości występuje  pewna krzywizna prze-
strzeni. Jeżeli w obszarze takim wez
mie się pod uwagę leżący w pewnej płaszczyz
nie okrąg,
to dla pewnych orientacji płaszczyzny okrąg taki będzie miał nadwyżkę promienia o jakimś
znaku, a dla innych orientacji o znaku przeciwnym. Średnia krzywizna wokół jakiejś kuli
znika tylko wtedy, gdy we wnętrzu tej kuli nie znajdują się żadne masy. Można dodać,
że różne składowe krzywizny są zależne od zmian średniej krzywizny przestrzeni. Jeżeli
więc dana jest średnia krzywizna w całej przestrzeni, można na podstawie tej zależności
wyznaczyć samą krzywiznę w dowolnym punkcie przestrzeni. W obszarach ponad po-
wierzchnią Ziemi średnia krzywizna zmienia się z wysokością, czyli w obszarach tych
przestrzeń jest zakrzywiona. Istnienie tej właśnie krzywizny manifestuje się w postaci siły
grawitacyjnej.
Powróćmy do przykładu z żukiem na płaszczyz
nie i załóżmy, że na  płaszczyz
nie"
tej występują niewielkie lokalne wzniesienia. Ilekroć nasz żuk natrafi na takie wzniesienie,
będzie wnioskował, że natrafił na mały lokalny obszar, w którym jego przestrzeń jest
zakrzywiona. Z podobnym zjawiskiem spotykamy się w trzech wymiarach. W miejscach,
gdzie występują grudki materii, nasza trójwymiarowa przestrzeń ma lokalną krzywiznę 
występuje tam trójwymiarowy odpowiednik lokalnego wzniesienia.
*) Oszacowanie to jest oczywiście przybliżone, gdyż w rzeczywistości gęstość Ziemi zależy od jej
promienia.
42-3. NASZA PRZESTRZEC
JEST ZAKRZYWIONA
417
Jeżeli na  płaszczyz
nie" będziemy mieli wiele wybojów, może tam wystąpić pewna
globalna krzywizna poza jej lokalnymi fluktuacjami w postaci małych wzniesień  możemy
wtedy zamiast płaszczyzny otrzymać na przykład powierzchnię kuli z niewielkimi wznie-
sieniami. Byłoby rzeczą interesującą, gdybyśmy wiedzieli, czy nasza przestrzeń ma obok
lokalnych wzniesień spowodowanych przez takie grudki materii jak Ziemia lub Słońce
również pewną globalną średnią krzywiznę. Na pytanie to próbują odpowiedzieć astro-
fizycy wykonując pomiary i obserwacje bardzo odległych galaktyk. Gdyby na przykład
liczba galaktyk obserwowanych w sferycznej warstwie o bardzo dużym promieniu różniła
się od tego, czego moglibyśmy oczekiwać na podstawie znajomości promienia takiej war-
stwy, to otrzymalibyśmy tym samym miarę nadwyżki promienia gigantycznej kuli. Na pod-
stawie takich pomiarów ma się nadzieję, iż uda się rozstrzygnąć czy cały nasz Wszech-
świat jest średnio rzecz biorąc płaski, czy też zakrzywiony  czy jest  zamknięty" jak
powierzchnia kuli, czy też  otwarty" jak płaszczyzna. Czytelnik spotkał się już zapewne
z dyskusjami na ten temat. Cała sprawa jest ciągle jeszcze dyskusyjna, gdyż pomiary
astronomiczne są ciągle jeszcze nieprzekonywające; dane eksperymentalne nie są jesz-
cze wystarczająco dokładne, aby można było na ich podstawie dać jednoznaczną odpo-
wiedz
. Nie mamy więc, niestety, najmniejszego pojęcia, jaka jest globalna krzywizna ca-
łego naszego Wszechświata.
42-4. Geometria czasoprzestrzeni
Musimy wreszcie wziąć pod uwagę również pojęcie czasu. Jak wiemy ze szczególnej
teorii względności, pomiary wielkości przestrzennych oraz pomiar czasu są z sobą ściśle
związane. Nie jest więc do pomyślenia, aby sama przestrzeń mogła ulegać pewnym zmia-
nom, a czas byłby od tych zmian niezależny. Jak pamiętamy, pomiar czasu zależał od
prędkości, z jaką poruszał się obserwator. Dla obserwatora mijającego nas na przykład
w pojez
dzie kosmicznym wszystkie procesy przebiegają wolniej niż dla nas. Jeśli taki
obserwator wystartuje w podróż kosmiczną i powróci po 100 sekundach wyznaczonych
przez nasze zegarki, czas na jego zegarku może wynosić na przykład 95 sekund. W porów-
naniu z naszymi zegarami jego zegarek  tak jak i przebieg wszystkich innych procesów,
na przykład bicie jego serca  będzie miał zwolniony rytm.
Spróbujmy rozpatrzyć następujące, interesujące zagadnienie. Przypuśćmy, że znaj-
dujemy się w rakiecie kosmicznej. Na dany sygnał mamy wystartować i mamy powrócić
do miejsca naszego startu dokładnie wtedy, gdy zostanie tam nadany następny sygnał 
po czasie dokładnie równym, powiedzmy, 100 sekundom według wskazań zegara w spo-
czynku. Mamy ponadto tak zaplanować wycieczkę, aby zgodnie z naszym zegarem upłynął
możliwie najdłuższy czas. W jaki sposób powinniśmy się poruszać? Otóż powinniśmy
stać w miejscu. Jeśli bowiem będziemy się w ogóle poruszać, nasz zegar wskaże po powro-
cie zawsze mniej niż 100 sekund.
Wprowadz
my jednak w tym zagadnieniu pewną drobną zmianę. Przypuśćmy, że mamy
wystartować z pewnego punktu A na dany sygnał i mamy dotrzeć do innego punktu B
(oba punkty spoczywają w pewnym ustalonym układzie); mamy przy tym tak zaplanować
27  Wykłady z fizyki
418 42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE
naszą podróż, aby dotrzeć do celu właśnie w chwili nadania tam drugiego sygnału (np.
po upływie 100 sekund po pierwszym sygnale według wskazań zegara spoczywającego
wraz z oboma punktami). Mamy ponadto tak zaplanować podróż, aby podróżujący z nami
zegar wskazał w chwili przybycia możliwie największy upływ czasu. W jaki sposób możemy
to osiągnąć? Dla jakiego toru ruchu i dla jakiego rozkładu jazdy zegar nasz wskaże możli-
wie najdłuższy czas podróży? Okazuje się, że podróż nasza będzie trwała najdłużej, z na-
szego punktu widzenia, jeśli odbędziemy ją podróżując ruchem jednostajnym po linii
prostej. Wtedy bowiem każdy dodatkowy ruch i każda dodatkowa prędkość zwolnią bieg
naszego zegara. (Ponieważ zaś odchylenie czasu zależy od kwadratu prędkości, tego co
stracimy idąc trochę prędzej na pewnym odcinku naszej podróży nigdy nie będziemy
mogli odrobić, niezależnie od tego jak wolno próbowalibyśmy poruszać się w innych
okresach podróży.)
Z rozważań tych wynika przede wszystkim, że również w czasoprzestrzeni możemy
określić pojęcie  linii prostej". Odpowiednikiem linii prostej w przestrzeni jest w przypadku
czasoprzestrzeni ruch z jednostajną prędkością w stałym kierunku.
Odpowiednikiem krzywej o najkrótszej odległości w przestrzeni jest w czasoprzestrzeni
nie ruch w najkrótszym możliwie czasie, lecz ruch z najdłuższym czasem własnym, a jest
to związane z odmiennym znakiem, jaki towarzyszy w teorii względności wielkościom
czasowym. Ruch  prostoliniowy"  będący odpowiednikiem  ruchu ze stałą prędkością
wzdłuż linii prostej"  jest teraz tym ruchem, podczas którego zegar zostaje tak przenie-
siony z jednego punktu i odpowiadającej mu chwili czasu do innego punktu w innej chwili,
że czas podróży wskazany przez ten zegar będzie możliwie najdłuższy. To właśnie jest
naszą definicją odpowiednika Unii prostej w czasoprzestrzeni.
42-5. Grawitacja i zasada równoważności
Jesteśmy już przygotowani, aby przystąpić do dyskusji nad prawami grawitacji. Ein-
stein podjął szereg prób, aby sformułować taką teorię grawitacji, która byłaby zgodna
z poprzednio przez niego podaną teorią względności. Borykał się on z tym zagadnieniem
dość długo, aż w końcu przyjął pewną ważną zasadę, która doprowadziła go do otrzymania
poprawnych praw. Podstawą tej zasady jest obserwacja, że we wnętrzu swobodnie spada-
jącego przedmiotu wszystko wydaje się być w stanie nieważkości. Tak na przykład, znaj-
dujący się na orbicie satelita Ziemi spada swobodnie w polu ciężkości Ziemi i dlatego
znajdujący się w nim astronauta będzie odczuwać stan nieważkości. Koncepcja ta, sfor-
mułowana z większą precyzją, jest nazywana einsteinowską zasadą równoważności. Jest
ona związana z faktem, że wszystkie przedmioty spadają z dokładnie tym samym przyspie-
szeniem, niezależnym ani od ich masy, ani też od ich wewnętrznej struktury. Jeśli wez
miemy
pod uwagę lecący z wyłączonymi silnikami pojazd kosmiczny, czyli spadający swobodnie
statek, i znajdującego się w jego wnętrzu człowieka, wtedy zarówno ruch człowieka, jak
i pojazdu będzie powodowany przez dokładnie te same prawa. Skoro więc człowiek ów
umieści się w środkowym punkcie pojazdu, będzie on tam pozostawał. Nie będzie spadał
42-5. GRAWITACJA I ZASADA RÓWNOWAŻNOŚCI
419
na żadną ze ścian statku. Taką właśnie sytuację mamy na myśli, mówiąc że pozostaje
on w  stanie nieważkości".
Przypuśćmy teraz, że znajdujemy się w poruszającej się ruchem przyspieszonym rakie-
cie kosmicznej. Względem czego jednak porusza się ona ruchem przyspieszonym? Uj-
mijmy to inaczej i powiedzmy, że silniki rakiety pracują wytwarzając siłę ciągu, wskutek
czego jej ruch nie jest już spadkiem swobodnym. Przypuśćmy także, że znajdujemy się
dość daleko w pustej przestrzeni kosmicznej, gdzie praktycznie na pojazd nie działają
żadne siły grawitacyjne. Jeśli pojazd będzie miał przyspieszenie równe  1g", będziemy
mogli stać na  podłodze" i będziemy odczuwali nasz normalny ciężar. Gdybyśmy również
podrzucili do góry piłkę, zaczęłaby ona ,,spadać" na podłogę. Dlaczego? Otóż dlatego,
że pojazd porusza się ruchem przyspieszonym ,,ku górze", a na piłkę nie będą natomiast
działały żadne siły i nie będzie ona brała udziału w tym ruchu przyspieszonym; nie będzie
ona więc nadążała za pojazdem. Ze względu na wnętrze pojazdu piłka będzie poruszała się
pozornym ruchem przyspieszonym w dół, o przyspieszeniu równym  1g".
Porównajmy to teraz z sytuacją, w której pojazd kosmiczny będzie spoczywał na po-
wierzchni Ziemi. Wszystkie tego typu zjawiska będą miały przebieg dokładnie taki sam jak
poprzednio! Pasażerowie będą odczuwali nacisk w kierunku podłogi, piłka będzie spadać
z przyspieszeniem równym 1g itd. Czy jest więc możliwe, żeby ktoś siedzący wewnątrz
pojazdu kosmicznego mógł powiedzieć, czy spoczywa na powierzchni Ziemi, czy też
porusza się ruchem przyspieszonym w przestrzeni kosmicznej? Zgodnie z einsteinowską
zasadą równoważności tego nie można w ogóle rozstrzygnąć, jeśli korzysta się tylko z po-
miarów wykonanych we wnętrzu pojazdu!
Dla ścisłości należy stwierdzić, że jest to prawdą tylko w przypadku pomiarów wy-
konywanych w dokładnie jednym punkcie wewnątrz pojazdu. Pole grawitacyjne Ziemi
nie jest bowiem dokładnie jednorodne i spadająca w nim swobodnie piłka będzie dla dwóch
sąsiednich torów miała trochę różne przyspieszenia  o różnych kierunkach i o różnych
wartościach bezwzględnych. Gdybyśmy mieli natomiast ściśle jednorodne pole grawita-
cyjne, moglibyśmy je zastąpić układem odniesienia poruszającym się ruchem jedno-
stajnie przyspieszonym. W stwierdzeniu tym zawarta jest właśnie podstawowa treść za-
sady równoważności.
42-6. Rytm zegarów w polu grawitacyjnym
Posłużymy się teraz zasadą równoważności, aby rozważyć dziwne zjawiska, które
mogą zachodzić w polu grawitacyjnym. Zwrócimy więc uwagę na pewne zjawisko
w rakiecie kosmicznej, którego możliwości istnienia w polu grawitacyjnym czytelnik
prawdopodobnie by nie oczekiwał. Przypuśćmy, że jeden zegar umieściliśmy w  głowicy"
rakiety kosmicznej, tzn. w jej przedniej części, a drugi, identyczny zegar  w jej tylnej
części, jak to przedstawiono na rys. 42.16. Oznaczmy te zegary odpowiednio literami A i B.
Jeśli porównamy wskazania tych zegarów podczas przyspieszonego ruchu pojazdu, to
się okaże, że zegar na przodzie pozornie idzie szybciej niż zegar w tyle. Aby się o tym prze-
420 42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE
konać, przypuśćmy, że przedni zegar wysyła co sekundę
błysk światła, a z tyłu rakiety znajduje się obserwator,
który porównuje częstość przybywających błysków światła
ze wskazaniami zegara B. Niech rakieta będzie na przykład
w położeniu oznaczonym literą a na rys. 42.17 wtedy, gdy
zegar A wysyła błysk światła, a w położeniu b, gdy błysk ten
zegar A
dotrze do zegara B. Następny z kolei błysk zegar A wyśle
wtedy, gdy pojazd będzie znajdował się w położeniu c, a w
położeniu d błysk ten będzie odebrany przez obserwatora
znajdującego się przy zegarze B.
Pierwszy błysk przebędzie odległość L , a następny przej-
1
dzie krótszą już odległość L . Odległość ta będzie krótsza,
2
gdyż pojazd porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym
zegar B
i w chwili wysłania drugiego błysku będzie miał już większą
prędkość. Widać więc stąd, że dwa błyski wysłane przez
zegar A w odstępie jednosekundowym dotrą do zegara B
w odstępie krótszym od jednej sekundy, gdyż drugi z kolei
błysk nie będzie potrzebował na przebycie swej drogi tak
dużo czasu, jak pierwszy. To samo będzie się również działo
ze wszystkimi następnymi błyskami. Dlatego obserwator
znajdujący się w tyle statku dojdzie do wniosku, że zegar A
idzie prędzej niż zegar B. Gdybyśmy przeprowadzili podobne
42.16. Poruszający się ru-
doświadczenie myślowe odwracając rolę obu zegarów 
chem przyspieszonym po-
pozwolili emitować światło zegarowi B i obserwowali je przy
jazd rakietowy z dwoma ze-
zegarze A  doszlibyśmy do wniosku, że zegar B idzie wolniej
garami na pokładzie
niż A. Oba więc wnioski byłyby z sobą zgodne i nic w tym nie
byłoby tajemniczego.
Wez
my teraz pod uwagę pojazd kosmiczny spoczywający w polu grawitacyjnym Ziemi.
Przypuśćmy, że przeprowadzamy to samo doświadczenie. Siedzący więc na podłodze obser-
wator z jednym zegarkiem w ręku i patrzący na drugi identyczny zegar umieszczony na
wysokiej półce powinien by dojść do wniosku, że zegar na półce spieszy się w porównaniu
z zegarem na podłodze! Czytelnik może w tym miejscu zaprotestować:  Wniosek ten
musi być błędny. Wskazania obu zegarów powinny być takie same. Jeśli zegary nie wyko-
nują ruchów przyspieszonych, nie ma powodów, aby ich rytmy były niezgodne." Tak
jednak być musi, jeśli zasada równoważności jest słuszna. Einstein chciał zaś koniecznie,
aby zasada ta była słuszna, i zgodnie z tym żądaniem odważnie i logicznie kontynuował
swe rozumowanie. Zaproponował, aby uznać, że zegary umieszczone w różnych punktach
w polu grawitacyjnym muszą pozornie chodzić różnie. Jeśli przy tym różnica ich wskazań
będzie się stale zwiększać, należy uznać, że mają one odmienne rytmy.
Widać teraz ścisłą analogię pomiędzy zegarami w polu grawitacyjnym i rozszerzającym
się pod wpływem ciepła prętem mierniczym, o którym mówiliśmy poprzednio, kiedyśmy
się zajmowali żukiem na rozgrzanej płycie. Wyobrażaliśmy sobie, że pręty, żuki, jak
i wszystkie inne przedmioty jednakowo zmieniały swe długości pod wpływem zmian tem-
przyspieszeni e
42-6. RYTM ZEGARÓW W POLU GRAWITACYJNYM
421
peratury i dlatego żuki nie miały możliwości stwierdzenia, że ich pręty miernicze zmieniały
swą długość podczas ich przesuwania po rozgrzanej płycie. To samo dzieje się z zegarami
w polu grawitacyjnym. Każdy zegar umieszczony na wyższym poziomie wydaje się spie-
szyć. Przyspieszeniu ulega wtedy zarówno rytm bicia serca, jak i przebieg wszystkich
innych procesów.
Gdyby tak nie było, istniałaby możliwość odróżnienia pola grawitacyjnego od porusza-
jącego się ruchem przyspieszonym układu odniesienia. Jest to trudna do przyjęcia koncep-
cja, że czas może się zmieniać od miejsca do miejsca, ale jest to koncepcja, którą Einstein
posługiwał się w swych rozumowaniach, i  wierzcie mi lub nie  jest ona poprawna.
Posługując się zasadą równoważności możemy obliczyć
jak zmienia się prędkość chodu zegara w zależności od
jego wysokości w polu grawitacyjnym. W tym celu rozwa- 42.17. Zegar umieszczony
na przodzie poruszającego
żymy po prostu pozorną rozbieżność wskazań dwóch zega-
się ruchem przyspieszonym
rów w poruszającej się ruchem przyspieszonym rakiecie
pojazdu rakietowego ma po-
kosmicznej. Najprościej możemy to zrobić powołując się
zornie przyspieszony rytm
na wyniki otrzymane w rozdz. 34 tomu l (cz. 2) dla zja-
w porównaniu z zegarem
wiska Dopplera. Stwierdziliśmy tam (por. równanie 34.14),
umieszczonym w tyle po-
jazdu
że jeśli v jest względną prędkością z
ródła i odbiornika,
odbierana częstość � jest związana z nadawaną częstością
� wzorem
0
położenie d
1+v/c
� = � (42.4)
0
1-v2/c2
Teraz, w przypadku przedstawionej na rys. 42.17 rakiety,
poruszającej się ruchem przyspieszonym, odbiornik i nadaj-
nik poruszają się w danej chwili z jednakowymi prędkościa-
mi. W tym jednak czasie, w którym sygnał świetlny prze-
chodzi od zegara A do zegara B, pojazd przyspiesza. Przy-
położenie c
rost jego prędkości jest więc wtedy równy gt, gdzie g jest
przyspieszeniem, a t  czasem, jaki światło potrzebuje
do przebycia odległości H od punktu A do B. Czas ten jest
w przybliżeniu równy H/c. Wtedy więc, gdy sygnał dociera
położenie b
do punktu B, statek ma nową prędkość powiększoną o wiel-
kość gH/c. Ten przyrost prędkości reprezentuje względną
prędkość odbiornika i nadajnika w chwilach wysłania i ode-
brania sygnałów. Prędkość tę należy podstawić do wzoru
(42.4) na przesunięcie Dopplera. Zakładając, że przyspie-
szenie i długość pojazdu kosmicznego są tak małe, że odpo-
wiadający im przyrost prędkości jest znacznie mniejszy
od prędkości światła, możemy pominąć wyraz proporcjo-
położenie a
2 2
nalny do v /c .
42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE
422
Mamy więc
� = �0
(42.5)
Tak więc pomiędzy dwoma zegarami w rakiecie kosmicznej zachodzi związek
(rytm odbierany) = (rytm nadawany)
(42.6)
gdzie H jest różnicą w wysokości nadajnika i odbiornika.
Z zasady równoważności wynika, że ten sam rezultat musi być słuszny dla dwóch zegarów
umieszczonych na różnych wysokościach, o różnicy H, w polu grawitacyjnym, w którym
przyspieszenie ciał spadających jest równe g.
Rezultat ten jest tak ważny, że chcielibyśmy pokazać również, jak wynika on z innego
prawa fizyki  z zasady zachowania energii. Jak wiemy, siła grawitacyjna działająca na
dowolny obiekt jest proporcjonalna do jego masy M, która z kolei jest związana z jego
2
całkowitą energią wewnętrzną E wzorem M = E/c . Tak na przykład, masy jąder atomo-
wych otrzymane na podstawie tego wzoru z energii jądrowych reakcji przemiany danego
jądra w inne, są zgodne z masami otrzymanymi z ich ciężarów atomowych.
Wez
my teraz pod uwagę atom, który może znajdować się albo w stanie całkowitej
energii E , będącym jego najniższym stanem energetycznym, albo też w wyższym stanie
0
energii E . Na skutek przejścia ze stanu E do stanu E atom ten emituje światło. Czę-
1 1 0
stość � tego światła będzie równa
� = E  E . (42.7)
1 0
Przypuśćmy teraz, że atom ten jest w stanie E oraz że umieściliśmy go na podłodze.
1
Przenieśmy go następnie z podłogi na pewien poziom o wysokości H. Aby to uczynić,
2
musimy wykonać pracę polegającą na przeniesieniu masy m = E /c przeciwko sile pola
1 1
grawitacyjnego. Praca ta jest równa
(42.8)
Po przeniesieniu go pozwólmy atomowi wyemitować foton, co spowoduje jego przejście
do niższego stanu energii E . Następnie przenieśmy atom z powrotem na podłogę. Prze-
0
2
nosimy teraz jednak masę równą E /c ; zyskamy więc energię
0
(42.9)
Całkowita praca, jaką musieliśmy wykonać przy przenoszeniu atomu, jest więc równa
E1-E0 gH.
(42.10)
c2
Podczas emisji atom oddał fotonowi energię równą E  E .. Przypuśćmy teraz, że
1 0
42-6. RYTM ZEGARÓW W POLU GRAWITACYJNYM
423
również foton powrócił na podłogę i został tu zaabsorbowany. Jak duża będzie energia,
dostarczona przez foton w momencie absorpcji? W pierwszej chwili mogłoby się wydawać,
że energia ta będzie po prostu równa E  E . Tak jednak być nie może, jeśli energia jest
1 0
zachowana. Powinno nas o tym przekonać następujące rozumowanie. Na początku mie-
liśmy energię E atomu na podłodze. Na końcu, całkowita energia na podłodze była
1
równa sumie energii E atomu w jego najniższym stanie i energii E otrzymanej od fotonu.
0 f
Podczas procesu musieliśmy dostarczyć dodatkowej energii " U danej równaniem (42.10).
Z zasady zachowania energii wynika, że energia końcowa powinna być równa sumie energii
początkowej i wykonanej pracy. Musimy więc mieć
E +E =E + "U,
f 0 1
czyli
E = E -E +"U.
(42.11)
f 1 0
Stąd więc wynika, że energia fotonu na podłodze nie była po prostu równa E  E , lecz
1 0
była od tej wielkości większa. W przeciwnym bowiem przypadku część energii zostałaby
stracona. Jeśli do równania (42.11) podstawimy otrzymane na " U wyrażenie (42.10),
stwierdzimy, że energia, z jaką foton przybył na podłogę, była równa
E = (E -E ) (42.12)
f l 0
Foton o energii E ma jednak częstość � = Jeśli przez � oznaczymy częstość, z jaką
f 0
foton był emitowany, to równanie (42.12) staje się identyczne ze związkiem (42.5) pomiędzy
częstością fotonu ulegającego absorpcji na podłodze i częstością fotonu podczas jego
emisji.
Związek ten możemy otrzymać jeszcze w inny sposób. Foton o częstości � ma ener-
0
2
gię = Ponieważ energii E odpowiada masa grawitacyjna E /c , foton ma masę
0 0
(która nie jest jego masą spoczynkową) równą i jest przez Ziemię  przyciągany".
Spadając z wysokości H uzyska on energię równą i przybędzie na podłogę
z energią
�
Ponieważ zaś jego częstość po spadku jest równa w wyniku otrzymujemy znowu
równanie (42.5). Widzimy, że wiele koncepcji dotyczących względności, fizyki kwantowej
oraz zasady zachowania energii będzie z sobą zgodnych tylko wtedy, gdy przewidziane
przez Einsteina zachowanie zegarów w polu grawitacyjnym będzie poprawne. Rozważane
tu zmiany częstości są w normalnych warunkach bardzo małe. Tak na przykład, 20-me-
trowej różnicy wzniesień na powierzchni Ziemi odpowiada względna różnica częstości
równa Dokładnie taka właśnie zmiana częstości została niedawno stwierdzona
)
doświadczalnie za pomocą zjawiska M�ssbauera* . Einstein miał więc absolutną rację.
*) R. V. Pound i G. A. Rebka, Jr., Physical Review Letters 4, 337 (1960).
42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE
424
H
42-7. Krzywizna czasoprzestrzeni
Teraz chcemy powiązać otrzymane
a)
powyżej wyniki z koncepcją krzywej czaso-
przestrzeni. Stwierdziliśmy już powyżej,
że istnieje analogia pomiędzy różnicą
t
w chodzie zegarów w różnych miejscach
i występowaniem krzywizny przestrzeni na
H
rozgrzanej płycie. Jest to jednak czymś
więcej niż analogią; jest to stwierdze-
b)
niem, że czasoprzestrzeń jest zakrzywio-
na. Spróbujmy spojrzeć na czasoprze-
100s
B strzeń z punktu widzenia geometrycznego.
D
Może to z początku brzmieć nieco dziw-
t
nie, przypomnijmy sobie jednak, że już
dość często podawaliśmy diagramy czaso-
H
przestrzeni, na których na jednej osi była
A
odmierzona odległość, a na drugiej od-
c)
m
stępy czasu. Przypuśćmy, że chcemy skon-
struować w czasoprzestrzeni pewien pro-
100s
B O stokąt. Próbę jego konstrukcji przedsta-
wimy za pomocą wykresu przedstawiają-
cego wysokość H w zależności od czasu t,
w układzie o osiach jak na rys. 42.18a.
Aby wykonać podstawę naszego prosto-
kąta, wez
miemy pewien przedmiot w spo-
czynku, znajdujący się na wysokości H
1
d)
i podążymy wzdłuż jego linii świata przez
100 s. Otrzymamy w ten sposób odcinek
BD na części b) wykresu, równoległy do
osi t. Wez
my teraz pod uwagę inny przed-
miot, znajdujący się 100 m wyżej niż pierw-
H
szy, w czasie t = 0. Niech przedmiotowi
temu w chwili t = 0 odpowiada punkt A
na rys. 42.18c. Podążmy teraz za tym
e)
przedmiotem wzdłuż jego linii świata
przez 100 s zmierzonych przez zegar
w punkcie A, W tym czasie przedmiot
przejdzie od punktu A do C w czaso-
przestrzeni, co zostało pokazane w części
d) wykresu. Ponieważ jednak na obu tych
42.18. Próba konstrukcji prostokąta w czaso-
przestrzeni wysokościach czas biegnie inaczej  za-
42-7. KRZYWIZNA CZASOPRZESTRZENI
425
kładamy bowiem, że istnieje tu pole grawitacyjne  punkty C i D nie przedstawiają
zdarzeń jednoczesnych. Gdybyśmy więc spróbowali uzupełnić kwadrat przez pociągnięcie
linii prostej do punktu C', znajdującego się 100 m powyżej punktu D w tym samym
czasie (por. rys. 42.18e), nie otrzymalibyśmy krzywej łamanej zamkniętej. Fakt ten jest
równoważny stwierdzeniu, że czasoprzestrzeń jest zakrzywiona.
42-8. Ruch w czasoprzestrzeni zakrzywionej
Rozważmy teraz pewną interesującą zagadkę.
Przypuśćmy, że mamy dwa identyczne zegary, A i B, znajdujące się na powierzchni Ziemi.
Przypuśćmy dalej, że unieśliśmy zegar A na pewną wysokość H, potrzymaliśmy go tam
przez chwilę i opuściliśmy go z powrotem na powierzchnię Ziemi dokładnie wtedy, gdy
zegar B odmierzył odstęp czasu równy 100 s. Odpowiedni odstęp czasu, odmierzony przez
zegar A, będzie wynosił wtedy, na przykład 107 sekund, gdyż na skutek uniesienia go
w powietrze rytm tego zegara był przyspieszony. I teraz właśnie możemy postawić naszą
zagadkę. Jaki ruch musi wykonać zegar A, jeśli odmierzony przez niego odstęp czasu ma
być możliwie największy  przy założeniu, że zegar A będzie zawsze powracał wtedy, gdy
zgodnie z zegarem B upłynie 100 s? Czytelnik mógłby na przykład tak odpowiedzieć:
 Sprawa jest prosta. Należy unieść zegar A po prostu tak wysoko, jak jest tylko możliwe.
Wtedy zegar A maksymalnie przyspieszy swój rytm, i po powrocie wykaże możliwie naj-
większy upływ czasu." Rozumowanie takie jest jednak błędne. Czytelnik bowiem tu za-
pomina, iż mamy do dyspozycji tylko 100 s na to, by wznieść nasz zegar i opuścić go z po-
wrotem. Jeśli uniesiemy go bardzo wysoko, będziemy musieli spowodować bardzo szyb-
ki jego ruch w obie strony, aby zdążyć w przeciągu 100 s. Musimy przy tym pamiętać
o tym, że zgodnie ze szczególną teorią względności, rytm poruszającego się zegara ulegnie
2 2
zwolnieniu w stosunku l v /c . Gdybyśmy wzięli pod uwagę tylko tę poprawkę rela-
tywistyczną, okazałoby się, że odstęp czasu mierzony przez zegar A jest mniejszy niż od-
powiedni odstęp mierzony przez zegar B. Mamy więc tu do czynienia ze swego rodzaju
grą. Jeśli pozostawimy zegar A w spokoju, odmierzy on 100 s. Jeśli zaś będziemy go po-
woli unosić, osiągając raczej małą wysokość, a następnie powoli sprowadzimy go na po-
wierzchnię Ziemi, wskaże nam on trochę więcej niż 100 s. Jeżeli natomiast uniesiemy go
jeszcze trochę wyżej, nie wykluczone, że jeszcze bardziej na tym zyskamy. Jeśli jednak
będziemy chcieli unieść go zbyt wysoko, będziemy musieli się spieszyć, aby zdążyć to
wykonać; może to spowodować tak duże zwolnienie rytmu zegara, że po powrocie
będzie wskazywał on mniej niż 100 s. Jaki więc powinniśmy przygotować program
zmian wysokości w czasie, tzn. jaką powinniśmy dobrać wysokość i prędkość do-
tarcia do niej, abyśmy zdążyli powrócić do zegara B wtedy, gdy odmierzony przez
niego odstęp czasu będzie wynosił 100 s, a odstęp czasu odmierzony przez zegar A
będzie możliwie największy?
Odpowiedz
: Należy wyznaczyć, z jaką prędkością początkową powinno się wyrzucić
piłkę pionowo w górę, aby powróciła ona na powierzchnię Ziemi po dokładnie 100 s.
Taki ruch piłki  składający się z jej szybkiego wznoszenia, zwalniania, zatrzymania się
42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE
426
i powrotu na powierzchnię Ziemi  jest
właśnie dokładnie tym ruchem, podczas
którego upłynie maksymalny odstęp
czasu na zegarku poruszającym się
wraz z piłką.
Rozważmy teraz trochę inne zagad-
A B
nienie. Przypuśćmy, że mamy dane
Ziemia
dwa punkty A i B na powierzchni
Ziemi, umieszczone w pewnej odle-
42.19. W jednorodnym polu grawitacyjnym torem,
głości od siebie. Chcemy rozwiązać
wzdłuż którego czas własny przyjmuje maksimum
tu to samo zagadnienie, jak wtedy,
dla ustalonego odstępu czasu, jest parabola
gdyśmy próbowali znalez
ć odpowied-
nik linii prostej w czasoprzestrzeni.
Pytamy się więc, jak powinniśmy się poruszać od punktu A do punktu B. aby czas
wskazany przez poruszający się tak zegar był najdłuższy  przy założeniu, że na dany
sygnał startujemy z punktu A i przybywamy do punktu B jednocześnie z innym
sygnałem, nadanym w punkcie B, po upływie określonego odstępu czasu, np. 100 s
po pierwszym sygnale, mierzonego przez zegar w spoczynku. Czytelnik może nam na
to odpowiedzieć:  Stwierdzilibyśmy jednak wtedy, że należy poruszać się z wyłączonym
silnikiem wzdłuż linii prostej z tak dobraną stałą prędkością, aby pojawić się w punkcie B
dokładnie po upływie 100 s. Gdybyśmy bowiem nie poruszali się wzdłuż linii prostej,
musielibyśmy przyspieszać, co spowodowałoby zwolnienie rytmu naszego zegara." Czy
jednak na pewno! Wynik taki otrzymaliśmy, nie biorąc pod uwagę zjawiska grawitacji.
Czy jednak nie byłoby lepiej wznieść się trochę po linii krzywej, a następnie znowu się
opuścić? Czy nie moglibyśmy zyskać na tym, że na dużych wysokościach zegar nasz przy-
spiesza swój rytm? Okazuje się, że rzeczywiście jest to prawdą. Jeżeli rozwiąże się zagad-
nienie matematyczne, polegające na takim dobraniu toru ruchu zegara, aby wskazany przez
niego odstęp czasu był możliwie najdłuższy, okaże się, że torem tym jest parabola, a więc
ta sama krzywa, która jest swobodnym balistycznym torem obiektów poruszających się
w polu grawitacyjnym, czyli krzywa przedstawiona na rys. 42.19. Dlatego też prawu ruchu
w polu grawitacyjnym można także nadać następujące sformułowanie: Każde ciało tak się
zawsze porusza, aby poruszający się z nim zegar wskazywał dla toru rzeczywistego dłuższy
czas niż wskazywałby on dla jakiegokolwiek innego możliwego toru  przy założeniu, oczy-
wiście, tych samych warunków na początku i na końcu takiego ruchu. Czas mierzony
przez poruszający się zegar jest często nazywany  czasem własnym". Podczas swobodnego
spadku czas własny danego ciała przyjmuje wzdłuż rzeczywistego toru jego ruchu wartość
maksymalną.
Sprawdz
my, jak ta zasada działa. Za punkt wyjścia przyjmujemy równanie (42.5),
które stwierdza, że różnica rytmów pomiędzy poruszającym się i spoczywającym zegarem
jest równa
� gH
0
(42.13)
c2
42-8. RUCH W CZASOPRZESTRZENI ZAKRZYWIONEJ
427
Ponadto musimy uwzględnić, że podczas ruchu pojawia się poprawka o przeciwnym znaku,
która jest związana z prędkością ciała. Powoduje ona zmianę rytmu zegara określoną
wzorem
2 2
� = � 1-v /c .
0
Rozważana tu zasada jest prawdziwa dla każdej prędkości ciała. Dla uproszczenia bę-
dziemy tu jednak zakładali, że prędkość ciała jest dużo mniejsza niż prędkość światła c.
Wtedy powyższe równanie można zapisać w postaci
2 2
� = � (l-v /2c )
0
i różnica rytmów naszego zegara w ruchu i w spoczynku jest równa
2
v
 �
(42.14)
0
2
2c
Uwzględniając obie poprawki, (42.13) i (42.14), widzimy, że
2
�0 v
� =
gH (42.15)
2
c 2
Jeśli więc spoczywający zegar wskaże odstęp czasu dt, to wskutek powyższej zmiany rytmu
poruszający się zegar zarejestruje czas równy
(42.16)
Całkowita różnica czasów, mierzona przez zegar w spoczynku i w ruchu, wzdłuż całego
toru, jest równa całce z powyższej poprawki względem czasu, czyli
(42.17)
przy czym całka ta dla toru rzeczywistego powinna przybierać wartość maksymalną.
Wyraz gH jest po prostu równy potencjałowi grawitacyjnemu Ć. Otrzymaną całkę
2
możemy pomnożyć przez stały czynnik  mc , gdzie m jest masą spoczynkową ciała.
Wtedy w wyniku takiego pomnożenia dostaniemy wyrażenie, które będzie miało takie
samo ekstremum, lecz z powodu pojawienia się znaku minus ekstremum to ulegnie zmianie
z maksimum na minimum. Równanie (42.17) można wtedy zastąpić warunkiem stwier-
dzającym, że podczas ruchu ciała
dt = minimum. (42.18)
Wyrażenie podcałkowe jest tu po prostu różnicą energii kinetycznej i potencjalnej. Jak
czytelnik zapewne pamięta, w rozdz. 19 tomu II (cz. 1) poświęconym zasadzie najmniej-
szego działania, pokazaliśmy, że newtonowskie prawa ruchu ciała w dowolnym polu
potencjalnym można zapisać w postaci danej równaniem (42.18).
428 42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE
42-9. Einsteinowska teoria ciążenia
Einsteinowska postać równań ruchu  równoważna stwierdzeniu, że czas własny
w zakrzywionej przestrzeni powinien przyjmować wartość maksymalną  prowadzi
w przypadku małych prędkości do tych samych wyników co prawa Newtona. Tak więc
zegarek astronauty Gordona Coopera podczas jego ruchu wokół Ziemi spóz
niał
się w porównaniu z tym, co by ten zegarek wskazywał, gdyby pojazd kosmiczny
Coopera poruszał się po jakimś innym, nierzeczywistym torze, jaki moglibyśmy sobie
)
wyobrazić* .
Prawo ciążenia można więc sformułować za pomocą pojęć geometrii czasoprzestrzeni
w ten oto szczególny sposób: Czas własny poruszającej się cząstki  będący w czasoprze-
strzeni odpowiednikiem  najkrótszej drogi"  jest zawsze najdłuższy. Jest to prawo ruchu
w polu grawitacyjnym. W takim sformułowaniu prawo to nie zależy ani od układów współ-
rzędnych, ani też od innych sposobów opisu rozważanej sytuacji; i to jest największą za-
letą tego sformułowania.
Spróbujmy zreasumować nasze dotychczasowe rozważania. Poznaliśmy dwa prawa
teorii grawitacji:
1. W obecności materii zmienia się geometria czasoprzestrzeni i to tak, że krzywizna
czasoprzestrzeni wyrażona za pomocą nadwyżki promienia jest proporcjonalna do masy
zawartej we wnętrzu kuli o tym promieniu, co zostało wyrażone równaniem (42.3).
2. W przypadku, gdy siły grawitacyjne są jedynymi działającymi siłami, ciała się tak
poruszają, że czas własny pomiędzy dwoma ich ustalonymi punktami w czasoprzestrzeni
przyjmuje wartość maksymalną.
Powyższe dwa prawa są w ścisłej analogii z odpowiednimi parami praw, z którymi
spotykaliśmy się poprzednio. Pierwotnie ruch w polu grawitacyjnym opisywaliśmy za
pomocą newtonowskiego prawa powszechnego ciążenia oraz za pomocą newtonow-
skich praw ruchu. Prawa te zostały teraz zastąpione prawami l i 2. Ta nasza
nowa para praw wykazuje także pewne podobieństwo do tego, z czym spotkaliśmy
się w elektrodynamice. Podstawowe prawo było tam wyrażone za pomocą równań
Maxwella, które pozwalały określać wytwarzane przez ładunki pola elektromagnetyczne.
Prawo to mówiło jak zmienia się charakter  przestrzeni" na skutek obecności naładowanej
materii, a więc spełniało podobną rolę jak prawo l w przypadku teorii grawitacji. Ponadto
mieliśmy także prawo określające ruch cząstek w danym polu elektromagnetycznym:
d(mv)/dt = q(E+v B). Funkcję tę w przypadku teorii grawitacji przejmuje prawo 2.
Prawa l i 2 są ścisłym sformułowaniem einsteinowskiej teorii grawitacji, chociaż w li-
teraturze podaje się zwykle ich bardziej skomplikowaną matematyczną postać. Powin-
)
* Mówiąc ściśle, maksimum to ma tylko charakter lokalny. W bardziej poprawnym sformułowaniu
omawianej zasady powinniśmy uwzględnić, że czas własny przyjmuje dla ruchu po torze rzeczywistym
większą wartość niż dla dowolnego sąsiedniego toru. Tak więc czas własny dla ruchu po, na przykład, elip-
tycznej orbicie wokół Ziemi nie musi wcale być większy niż dla ruchu po torze balistycznym, jaki będzie
wykonywało ciało wystrzelone na niezbyt dużą wysokość nad powierzchnię Ziemi.
42-9. EINSTEINOWSKA TEORIA CI
ŻENIA
429
niśmy tu jeszcze zwrócić uwagę na pewien szczegół. W polu grawitacyjnym przy przecho-
dzeniu od miejsca do miejsca zmienia się nie tylko jednostka czasu, lecz także jednostka
długości. Pręty miernicze zmieniają swą długość na skutek ich położenia. Skoro czas i prze-
strzeń są tak nierozerwalnie związane, nie może absolutnie nic przytrafić się wielkościom
związanym z czasem, co nie miałoby jakiegoś wpływu na zachowanie się wielkości zwią-
zanych z przestrzenią. Wez
my taki oto najprostszy przykład: przypuśćmy, że ktoś oddala
się od Ziemi. Wtedy to, co będzie  czasem" z jego punktu widzenia, będzie odległością
przestrzenną z naszego punktu widzenia. Zmianie w czasie musi tu bowiem towarzyszyć
zmiana w przestrzeni. W teorii grawitacji jednak cała czasoprzestrzeń jest zniekształcona
na skutek obecności materii, jest to znacznie bardziej skomplikowaną rzeczą niż prosta
zmiana jednostek czasowych. Reguła, którą sformułowaliśmy za pomocą równania (42.3)
w zupełności jednak wystarcza do określenia wszystkich praw teorii grawitacji, o ile się
będzie rozumiało, że wypowiedzi tej reguły dotyczące krzywizny przestrzeni są słuszne
z punktu widzenia każdego obserwatora. Ktoś mijający na przykład bryłę materialną bę-
dzie za jej masę przyjmował liczbę różną od jej masy spoczynkowej, gdyż przy wyzna-
czaniu masy mijającej go bryły będzie musiał uwzględnić masę związaną z jej energią ki-
netyczną. Teorię należy tak sformułować, aby każdy obserwator  niezależnie od stanu
swego ruchu  stwierdzał, po skonstruowaniu w swoim układzie odniesienia powierzchni
2
kuli, że nadwyżka promienia tej kuli równa się iloczynowi czynnika G/3c i całkowitej
4
masy (mb, bardziej poprawnie, czynnika G/3c i całkowitej energii) zawartej we wnętrzu
tej kuli. Stwierdzenie, że to prawo  prawo l  jest spełnione w dowolnie poruszającym
się układzie odniesienia, jest jednym z najbardziej podstawowych praw teorii grawitacji,
zwanych einsteinowskimi równaniami pola. Następnym z kolei podstawowym prawem
jest prawo 2  stwierdzające, że podczas ruchu ciał ich czas własny przyjmuje wartość
maksymalną  które jest nazywane einsteinowskim równaniem ruchu.
Napisanie tych praw w ich pełnej algebraicznej postaci, porównanie ich z prawami
Newtona lub powiązanie ich z prawami elektrodynamiki jest matematycznie trudnym
zadaniem. Z fizycznego jednak punktu widzenia prawa te stanowią najbardziej pełną,
współcześnie znaną wersję praw teorii grawitacji.
Chociaż w rozpatrywanym przez nas prostym przykładzie otrzymaliśmy na ich pod-
stawie wyniki zgodne z mechaniką Newtona, to na ogół jednak nie muszą one prowadzić
do takiej zgodności. Einstein na ich podstawie przewidział następujące trzy odstępstwa od
mechaniki newtonowskiej, które zostały potwierdzone na drodze doświadczalnej: orbita
Merkurego nie jest ustaloną w przestrzeni elipsą; światło gwiazd przechodzące w pobliżu
Słońca jest uginane dwukrotnie więcej, niż można by się tego spodziewać; rytm zega-
rów zależy od ich położenia w polu grawitacyjnym. Ilekroć dotychczas teoria Einsteina
przewidywała odstępstwa od mechaniki newtonowskiej, Przyroda zawsze przyznawała
rację Einsteinowi.
Zreasumujmy raz jeszcze wszystko to, cośmy w tym rozdziale powiedzieli. Po pierwsze,
zmiany w czasie i w przestrzeni zależą od przestrzennego położenia miejsca, w którym
są wyznaczone, oraz od czasu, w którym są mierzone. Zdanie to jest równoważne stwier-
dzeniu, że czasoprzestrzeń jest zakrzywiona. Mierząc pole A powierzchni kuli można
430 42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE
określić jej przewidywany promień, równy ę/4Ą, rzeczywiście jednak mierzony promień
będzie miał nadwyżkę ponad tę wartość, proporcjonalną (ze współczynnikiem proporcjo-
2
nalności równym G/3c ) do całkowitej masy zawartej wewnątrz tej kuli. Prawo to dokładnie
ustala stopień zakrzywienia czasoprzestrzeni. Tak wyznaczona krzywizna musi być zawsze
taka sama, niezależnie od obserwatora, który będzie ją wyznaczał i niezależnie od jego
stanu ruchu. Po drugie, cząstki poruszają się  po liniach prostych" (którym odpowiadają
tory o maksymalnym czasie własnym) w tej zakrzywionej czasoprzestrzeni. Taka jest
właśnie treść podanego przez Einsteina sformułowania praw teorii grawitacji.